[A 基础达标]
1．下列说法正确的是( )
A．棱柱的底面一定是平行四边形
B．棱锥的底面一定是三角形
C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
D．棱柱被平面分成的两部分可能都是棱柱
解析：选D.棱柱和棱锥的底面可以是任意多边形，故选项A、B均不正确；可沿棱锥的侧棱将其分割成两个棱锥，故C错误；用平行于棱柱底面的平面可将棱柱分割成两个棱柱．
2．具备下列条件的多面体是棱台的是( )
A．两底面是相似多边形的多面体
B．侧面是梯形的多面体
C．两底面平行的多面体
D．两底面平行，侧棱延长后交于一点的多面体
解析：选D.由棱台的定义可知，棱台的两底面平行，侧棱延长后交于一点．
3．如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是( )
A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4
B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3
C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4
D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1
解析：选C.根据棱台是由棱锥截成的进行判断．
选项A中≠，故A不正确；选项B中≠，故B不正确；选项C中＝＝，故C正确；选项D中满足这个条件的可能是一个三棱柱，不是三棱台．故选C.
4．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是( )
A．三棱锥 B．四棱锥
C．五棱锥 D．六棱锥
解析：选D.由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥．
5．下列图形中，不能折成三棱柱的是( )
解析：选C.C中，两个底面均在上面，因此不能折成三棱柱，其余均能折成三棱柱．
6．四棱柱有________条侧棱，________个顶点．
解析：四棱柱有4条侧棱，8个顶点(可以结合正方体观察求得)．
答案：4 8
7．一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．
解析：面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．
答案：5 6 9
8．在下面的四个平面图形中，是侧棱都相等的四面体的展开图的为__________．(填序号)
解析：由于③④中的图组不成四面体，只有①②可以．
答案：①②
9．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：
(1)由6个平行四边形围成的几何体；
(2)由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；
(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．
解：(1)这是一个上、下底面是平行四边形，4个侧面也是平行四边形的四棱柱．
(2)这是一个六棱锥．
(3)这是一个三棱台．
10．画出如图所示的几何体的表面展开图．
解：表面展开图如图所示：(答案不唯一)
[B 能力提升]
11．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱共有对角线( )
A．20条 B．15条
C．12条 D．10条
解析：选D.如图，在五棱柱ABCDE?A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共有2×5＝10(条)．
12．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面( )
A．至多有一个是直角三角形
B．至多有两个是直角三角形
C．可能都是直角三角形
D．必然都是非直角三角形
解析：选C.注意到答案特征是研究侧面最多有几个直角三角形，这是一道开放性试题，需要研究在什么情况下侧面的直角三角形最多．在如图所示的长方体中，三棱锥A-A1C1D1的三个侧面都是直角三角形．
13．长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别为3，2，1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为________．
解析：结合长方体的三种展开图不难求得AC1的长分别是：3，2，，显然最小值是3.
答案：3
14．如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面BCEF把这个长方体分成两部分，各部分几何体的形状是什么？
解：(1)是棱柱．是四棱柱．因为长方体中相对的两个面是平行的，其余的每个面都是矩形(四边形)，且每相邻的两个矩形的公共边都平行，符合棱柱的结构特征，所以是棱柱．
(2)各部分几何体都是棱柱，分别为棱柱BB1F-CC1E和棱柱ABFA1-DCED1.
