6．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6．3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
6．3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
考点
学习目标
核心素养
平面向量的坐标表示
理解向量正交分解以及坐标表示的意义
数学抽象、直观想象
平面向量加、减运算的坐标表示
掌握两个向量的和、差及向量数乘的坐标运算法则
数学运算
平面向量数乘运算的坐标表示
理解坐标表示的平面向量共线的条件，并会解决向量共线问题
数学运算、逻辑推理
第1课时 平面向量的分解及加、减、数乘运算的坐标表示
问题导学
预习教材P27－P33的内容，思考以下问题：
1．怎样分解一个向量才为正交分解？
2．如何求两个向量和、差的向量的坐标？
3．一个向量的坐标与有向线段的起点和终点坐标之间有什么关系？
4．若a＝(x，y)，则λa的坐标是什么？
1．平面向量坐标的相关概念
■名师点拨
(1)平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e1和e2互相垂直．
(2)由向量坐标的定义知，两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即a＝b?x1＝x2且y1＝y2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
2．平面向量的坐标运算
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则
①a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)；
②a－b＝(x1－x2，y1－y2)；
③λa＝(λx1，λy1)．
(2)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．
■名师点拨
(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．
(2)已知向量的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)点的坐标与向量的坐标相同．( )
(2)零向量的坐标是(0，0)．( )
(3)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( )
(4)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
已知A(3，1)，B(2，－1)，则的坐标是( )
A．(－2，－1) B．(2，1)
C．(1，2) D．(－1，－2)
答案：C
如果用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2，3)，B(4，2)，则可以表示为( )
A．2i＋3j B．4i＋2j
C．2i－j D．－2i＋j
答案：C
设i＝(1，0)，j＝(0，1)，a＝3i＋4j，b＝－i＋j，则a＋b与a－b的坐标分别为____________．
答案：(2，5)，(4，3)
平面向量的坐标表示
已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°，
(1)求向量的坐标；
(2)若B(，－1)，求的坐标．
【解】 (1)设点A(x，y)，则x＝||cos 60°＝4cos 60°＝2，y＝||sin 60°＝4sin 60°＝6，
即A(2，6)，所以＝(2，6)．
(2)＝(2，6)－(，－1)＝(，7)．
求点和向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．
(2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．
1.在平面直角坐标系xOy中，向量a，b的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，则a的坐标为________，b的坐标为________．
解析：设点A(x，y)，B(x0，y0)，因为|a|＝2，且∠AOx＝45°，所以x＝2cos 45°＝，y＝2sin 45°＝.又|b|＝3，∠xOB＝90°＋30°＝120°，所以x0＝3cos 120°＝－，y0＝3sin 120°＝，故a＝＝(，)，b＝＝.
答案：(，)
2．已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标系，i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，试求和的坐标．
解：由题图知，CB⊥x轴，CD⊥y轴，
因为AB＝4，AD＝3，所以＝4i＋3j，
所以＝(4，3)．
因为＝＋＝－＋，
所以＝－4i＋3j，所以＝(－4，3)．
平面向量的坐标运算
(1)已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝( )
A．(－23，－12) B．(23，12)
C．(7，0) D．(－7，0)
(2)已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3 ，＝2 ，求点M，N的坐标．
【解】 (1)选A.因为a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，且c满足3a－2b＋c＝0，所以c＝2b－3a＝2(－4，－3)－3(5，2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，－12)．
(2)法一：因为A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，
所以＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)，
＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3)．
因为＝3 ，＝2 ，
所以＝3(1，8)＝(3，24)，＝2(6，3)＝(12，6)．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
所以＝(x1＋3，y1＋4)＝(3，24)，
＝(x2＋3，y2＋4)＝(12，6)，
所以解得
所以M(0，20)，N(9，2)．
法二：设O为坐标原点，则由＝3 ，＝2 ，
可得－＝3(－)，－＝2(－)，
所以＝3 －2 ，＝2 －.
所以＝3(－2，4)－2(－3，－4)＝(0，20)，
＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9，2)．
所以M(0，20)，N(9，2)．
平面向量坐标(线性)运算的方法
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行．
1．已知A，B，C的坐标分别为(2，－4)，(0，6)，(－8，10)，则＋2＝____________，－＝____________．
解析：因为A(2，－4)，B(0，6)，C(－8，10)，
所以＝(－2，10)，＝(－8，4)，＝(－10，14)，
所以＋2＝(－18，18)，－＝(－3，－3)．
答案：(－18，18) (－3，－3)
2．已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
解析：由题意得ma＋nb＝(2m，m)＋(n，－2n)＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，即解得m＝2，n＝5，所以m－n＝－3.
答案：－3
向量坐标运算的综合应用
已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，及＝＋t.
(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？
(2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
【解】 (1)＝＋t＝(1，2)＋t(3，3)
＝(1＋3t，2＋3t)．若点P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－.
