[A 基础达标]
1．若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( )
A．1∶2 B．1∶
C．1∶ D.∶2
解析：选C.设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，所以其母线长l＝r.所以S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr2，S底∶S侧＝1∶.
2.如图，ABC-A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C-AA′B′B的体积是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.因为VC-A′B′C′
＝VABC-A′B′C′＝，
所以VC-AA′B′B＝1－＝.
3．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A．12π B．12π
C．8π D．10π
解析：选B.设所截正方形的边长为 a，则 a2＝8，即 a＝2.所以圆柱的母线长为 2，底面圆半径 r＝，所以圆柱的表面积为 2π×2＋π()2×2＝8π＋4π＝12π.
4.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是面A1B1C1D1内任意一点，则四棱锥P-ABCD的体积为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，
点P是面A1B1C1D1内任意一点，
所以点P到平面ABCD的距离d＝AA1＝1，
S正方形ABCD＝1×1＝1，
所以四棱锥P-ABCD的体积为：
VP-ABCD＝×AA1×S正方形ABCD＝×1×1＝.
故选B.
5．(2019·临川检测)一个封闭的正三棱柱容器，高为 3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点 E，F，F1，E1 分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为( )
A. B.
C．2 D.
解析：选 D．因为 E，F，F1，E1 分别为所在棱的中点，所以棱柱 EFCB-E1F1C1B1 的体积 V＝S梯形EFCB×3＝S△ABC×3＝S△ABC.设甲中水面的高度为 h，则 S△ABC×h＝S△ABC，解得h＝，故选 D.
6．已知圆柱 OO′的母线 l＝4 cm，表面积为 42π cm2，则圆柱 OO′的底面半径 r＝______cm.
解析：圆柱 OO′的侧面积为 2πrl＝8πr(cm2)，两底面面积为 2×πr2＝2πr2(cm2)，
所以 2πr2＋8πr＝42π，
解得 r＝3 或 r＝－7(舍去)，
所以圆柱的底面半径为 3 cm.
答案：3
7．表面积为 3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆面，则该圆锥的底面直径为________．
解析：设圆锥的母线为 l，圆锥底面半径为 r，由题意可知，πrl＋πr2＝3π，且 πl＝2πr.解得 r＝1，即直径为 2.
答案：2
8．圆柱内有一个内接长方体 ABCD-A1B1C1D1，长方体的体对角线长是 10 cm，圆柱的侧面展开图为矩形，此矩形的面积是 100π cm 2，则圆柱的底面半径为______cm，高为______cm.
解析：设圆柱底面半径为 r cm，高为 h cm，如图所示，则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长，则：
所以
即圆柱的底面半径为 5 cm，高为 10 cm.
答案：5 10
9．如图，已知正三棱锥 S-ABC 的侧面积是底面积的 2 倍，正三棱锥的高 SO＝3，求此正三棱锥的表面积．
解：如图，设正三棱锥的底面边长为 a，斜高为 h′，过点 O 作 OE⊥AB，与 AB 交于点 E，连接 SE，则 SE⊥AB，
SE＝h′.
因为 S侧＝2S底，
所以 3×·a·h′＝a2×2.
所以 a＝h′.
因为 SO⊥OE，
所以 SO2＋OE2＝SE2.
所以 32＋＝h′2.
所以 h′＝2，所以 a＝h′＝6.
所以 S底＝a2＝×62＝9，
S侧＝2S底＝18.
所以 S表＝S侧＋S底＝18＋9＝27.
10．若 E，F 是三棱柱 ABC-A1B1C1 侧棱 BB1和 CC1 上的点，且 B1E ＝CF，三棱柱的体积为 m，求四棱锥 A-BEFC 的体积．
解：如图所示，
连接 AB1，AC1.
因为 B1E ＝CF，
所以 梯形 BEFC 的面积等于梯形 B1EFC1 的面积．
又四棱锥 A-BEFC 的高与四棱锥 A-B1EFC1 的高相等，
所以 V A-BEFC＝VA-B1EFC1
＝VA-BB1C1C.
又 VA -A1B1C1＝S△A1B1C1·h，
VABC-A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝m，所以
VA-A1B1C1＝，
所以 VA-BB1C1C＝VABC-A1B1C1－VA-A1B1C1＝m.
所以 VA-BEFC＝×m＝，
即四棱锥 A-BEFC 的体积是.
[B 能力提升]
11．(2018·高考浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选 C．由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积 V＝×(1＋2)×2×2＝6.故选 C.
12．(2019·高考全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．
解析：依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则x＋x＋x＝1，解得x＝－1，故题中的半正多面体的棱长为－1.
答案：26 －1
13．用一张正方形的纸把一个棱长为 1 的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________．
解析：如图①为棱长为 1 的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展开成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为 2，其面积为 8.
答案：8
14．如图所示，已知三棱柱ABC-A′B′C′，侧面B′BCC′的面积是S，点A′到侧面B′BCC′的距离是a，求证：三棱柱ABC-A′B′C′的体积V＝Sa.
证明：法一：如图所示，连接A′B，A′C，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥．
显然三棱锥A′-ABC的体积是V，而四棱锥A′-BCC′B′的体积为Sa，故有V＋Sa＝V，
所以三棱柱ABC-A′B′C′的体积V＝Sa.