[C 拓展探究]
15．如图，在一个长方体的容器中装有少量水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中：
(1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？
(2)水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？
(3)如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，试着讨论水面和水的形状．
解：(1)不对，水面的形状就是用一个与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状，因而是矩形，不可能是其他非矩形的平行四边形．
(2)不对，水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后，剩余部分的几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱；但不可能是棱台或棱锥．
(3)用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形，因而水面的形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形；水的形状可以是棱锥，棱柱，但不可能是棱台．
8．1 基本立体图形
第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
考点
学习目标
核心素养
棱柱的结构特征
理解棱柱的定义，知道棱柱的结构特征，并能识别
直观想象
棱锥、棱台的结构特征
理解棱锥、棱台的定义，知道棱锥、棱台的结构特征，并能识别
直观想象
应用几何体的平面展开图
能将棱柱、棱锥、棱台的表面展开成平面图形
直观想象
问题导学
预习教材P97－P100的内容，思考以下问题：
1．空间几何体的定义是什么？
2．空间几何体分为哪几类？
3．常见的多面体有哪些？
4．棱柱、棱锥、棱台有哪些结构特征？
1．空间几何体的定义及分类
(1)定义：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．
(2)分类：常见的空间几何体有多面体与旋转体两类．
2．空间几何体
类别
定义
图示
多面体
由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点
旋转体
一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的这条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴
3.棱柱、棱锥、棱台的结构特征
结构特征及分类
图形及记法
棱柱
结构特征
(1)有两个面(底面)互相平行
(2)其余各面都是四边形
(3)相邻两个四边形的公共边都互相平行
记作棱柱
ABCDEF-A′B′C′D′E′F′
分类
按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱…
续 表
结构特征及分类
图形及记法
棱锥
结构特征
(1)有一个面(底面)是多边形
(2)其余各面(侧面)都是有一个公共顶点的三角形
记作
棱锥S-ABCD
分类
按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥……
棱台
结构特征
(1)上下底面互相平行，且是相似图形
(2)各侧棱延长线相交于一点
(或用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫做棱台)
记作
棱台ABCD-A′B′C′D′
分类
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别为三棱台、四棱台、五棱台……
■名师点拨
(1)棱柱、棱锥、棱台的关系
在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例)．
(2)各种棱柱之间的关系
①棱柱的分类
棱柱
②常见的几种四棱柱之间的转化关系
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)棱柱的侧面都是平行四边形．( )
(2)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台． ( )
(3)将棱台的各侧棱延长可交于一点．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√
下面多面体中，是棱柱的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选D.根据棱柱的定义进行判定知，这4个都满足. 下面四个几何体中，是棱台的是( )
解析：选C.A项中的几何体是棱柱．B项中的几何体是棱锥；D项中的几何体的棱AA′，BB′，CC′，DD′没有交于一点，则D项中的几何体不是棱台；很明显C项中的几何体是棱台．
在三棱锥A-BCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D.每个面都可作为底面，有4个．
下列说法正确的有________．(填序号)
①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；
②棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；
③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．
解析：棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故①对．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故②错，③对．因而正确的有①③.
答案：①③
棱柱的结构特征
下列关于棱柱的说法：
①所有的面都是平行四边形；
②每一个面都不会是三角形；
③两底面平行，并且各侧棱也平行；
④被平面截成的两部分可以都是棱柱．
其中正确说法的序号是__________．
【解析】 ①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；
②错误，棱柱的底面可以是三角形；
③正确，由棱柱的定义易知；
④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以正确说法的序号是③④.
【答案】 ③④
棱柱结构特征的辨析技巧
(1)扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义．
①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．
(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除．
1．下列命题中正确的是( )
A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面
C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形
D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
解析：选D.由棱柱的定义可知，选D.
2．如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1，其中E，F，G，H是三棱柱对应边上的中点，过此四点作截面EFGH，把三棱柱分成两部分，各部分形成的几何体是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．
解：截面以上的几何体是三棱柱AEF-A1HG，截面以下的几何体是四棱柱BEFC-B1HGC1.
棱锥、棱台的结构特征
下列关于棱锥、棱台的说法：
①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；
②棱台的侧面一定不会是平行四边形；
③棱锥的侧面只能是三角形；
④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
其中正确说法的序号是________．
【解析】 ①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台．
②正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形．
③正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形．
④正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥．
⑤错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．
所以正确说法的序号为②③④.