若点P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－.
若点P在第二象限，则
所以－＜t＜－.
(2)＝(1，2)，＝(3－3t，3－3t)．若四边形OABP为平行四边形，
则＝，所以该方程组无解．
故四边形OABP不能为平行四边形．
[变问法]若保持本例条件不变，问t为何值时，B为线段AP的中点？
解：由＝＋t，得＝t.
所以当t＝2时，＝2，B为线段AP的中点．
向量中含参数问题的求解策略
(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵坐标或横坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．
(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的．
1．已知在平行四边形ABCD中，A(0，0)，B(5，0)，D(2，4)，对角线AC，BD交于点M，则的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选A.＝＝[(5，0)－(2，4)]＝(3，－4)＝.
2．已知在非平行四边形ABCD中，AB∥DC，且A，B，D三点的坐标分别为(0，0)，(2，0)，(1，1)，则顶点C的横坐标的取值范围是________．
解析：当ABCD为平行四边形时，
则＝＋＝(2，0)＋(1，1)＝(3，1)，
故满足题意的顶点C的横坐标的取值范围是(1，3)∪(3，＋∞)．
答案：(1，3)∪(3，＋∞)
1．已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a－b＝( )
A．(5，7) B．(5，9) C．(3，7) D．(3，9)
答案：A
2．已知A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，0)，D(x，y)，且＝2，则x＋y＝________．
解析：因为＝(－2，0)－(－1，－2)＝(－1，2)，＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)，又2＝，即(2x－4，2y－6)＝(－1，2)，
所以解得所以x＋y＝.
答案：
3．已知点B(1，0)是向量a的终点，向量b，c均以原点O为起点，且b＝(－3，4)，c＝(－1，1)与a的关系为a＝3b－2c，求向量a的起点坐标．
解：a＝3b－2c＝3(－3，4)－2(－1，1)＝(－7，10)，
设a的起点为A(x，y)，
则a＝＝(1－x，－y)，
所以
所以
所以A(8，－10)．
即a的起点坐标为(8，－10)．
[A 基础达标]
1．设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若＝4i＋2j，＝3i＋4j，则2＋的坐标是( )
A．(1，－2) B．(7，6)
C．(5，0) D．(11，8)
解析：选D.因为＝(4，2)，＝(3，4)，
所以2＋＝(8，4)＋(3，4)＝(11，8)．
2．设向量a＝(1，2)，b＝(－3，5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，则λ＋x的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选C.由已知，可得(1，2)＋(－3，5)＝λ(4，x)，所以解得所以λ＋x＝－，故选C.
3．已知＝(－2，4)，＝(2，6)，则等于( )
A．(0，5) B．(0，1)
C．(2，5) D．(2，1)
解析：选D.＝(－)＝(2，6)－(－2，4)＝(2，1)．
4．已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且＝2，则顶点D的坐标为( )
A. B.
C．(3，2) D．(1，3)
解析：选A.设点D(m，n)，则由题意得(4，3)＝2(m，n－2)＝(2m，2n－4)，故
解得即点D的坐标为，故选A.
5．已知A(－3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设＝λ＋(1－λ)(λ∈R)，则λ的值为( )
A. B.
C. D.
解析： 选C.如图所示，因为∠AOC＝45°，
所以设C(x，－x)，
则＝(x，－x)．
又因为A(－3，0)，B(0，2)，
所以λ＋(1－λ)
＝(－3λ，2－2λ)，
所以?λ＝.
6．已知点A(－1，－5)和向量a＝(2，3)，若＝3a，则点B的坐标为________．
解析：设O为坐标原点，因为＝(－1，－5)，＝3a＝(6，9)，故＝＋＝(5，4)，故点B的坐标为(5，4)．
答案：(5，4)
7．已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，3)，c＝(4，1)，若用a和b表示c，则c＝________．
解析：设c＝xa＋yb，
则(x，2x)＋(－2y，3y)＝(x－2y，2x＋3y)＝(4，1)．
故解得
所以c＝2a－b.
答案：2a－b
8．已知A(－1，2)，B(2，8)．若＝，＝－，则的坐标为________．
解析：＝＝(3，6)＝(1，2)，
＝－＝－(3，6)＝(－2，－4)，
＝＋＝(－1，－2)，
所以＝(1，2)．
答案：(1，2)
9．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值．
解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
所以解得
10．已知向量＝(4，3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求λ与y的值．
解：(1)设B(x1，y1)，
因为＝(4，3)，A(－1，－2)，
所以(x1＋1，y1＋2)＝(4，3)，
所以
所以
所以B(3，1)．
同理可得D(－4，－3)，
设BD的中点M(x2，y2)，
则x2＝＝－，y2＝＝－1.
所以M.
