8．1.3 向量数量积的坐标运算
考点
学习目标
核心素养
向量数量积的坐标运算
掌握向量数量积的坐标表达式，能进行平面向量数量积的坐标运算
数学运算
向量垂直的坐标表示
能运用数量积表示两个向量的夹角、计算
向量的长度，会判断两个平面向量的垂直关系
数学运算、逻辑推理
问题导学
预习教材P81－P84，并思考以下问题：
1．向量数量积的坐标表示是什么？
2．向量垂直的坐标表示是什么？
3．如何用向量坐标解决几何问题？
1．向量的坐标与向量的数量积
①设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．
②当a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)都不是零向量时，cos〈a，b〉＝．
③在平面直角坐标系中，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝．
2．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0．
■名师点拨
由于单位向量a0＝，且|a|＝，所以a0＝＝(x1，y1)＝，此为与向量a＝(x1，y1)同向的单位向量的坐标．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.( )
(2)||的计算公式与A，B两点间的距离公式是一致的．( )
答案：(1)√ (2)√
已知a＝(1，－1)，b＝(2，3)，则a·b＝( )
A．5 B．4 C．－2 D．－1
解析：选D.a·b＝(1，－1)·(2，3)＝1×2＋(－1)×3＝－1.
(2019·高考全国卷Ⅲ)已知向量a＝(2，2)，b＝(－8，6)，则cos〈a，b〉＝________．
解析：因为a＝(2，2)，b＝(－8，6)，
所以a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，
|a|＝＝2，|b|＝＝10.
所以cos〈a，b〉＝＝＝－.
答案：－
已知a＝(3，x)，|a|＝5，则x＝________．
解析：因为|a|＝＝5，所以x2＝16.即x＝±4.
答案：±4
平面向量数量积的坐标运算
(1)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，x)，且a·b＝－1，则x的值等于( )
A. B．－ C. D．－
(2)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2)，则a·b＝________，a·(a－b)＝________．
【解析】 (1)因为a＝(1，2)，b＝(2，x)，所以a·b＝(1，2)·(2，x)＝1×2＋2x＝－1，解得x＝－.
(2)a·b＝(－1，2)·(3，2)＝(－1)×3＋2×2＝1，
a·(a－b)＝(－1，2)·[(－1，2)－(3，2)]＝(－1，2)·(－4，0)＝4.
【答案】 (1)D (2)1 4
(1)进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：
|a|2＝a·a；(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；
(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
(2)通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化，应注意与函数、方程等知识的联系．
(3)向量数量积的运算有两种思路：一种是向量式，另一种是坐标式，两者相互补充．
设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3，4)，向量c＝(3，2)，则(a＋2b)·c＝( )
A．(－15，12) B．0 C．－3 D．－11
解析：选C.依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3，4)＝(－5，6)，所以(a＋2b)·c＝(－5，6)·(3，2)＝－5×3＋6×2＝－3.
两个非零向量的夹角问题
已知平面向量a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.
(1)求b与c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．
【解】 (1)因为a∥b，所以3x＝4×9，所以x＝12.
因为a⊥c，所以3×4＋4y＝0，所以y＝－3，所以b＝(9，12)，c＝(4，－3)．
(2)m＝2a－b＝(6，8)－(9，12)＝(－3，－4)，
n＝a＋c＝(3，4)＋(4，－3)＝(7，1)．设m，n的夹角为θ，
则cos θ＝＝
＝＝－.
因为θ∈[0，π]，所以θ＝，
即m，n的夹角为.
利用数量积求两向量夹角的步骤
已知a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围．
解：法一：由题意cos α＝＝，
因为90°＜α＜180°，
所以－1＜cos α＜0，
所以－1＜＜0，
所以
即
即
所以λ的取值范围是∪(2，＋∞)．
法二：因为a与b的夹角为钝角，
所以a·b＜0且a不平行于b，
由a·b＝－2λ－1＜0得λ＞－，
由a∥b得，－2＋λ＝0，λ＝2，
所以λ＞－且λ≠2，
所以λ的取值范围是∪(2，＋∞)．
向量垂直的坐标运算
已知a＝，＝a－b，＝a＋b，若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b.
【解】 法一：设向量b＝(x，y)，
则＝a－b＝，
＝a＋b＝，
由题意可知，
·＝0，||＝||，
从而有：
，
解得或.