【答案】 ②③④
判断棱锥、棱台形状的两种方法
(1)举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．
(2)直接法
棱锥
棱台
定底面
只有一个面是多边形，此面即为底面
两个互相平行的面，即为底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
1．棱台不具有的性质是( )
A．两底面相似 B．侧面都是梯形
C．侧棱长都相等 D．侧棱延长后相交于一点
解析：选C.由棱台的概念(棱台的产生过程)可知A，B，D都是棱台具有的性质，而侧棱长不一定相等．
2．下列说法中，正确的是( )
①棱锥的各个侧面都是三角形；
②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥；
③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；
④棱锥的各侧棱长相等．
A．①② B．①③
C．②③ D．②④
解析：选B.由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故②错；四面体就是由四个三角形所围成的封闭几何体，因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故④错．
空间几何体的平面展开图
(1)水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是( )
A．1 B．9
C．快 D．乐
(2)如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？
【解】 (1)选B.由题意，将正方体的展开图还原成正方体，“1”与“乐”相对，“2”与“9”相对，“0”与“快”相对，所以下面是“9”．
(2)题图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱的特点；题图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥的特点；题图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点，把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：
所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．
多面体展开图问题的解题策略
(1)绘制展开图：绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图．
(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推，同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图．
1.某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为( )
解析：选A.其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪条棱剪开，剪开的相邻面在展开图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻．相同的图案是盒子上相对的面，展开后不能相邻．
2．根据如图所示的几何体的表面展开图，画出立体图形．
解：如图是以四边形ABCD为底面，P为顶点的四棱锥．其图形如图所示．
1．下面的几何体中是棱柱的有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
解析：选C.棱柱有三个特征：(1)有两个面相互平行．(2)其余各面是四边形．(3)侧棱相互平行．本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合，故选C.
2．下面图形中，为棱锥的是( )
A．①③ B．③④ C．①②④ D．①②
解析：选C.根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．故选C.
3．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为( )
A．四棱柱 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱锥
解析：选D.根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥．
4．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为__________cm.
解析：因为棱柱有10个顶点，所以棱柱为五棱柱，共有五条侧棱，所以侧棱长为＝12(cm)．
答案：12
5．画一个三棱台，再把它分成：
(1)一个三棱柱和另一个多面体．
(2)三个三棱锥，并用字母表示．
解：画三棱台一定要利用三棱锥．
(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′-AB″C″，另一个多面体是B′C′C″B″BC.
(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′-ABC，B′-A′BC，C′-A′B′C.
[A 基础达标]
1．下列说法正确的是( )
A．棱柱的底面一定是平行四边形
B．棱锥的底面一定是三角形
C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
D．棱柱被平面分成的两部分可能都是棱柱
解析：选D.棱柱和棱锥的底面可以是任意多边形，故选项A、B均不正确；可沿棱锥的侧棱将其分割成两个棱锥，故C错误；用平行于棱柱底面的平面可将棱柱分割成两个棱柱．
2．具备下列条件的多面体是棱台的是( )
A．两底面是相似多边形的多面体
B．侧面是梯形的多面体
C．两底面平行的多面体
D．两底面平行，侧棱延长后交于一点的多面体
解析：选D.由棱台的定义可知，棱台的两底面平行，侧棱延长后交于一点．
3．如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是( )
A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4
B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3
C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4
D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1
解析：选C.根据棱台是由棱锥截成的进行判断．
选项A中≠，故A不正确；选项B中≠，故B不正确；选项C中＝＝，故C正确；选项D中满足这个条件的可能是一个三棱柱，不是三棱台．故选C.