法二：如图所示，将三棱柱ABC-A′B′C′补成一个四棱柱ACBD-A′C′B′D′，其中AC∥BD，AD∥BC，即ACBD为一个平行四边形，显然三棱柱ABD-A′B′D′的体积与原三棱柱ABC-A′B′C′的体积相等．
因为四棱柱ACBD-A′C′B′D′以BCC′B′为底面，高为点A′到面BCC′B′的距离，所以补形后的四棱柱的体积为Sa，于是三棱柱ABC-A′B′C′的体积V＝Sa.
[C 拓展探究]
15．某养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪用)．已建的仓库的底面直径为12 m，高为4 m．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
(3)哪种方案更经济些？
解：(1)设两种方案所建的仓库的体积分别为V1，V2.
方案一：仓库的底面直径变成16 m，则其体积V1＝×π××4＝π(m3)；
方案二：仓库的高变成8 m，则其体积V2＝×π××8＝96π(m3)．
(2)设两种方案所建的仓库的表面积分别为S1，S2.
方案一：仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m，
此时圆锥的母线长为l1＝＝4(m)，
则仓库的表面积S1＝π×8×(8＋4)
＝(64＋32)π(m2)；
方案二：仓库的高变成8 m，此时圆锥的母线长为l2＝＝10(m)，
则仓库的表面积S2＝π×6×(6＋10)
＝96π(m2)．
(3)因为V2＞V1，S2＜S1，
所以方案二比方案一更加经济．
8．3 简单几何体的表面积与体积
第1课时 柱、锥、台的表面积和体积
考点
学习目标
核心素养
柱、锥、台的表面积
了解柱体、锥体、台体的侧面展开图，掌握柱体、柱、锥、台的体积
直观想象、数学运算
锥体、台体的表面积的求法
能利用柱体、锥体、台体的体积公式求体积，理解柱体、锥体、台体的体积之间的关系
直观想象、数学运算
问题导学
预习教材P114－P117的内容，思考以下问题：
1．棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算？
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么？
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是什么？
4．柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？
5．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式、体积公式之间分别有怎样的关系？
1．棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．
2．棱柱、棱锥、棱台的体积
(1)V棱柱＝Sh；(2)V棱锥＝Sh；V棱台＝h(S′＋＋S)，其中S′，S分别是棱台的上、下底面面积，h为棱台的高．
3．圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
名称
图形
公式
圆柱
底面积：S底＝πr2
侧面积：S侧＝2πrl
表面积：S＝2πrl＋2πr2
体积：V＝πr2l
圆锥
底面积：S底＝πr2
侧面积：S侧＝πrl
表面积：S＝πrl＋πr2
体积：V＝πr2h
圆台
上底面面积：S上底＝πr′2
下底面面积：S下底＝πr2
侧面积：S侧＝πl(r＋r′)
表面积：
S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
体积：
V＝πh(r′2＋r′r＋r2)
■名师点拨
1．柱体、锥体、台体的体积
(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.
(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.
(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝h.
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系
S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r′＋r)lS圆锥侧＝πrl.
3．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
V柱体＝ShV台体＝(S′＋＋S)hV锥体＝Sh.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)几何体的表面积就是其侧面面积与底面面积的和．( )
(2)几何体的侧面积是指各个侧面的面积之和．( )
(3)等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相同．( )
(4)在三棱锥P-ABC中，VP-ABC＝VA-PBC＝VB-PAC＝VC-PAB.( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√
棱长都是 1 的三棱锥的表面积为( )
A. B．2 C．3 D．4
解析：选 A．S表＝4S正△＝4×＝.
若长方体的长、宽、高分别为 3 cm，4 cm，5 cm，则长方体的体积为( )
A．27 cm3 B．60 cm3 C．64 cm3 D．125 cm3
解析：选 B．长方体即为四棱柱，其体积为底面积×高，即为 3×4×5＝60(cm3)．
圆台的上、下底面半径分别为 3 和 4，母线长为 6，则其表面积等于( )
A．72 B．42π C．67π D．72π
解析：选 C．S表＝π(32＋42＋3×6＋4×6)＝67π.
柱、锥、台的表面积
(1)若圆锥的正视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的( )
A.倍 B．3 倍
C．2 倍 D．5 倍
(2)已知正方体的 8 个顶点中，有 4 个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为( )
A．1∶ B．1∶
C．2∶ D．3∶
(3)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3 ，圆台的侧面积为 84π，则该圆台较小底面的半径为( )
A．7 B．6
C．5 D．3
【解析】 (1)设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，则由题意可知，l＝2r，于是 S侧＝πr·2r＝2πr2，S底＝πr2，可知选 C.
(2)棱锥 B′-ACD′为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的棱长为 1，则 B′C＝，S△B′AC＝.
三棱锥的表面积 S锥＝4×＝2，
又正方体的表面积 S正＝6.
因此 S锥∶S正＝2∶6＝1∶.
(3)设圆台较小底面的半径为 r，则另一底面的半径为 3r.由 S侧＝3π(r＋3r)＝84π，解得 r＝7.
【答案】 (1)C (2)B (3)A
空间几何体表面积的求法技巧
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和．
(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理．
(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
已知正四棱台(正四棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的部分)上底面边长为4，侧棱和下底面边长都是8，求它的侧面面积．
解：法一：设正四棱台为ABCD?A1B1C1D1，如图①.设B1F为斜高．
在Rt△B1FB中，BF＝×(8－4)＝2，B1B＝8，
所以B1F＝ ＝2，
所以S正棱台侧＝4××(4＋8)×2
＝48.