所以b＝或b＝.
法二：设向量b＝(x，y)，依题意，·＝0，
||＝||，则(a－b)·(a＋b)＝0，|a－b|＝|a＋b|，
所以|a|＝|b|＝1，a·b＝0.
所以向量b是与向量a相互垂直的单位向量，
即有，
解得b＝或b＝.
使用向量的知识解决问题时，有向量式和坐标两种形式的思路，可以先把向量式展开，再把模长、内积等量代入求解；也可以先求出坐标，然后求解．
已知两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，当a＋xb与a－b垂直时，求x的值．
解：法一：因为(a＋xb)⊥(a－b)，
所以(a＋xb)·(a－b)＝0，
所以|a|2＋(x－1)a·b－x|b|2＝0，
又因为|a|＝5，|b|＝，a·b＝2，
所以25＋2(x－1)－5x＝0，所以x＝.
法二：因为a＝(3，4)，b＝(2，－1)，
所以a＋xb＝(2x＋3，4－x)，a－b＝(1，5)，
由于(a＋xb)⊥(a－b)，所以(a＋xb)·(a－b)＝0，
从而(2x＋3)×1＋(4－x)×5＝0，
所以2x＋3＋20－5x＝0，所以x＝.
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知向量a＝(2，3)，b＝(3，2)，则|a－b|＝( )
A. B．2 C．5 D．50
解析：选A.因为a－b＝(2，3)－(3，2)＝(－1，1)，
所以|a－b|＝＝.故选A.
2．若a＝(3，－1)，b＝(x，－2)，且〈a，b〉＝，则x等于( )
A．1 B．－1 C．4 D．－4
解析：选A.因为a·b＝|a|·|b|cos，
所以3x＋2＝××，
解得x＝1或x＝－4.
又因为3x＋2>0，
所以x>－，
故x＝1.
3．设a＝(x，x＋1)，b＝(1，2)且a⊥b，则x＝________．
解析：因为a⊥b，所以a·b＝0.
即x＋2(x＋1)＝0.
解得x＝－.
答案：－
4．已知A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，则△ABC为________三角形．
解析：由＝(1，1)，＝(－4，2)，＝(－3，3)，得||2＝2，||2＝20，||2＝18.所以||2＋||2＝||2，即AB2＋AC2＝BC2.所以△ABC为直角三角形．
答案：直角
[A 基础达标]
1．已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝( )
A．－12 B．－6 C．6 D．12
解析：选D.2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12.
2．已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，若向量a，b的夹角为，则实数m的值为( )
A．2 B．－ C．0 D.
解析：选D.由题意得|a|＝2，|b|＝，a·b＝3＋m＝2cos ，解得m＝，选D.
3．若a＝(2，1)，b＝(3，4)，则向量a在向量b方向上的投影的数量为( )
A．2 B．2 C. D．10
解析：选B.设a，b的夹角为θ，则|a|cos θ＝|a|·＝＝＝2.
4．已知O为坐标原点，向量＝(2，2)，＝(4，1)，在x轴上有一点P使得·有最小值，则点P的坐标是( )
A．(－3，0) B．(2，0) C．(3，0) D．(4，0)
解析：选C.设点P的坐标为(x，0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)．
·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)
＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
所以当x＝3时，·有最小值1.
所以点P的坐标为(3，0)．
5．已知a＝(2，－1)，b＝(3，2)，若存在向量c，满足a·c＝2，b·c＝5，则向量c＝( )
A. B.
C. D.
解析：选C.设c＝(x，y)，因为a·c＝2，b·c＝5，
所以解得所以c＝.
6．设a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，若(a＋b)⊥(a－b)，则m＝________．
解析：a＋b＝(m＋1，－3)＋(1，m－1)＝(m＋2，m－4)，
a－b＝(m＋1，－3)－(1，m－1)＝(m，－2－m)，
因为(a＋b)⊥(a－b)，所以(a＋b)·(a－b)＝0，即(m＋2，m－4)·(m，－m－2)＝0，所以m2＋2m－m2＋2m＋8＝0，解得m＝－2.