4．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是( )
A．三棱锥 B．四棱锥
C．五棱锥 D．六棱锥
解析：选D.由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥．
5．下列图形中，不能折成三棱柱的是( )
解析：选C.C中，两个底面均在上面，因此不能折成三棱柱，其余均能折成三棱柱．
6．四棱柱有________条侧棱，________个顶点．
解析：四棱柱有4条侧棱，8个顶点(可以结合正方体观察求得)．
答案：4 8
7．一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．
解析：面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．
答案：5 6 9
8．在下面的四个平面图形中，是侧棱都相等的四面体的展开图的为__________．(填序号)
解析：由于③④中的图组不成四面体，只有①②可以．
答案：①②
9．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：
(1)由6个平行四边形围成的几何体；
(2)由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；
(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．
解：(1)这是一个上、下底面是平行四边形，4个侧面也是平行四边形的四棱柱．
(2)这是一个六棱锥．
(3)这是一个三棱台．
10．画出如图所示的几何体的表面展开图．
解：表面展开图如图所示：(答案不唯一)
[B 能力提升]
11．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱共有对角线( )
A．20条 B．15条
C．12条 D．10条
解析：选D.如图，在五棱柱ABCDE?A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共有2×5＝10(条)．
12．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面( )
A．至多有一个是直角三角形
B．至多有两个是直角三角形
C．可能都是直角三角形
D．必然都是非直角三角形
解析：选C.注意到答案特征是研究侧面最多有几个直角三角形，这是一道开放性试题，需要研究在什么情况下侧面的直角三角形最多．在如图所示的长方体中，三棱锥A-A1C1D1的三个侧面都是直角三角形．
13．长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别为3，2，1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为________．
解析：结合长方体的三种展开图不难求得AC1的长分别是：3，2，，显然最小值是3.
答案：3
14．如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面BCEF把这个长方体分成两部分，各部分几何体的形状是什么？
解：(1)是棱柱．是四棱柱．因为长方体中相对的两个面是平行的，其余的每个面都是矩形(四边形)，且每相邻的两个矩形的公共边都平行，符合棱柱的结构特征，所以是棱柱．
(2)各部分几何体都是棱柱，分别为棱柱BB1F-CC1E和棱柱ABFA1-DCED1.
[C 拓展探究]
15．如图，在一个长方体的容器中装有少量水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中：
(1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？
(2)水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？
(3)如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，试着讨论水面和水的形状．
解：(1)不对，水面的形状就是用一个与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状，因而是矩形，不可能是其他非矩形的平行四边形．
(2)不对，水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后，剩余部分的几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱；但不可能是棱台或棱锥．
(3)用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形，因而水面的形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形；水的形状可以是棱锥，棱柱，但不可能是棱台．
课件44张PPT。第八章 立体几何初步第八章 立体几何初步形状大小空间图形平面多边形多边形公共边棱与棱这条定直线曲面封闭这条定直线平行四边形平行多边形公共顶点√×√本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征
考点
学习目标
核心素养
圆柱、圆锥、圆台、球的概念
理解圆柱、圆锥、圆台、球的定义，知道这四种
几何体的结构特征，能够识别和区分这些几何体
直观想象
简单组合体的结构特征
了解简单组合体的概念和基本形式
直观想象
旋转体中的计算问题
会根据旋转体的几何体特征进行相关运算
直观想象、数学运算
问题导学
预习教材P101－P104的内容，思考以下问题：
1．常见的旋转体有哪些？是怎样形成的？
2．这些旋转体有哪些结构特征？它们之间有什么关系？
3．这些旋转体的侧面展开图和轴截面分别是什么图形？
1．圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征
(1)圆柱的结构特征
定义
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体
图示及相关概念
轴：旋转轴叫做圆柱的轴
底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面
侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面
母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边
柱体：圆柱和棱柱统称为柱体
■名师点拨
(1)圆柱有无数条母线，它们平行且相等．
(2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆，如图1所示．
(3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形，如图2所示．
(4)过任意两条母线的截面是矩形，如图3所示．
(2)圆锥的结构特征
定义
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体
图示及相关概念
轴：旋转轴叫做圆锥的轴
底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面
侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
锥体：圆锥和棱锥统称为锥体
■名师点拨
(1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等．
(2)平行于底面的截面都是圆，如图1所示．
(3)过轴的截面是全等的等腰三角形，如图2所示．
(4)过任意两条母线的截面是等腰三角形，如图3所示．
(3)圆台的结构特征
定义
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分
图示及相关概念
轴：圆锥的轴
底面：圆锥的底面和截面
侧面：圆锥的侧面在底面和截面之间的部分
母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分
台体：圆台和棱台统称为台体
■名师点拨
(1)圆台有无数条母线，且长度相等，延长后相交于一点．
(2)平行于底面的截面是圆，如图1所示．
(3)过轴的截面是全等的等腰梯形，如图2所示．
(4)过任意两条母线的截面是等腰梯形，如图3所示．
(4)球的结构特征
定义
以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球
图示及相关概念
球心：半圆的圆心
半径：半圆的半径
直径：半圆的直径
■名师点拨
(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面．
(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r有如下关系：r＝.