(2)由＝(3，1)－(2，y)＝(1，1－y)，
＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，
又＝λ(λ∈R)，
所以(1，1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，
所以
所以
[B 能力提升]
11．对于向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，定义m?n＝(x1x2，y1y2)．已知a＝(2，－4)，且a＋b＝a?b，那么向量b等于( )
A. B.
C. D.
解析：选A.设b＝(x，y)，由新定义及a＋b＝a?b，可得(2＋x，y－4)＝(2x，－4y)，所以2＋x＝2x，y－4＝－4y，解得x＝2，y＝，所以向量b＝.
12．已知A(－3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝2，且∠AOC＝，设＝λ＋(λ∈R)，则λ＝______．
解析：过C作CE⊥x轴于点E，由∠AOC＝知，|OE|＝|CE|＝2，所以＝＋＝λ＋，即＝λ，所以(－2，0)＝λ(－3，0)，故λ＝.
答案：
13．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4，3)，＝(1，5)，则＝________．
解析：－＝＝(1，5)－(4，3)＝(－3，2)，因为点Q是AC的中点，所以＝，所以＝＋＝(1，5)＋(－3，2)＝(－2，7)．因为＝2，所以＝＋＝3＝3(－2，7)＝(－6，21)．
答案：(－6，21)
14．已知O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，设＝a，＝b，＝c，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，试用a，b表示c.
解：如图，以O为原点，向量所在的直线为x轴建立平面直角坐标系．
因为|a|＝2，所以a＝(2，0)．
设b＝(x1，y1)，所以x1＝|b|·cos 150°＝1×＝－，
y1＝|b|sin 150°＝1×＝，
所以b＝.同理可得c＝.
设c＝λ1a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，
所以＝λ1(2，0)＋λ2
＝(2λ1－λ2，λ2)，
所以解得
所以c＝－3a－3b.
[C 拓展探究]
15．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)．
(1)若＋＋＝0，求的坐标；
(2)若＝m＋n(m，n∈R)，且点P在函数y＝x＋1的图象上，试求m－n的值．
解：(1)设点P的坐标为(x，y)，因为＋＋＝0，
又＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)．
所以解得
所以点P的坐标为(2，2)，
故＝(2，2)．
(2)设点P的坐标为(x0，y0)，
因为A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)．
所以＝(2，3)－(1，1)＝(1，2)，
＝(3，2)－(1，1)＝(2，1)，
因为＝m＋n，
所以(x0，y0)＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m＋2n，2m＋n)，
所以
两式相减得m－n＝y0－x0，
又因为点P在函数y＝x＋1的图象上，
所以y0－x0＝1，所以m－n＝1.
课件38张PPT。第六章 平面向量及其应用第六章 平面向量及其应用第六章 平面向量及其应用互相垂直(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)终点起点×√×√本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放[A 基础达标]
1．设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若＝4i＋2j，＝3i＋4j，则2＋的坐标是( )
A．(1，－2) B．(7，6)
C．(5，0) D．(11，8)
解析：选D.因为＝(4，2)，＝(3，4)，
所以2＋＝(8，4)＋(3，4)＝(11，8)．
2．设向量a＝(1，2)，b＝(－3，5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，则λ＋x的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选C.由已知，可得(1，2)＋(－3，5)＝λ(4，x)，所以解得所以λ＋x＝－，故选C.
3．已知＝(－2，4)，＝(2，6)，则等于( )
A．(0，5) B．(0，1)
C．(2，5) D．(2，1)
解析：选D.＝(－)＝(2，6)－(－2，4)＝(2，1)．
4．已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且＝2，则顶点D的坐标为( )
A. B.
C．(3，2) D．(1，3)
解析：选A.设点D(m，n)，则由题意得(4，3)＝2(m，n－2)＝(2m，2n－4)，故
解得即点D的坐标为，故选A.
5．已知A(－3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设＝λ＋(1－λ)(λ∈R)，则λ的值为( )
A. B.
C. D.
解析： 选C.如图所示，因为∠AOC＝45°，
所以设C(x，－x)，
则＝(x，－x)．
又因为A(－3，0)，B(0，2)，
所以λ＋(1－λ)
＝(－3λ，2－2λ)，
所以?λ＝.
6．已知点A(－1，－5)和向量a＝(2，3)，若＝3a，则点B的坐标为________．
解析：设O为坐标原点，因为＝(－1，－5)，＝3a＝(6，9)，故＝＋＝(5，4)，故点B的坐标为(5，4)．
答案：(5，4)
7．已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，3)，c＝(4，1)，若用a和b表示c，则c＝________．
解析：设c＝xa＋yb，
则(x，2x)＋(－2y，3y)＝(x－2y，2x＋3y)＝(4，1)．
故解得
所以c＝2a－b.