答案：－2
7．设点A(4，2)，B(a，8)，C(2，a)，O为坐标原点．若四边形OABC是平行四边形，则向量与之间的夹角为________．
解析：因为四边形OABC是平行四边形，
所以＝，即(4－0，2－0)＝(a－2，8－a)，
所以a＝6.又因为＝(4，2)，＝(2，6)，
所以cos〈，〉＝＝＝，
又〈，〉∈[0，π]，所以与的夹角为.
答案：
8.如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．
解析：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，设F(x，2)，
所以＝(，1)，＝(x，2)，＝(，0)，
所以·＝x＝，
所以x＝1，所以F(1，2)，
所以＝(1，2)－(，0)＝(1－，2)，
所以·＝.
答案：
9．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
解：(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，即x2－2x－3＝0，
解得x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(3，0)，
a－b＝(1，0)－(3，0)＝(－2，0)．
所以|a－b|＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1，2)，
a－b＝(1，－2)－(－1，2)＝(2，－4)，
所以|a－b|＝2.
[B 能力提升]
10．在平行四边形ABCD中，＝(1，0)，＝(2，2)，则·等于( )
A．－4 B．－2 C．2 D．4
解析：选D.·＝(－)·(－2)
＝＋2－3·
＝8＋2－3×2＝4.故选D.
11．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( )
A. B.
C. D.
解析：选D.设c＝(x，y)，
因为a＝(1，2)，b＝(2，－3)，
所以c＋a＝(x＋1，y＋2)，
又因为(c＋a)∥b，
所以有(x＋1)·(－3)－2·(y＋2)＝0，
即－3x－2y－7＝0，①
又a＋b＝(3，－1)，
由c⊥(a＋b)得3x－y＝0，②
由①②解得
因此有c＝.
12．已知△ABO三顶点的坐标为A(1，0)，B(0，2)，O(0，0)，P(x，y)是坐标平面内一点，且满足·≤0，·≥0，则·的最小值为________．
解析：由已知得·＝(x－1，y)·(1，0)＝x－1≤0，且·＝(x，y－2)·(0，2)＝2(y－2)≥0，即x≤1，且y≥2，所以·＝(x，y)·(－1，2)＝－x＋2y≥－1＋4＝3.
答案：3
13．在平面直角坐标系内，已知三点A(1，0)，B(0，1)，C(2，5)，求：
(1)，的坐标；
(2)|－|的值；
(3)cos∠BAC的值．
解：(1)＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)，
＝(2，5)－(1，0)＝(1，5)．
(2)因为－＝(－1，1)－(1，5)＝(－2，－4)，
所以|－|＝＝2.
(3)因为·＝(－1，1)·(1，5)＝4，
||＝，||＝，
所以cos∠BAC＝＝＝.
[C 拓展探究]
14．已知向量a＝(1，)，b＝(－2，0)．
(1)求a－b的坐标以及a－b与a的夹角；
(2)当t∈[－1，1]时，求|a－tb|的取值范围．
解：(1)因为向量a＝(1，)，b＝(－2，0)，所以a－b＝(1，)－(－2，0)＝(3，)，
所以cos〈a－b，a〉＝＝＝.
因为〈a－b，a〉∈[0，π]，所以向量a－b与a的夹角为.
(2)|a－tb|2＝a2－2ta·b＋t2b2＝4t2＋4t＋4＝4＋3.易知当t∈[－1，1]时，|a－tb|2∈[3，12]，所以|a－tb|的取值范围是[，2]．
课件30张PPT。第八章 向量的数量积与三角恒等变换第八章 向量的数量积与三角恒等变换√√本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放 [A 基础达标]
1．已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝( )
A．－12 B．－6 C．6 D．12
解析：选D.2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12.
2．已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，若向量a，b的夹角为，则实数m的值为( )
A．2 B．－ C．0 D.
解析：选D.由题意得|a|＝2，|b|＝，a·b＝3＋m＝2cos ，解得m＝，选D.
3．若a＝(2，1)，b＝(3，4)，则向量a在向量b方向上的投影的数量为( )
A．2 B．2 C. D．10
解析：选B.设a，b的夹角为θ，则|a|cos θ＝|a|·＝＝＝2.
4．已知O为坐标原点，向量＝(2，2)，＝(4，1)，在x轴上有一点P使得·有最小值，则点P的坐标是( )
A．(－3，0) B．(2，0) C．(3，0) D．(4，0)
解析：选C.设点P的坐标为(x，0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)．
·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)
＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
所以当x＝3时，·有最小值1.