①
法二：设正四棱台为ABCD?A1B1C1D1，延长正四棱台的侧棱交于点P，作面PBC上的斜高PE，交B1C1于E1，如图②.
设PB1＝x，则＝，
解得x＝8.
所以PB1＝B1B＝8，
所以E1为PE的中点，
又PE1＝＝ ＝2， ②
所以PE＝2PE1＝4.
所以S正棱台侧＝S大正棱锥侧－S小正棱锥侧
＝4××8×PE－4××4×PE1
＝4××8×4－4××4×2
＝48.
柱、锥、台的体积
如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥．
(1)求剩余部分的体积；
(2)求三棱锥A-A1BD的体积及高．
【解】 (1)V三棱锥A1-ABD＝S△ABD·A1A
＝×·AB·AD·A1A＝a3.
故剩余部分的体积
V＝V正方体－V三棱锥A1-ABD＝a3－a3＝a3.
(2)V三棱锥A-A1BD＝V三棱锥A1-ABD＝a3.
设三棱锥A-A1BD的高为h，
则V三棱锥A-A1BD＝·S△A1BD·h
＝××(a)2h＝a2h，
故a2h＝a3，
解得h＝a.
求几何体体积的常用方法
(1)公式法：直接代入公式求解．
(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．
(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等．
(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．
[提醒] 求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面(尤其为圆柱、圆锥时)，准确求出几何体的高和底面积．
1．圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是 16π，则圆锥的体积是( )
A. B.
C．64π D．128π
解析：选 A．作圆锥的轴截面，如图所示．由题设，在 △PAB中，∠APB＝90°，PA＝PB.
设圆锥的高为 h，底面半径为 r，
则 h＝r，PB＝r.
由 S侧＝π·r·PB＝16π，
得πr2＝16π.所以 r＝4.则 h＝4.
故圆锥的体积 V圆锥＝πr2h＝π.
2．圆柱的侧面展开图是长 12 cm，宽 8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为( )
A. cm3 B. cm3
C. cm3或 cm3 D．192π cm3
解析：选 C．当圆柱的高为 8 cm时， V＝π××8＝(cm3)，当圆柱的高为 12 cm时，V＝π××12＝(cm3)．
3．(2019·高考全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.
解析：由题易得长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为6×6×4＝144(cm3)，四边形EFGH为平行四边形，如图所示，连接GE，HF，易知四边形EFGH的面积为矩形BCC1B1面积的一半，即×6×4＝12(cm2)，所以V四棱锥O-EFGH＝×3×12＝12(cm3)，所以该模型的体积为144－12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．
答案：118.8
组合体的表面积和体积
如图在底面半径为 2，母线长为 4 的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．
【解】 设圆锥的底面半径为 R，圆柱的底面半径为 r，表面积为 S.
则 R＝OC＝2，AC＝4，
AO＝＝2.
如图所示，
易知△AEB∽△AOC，
所以＝，即＝，所以 r＝1，
S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝2π.
所以 S＝S底＋S侧＝2π＋2π
＝(2＋2)π.
1．[变问法]本例中的条件不变，求圆柱的体积与圆锥的体积之比．
解：由例题解析可知：圆柱的底面半径为 r＝1，高 h＝，所以圆柱的体积 V1＝πr2h＝π×12×＝π.
圆锥的体积 V2＝π×22×2＝π.
所以圆柱与圆锥的体积比为 3∶8.
2．[变问法]本例中的条件不变，求图中圆台的表面积与体积．
解：由例题解析可知：圆台的上底面半径 r＝1，下底面半径 R＝2，高 h＝，母线 l＝2，所以圆台的表面积 S＝π(r2＋R2＋r·l＋Rl)＝π(12＋22＋1×2＋2×2)＝11π.
圆台的体积 V＝π(r2＋rR＋R2)h＝π(12＋2＋22)×＝π.
3．[变条件、变问法]本例中的“高为”改为“高为 h”，试求圆柱侧面积的最大值．
解：设圆锥的底面半径为 R，圆柱的底面半径为 r，
则 R＝OC＝2，AC＝4，
AO＝＝2.
如图所示易知△AEB∽△AOC，
所以＝，
即＝，
所以 h＝2－r，
S圆柱侧＝2πrh＝2πr(2－r)
＝－2πr2＋4πr，
所以当 r＝1，h＝时，圆柱的侧面积最大，其最大值为 2π.
求组合体的表面积与体积的步骤
(1)分析结构特征：弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量．
(2)设计计算方法：根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理，利用“切割”“补形”的方法求体积．
(3)计算求值：根据设计的计算方法求值．
1．如图，在多面体 ABCDEF 中，已知面 ABCD 是边长为 4 的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF 上任意一点到平面 ABCD 的距离均为 3，求该多面体的体积．
解：如图，连接 EB，EC.四棱锥 E-ABCD 的体积
V四棱锥 E-ABCD＝×42×3＝16.
因为AB＝2EF，EF∥AB，所以S△EAB＝2S△BEF.所以V三棱锥 F-EBC
＝V三棱锥 C-EFB＝V三棱锥 C-ABE
＝V三棱锥 E-ABC＝×V四棱锥 E-ABCD＝4.