答案：2a－b
8．已知A(－1，2)，B(2，8)．若＝，＝－，则的坐标为________．
解析：＝＝(3，6)＝(1，2)，
＝－＝－(3，6)＝(－2，－4)，
＝＋＝(－1，－2)，
所以＝(1，2)．
答案：(1，2)
9．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值．
解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
所以解得
10．已知向量＝(4，3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求λ与y的值．
解：(1)设B(x1，y1)，
因为＝(4，3)，A(－1，－2)，
所以(x1＋1，y1＋2)＝(4，3)，
所以
所以
所以B(3，1)．
同理可得D(－4，－3)，
设BD的中点M(x2，y2)，
则x2＝＝－，y2＝＝－1.
所以M.
(2)由＝(3，1)－(2，y)＝(1，1－y)，
＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，
又＝λ(λ∈R)，
所以(1，1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，
所以
所以
[B 能力提升]
11．对于向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，定义m?n＝(x1x2，y1y2)．已知a＝(2，－4)，且a＋b＝a?b，那么向量b等于( )
A. B.
C. D.
解析：选A.设b＝(x，y)，由新定义及a＋b＝a?b，可得(2＋x，y－4)＝(2x，－4y)，所以2＋x＝2x，y－4＝－4y，解得x＝2，y＝，所以向量b＝.
12．已知A(－3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝2，且∠AOC＝，设＝λ＋(λ∈R)，则λ＝______．
解析：过C作CE⊥x轴于点E，由∠AOC＝知，|OE|＝|CE|＝2，所以＝＋＝λ＋，即＝λ，所以(－2，0)＝λ(－3，0)，故λ＝.
答案：
13．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4，3)，＝(1，5)，则＝________．
解析：－＝＝(1，5)－(4，3)＝(－3，2)，因为点Q是AC的中点，所以＝，所以＝＋＝(1，5)＋(－3，2)＝(－2，7)．因为＝2，所以＝＋＝3＝3(－2，7)＝(－6，21)．
答案：(－6，21)
14．已知O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，设＝a，＝b，＝c，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，试用a，b表示c.
解：如图，以O为原点，向量所在的直线为x轴建立平面直角坐标系．
因为|a|＝2，所以a＝(2，0)．
设b＝(x1，y1)，所以x1＝|b|·cos 150°＝1×＝－，
y1＝|b|sin 150°＝1×＝，
所以b＝.同理可得c＝.
设c＝λ1a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，
所以＝λ1(2，0)＋λ2
＝(2λ1－λ2，λ2)，
所以解得
所以c＝－3a－3b.
[C 拓展探究]
15．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)．
(1)若＋＋＝0，求的坐标；
(2)若＝m＋n(m，n∈R)，且点P在函数y＝x＋1的图象上，试求m－n的值．
解：(1)设点P的坐标为(x，y)，因为＋＋＝0，
又＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)．
所以解得
所以点P的坐标为(2，2)，
故＝(2，2)．
(2)设点P的坐标为(x0，y0)，
因为A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)．
所以＝(2，3)－(1，1)＝(1，2)，
＝(3，2)－(1，1)＝(2，1)，
因为＝m＋n，
所以(x0，y0)＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m＋2n，2m＋n)，
所以
两式相减得m－n＝y0－x0，
又因为点P在函数y＝x＋1的图象上，
所以y0－x0＝1，所以m－n＝1.
第2课时 两向量共线的充要条件及应用
问题导学
预习教材P31－P33的内容，思考以下问题：
1．两向量共线的充要条件是什么？
2．如何利用向量的坐标表示两个向量共线？
两向量共线的充要条件
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.则a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0．
■名师点拨
(1)两个向量共线的坐标表示还可以写成＝(x2≠0，y2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．
(2)当a≠0，b＝0时，a∥b，此时x1y2－x2y1＝0也成立，即对任意向量a，b都有x1y2－x2y1＝0?a∥b.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量(1，2)与向量(4，8)共线．( )
(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，则必有x1y2＝x2y1.( )
答案：(1)√ (2)√
下列各组的两个向量共线的是( )
A．a1＝(－2，3)，b1＝(4，6)
B．a2＝(1，－2)，b2＝(7，14)
C．a3＝(2，3)，b3＝(3，2)
D．a4＝(－3，2)，b4＝(6，－4)
答案：D
已知两点A(2，－1)，B(3，1)，与平行且方向相反的向量a可能是( )
A．a＝(1，－2)
B．a＝(9，3)
C．a＝(－1，2)
D．a＝(－4，－8)
解析：选D.由题意得＝(1，2)，结合选项可知a＝(－4，－8)＝－4(1，2)＝－4，所以D正确．
已知a＝(3，1)，b＝(2，λ)，若a∥b，则实数λ的值为________．
答案：
向量共线的判定
(1)已知向量a＝(1，－2)，b＝(3，4)．若(3a－b)∥(a＋kb)，则k＝________．
(2)已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(2，5)，判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
【解】 (1)3a－b＝(0，－10)，a＋kb＝(1＋3k，－2＋4k)，
因为(3a－b)∥(a＋kb)，所以0－(－10－30k)＝0，
所以k＝－.故填－.