所以点P的坐标为(3，0)．
5．已知a＝(2，－1)，b＝(3，2)，若存在向量c，满足a·c＝2，b·c＝5，则向量c＝( )
A. B.
C. D.
解析：选C.设c＝(x，y)，因为a·c＝2，b·c＝5，
所以解得所以c＝.
6．设a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，若(a＋b)⊥(a－b)，则m＝________．
解析：a＋b＝(m＋1，－3)＋(1，m－1)＝(m＋2，m－4)，
a－b＝(m＋1，－3)－(1，m－1)＝(m，－2－m)，
因为(a＋b)⊥(a－b)，所以(a＋b)·(a－b)＝0，即(m＋2，m－4)·(m，－m－2)＝0，所以m2＋2m－m2＋2m＋8＝0，解得m＝－2.
答案：－2
7．设点A(4，2)，B(a，8)，C(2，a)，O为坐标原点．若四边形OABC是平行四边形，则向量与之间的夹角为________．
解析：因为四边形OABC是平行四边形，
所以＝，即(4－0，2－0)＝(a－2，8－a)，
所以a＝6.又因为＝(4，2)，＝(2，6)，
所以cos〈，〉＝＝＝，
又〈，〉∈[0，π]，所以与的夹角为.
答案：
8.如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．
解析：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，设F(x，2)，
所以＝(，1)，＝(x，2)，＝(，0)，
所以·＝x＝，
所以x＝1，所以F(1，2)，
所以＝(1，2)－(，0)＝(1－，2)，
所以·＝.
答案：
9．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
解：(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，即x2－2x－3＝0，
解得x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(3，0)，
a－b＝(1，0)－(3，0)＝(－2，0)．
所以|a－b|＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1，2)，
a－b＝(1，－2)－(－1，2)＝(2，－4)，
所以|a－b|＝2.
[B 能力提升]
10．在平行四边形ABCD中，＝(1，0)，＝(2，2)，则·等于( )
A．－4 B．－2 C．2 D．4
解析：选D.·＝(－)·(－2)
＝＋2－3·
＝8＋2－3×2＝4.故选D.
11．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( )
A. B.
C. D.
解析：选D.设c＝(x，y)，
因为a＝(1，2)，b＝(2，－3)，
所以c＋a＝(x＋1，y＋2)，
又因为(c＋a)∥b，
所以有(x＋1)·(－3)－2·(y＋2)＝0，
即－3x－2y－7＝0，①
又a＋b＝(3，－1)，
由c⊥(a＋b)得3x－y＝0，②
由①②解得
因此有c＝.
12．已知△ABO三顶点的坐标为A(1，0)，B(0，2)，O(0，0)，P(x，y)是坐标平面内一点，且满足·≤0，·≥0，则·的最小值为________．
解析：由已知得·＝(x－1，y)·(1，0)＝x－1≤0，且·＝(x，y－2)·(0，2)＝2(y－2)≥0，即x≤1，且y≥2，所以·＝(x，y)·(－1，2)＝－x＋2y≥－1＋4＝3.
答案：3
13．在平面直角坐标系内，已知三点A(1，0)，B(0，1)，C(2，5)，求：
(1)，的坐标；
(2)|－|的值；
(3)cos∠BAC的值．
解：(1)＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)，
＝(2，5)－(1，0)＝(1，5)．
(2)因为－＝(－1，1)－(1，5)＝(－2，－4)，
所以|－|＝＝2.
(3)因为·＝(－1，1)·(1，5)＝4，
||＝，||＝，
所以cos∠BAC＝＝＝.
[C 拓展探究]
14．已知向量a＝(1，)，b＝(－2，0)．
(1)求a－b的坐标以及a－b与a的夹角；
(2)当t∈[－1，1]时，求|a－tb|的取值范围．
解：(1)因为向量a＝(1，)，b＝(－2，0)，所以a－b＝(1，)－(－2，0)＝(3，)，
所以cos〈a－b，a〉＝＝＝.
因为〈a－b，a〉∈[0，π]，所以向量a－b与a的夹角为.
(2)|a－tb|2＝a2－2ta·b＋t2b2＝4t2＋4t＋4＝4＋3.易知当t∈[－1，1]时，|a－tb|2∈[3，12]，所以|a－tb|的取值范围是[，2]．
