8．1 向量的数量积
8．1.1 向量数量积的概念
8．1.2 向量数量积的运算律
考点
学习目标
核心素养
向量数量积的概念
理解平面向量数量积的概念及其几何意义
数学抽象
投影的数量
理解向量投影的数量的含义并会应用
数学抽象
向量数量积的运算律
掌握数量积的运算律，并会利用其解决有关长度、夹角、垂直等问题
数学运算、逻辑推理
问题导学
预习教材P71－P80，并思考以下问题：
1．向量数量积的物理背景是什么？
2．向量数量积的几何意义是什么？
3．向量数量积满足结合律吗？
4．向量夹角的范围是什么？
1．两个向量的夹角
定义
给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作＝a，＝b，则称[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉.
范围
0≤〈a，b〉≤π
特例
〈a，b〉＝0
a与b同向
〈a，b〉＝π
a与b反向
〈a，b〉＝
a与b垂直，记作a⊥b，规定零向量与任意向量垂直
2.向量数量积的定义
(1)一般地，当a与b都是非零向量时，称|a||b|cos〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)数量积的性质
①|a·b|≤|a||b|；
②a·a＝a2＝|a|2，即|a|＝；
③a与b垂直的充要条件是它们的数量积为0，即a⊥b?a·b＝0；
④如果a与b都是非零向量，则cos 〈a，b〉＝．
■名师点拨
(1)向量的数量积a·b是一个实数，不考虑方向；数乘向量λa是一个向量，既有大小，又有方向，这是二者的区别．
(2)a·b表示两个向量的数量积，中间的“·”不能省略，也不能写成“×”．
3．向量的投影与向量数量积的几何意义
(1)设非零向量＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A′，B′，则称向量为向量a在直线l上的投影向量或投影．
类似地，给定平面上的一个非零向量b，设b所在的直线为l，则a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影．
(2)一般地，如果a，b都是非零向量，则称|a|cos〈a，b〉为向量a在向量b上的投影的数量．
(3)向量数量积的几何意义：两个非零向量a, b的数量积a·b，等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积．
特别地，当e为单位向量时，a·e＝|a|cos〈a，e〉，即任意向量与单位向量的数量积，等于这个向量在单位向量e上的投影的数量.
4．向量数量积的运算律
已知向量a，b，c与实数λ，则
交换律
a·b＝b·a
数乘向量的数量积
(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)
分配律
(a＋b)·c＝a·c＋b·c
■名师点拨
(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线．因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.( )
(2)若a，b共线?a·b＝|a||b|.( )
(3)若a·b＝b·c，则一定有a＝c.( )
答案：(1)× (2)× (3)×
已知|a|＝3，向量a与b的夹角为，则a在b上的投影的数量为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.向量a在b上的投影的数量为|a|cos θ＝3×cos ＝.故选D.
在△ABC中，＝a，＝b，且b·a＝0，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．无法确定
解析：选C.在△ABC中，因为b·a＝0，所以b⊥a，故△ABC为直角三角形．
如图，在△ABC中，，的夹角与，的夹角的关系为________．
解析：根据向量夹角定义可知向量，的夹角为∠BAC，而向量，的夹角为π－∠BAC，故二者互补．
答案：互补
与向量数量积有关的概念
(1)以下四种说法中正确的是________．(填序号)
①如果a·b＝0，则a＝0或b＝0；
②如果向量a与b满足a·b<0，则a与b所成的角为钝角；
③△ABC中，如果·＝0，那么△ABC为直角三角形；
④如果向量a与b是两个单位向量，则a2＝b2.
(2)已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝－12，则a在b上的投影的数量为________，b在a上的投影的数量为__________．
(3)已知等腰△ABC的底边BC长为4，则·＝________．
【解析】 (1)由数量积的定义知a·b＝|a||b|·cos θ(θ为向量a，b的夹角)．
①若a·b＝0，则θ＝90°或a＝0或b＝0，故①错；
②若a·b<0，则θ为钝角或θ＝180°，故②错；
③由·＝0知B＝90°，故△ABC为直角三角形，故③正确；
④由a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故④正确．
(2)设a与b的夹角为θ，则有
a·b＝|a|·|b|cos θ＝－12，
所以向量a在向量b上的投影的数量为|a|·cos θ＝＝－；向量b在向量a上的投影的数量为|b|·cos θ＝＝＝－4.