所以多面体的体积 V＝V四棱锥 E-ABCD＋V三棱锥 F-EBC＝16＋4＝20.
2．如图，一个底面半径为 2 的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为 2 和 3，求该几何体的体积．
解：用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为 π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为 10π.
1．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为( )
A．22 B．20
C．10 D．11
解析：选A.所求长方体的表面积S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22.
2．正三棱锥的高为3，侧棱长为2，则这个正三棱锥的体积为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.由题意可得底面正三角形的边长为3，所以V＝××32×3＝.故选D.
3．已知圆台的上、下底面的面积之比为9∶25，那么它的中截面截得的上、下两台体的侧面积之比是________．
解析：圆台的上、下底面半径之比为3∶5，设上、下底面半径为3x，5x，则中截面半径为4x，设上台体的母线长为l，
则下台体的母线长也为l，上台体侧面积S1＝π(3x＋4x)l＝7πxl，下台体侧面积S2＝π(4x＋5x)l＝9πxl，所以S1∶S2＝7∶9.
答案：7∶9
4.如图，三棱台ABC?A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1?ABC，三棱锥B?A1B1C，三棱锥C?A1B1C1的体积之比．
解：设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S.
所以VA1?ABC＝S△ABC·h＝Sh，
VC?A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝Sh.
又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，
所以VB?A1B1C＝V台－VA1?ABC－VC?A1B1C1
＝Sh－－＝Sh，
所以体积比为1∶2∶4.
[A 基础达标]
1．若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( )
A．1∶2 B．1∶
C．1∶ D.∶2
解析：选C.设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，所以其母线长l＝r.所以S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr2，S底∶S侧＝1∶.
2.如图，ABC-A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C-AA′B′B的体积是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.因为VC-A′B′C′
＝VABC-A′B′C′＝，
所以VC-AA′B′B＝1－＝.
3．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A．12π B．12π
C．8π D．10π
解析：选B.设所截正方形的边长为 a，则 a2＝8，即 a＝2.所以圆柱的母线长为 2，底面圆半径 r＝，所以圆柱的表面积为 2π×2＋π()2×2＝8π＋4π＝12π.
4.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是面A1B1C1D1内任意一点，则四棱锥P-ABCD的体积为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，
点P是面A1B1C1D1内任意一点，
所以点P到平面ABCD的距离d＝AA1＝1，
S正方形ABCD＝1×1＝1，
所以四棱锥P-ABCD的体积为：
VP-ABCD＝×AA1×S正方形ABCD＝×1×1＝.
故选B.
5．(2019·临川检测)一个封闭的正三棱柱容器，高为 3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点 E，F，F1，E1 分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为( )
A. B.
C．2 D.
解析：选 D．因为 E，F，F1，E1 分别为所在棱的中点，所以棱柱 EFCB-E1F1C1B1 的体积 V＝S梯形EFCB×3＝S△ABC×3＝S△ABC.设甲中水面的高度为 h，则 S△ABC×h＝S△ABC，解得h＝，故选 D.
6．已知圆柱 OO′的母线 l＝4 cm，表面积为 42π cm2，则圆柱 OO′的底面半径 r＝______cm.
解析：圆柱 OO′的侧面积为 2πrl＝8πr(cm2)，两底面面积为 2×πr2＝2πr2(cm2)，
所以 2πr2＋8πr＝42π，
解得 r＝3 或 r＝－7(舍去)，
所以圆柱的底面半径为 3 cm.
答案：3
7．表面积为 3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆面，则该圆锥的底面直径为________．
解析：设圆锥的母线为 l，圆锥底面半径为 r，由题意可知，πrl＋πr2＝3π，且 πl＝2πr.解得 r＝1，即直径为 2.
答案：2
8．圆柱内有一个内接长方体 ABCD-A1B1C1D1，长方体的体对角线长是 10 cm，圆柱的侧面展开图为矩形，此矩形的面积是 100π cm 2，则圆柱的底面半径为______cm，高为______cm.
解析：设圆柱底面半径为 r cm，高为 h cm，如图所示，则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长，则：
所以
即圆柱的底面半径为 5 cm，高为 10 cm.
答案：5 10
9．如图，已知正三棱锥 S-ABC 的侧面积是底面积的 2 倍，正三棱锥的高 SO＝3，求此正三棱锥的表面积．
解：如图，设正三棱锥的底面边长为 a，斜高为 h′，过点 O 作 OE⊥AB，与 AB 交于点 E，连接 SE，则 SE⊥AB，
SE＝h′.
因为 S侧＝2S底，
所以 3×·a·h′＝a2×2.
所以 a＝h′.
因为 SO⊥OE，
所以 SO2＋OE2＝SE2.
所以 32＋＝h′2.
所以 h′＝2，所以 a＝h′＝6.
所以 S底＝a2＝×62＝9，
S侧＝2S底＝18.
所以 S表＝S侧＋S底＝18＋9＝27.
10．若 E，F 是三棱柱 ABC-A1B1C1 侧棱 BB1和 CC1 上的点，且 B1E ＝CF，三棱柱的体积为 m，求四棱锥 A-BEFC 的体积．
解：如图所示，
连接 AB1，AC1.
因为 B1E ＝CF，
所以 梯形 BEFC 的面积等于梯形 B1EFC1 的面积．
又四棱锥 A-BEFC 的高与四棱锥 A-B1EFC1 的高相等，
所以 V A-BEFC＝VA-B1EFC1
＝VA-BB1C1C.