2．简单组合体
(1)概念
由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．
(2)两种构成形式
①由简单几何体拼接而成；
②由简单几何体截去或挖去一部分而成．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥．( )
(2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱．( )
(3)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．( )
(4)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
下列几何体中不是旋转体的是( )
解析：选D.由旋转体的概念可知，选项D不是旋转体．
过圆锥的轴作截面，则截面形状一定是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
答案：B
可以旋转得到如图的图形的是( )
解析：选A.题图所示几何体上面是圆锥，下面是圆台，故平面图形应是由一个直角三角形和一个直角梯形构成．
指出图中的几何体是由哪些简单几何体构成的．
解：①是由一个圆锥和一个圆柱组合而成的；②是由一个圆柱和两个圆台组合而成的；③是由一个三棱柱和一个四棱柱组合而成的．
圆柱、圆锥、圆台、球的概念
(1)给出下列说法：
①圆柱的底面是圆面；
②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；
③圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；
④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．
其中说法正确的是________．
(2)给出以下说法：
①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；
②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长；
③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形；
④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面形状是矩形．
其中正确说法的序号是________．
【解析】 (1)①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③不正确，圆台的母线延长相交于一点；④不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．
(2)根据球的定义知，①正确；②不正确，因为球的直径必过球心；③不正确，因为球的任何截面都是圆面；④正确．
【答案】 (1)①② (2)①④
(1)判断简单旋转体结构特征的方法
①明确由哪个平面图形旋转而成；
②明确旋转轴是哪条直线．
(2)简单旋转体的轴截面及其应用
①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量；
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．
判断下列各命题是否正确．
(1)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；
(2)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；
(3)到定点的距离等于定长的点的集合是球．
解：(1)错误．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．
(2)正确．
(3)错误．应为球面．
简单组合体的结构特征
如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的( )
【解析】 该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成，故应选A.
【答案】 A
[变条件、变问法]若将本例选项B中的平面图形旋转一周，试说出它形成的几何体的结构特征．
解：①是直角三角形，旋转后形成圆锥；②是直角梯形，旋转后形成圆台；③是矩形，旋转后形成圆柱，所以旋转后形成的几何体如图所示．通过观察可知，该几何体是由一个圆锥、一个圆台和一个圆柱自上而下拼接而成的．
不规则平面图形旋转形成几何体的
结构特征的分析策略
(1)分割：首先要对原平面图形适当分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圆(半圆或四分之一圆)等基本图形．
(2)定形：然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析．
已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的腰，如图所示．分别以AB，BC，CD，DA所在的直线为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．
解：(1)以AB边所在的直线为轴旋转所得旋转体是圆台，如图①所示．
(2)以BC边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一个组合体：下部为圆柱，上部为圆锥，如图②所示．
(3)以CD边所在的直线为轴旋转所得旋转体为一个组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥，如图③所示．
(4)以AD边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一个组合体：一个圆柱上部挖去一个圆锥，如图④所示．
旋转体中的计算问题
如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长．
【解】 设圆台的母线长为l cm，
由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设
截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm，4r cm.过轴SO作截面，如图所示，
则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm.
所以＝，所以＝＝.
解得l＝9，即圆台O′O的母线长为9 cm.
解决旋转体中计算问题的方法
用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质，利用相似三角形中的相似比，列出相关几何变量的方程(组)而解得．
[注意] 在研究与截面有关的问题时，要注意截面与物体的相对位置的变化．由于相对位置的改变，截面的形状也会随之发生变化．
1．已知一个圆台的上、下底面半径分别是1 cm，2 cm，截得圆台的圆锥的母线长为12 cm，则圆台的母线长为________．
解析：如图是圆台的轴截面，由题意知AO＝2 cm，A′O′＝1 cm，SA＝12 cm.