(3)如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D.
因为AB＝AC，
所以BD＝BC＝2，
于是||cos∠ABC＝||
＝||＝×4＝2，
所以·＝||||cos∠ABC＝4×2＝8.
【答案】 (1)③④ (2)－ －4 (3)8
(1)在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写．
(2)求平面向量数量积的方法：
①若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ.
②若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影的数量，可利用数量积的几何意义求a·b.
给出下列判断：①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；③a，b共线?a·b＝|a||b|；④|a||b|
0，则a与b的夹角为锐角；⑧若a，b的夹角为θ，则|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的射影长．
其中正确的是________．(填序号)
解析：由于a2≥0，b2≥0，所以，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故①正确；
若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量，所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，②正确；a，b共线?a·b＝±|a||b|，所以③不正确；
对于④应有|a||b|≥a·b，所以④不正确；
对于⑤，应该是a·a·a＝|a|2a，所以⑤不正确；
⑥a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故正确；
当a与b的夹角为0°时，也有a·b>0，因此⑦错；
|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的投影的数量，故⑧错．综上可知①②⑥正确．
答案：①②⑥
向量数量积的运算
(1)已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a＋3b)．
(2)如图，在?ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，求：
①·；②·.
【解】 (1)(a＋2b)·(a＋3b)
＝a·a＋5a·b＋6b·b
＝|a|2＋5a·b＋6|b|2
＝|a|2＋5|a||b|cos 60°＋6|b|2
＝62＋5×6×4×cos 60°＋6×42＝192.
(2)①因为∥，且方向相同，
所以与的夹角是0°，
所以·＝||||·cos 0°＝3×3×1＝9.
②因为与的夹角为60°，
所以与的夹角为120°，
所以·＝||||·cos 120°
＝4×3×＝－6.
[变问法]本例(2)的条件不变，求·.
解：因为＝＋，＝－，
所以·＝(＋)·(－)
＝2－2＝9－16＝－7.
向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．
(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．
已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________．
解析：由题设知|e1|＝|e2|＝1且e1·e2＝，
所以b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e－2e1·e2－8e＝3－2×－8＝－6.
答案：－6
利用数量积解决长度、垂直及夹角问题
(1)已知|a|＝|b|＝5，〈a，b〉＝，求|a＋b|，|a－b|；
(2)已知a，b是两个非零向量．
①若|a|＝3，|b|＝4，|a·b|＝6，求a与b的夹角；
②若|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．
【解】 (1)因为a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝5×5×＝，
所以|a＋b|＝＝
＝＝5.
|a－b|＝＝
＝＝5.
(2)①因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，
所以|a·b|＝||a||b|cos〈a，b〉|＝|a||b||cos〈a，b〉|＝6.
又因为|a|＝3，|b|＝4，
所以|cos〈a，b〉|＝＝＝.
所以cos〈a，b〉＝±.
因为〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角为或π.
②如图所示，在平面内取一点O，作＝a，＝b，以，为邻边作平行四边形OACB，使||＝||，所以四边形OACB为菱形，
OC平分∠AOB，这时＝a＋b，＝a－b，由于|a|＝|b|＝|a－b|，即||＝||＝||，
所以∠AOC＝，即a与a＋b的夹角为.
(1)求模问题一般转化为求模平方，灵活应用a·a＝|a|2，勿忘记开方．
(2)求向量夹角问题应用数量积的变形公式cos θ＝，一般要求两个整体a·b，|a||b|，不方便求出的，要寻求两者关系，转化条件解方程组．
已知x＝1是方程x2＋|a|x＋a·b＝0的根，且a2＝4，〈a，b〉＝120°，求向量b的模．
解：因为a2＝4，所以|a|2＝4，所以|a|＝2.
把x＝1代入方程x2＋|a|x＋a·b＝0，
得1＋|a|＋a·b＝0，
所以a·b＝－3，
则a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2|b|cos 120°＝－3，
所以|b|＝3，
即向量b的模为3.
平面向量数量积的综合应用
已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．
【解】 由已知条件得
，
即
②－①得23b2－46a·b＝0，
所以2a·b＝b2，
代入①得a2＝b2，所以|a|＝|b|，
所以cos〈a，b〉＝＝＝.
因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝，
即a与b的夹角为.