(2)因为＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，
＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3，6)，
因为2×6－3×4＝0，
所以∥，所以与共线．
又＝，所以与的方向相同．
[变问法]若本例(1)条件不变，判断向量(3a－b)与(a＋kb)是反向还是同向？
解：由向量(3a－b)与(a＋kb)共线，得k＝－，
所以3a－b＝(3，－6)－(3，4)＝(0，－10)，
a＋kb＝a－b＝(1，－2)－(3，4)
＝＝(0，－10)，
所以向量(3a－b)与(a＋kb)同向．
向量共线的判定方法
1．(2019·河北衡水景县中学检测)已知向量a＝(－1，2)，b＝(λ，1)．若a＋b与a平行，则λ＝( )
A．－5 B．
C．7 D．－
解析：选D.a＋b＝(－1，2)＋(λ，1)＝(λ－1，3)，由a＋b与a平行，可得－1×3－2×(λ－1)＝0，解得λ＝－.
2．已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，－3)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
解：＝(0，4)－(2，1)＝(－2，3)，
＝(5，－3)－(1，3)＝(4，－6)．
法一：因为(－2)×(－6)－3×4＝0，且(－2)×4<0，
所以与共线且方向相反．
法二：因为＝－2，所以与共线且方向相反．
三点共线问题
(1)已知＝(3，4)，＝(7，12)，＝(9，16)，求证：点A，B，C共线；
(2)设向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，求当k为何值时，A，B，C三点共线．
【解】 (1)证明：由题意知＝－＝(4，8)，
＝－＝(6，12)，所以＝，
即与共线．
又因为与有公共点A，所以点A，B，C共线．
(2)法一：因为A，B，C三点共线，即与共线，
所以存在实数λ(λ∈R)，使得＝λ.
因为＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(10－k，k－12)，
所以(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)，
即解得k＝－2或k＝11.
所以当k＝－2或k＝11时，A，B，C三点共线．
法二：由已知得与共线，
因为＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(10－k，k－12)，
所以(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0，
所以k2－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11.
所以当k＝－2或k＝11时，A，B，C三点共线．
判断向量(或三点)共线的三个步骤
1．已知A，B，C三点共线，且A(－3，6)，B(－5，2)，若C点的纵坐标为6，则C点的横坐标为( )
A．－3 B．9
C．－9 D．3
解析：选A.设C(x，6)，
因为A，B，C三点共线，所以∥，
又＝(－2，－4)，＝(x＋3，0)，
所以－2×0＋4(x＋3)＝0.
所以x＝－3.
2．设点A(x，1)，B(2x，2)，C(1，2x)，D(5，3x)，当x为何值时，与共线且方向相同，此时A，B，C，D能否在同一条直线上？
解：＝(2x，2)－(x，1)＝(x，1)，
＝(1，2x)－(2x，2)＝(1－2x，2x－2)，
＝(5，3x)－(1，2x)＝(4，x)．
由与共线，所以x2＝1×4，
所以x＝±2.
又与方向相同，所以x＝2.
所以当x＝2时，与共线且方向相同．
此时，＝(2，1)，＝(－3，2)，
而2×2≠－3×1，所以与不共线，
所以A，B，C三点不在同一条直线上．
所以A，B，C，D不在同一条直线上．
向量共线的应用
如图所示，在△AOB中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，＝，＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．
【解】 因为＝＝(0，5)＝，
所以C.
因为＝＝(4，3)＝，
所以D.
设M(x，y)，则＝(x，y－5)，
＝＝.
因为∥，
所以－x－2(y－5)＝0，
即7x＋4y＝20.①
又＝，＝，
因为∥，所以x－4＝0，
即7x－16y＝－20.②
联立①②解得x＝，y＝2，故点M的坐标为.
应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤
如图所示，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于点F，求的坐标．
解：因为A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，
所以＝(3－7，5－8)＝(－4，－3)，＝(4－7，3－8)＝(－3，－5)．
又因为D是BC的中点，所以＝(＋)＝(－4－3，－3－5)＝(－7，－8)＝.
因为M，N分别为AB，AC的中点，所以F为AD的中点，所以＝－＝－＝－＝.
1．已知向量a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且a∥b，那么2a－b＝( )
A．(4，0) B．(0，4)
C．(4，－8) D．(－4，8)
解析：选C.因为向量a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且a∥b，所以1×4＝(－2)×m，所以m＝－2，所以2a－b＝(2－m，－4－4)＝(4，－8)．
2．若三点A(4，3)，B(5，m)，C(6，n)在一条直线上，则下列式子一定正确的是( )
A．2m－n＝3 B．n－m＝1
C．m＝3，n＝5 D．m－2n＝3
解析：选A.因为三点A(4，3)，B(5，m)，C(6，n)在一条直线上，所以＝λ，所以(1，m－3)＝λ(2，n－3)，所以λ＝，所以m－3＝(n－3)，即2m－n＝3.