由＝，得SA′＝·SA＝×12＝6(cm)．所以AA′＝SA－SA′＝12－6＝6(cm)．所以圆台的母线长为6 cm.
答案：6 cm
2．轴截面是直角三角形的圆锥的底面半径为r，则其轴截面面积为________．
解析：由圆锥的结构特征可知，轴截面为等腰直角三角形，其高为r，所以S＝×2r2＝r2.
答案：r2
1．如图所示的图形中有( )
A．圆柱、圆锥、圆台和球 B．圆柱、球和圆锥
C．球、圆柱和圆台 D．棱柱、棱锥、圆锥和球
解析：选B.根据题中图形可知，(1)是球，(2)是圆柱，(3)是圆锥，(4)不是圆台，故应选B.
2．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，则这个几何体不可能是( )
A．圆锥 B．圆柱
C．球 D．棱柱
答案：D
3．下列说法中正确的是________．
①连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；
②圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；
③通过圆台侧面上一点，有无数条母线．
解析：①错误，连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段不一定与圆柱的轴平行，所以①不正确．③错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线．
答案：②
4．一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高h为________cm.
解析：h＝20cos 30°＝20×＝10(cm)．
答案：10
5．如图所示，将等腰梯形ABCD绕其底边所在直线旋转一周，可得到怎样的空间几何体？该几何体有什么特点？
解：若将等腰梯形ABCD绕其下底BC所在的直线旋转一周，所得几何体可以看作是以AD为母线，BC所在的直线为轴的圆柱和两个分别以AB，CD为母线的圆锥组成的几何体，如图(1)所示．
若将等腰梯形ABCD绕其上底AD所在的直线旋转一周，所得几何体可以看作是以BC为母线，AD所在的直线为轴的圆柱中两底分别挖去以AB，CD为母线的两个圆锥得到的几何体，如图(2)所示．
[A 基础达标]
1．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是( )
A．两个圆锥拼接而成的组合体
B．一个圆台
C．一个圆锥
D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥
解析：选D.以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周，如图，钝角△ABC中，AB边最小，以AB为轴，其他两边旋转一周，得到的几何体是一个圆锥挖去一个同底的小圆锥．故选D.
2．如图所示的组合体的结构特征是( )
A．一个棱柱中截去一个棱柱
B．一个棱柱中截去一个圆柱
C．一个棱柱中截去一个棱锥
D．一个棱柱中截去一个棱台
解析：选C.如题图，可看成是四棱柱截去一个角，即截去一个三棱锥后得到的简单组合体，故为一个棱柱中截去一个棱锥所得．
3．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是 ( )
A．该几何体是由2个同底的四棱锥组成的几何体
B．该几何体有12条棱、6个顶点
C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形
D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余各面均为三角形
解析：选D.该几何体用平面ABCD可分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面．故D说法不正确．
4．如图，将阴影部分图形绕图示直线l旋转一周所得的几何体是( )
A．圆锥
B．圆锥和球组成的简单组合体
C．球
D．一个圆锥内部挖去一个球后组成的简单组合体
答案：D
5.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是( )
A．①② B．①③
C．④ D．①⑤
解析：选D.一个圆柱挖去一个圆锥，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分．
6．如图所示的组合体的结构特征有以下几种说法：
①由一个长方体割去一个四棱柱构成．
②由一个长方体与两个四棱柱组合而成．
③由一个长方体挖去一个四棱台构成．
④由一个长方体与两个四棱台组合而成．
其中正确说法的序号是__________．
解析：该组合体可以看作是由一个长方体割去一个四棱柱构成的，也可以看作是由一个长方体与两个四棱柱组合而成的．
答案：①②
7．若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是________．
解析：设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高h＝ .
由题意可知·2r·h＝r＝8，所以r2＝8，所以h＝2.
答案：2
8．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为________cm.
解析：如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C.在Rt△ABC中，AC＝12 cm，BC＝8－3＝5 (cm)．
所以AB＝＝13(cm)．
答案：13
9．指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．
解：(1)几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成．
(2)几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成．
(3)几何体由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成．
10．一个圆锥的高为2 cm，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积．
解：如图轴截面SAB，圆锥SO的底面直径为AB，SO为高，SA为母线，则∠ASO＝30°.