应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角及长度等几何问题．
已知a，b是非零向量，当a＋tb(t∈R)的模取最小值时，
(1)求t的值；
(2)已知a与b共线同向，求证：b⊥(a＋tb)．
解：(1)|a＋tb|2＝a2＋2ta·b＋t2b2，
即|a＋tb|2＝b2t2＋2a·bt＋a2，
所以当t＝－时，|a＋tb|有最小值．
(2)证明：因为a与b共线同向，
所以a·b＝|a||b|，
所以t＝－＝－＝－，
所以b·(a＋tb)＝a·b＋t|b|2＝|a||b|－|a||b|＝0.
所以b⊥(a＋tb)．
1．已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值是( )
A．－25 B．25
C．－24 D．24
解析：选A.因为||2＋||2＝9＋16＝25＝||2，
所以∠ABC＝90°，所以原式＝·＋·(＋)＝0＋·＝－2＝－25.
2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.设a与b的夹角为α，因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝0，所以a·b＝b2，所以|a|·|b|cos α＝|b|2，又|a|＝2|b|，所以cos α＝，因为α∈[0，π]，所以α＝.故选B.
3．已知|a|＝4，e为单位向量，a在e上的投影的数量为－2，则a与e的夹角为________．
解析：因为a在e上的投影的数量为－2，
即|a|cos〈a，e〉＝－2，
所以cos〈a，e〉＝＝－，
又〈a，e〉∈[0，π]，
所以〈a，e〉＝120°.
答案：120°
4．已知a·b＝20，|a|＝5，求b在a上的投影的数量．
解：设a，b的夹角为θ，
则b在a上的投影的数量就是|b|cos θ，
因为|a||b|cos θ＝a·b＝20，
所以|b|cos θ＝＝＝4，
即b在a上的投影的数量为4.
[A 基础达标]
1．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·a＋a·b等于( )
A. B.
C．1＋ D．2
解析：选B.a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos 60°＝1＋＝.
2．已知单位向量a，b的夹角为，那么|a＋2b|＝( )
A．2 B.
C．2 D．4
解析：选B.|a|＝|b|＝1，|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝1＋4×1×1×＋4×1＝7，所以|a＋2b|＝.
3．若向量a，b，c，满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．0
解析：选D.因为a∥b，a⊥c，
所以b⊥c，所以a·c＝0，b·c＝0，
c·(a＋2b)＝a·c＋2b·c＝0＋0＝0.
4．已知平面向量a，b是非零向量，|a|＝2，a⊥(a＋2b)，则向量b在向量a上的投影的数量为( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：选B.因为a⊥(a＋2b)，所以a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝|a|2＋2a·b＝4＋2a·b＝0，
所以a·b＝－2，所以向量b在向量a上的投影的数量为＝＝－1.
5．已知非零向量a，b满足2|a|＝3|b|，|a－2b|＝|a＋b|，则a与b的夹角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.|a－2b|＝|a＋b|?(a－2b)2＝(a＋b)2?a·b＝b2?cos〈a，b〉＝＝＝.
6．已知|a|＝3，|b|＝5，且a与b的夹角θ为45°，则向量a在向量b上的投影的数量为________．
解析：由已知得向量a在向量b上的投影的数量为|a|cos θ＝3×＝.
答案：
7．已知向量|a|＝，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝________．
解析：因为|a|2＝5，|a＋b|＝5，所以|a＋b|2＝50，即|a|2＋|b|2＋2a·b＝50，所以5＋|b|2＋20＝50，所以|b|＝5.
答案：5
8．若a，b均为非零向量，且(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为______．
解析：设a，b的夹角为θ，由题知(a－2b)·a＝0，(b－2a)·b＝0，即|a|2－2b·a＝|a|2－2|a||b|cos θ＝0，
|b|2－2b·a＝|b|2－2|a||b|cos θ＝0，故|a|2＝|b|2，即|a|＝|b|，所以|a|2－2|a||a|cos θ＝0，故cos θ＝，因为 0≤θ≤π，故θ＝.
答案：
9．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，求t的值．
解：因为b·c＝0，
所以b·[ta＋(1－t)b]＝0，
即ta·b＋(1－t)·b2＝0，
又因为|a|＝|b|＝1，
a，b的夹角为60°，
所以t＋1－t＝0，
所以t＝2.
10．已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝.