3．平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)．
(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值；
(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k的值．
解：(1)因为a＝mb＋nc，所以(3，2)＝m(－1，2)＋n(4，1)＝(－m＋4n，2m＋n)．
所以解得
(2)因为(a＋kc)∥(2b－a)，
又a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，
所以2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.
所以k＝－.
[A 基础达标]
1．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝( )
A．(－5，－10) B．(－4，－8)
C．(－3，－6) D．(－2，－4)
解析：选B.因为平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，所以1×m－(－2)×2＝0，解得m＝－4，所以2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．
2．已知a＝(sin α，1)，b＝(cos α，2)，若b∥a，则tan α＝( )
A. B．2
C．－ D．－2
解析：选A.因为b∥a，所以2sin α＝cos α，所以＝，所以tan α＝.
3．已知向量a＝(1，2)，b＝(0，1)，设u＝a＋kb，v＝2a－b，若u∥v，则实数k的值是( )
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：选B.v＝2(1，2)－(0，1)＝(2，3)，u＝(1，2)＋k(0，1)＝(1，2＋k)．因为u∥v，所以2(2＋k)－1×3＝0，解得k＝－.
4．若＝i＋2j，＝(3－x)i＋(4－y)j(其中i，j的方向分别与x，y轴正方向相同且为单位向量).与共线，则x，y的值可能分别为( )
A．1，2 B．2，2
C．3，2 D．2，4
解析：选B.由题意知，＝(1，2)，＝(3－x，4－y)．
因为∥，所以4－y－2(3－x)＝0，
即2x－y－2＝0.只有B选项，x＝2，y＝2代入满足．故选B.
5．已知A(1，－3)，B，且A，B，C三点共线，则点C的坐标可以是( )
A．(－9，1) B．(9，－1)
C．(9，1) D．(－9，－1)
解析：选C.设点C的坐标是(x，y)，
因为A，B，C三点共线，
所以∥.
因为＝－(1，－3)＝，
＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)，
所以7(y＋3)－(x－1)＝0，
整理得x－2y＝7，
经检验可知点(9，1)符合要求，故选C.
6．已知向量a＝(3x－1，4)与b＝(1，2)共线，则实数x的值为________．
解析：因为向量a＝(3x－1，4)与b＝(1，2)共线，所以2(3x－1)－4×1＝0，解得x＝1.
答案：1
7．已知A(2，1)，B(0，2)，C(－2，1)，O(0，0)，给出下列结论：
①直线OC与直线BA平行；
②＋＝；
③＋＝；
④＝－2.
其中，正确结论的序号为________．
解析：①因为＝(－2，1)，＝(2，－1)，所以＝－，又直线OC，BA不重合，所以直线OC∥BA，所以①正确；②因为＋＝≠，所以②错误；③因为＋＝(0，2)＝，所以③正确；④因为＝(－4，0)，－2＝(0，2)－2(2，1)＝(－4，0)，所以④正确．
答案：①③④
8．对于任意的两个向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定运算“?”为m?n＝(ac－bd，bc＋ad)，运算“⊕”为m⊕n＝(a＋c，b＋d)．设m＝(p，q)，若(1，2)?m＝(5，0)，则(1，2)⊕m等于________．
解析：由(1，2)?m＝(5，0)，可得解得所以(1，2)⊕m＝(1，2)⊕(1，－2)＝(2，0)．
答案：(2，0)
9．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
解：(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．
因为ka－b与a＋2b共线，
所以2(k－2)－(－1)×5＝0，得k＝－.
所以当k＝－时，ka－b与a＋2b共线．
(2)因为A，B，C三点共线，
所以＝λ，λ∈R，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
所以解得m＝.
10．(1)已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求M，N及的坐标；
(2)已知P1(2，－1)，P2(－1，3)，P在直线P1P2上，且||＝||.求点P的坐标．
解：(1)法一：由A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，可得＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)，＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3)，所以＝3＝3(1，8)＝(3，24)，＝2＝2(6，3)＝(12，6)．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
则＝(x1＋3，y1＋4)＝(3，24)，＝(x2＋3，y2＋4)＝(12，6)，
所以x1＝0，y1＝20，x2＝9，y2＝2，即M(0，20)，N(9，2)，
所以＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)．
法二：设点O为坐标原点，
则由＝3，＝2，可得－＝3(－)，－＝2(－)，
从而＝3－2，＝2－，
所以＝3(－2，4)－2(－3，－4)＝(0，20)，
＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9，2)，
即点M(0，20)，N(9，2)，故＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)．
(2)①当点P在线段P1P2上时，如图a：
则有＝，设点P的坐标为(x，y)，
所以(x－2，y＋1)＝(－1－x，3－y)，
所以解得故点P的坐标为.