又 VA -A1B1C1＝S△A1B1C1·h，
VABC-A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝m，所以
VA-A1B1C1＝，
所以 VA-BB1C1C＝VABC-A1B1C1－VA-A1B1C1＝m.
所以 VA-BEFC＝×m＝，
即四棱锥 A-BEFC 的体积是.
[B 能力提升]
11．(2018·高考浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选 C．由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积 V＝×(1＋2)×2×2＝6.故选 C.
12．(2019·高考全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．
解析：依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则x＋x＋x＝1，解得x＝－1，故题中的半正多面体的棱长为－1.
答案：26 －1
13．用一张正方形的纸把一个棱长为 1 的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________．
解析：如图①为棱长为 1 的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展开成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为 2，其面积为 8.
答案：8
14．如图所示，已知三棱柱ABC-A′B′C′，侧面B′BCC′的面积是S，点A′到侧面B′BCC′的距离是a，求证：三棱柱ABC-A′B′C′的体积V＝Sa.
证明：法一：如图所示，连接A′B，A′C，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥．
显然三棱锥A′-ABC的体积是V，而四棱锥A′-BCC′B′的体积为Sa，故有V＋Sa＝V，
所以三棱柱ABC-A′B′C′的体积V＝Sa.
法二：如图所示，将三棱柱ABC-A′B′C′补成一个四棱柱ACBD-A′C′B′D′，其中AC∥BD，AD∥BC，即ACBD为一个平行四边形，显然三棱柱ABD-A′B′D′的体积与原三棱柱ABC-A′B′C′的体积相等．
因为四棱柱ACBD-A′C′B′D′以BCC′B′为底面，高为点A′到面BCC′B′的距离，所以补形后的四棱柱的体积为Sa，于是三棱柱ABC-A′B′C′的体积V＝Sa.
[C 拓展探究]
15．某养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪用)．已建的仓库的底面直径为12 m，高为4 m．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
(3)哪种方案更经济些？
解：(1)设两种方案所建的仓库的体积分别为V1，V2.
方案一：仓库的底面直径变成16 m，则其体积V1＝×π××4＝π(m3)；
方案二：仓库的高变成8 m，则其体积V2＝×π××8＝96π(m3)．
(2)设两种方案所建的仓库的表面积分别为S1，S2.
方案一：仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m，
此时圆锥的母线长为l1＝＝4(m)，
则仓库的表面积S1＝π×8×(8＋4)
＝(64＋32)π(m2)；
方案二：仓库的高变成8 m，此时圆锥的母线长为l2＝＝10(m)，
则仓库的表面积S2＝π×6×(6＋10)
＝96π(m2)．
(3)因为V2＞V1，S2＜S1，
所以方案二比方案一更加经济．
课件46张PPT。第八章 立体几何初步第八章 立体几何初步围成多面体各个面围成它们的各个面Sh√√√√本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放[A 基础达标]
1．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( )
A．2∶3 B．4∶9
C.∶ D.∶
解析：选B.设两个球的半径分别为r，R，
则∶＝r3∶R3＝8∶27，
所以r∶R＝2∶3，所以S1∶S2＝r2∶R2＝4∶9.
2．已知球的表面积为16π，则它的内接正方体的表面积S的值是( )
A．4π B．32
C．24 D．12π
解析：选B.设球的内接正方体的棱长为a，由题意知球的半径为2，则3a2＝16，所以a2＝，正方体的表面积S＝6a2＝6×＝32.
3．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( )
A. B.
C．8π D.
解析：选D.设截面圆的半径为r，则πr2＝π，故r＝1，
由勾股定理求得球的半径为＝，
所以球的体积为π()3＝，故选D.
4．把一个铁制的底面半径为r，高为h的实心圆锥熔化后铸成一个铁球，则这个铁球的半径为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.设铁球的半径为 R，因为πr2h＝πR3，
所以R＝ .
5．已知A，B是球O的球面上两点，且球的半径为3，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．当三棱锥O-ABC的体积取得最大值时，则过A，B，C三点的截面的面积为 ( )
A．6π B．12π
C．18π D．36π
解析：选A.因为O为球心，∠AOB＝90°，
所以截面AOB为球大圆，
所以当动点C满足OC⊥平面OAB时，
三棱锥O-ABC的体积最大，
此时，OA＝OB＝OC＝R＝3，
则AB＝AC＝BC＝3，
所以截面ABC的圆心O′为△ABC的中心，
所以圆O′的半径r＝O′C＝3×＝，
所以截面ABC的面积为π×()2＝6π，故选A.
6．已知球面上的四点P、A、B、C，PA、PB、PC的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，则这个球的表面积为______．
解析：球面上的四点P、A、B、C，PA、PB、PC的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，是长方体的一个角，扩展为长方体，两者的外接球相同，长方体的对角线长为＝5，外接球的半径为.
外接球的表面积为4π＝50π.
答案：50π
7．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则＝________．
解析：由题意可得圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，则S1＝6π，S2＝4π.所以＝＝.
答案：
8.圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.
解析：设球的半径为x cm，由题意得πx2×8＝πx2×6x－πx3×3，解得x＝4.
答案：4
9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．
解：该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π，
该组合体的体积V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝.