(1)求|b|；
(2)当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值．
解：(1)因为(a－b)·(a＋b)＝，
即a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝，
所以|b|2＝|a|2－＝1－＝，
故|b|＝.
(2)因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋|2b|2＝1－1＋1＝1，故|a＋2b|＝1.
又因为a·(a＋2b)＝|a|2＋2a·b＝1－＝，所以cos θ＝＝，
又θ∈[0，π]，故θ＝.
[B 能力提升]
11．已知平面向量a，b都是单位向量，若b⊥(2a－b)，则a与b的夹角等于( )
A. B. C. D.
解析：选C.设向量a，b的夹角为θ，因为b⊥(2a－b)，所以b·(2a－b)＝2a·b－b2＝2×1×1×cos θ－12＝0，解得cos θ＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝，即a与b的夹角为，故选C.
12．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·等于( )
A．2 B. C. D.
解析：选D.·＝||||cos∠DAC＝||·cos＝||sin∠BAC＝||sin B＝||sin B＝||＝.
13．设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：
①a·c－b·c＝(a－b)·c；
②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；
③|a|－|b|＜|a－b|；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中正确的序号是______．
解析：根据向量数量积的分配律知①正确；
因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c
＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，
所以(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，②错误；
因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形的三边，
所以|a|－|b|＜|a－b|成立，③正确；
④正确．故正确命题的序号是①③④.
答案：①③④
14．已知两个非零向量a，b，夹角θ＝120°，且(a－3b)⊥(7a＋5b)，问是否存在实数λ，满足(a－4b)⊥(λa－b)?
解：由(a－3b)⊥(7a＋5b)，
得(a－3b)·(7a＋5b)＝0.
即7|a|2－15|b|2－16a·b＝0.①
由(a－4b)⊥(λa－b)，得
(a－4b)·(λa－b)＝0，
即λ|a|2＋4|b|2－(1＋4λ)a·b＝0，②
又a·b＝|a||b|cos 120°＝－|a||b|，③
把③代入①得|a|＝|b|，④
把④代入②得(λ＋4＋)|a|2＝0.因为|a|＞0，
所以λ＋4＋＝0，即λ＝－.
故存在实数λ＝－，
使(a－4b)⊥(λa－b)．
[C 拓展探究]
15．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，＝2.
(1)若四边形ABCD是矩形，求·的值；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，且·＝6，求与夹角的余弦值．
解：(1)因为四边形ABCD是矩形，
所以·＝0，由＝2，
得＝，＝＝－.
所以·＝·
＝·
＝2－·－2
＝36－×81＝18.
(2)由题意，＝＋＝＋＝＋，
＝＋＝＋＝－，
所以·＝·
＝2－·－2
＝36－·－18＝18－·.
又·＝6，
所以18－·＝6，
所以·＝36.
设与的夹角为θ，
又·＝||·||cos θ＝9×6×cos θ＝54cos θ，
所以54cos θ＝36，即cos θ＝.
所以与夹角的余弦值为.
课件45张PPT。第八章 向量的数量积与三角恒等变换第八章 向量的数量积与三角恒等变换同向反向a⊥b零向量0投影向量或投影a在向量b上的投影a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积×××本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放 [A 基础达标]
1．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·a＋a·b等于( )
A. B.
C．1＋ D．2
解析：选B.a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos 60°＝1＋＝.
2．已知单位向量a，b的夹角为，那么|a＋2b|＝( )
A．2 B.
C．2 D．4
解析：选B.|a|＝|b|＝1，|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝1＋4×1×1×＋4×1＝7，所以|a＋2b|＝.
3．若向量a，b，c，满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．0
解析：选D.因为a∥b，a⊥c，
所以b⊥c，所以a·c＝0，b·c＝0，
c·(a＋2b)＝a·c＋2b·c＝0＋0＝0.
4．已知平面向量a，b是非零向量，|a|＝2，a⊥(a＋2b)，则向量b在向量a上的投影的数量为( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：选B.因为a⊥(a＋2b)，所以a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝|a|2＋2a·b＝4＋2a·b＝0，
所以a·b＝－2，所以向量b在向量a上的投影的数量为＝＝－1.
5．已知非零向量a，b满足2|a|＝3|b|，|a－2b|＝|a＋b|，则a与b的夹角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.|a－2b|＝|a＋b|?(a－2b)2＝(a＋b)2?a·b＝b2?cos〈a，b〉＝＝＝.