②当点P在线段P2P1的延长线上时，如图b：
则有＝－，设点P的坐标为(x，y)，
所以(x－2，y＋1)＝－(－1－x，3－y)，
所以解得
故点P的坐标为(8，－9)．
综上可得点P的坐标为或(8，－9)．
[B 能力提升]
11．已知向量a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( )
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且c与d反向
解析：选D.因为a＝(1，0)，b＝(0，1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1，1)，d＝a－b＝(1，－1)，显然，c与d不平行，排除A、B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1，1)，d＝a－b＝－(－1，1)，即c∥d且c与d反向．
12．已知向量a＝(－2，3)，b∥a，向量b的起点为A(1，2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为________．
解析：由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．设B(x，y)，则＝(x－1，y－2)＝b.
由?
又B点在坐标轴上，
则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，
所以B或.
答案：或
13.如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，则直线AC与BD交点P的坐标为______．
解析：设P(x，y)，则＝(x－1，y)，＝(5，4)，＝(－3，6)，＝(4，0)．
由B，P，D三点共线可得＝λ＝(5λ，4λ)．
又因为＝－＝(5λ－4，4λ)，
由与共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0.
解得λ＝，
所以＝＝，
所以P的坐标为.
答案：
14．(2019·江苏扬州中学第一学期阶段性测试)设＝(2，－1)，＝(3，0)，＝(m，3)．
(1)当m＝8时，将用和表示；
(2)若A，B，C三点能构成三角形，求实数m应满足的条件．
解：(1)当m＝8时，＝(8，3)，
设＝x＋y，则x(2，－1)＋y(3，0)＝(2x＋3y，－x)＝(8，3)，
所以所以
所以＝－3＋.
(2)因为A，B，C三点能构成三角形，所以，不共线，又＝(1，1)，＝(m－2，4)，所以1×4－1×(m－2)≠0，所以m≠6.
[C 拓展探究]
15．已知平面上有A(－2，1)，B(1，4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC，点E在CD上，且＝，求E点的坐标．
解：因为＝，所以2＝，
所以2＋＝＋，
所以＝.设C点坐标为(x，y)，
则(x＋2，y－1)＝(－3，－3)，所以x＝－5，y＝－2，
所以C(－5，－2)．因为＝，
所以4＝，
所以4＋4＝5，所以4＝5.
设E点坐标为(x′，y′)，
则4(9，－1)＝5(4－x′，－3－y′)．
所以
解得
所以E点的坐标为.
课件33张PPT。第六章 平面向量及其应用√√本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放[A 基础达标]
1．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝( )
A．(－5，－10) B．(－4，－8)
C．(－3，－6) D．(－2，－4)
解析：选B.因为平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，所以1×m－(－2)×2＝0，解得m＝－4，所以2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．
2．已知a＝(sin α，1)，b＝(cos α，2)，若b∥a，则tan α＝( )
A. B．2
C．－ D．－2
解析：选A.因为b∥a，所以2sin α＝cos α，所以＝，所以tan α＝.
3．已知向量a＝(1，2)，b＝(0，1)，设u＝a＋kb，v＝2a－b，若u∥v，则实数k的值是( )
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：选B.v＝2(1，2)－(0，1)＝(2，3)，u＝(1，2)＋k(0，1)＝(1，2＋k)．因为u∥v，所以2(2＋k)－1×3＝0，解得k＝－.
4．若＝i＋2j，＝(3－x)i＋(4－y)j(其中i，j的方向分别与x，y轴正方向相同且为单位向量).与共线，则x，y的值可能分别为( )
A．1，2 B．2，2
C．3，2 D．2，4
解析：选B.由题意知，＝(1，2)，＝(3－x，4－y)．
因为∥，所以4－y－2(3－x)＝0，
即2x－y－2＝0.只有B选项，x＝2，y＝2代入满足．故选B.
5．已知A(1，－3)，B，且A，B，C三点共线，则点C的坐标可以是( )
A．(－9，1) B．(9，－1)
C．(9，1) D．(－9，－1)
解析：选C.设点C的坐标是(x，y)，
因为A，B，C三点共线，
所以∥.
因为＝－(1，－3)＝，
＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)，
所以7(y＋3)－(x－1)＝0，
整理得x－2y＝7，
经检验可知点(9，1)符合要求，故选C.
6．已知向量a＝(3x－1，4)与b＝(1，2)共线，则实数x的值为________．
解析：因为向量a＝(3x－1，4)与b＝(1，2)共线，所以2(3x－1)－4×1＝0，解得x＝1.