10．若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积．
解：如图，在底面正六边形ABCDEF中，连接BE，AD交于O，连接BE1，则BE＝2OE＝2DE，所以BE＝，
在Rt△BEE1中，
BE1＝＝2，
所以2R＝2，
则R＝，
所以球的体积V球＝πR3＝4π，
球的表面积S球＝4πR2＝12π.
[B 能力提升]
11．若等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，则它们的表面积的大小关系是( )
A．S球＜S圆柱＜S正方体
B．S正方体＜S球＜S圆柱
C．S圆柱＜S球＜S正方体
D．S球＜S正方体＜S圆柱
解析：选A.设等边圆柱底面圆半径为r，球半径为R，正方体棱长为a，则πr2·2r＝πR3＝a3，＝，＝2π，
S圆柱＝6πr2，S球＝4πR2，S正方体＝6a2，
＝＝·＝ ＜1，
＝＝·＝ ＞1.故选A.
12．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为π，那么这个正三棱柱的体积是( )
A．96 B．16
C．24 D．48
解析：选D.由题意可知正三棱柱的高等于球的直径，从棱柱中间平行棱柱底面截得球的大圆内切于正三角形，正三角形与棱柱底的三角形全等，设三角形边长为a，球半径为r，由V球＝πr3＝π，得r＝2.由S柱底＝a×r×3＝a2，得a＝2r＝4，所以V柱＝S柱底·2r＝48.
13．如图，ABCD 是正方形，是以 A 为圆心、AB 为半径的弧，将正方形 ABCD 以 AB 为轴旋转一周，则图中 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 三部分旋转所得旋转体的体积之比为________．
解析：Ⅰ生成圆锥，Ⅱ生成的是半球去掉圆锥Ⅰ，Ⅲ生成的是圆柱去掉扇形 ABD 生成的半球．
设正方形的边长为 a，则Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 三部分旋转所得旋转体的体积分别为 VⅠ、VⅡ、VⅢ，则 VⅠ＝πa3，VⅡ＝πa3÷2－πa3＝πa3，VⅢ＝πa3－πa3÷2＝πa3.
所以三部分所得旋转体的体积之比为 1∶1∶1.
答案： 1∶1∶1
14．将一个底面圆的直径为2、高为1的圆柱截成横截面为长方形的棱柱(如图)，设这个长方形截面的一条边长为x，对角线长为2，截面的面积为A.
(1)求面积A以x为自变量的函数关系式；
(2)求出截得棱柱的体积的最大值．
解：(1)横截面如图长方形所示，
由题意得A＝x·(0(2)V＝1·x＝，
由上述知0即截得棱柱的体积的最大值为2.
[C 拓展探究]
15．如图是某几何体的三视图．
(1)求该几何体外接球的体积；
(2)求该几何体内切球的半径．
解：(1)由三视图可知，该几何体是三条侧棱两两垂直的三棱锥，如图，
以DC，DB，DA为长、宽、高构造一个长方体，则该长方体的外接球就是该三棱锥的外接球，即外接球的半径R＝＝，
所以该几何体外接球的体积V＝πR3＝π.
(2)设内切球的球心为O，半径为r，
则VA-BCD＝VO-ADB＋VO-ADC＋VO-DCB＋VO-ABC.
即××2×2×1
＝××2×2r＋××2×r＋××2×r＋××2×r，
得r＝＝.
所以该几何体内切球的半径为.
第2课时 球的体积和表面积
考点
学习目标
核心素养
球的表面积与体积
记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积
数学运算
与球有关的组合体
能解决与球有关的组合体的计算问题
数学运算、直观想象
问题导学
预习教材 P117－P119 的内容，思考以下问题：
1．球的表面积公式是什么？
2．球的体积公式什么？
1．球的表面积
设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2．
2．球的体积
设球的半径为R，则球的体积V＝πR3．
■名师点拨
对球的体积和表面积的几点认识
(1)从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R都有唯一确定的S和V与之对应，故表面积和体积是关于R的函数．
(2)由于球的表面不能展开成平面，所以，球的表面积公式的推导与前面所学的多面体与旋转体的表面积公式的推导方法是不一样的．
(3)球的表面积恰好是球的大圆(过球心的平面截球面所得的圆)面积的4倍．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)决定球的大小的因素是球的半径．( )
(2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．( )
(3)球的体积V与球的表面积S的关系为V＝S.( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√
半径为 3 的球的体积是( )
A．9π B．81π
C．27π D．36π
解析：选 D. V＝π×33＝36π.
若一个球的直径为 2，则此球的表面积为( )
A．2π B．16π
C．8π D．4π
解析：选 D．因为球的直径为 2，所以球的半径为 1，所以球的表面积 S＝4πR2＝4π.
把球的表面积扩大到原来的 2 倍，那么体积扩大到原来的( )
A．2 倍 B．2倍
C.倍 D.倍
解析：选 B．设原球的半径为 R，表面积扩大 2 倍，则半径扩大倍，体积扩大 2倍．
如果三个球的半径之比是 1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的________倍．
解析：设小球半径为 1，则大球的表面积
S大＝36π，S小＋S中＝20π，＝.
答案：
球的表面积与体积
(1)已知球的体积是，则此球的表面积是( )
A．12π B．16π
C. D.
(2)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是，则它的表面积是( )
A．17π B．18π
C．20π D．28π
【解析】 (1)设球的半径为R，则由已知得
V＝πR3＝，解得R＝2.