6．已知|a|＝3，|b|＝5，且a与b的夹角θ为45°，则向量a在向量b上的投影的数量为________．
解析：由已知得向量a在向量b上的投影的数量为|a|cos θ＝3×＝.
答案：
7．已知向量|a|＝，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝________．
解析：因为|a|2＝5，|a＋b|＝5，所以|a＋b|2＝50，即|a|2＋|b|2＋2a·b＝50，所以5＋|b|2＋20＝50，所以|b|＝5.
答案：5
8．若a，b均为非零向量，且(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为______．
解析：设a，b的夹角为θ，由题知(a－2b)·a＝0，(b－2a)·b＝0，即|a|2－2b·a＝|a|2－2|a||b|cos θ＝0，
|b|2－2b·a＝|b|2－2|a||b|cos θ＝0，故|a|2＝|b|2，即|a|＝|b|，所以|a|2－2|a||a|cos θ＝0，故cos θ＝，因为 0≤θ≤π，故θ＝.
答案：
9．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，求t的值．
解：因为b·c＝0，
所以b·[ta＋(1－t)b]＝0，
即ta·b＋(1－t)·b2＝0，
又因为|a|＝|b|＝1，
a，b的夹角为60°，
所以t＋1－t＝0，
所以t＝2.
10．已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝.
(1)求|b|；
(2)当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值．
解：(1)因为(a－b)·(a＋b)＝，
即a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝，
所以|b|2＝|a|2－＝1－＝，
故|b|＝.
(2)因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋|2b|2＝1－1＋1＝1，故|a＋2b|＝1.
又因为a·(a＋2b)＝|a|2＋2a·b＝1－＝，所以cos θ＝＝，
又θ∈[0，π]，故θ＝.
[B 能力提升]
11．已知平面向量a，b都是单位向量，若b⊥(2a－b)，则a与b的夹角等于( )
A. B. C. D.
解析：选C.设向量a，b的夹角为θ，因为b⊥(2a－b)，所以b·(2a－b)＝2a·b－b2＝2×1×1×cos θ－12＝0，解得cos θ＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝，即a与b的夹角为，故选C.
12．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·等于( )
A．2 B. C. D.
解析：选D.·＝||||cos∠DAC＝||·cos＝||sin∠BAC＝||sin B＝||sin B＝||＝.
13．设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：
①a·c－b·c＝(a－b)·c；
②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；
③|a|－|b|＜|a－b|；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中正确的序号是______．
解析：根据向量数量积的分配律知①正确；
因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c
＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，
所以(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，②错误；
因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形的三边，
所以|a|－|b|＜|a－b|成立，③正确；
④正确．故正确命题的序号是①③④.
答案：①③④
14．已知两个非零向量a，b，夹角θ＝120°，且(a－3b)⊥(7a＋5b)，问是否存在实数λ，满足(a－4b)⊥(λa－b)?
解：由(a－3b)⊥(7a＋5b)，
得(a－3b)·(7a＋5b)＝0.
即7|a|2－15|b|2－16a·b＝0.①
由(a－4b)⊥(λa－b)，得
(a－4b)·(λa－b)＝0，
即λ|a|2＋4|b|2－(1＋4λ)a·b＝0，②
又a·b＝|a||b|cos 120°＝－|a||b|，③
把③代入①得|a|＝|b|，④
把④代入②得(λ＋4＋)|a|2＝0.因为|a|＞0，
所以λ＋4＋＝0，即λ＝－.
故存在实数λ＝－，
使(a－4b)⊥(λa－b)．
[C 拓展探究]
15．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，＝2.
(1)若四边形ABCD是矩形，求·的值；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，且·＝6，求与夹角的余弦值．
解：(1)因为四边形ABCD是矩形，
所以·＝0，由＝2，
得＝，＝＝－.
所以·＝·
＝·
＝2－·－2
＝36－×81＝18.
(2)由题意，＝＋＝＋＝＋，
＝＋＝＋＝－，
所以·＝·
＝2－·－2
＝36－·－18＝18－·.
又·＝6，
所以18－·＝6，
所以·＝36.
设与的夹角为θ，
又·＝||·||cos θ＝9×6×cos θ＝54cos θ，
所以54cos θ＝36，即cos θ＝.
所以与夹角的余弦值为.