答案：1
7．已知A(2，1)，B(0，2)，C(－2，1)，O(0，0)，给出下列结论：
①直线OC与直线BA平行；
②＋＝；
③＋＝；
④＝－2.
其中，正确结论的序号为________．
解析：①因为＝(－2，1)，＝(2，－1)，所以＝－，又直线OC，BA不重合，所以直线OC∥BA，所以①正确；②因为＋＝≠，所以②错误；③因为＋＝(0，2)＝，所以③正确；④因为＝(－4，0)，－2＝(0，2)－2(2，1)＝(－4，0)，所以④正确．
答案：①③④
8．对于任意的两个向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定运算“?”为m?n＝(ac－bd，bc＋ad)，运算“⊕”为m⊕n＝(a＋c，b＋d)．设m＝(p，q)，若(1，2)?m＝(5，0)，则(1，2)⊕m等于________．
解析：由(1，2)?m＝(5，0)，可得解得所以(1，2)⊕m＝(1，2)⊕(1，－2)＝(2，0)．
答案：(2，0)
9．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
解：(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．
因为ka－b与a＋2b共线，
所以2(k－2)－(－1)×5＝0，得k＝－.
所以当k＝－时，ka－b与a＋2b共线．
(2)因为A，B，C三点共线，
所以＝λ，λ∈R，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
所以解得m＝.
10．(1)已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求M，N及的坐标；
(2)已知P1(2，－1)，P2(－1，3)，P在直线P1P2上，且||＝||.求点P的坐标．
解：(1)法一：由A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，可得＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)，＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3)，所以＝3＝3(1，8)＝(3，24)，＝2＝2(6，3)＝(12，6)．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
则＝(x1＋3，y1＋4)＝(3，24)，＝(x2＋3，y2＋4)＝(12，6)，
所以x1＝0，y1＝20，x2＝9，y2＝2，即M(0，20)，N(9，2)，
所以＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)．
法二：设点O为坐标原点，
则由＝3，＝2，可得－＝3(－)，－＝2(－)，
从而＝3－2，＝2－，
所以＝3(－2，4)－2(－3，－4)＝(0，20)，
＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9，2)，
即点M(0，20)，N(9，2)，故＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)．
(2)①当点P在线段P1P2上时，如图a：
则有＝，设点P的坐标为(x，y)，
所以(x－2，y＋1)＝(－1－x，3－y)，
所以解得故点P的坐标为.
②当点P在线段P2P1的延长线上时，如图b：
则有＝－，设点P的坐标为(x，y)，
所以(x－2，y＋1)＝－(－1－x，3－y)，
所以解得
故点P的坐标为(8，－9)．
综上可得点P的坐标为或(8，－9)．
[B 能力提升]
11．已知向量a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( )
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且c与d反向
解析：选D.因为a＝(1，0)，b＝(0，1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1，1)，d＝a－b＝(1，－1)，显然，c与d不平行，排除A、B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1，1)，d＝a－b＝－(－1，1)，即c∥d且c与d反向．
12．已知向量a＝(－2，3)，b∥a，向量b的起点为A(1，2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为________．
解析：由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．设B(x，y)，则＝(x－1，y－2)＝b.
由?
又B点在坐标轴上，
则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，
所以B或.
答案：或
13.如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，则直线AC与BD交点P的坐标为______．
解析：设P(x，y)，则＝(x－1，y)，＝(5，4)，＝(－3，6)，＝(4，0)．
由B，P，D三点共线可得＝λ＝(5λ，4λ)．
又因为＝－＝(5λ－4，4λ)，
由与共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0.
解得λ＝，
所以＝＝，
所以P的坐标为.
答案：
14．(2019·江苏扬州中学第一学期阶段性测试)设＝(2，－1)，＝(3，0)，＝(m，3)．
(1)当m＝8时，将用和表示；
(2)若A，B，C三点能构成三角形，求实数m应满足的条件．
解：(1)当m＝8时，＝(8，3)，
设＝x＋y，则x(2，－1)＋y(3，0)＝(2x＋3y，－x)＝(8，3)，
所以所以
所以＝－3＋.
(2)因为A，B，C三点能构成三角形，所以，不共线，又＝(1，1)，＝(m－2，4)，所以1×4－1×(m－2)≠0，所以m≠6.
[C 拓展探究]
15．已知平面上有A(－2，1)，B(1，4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC，点E在CD上，且＝，求E点的坐标．
解：因为＝，所以2＝，
所以2＋＝＋，
所以＝.设C点坐标为(x，y)，
则(x＋2，y－1)＝(－3，－3)，所以x＝－5，y＝－2，
所以C(－5，－2)．因为＝，
所以4＝，
所以4＋4＝5，所以4＝5.
设E点坐标为(x′，y′)，
则4(9，－1)＝5(4－x′，－3－y′)．
所以
解得
所以E点的坐标为.