所以球的表面积S＝4πR2＝16π.
(2)由三视图可得此几何体为一个球切割掉后剩下的几何体，
设球的半径为r，
故×πr3＝π，
所以r＝2，表面积S＝×4πr2＋πr2＝17π，选A.
【答案】 (1)B (2)A
球的体积与表面积的求法及注意事项
(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解．
(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．
1．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为________．
解析：设此球的半径为 R，则 4πR2＝πR3，R＝3.
答案：3
2．两个球的半径相差 1，表面积之差为 28π，则它们的体积和为________．
解析：设大、小两球半径分别为 R，r，
则所以
所以体积和为 πR3＋πr3＝.
答案：
球的截面问题
如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为( )
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
【解析】 如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，
BM＝AB＝×8＝4(cm)．
设球的半径为R cm，则
R2＝OM2＋MB2
＝(R－2)2＋42，
所以R＝5，
所以V球＝π×53＝π (cm3)．
【答案】 A
球的截面问题的解题技巧
(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．
(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.
平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为( )
A.π B．4π
C．4π D．6π
解析：选B.如图，设截面圆的圆心为O′，
M为截面圆上任一点，
则OO′＝，O′M＝1.
所以OM＝＝.
即球的半径为.
所以V＝π()3＝4π.
与球有关的切、接问题
角度一 球的外切正方体问题
将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )
A. B.
C. D.
【解析】 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，故半径为 1，其体积是×π×13＝.
【答案】 A
角度二 球的内接长方体问题
一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1，2，3，则此球的表面积为________．
【解析】 长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即 2R＝＝，
所以球的表面积 S＝4πR2＝14π.
【答案】 14π
角度三 球的内接正四面体问题
若棱长为 a 的正四面体的各个顶点都在半径为 R 的球面上，求球的表面积．
【解】 把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为 x，则 a＝x，由题意 2R＝x＝×＝a，
所以 S球＝4πR2＝πa2.
角度四 球的内接圆锥问题
球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．
【解析】 ①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球半径为 r，则球心到该圆锥底面的距离是，于是圆锥的底面半径为 ＝，
高为.
该圆锥的体积为 ×π××＝πr3，球体积为πr3，所以该圆锥的体积和此球体积的比值为＝.
②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为.
【答案】 或
角度五 球的内接直棱柱问题
设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．πa2 B.πa2
C.πa2 D．5πa2
【解析】 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为 a．如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知 AP＝×a＝a，OP＝a，所以球的半径 R＝ OA 满足R2＝＋＝a2，故 S球＝4πR2＝πa2.
【答案】 B
(1)正方体的内切球
球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为 r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．
(2)长方体的外接球
长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为 a，b，c，过球心作长方体的对角线，则球的半径为 r2＝ ，如图(2)．
(3)正四面体的外接球
正四面体的棱长 a 与外接球半径 R 的关系为：2R＝a.
一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥里又有一个内切球．求：
(1)圆锥的侧面积；
(2)圆锥里内切球的体积．
解：(1)如图所示，作出轴截面，则等腰△SAB内接于⊙O，而⊙O1内切于△SAB.
设⊙O的半径为R，
则有πR3＝972π，
所以R3＝729，R＝9.
所以SE＝2R＝18.
因为SD＝16，所以ED＝2.
连接AE，又因为SE是直径，
所以SA⊥AE，SA2＝SD·SE＝16×18＝288，
所以SA＝12.
因为AB⊥SD，
所以AD2＝SD·DE＝16×2＝32，
所以AD＝4.
所以S圆锥侧＝π×4×12＝96π.
(2)设内切球O1的半径为r，
因为△SAB的周长为2×(12＋4)＝32，
所以r×32＝×8×16.所以r＝4.
所以内切球O1的体积V球＝πr3＝π.
1．直径为 6 的球的表面积和体积分别是( )
A．36π，144π B．36π，36π
C．144π，36π D．144π，144π
解析：选 B．球的半径为 3，表面积 S＝4π·32＝36π，体积 V＝π·33＝36π.
2．一个正方体的表面积与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是( )
A. B.
C. D.
解析：选 A．设正方体棱长为 a，球半径为 R，由 6a2＝4πR2 得＝，所以＝＝＝.
3．若两球的体积之和是 12π，经过两球球心的截面圆周长之和为 6π，则两球的半径之差为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选 A．设两球的半径分别为 R，r(R>r)，则由题意得解得故 R－r＝1.
4．已知棱长为 2 的正方体的体积与球 O 的体积相等，则球 O 的半径为________．
解析：设球 O 的半径为 r，则πr3＝23，
解得 r＝.
答案：
5．已知过球面上 A，B，C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且 AB＝BC＝CA＝2，求球的表面积．
解：设截面圆心为O′，球心为 O，连接 O′A，OA，OO′，
设球的半径为 R.
因为O′A＝××2＝.
在 Rt△O′OA 中，OA2＝O′A2＋O′O2，
所以 R2＝＋R2，
所以 R＝，
所以 S球＝4πR2＝π.
[A 基础达标]
1．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( )
A．2∶3 B．4∶9
C.∶ D.∶
解析：选B.设两个球的半径分别为r，R，
则∶＝r3∶R3＝8∶27，
所以r∶R＝2∶3，所以S1∶S2＝r2∶R2＝4∶9.
2．已知球的表面积为16π，则它的内接正方体的表面积S的值是( )
A．4π B．32
C．24 D．12π
解析：选B.设球的内接正方体的棱长为a，由题意知球的半径为2，则3a2＝16，所以a2＝，正方体的表面积S＝6a2＝6×＝32.
3．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( )
A. B.
C．8π D.
解析：选D.设截面圆的半径为r，则πr2＝π，故r＝1，
由勾股定理求得球的半径为＝，
所以球的体积为π()3＝，故选D.
4．把一个铁制的底面半径为r，高为h的实心圆锥熔化后铸成一个铁球，则这个铁球的半径为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.设铁球的半径为 R，因为πr2h＝πR3，
所以R＝ .
5．已知A，B是球O的球面上两点，且球的半径为3，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．当三棱锥O-ABC的体积取得最大值时，则过A，B，C三点的截面的面积为 ( )
A．6π B．12π
C．18π D．36π
解析：选A.因为O为球心，∠AOB＝90°，
所以截面AOB为球大圆，
所以当动点C满足OC⊥平面OAB时，
三棱锥O-ABC的体积最大，
此时，OA＝OB＝OC＝R＝3，
则AB＝AC＝BC＝3，
所以截面ABC的圆心O′为△ABC的中心，
所以圆O′的半径r＝O′C＝3×＝，
所以截面ABC的面积为π×()2＝6π，故选A.
6．已知球面上的四点P、A、B、C，PA、PB、PC的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，则这个球的表面积为______．
解析：球面上的四点P、A、B、C，PA、PB、PC的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，是长方体的一个角，扩展为长方体，两者的外接球相同，长方体的对角线长为＝5，外接球的半径为.
外接球的表面积为4π＝50π.
答案：50π
7．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则＝________．
解析：由题意可得圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，则S1＝6π，S2＝4π.所以＝＝.
答案：
8.圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.
解析：设球的半径为x cm，由题意得πx2×8＝πx2×6x－πx3×3，解得x＝4.
答案：4
9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．
解：该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π，
该组合体的体积V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝.
10．若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积．
解：如图，在底面正六边形ABCDEF中，连接BE，AD交于O，连接BE1，则BE＝2OE＝2DE，所以BE＝，
在Rt△BEE1中，
BE1＝＝2，
所以2R＝2，
则R＝，
所以球的体积V球＝πR3＝4π，
球的表面积S球＝4πR2＝12π.
[B 能力提升]
11．若等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，则它们的表面积的大小关系是( )
A．S球＜S圆柱＜S正方体
B．S正方体＜S球＜S圆柱
C．S圆柱＜S球＜S正方体
D．S球＜S正方体＜S圆柱
解析：选A.设等边圆柱底面圆半径为r，球半径为R，正方体棱长为a，则πr2·2r＝πR3＝a3，＝，＝2π，
S圆柱＝6πr2，S球＝4πR2，S正方体＝6a2，
＝＝·＝ ＜1，
＝＝·＝ ＞1.故选A.
12．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为π，那么这个正三棱柱的体积是( )
A．96 B．16
C．24 D．48
解析：选D.由题意可知正三棱柱的高等于球的直径，从棱柱中间平行棱柱底面截得球的大圆内切于正三角形，正三角形与棱柱底的三角形全等，设三角形边长为a，球半径为r，由V球＝πr3＝π，得r＝2.由S柱底＝a×r×3＝a2，得a＝2r＝4，所以V柱＝S柱底·2r＝48.
13．如图，ABCD 是正方形，是以 A 为圆心、AB 为半径的弧，将正方形 ABCD 以 AB 为轴旋转一周，则图中 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 三部分旋转所得旋转体的体积之比为________．
解析：Ⅰ生成圆锥，Ⅱ生成的是半球去掉圆锥Ⅰ，Ⅲ生成的是圆柱去掉扇形 ABD 生成的半球．
设正方形的边长为 a，则Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 三部分旋转所得旋转体的体积分别为 VⅠ、VⅡ、VⅢ，则 VⅠ＝πa3，VⅡ＝πa3÷2－πa3＝πa3，VⅢ＝πa3－πa3÷2＝πa3.
所以三部分所得旋转体的体积之比为 1∶1∶1.
答案： 1∶1∶1
14．将一个底面圆的直径为2、高为1的圆柱截成横截面为长方形的棱柱(如图)，设这个长方形截面的一条边长为x，对角线长为2，截面的面积为A.
(1)求面积A以x为自变量的函数关系式；
(2)求出截得棱柱的体积的最大值．
解：(1)横截面如图长方形所示，
由题意得A＝x·(0(2)V＝1·x＝，
由上述知0即截得棱柱的体积的最大值为2.
[C 拓展探究]
15．如图是某几何体的三视图．
(1)求该几何体外接球的体积；
(2)求该几何体内切球的半径．
解：(1)由三视图可知，该几何体是三条侧棱两两垂直的三棱锥，如图，
以DC，DB，DA为长、宽、高构造一个长方体，则该长方体的外接球就是该三棱锥的外接球，即外接球的半径R＝＝，
所以该几何体外接球的体积V＝πR3＝π.
(2)设内切球的球心为O，半径为r，
则VA-BCD＝VO-ADB＋VO-ADC＋VO-DCB＋VO-ABC.
即××2×2×1
＝××2×2r＋××2×r＋××2×r＋××2×r，
得r＝＝.
所以该几何体内切球的半径为.
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