在Rt△SOA中，AO＝SO·tan 30°＝(cm)．
SA＝＝＝(cm)．
所以S△ASB＝SO·2AO＝(cm2)．
所以圆锥的母线长为cm，圆锥的轴截面的面积为cm2.
[B 能力提升]
11．用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是( )
A．2 B．2π
C.或 D.或
解析：选C.如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr＝8，所以r＝；同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr＝4，所以r＝.所以选C.
12．某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm，如图所示，则该地球仪的半径是________cm.
解析：如图所示，由题意知，北纬30°所在小圆的周长为12π，则该小圆的半径r＝6，其中∠ABO＝30°，
所以该地球仪的半径R＝＝
4 cm.
答案：4
13．圆锥底面半径为1 cm，高为 cm，其中有一个内接正方体，这个内接正方体的棱长为________cm.
解析：圆锥的轴截面SEF、正方体对角面ACC1A1如图．设正方体的棱长为x cm，则AA1＝x cm，A1C1＝x cm.作SO⊥EF于点O，则SO＝ cm，OE＝1 cm.因为△EAA1∽△ESO，
所以＝，即＝.
所以x＝，即该内接正方体的棱长为 cm.
答案：
14．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求：
(1)圆台的高；
(2)截得此圆台的圆锥的母线长．
解：(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．
由已知可得上底半径O1A＝2 cm，
下底半径OB＝5 cm，又因为腰长为12 cm，所以高AM＝＝3(cm)．
(2)如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO可得＝，解得l＝20(cm)，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
[C 拓展探究]
15.如图所示，有一圆锥形粮堆，母线与底面直径构成边长为6 m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食．此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程．(结果不取近似值)
解：因为△ABC为等边三角形，
所以BC＝6，
所以l＝2π×3＝6π，
根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，得：
＝6π，
故n＝180°，则∠B′AC＝90°，
所以B′P＝＝3(m)，
所以小猫所经过的最短路程是3 m.
课件43张PPT。第八章 立体几何初步第八章 立体几何初步矩形的一边旋转轴垂直于轴平行于轴平行于轴圆柱和棱柱旋转轴垂直于轴不垂直于轴圆锥和棱锥直角三角形的一条直角边平行于圆锥底面底面与截面轴圆台和棱台半圆的直径圆心半径直径简单几何体拼接截去或挖去×××√本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放[A 基础达标]
1．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是( )
A．两个圆锥拼接而成的组合体
B．一个圆台
C．一个圆锥
D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥
解析：选D.以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周，如图，钝角△ABC中，AB边最小，以AB为轴，其他两边旋转一周，得到的几何体是一个圆锥挖去一个同底的小圆锥．故选D.
2．如图所示的组合体的结构特征是( )
A．一个棱柱中截去一个棱柱
B．一个棱柱中截去一个圆柱
C．一个棱柱中截去一个棱锥
D．一个棱柱中截去一个棱台
解析：选C.如题图，可看成是四棱柱截去一个角，即截去一个三棱锥后得到的简单组合体，故为一个棱柱中截去一个棱锥所得．
3．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是 ( )
A．该几何体是由2个同底的四棱锥组成的几何体
B．该几何体有12条棱、6个顶点
C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形
D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余各面均为三角形
解析：选D.该几何体用平面ABCD可分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面．故D说法不正确．
4．如图，将阴影部分图形绕图示直线l旋转一周所得的几何体是( )
A．圆锥
B．圆锥和球组成的简单组合体
C．球
D．一个圆锥内部挖去一个球后组成的简单组合体
答案：D
5.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是( )
A．①② B．①③
C．④ D．①⑤
解析：选D.一个圆柱挖去一个圆锥，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分．
6．如图所示的组合体的结构特征有以下几种说法：
①由一个长方体割去一个四棱柱构成．
②由一个长方体与两个四棱柱组合而成．
③由一个长方体挖去一个四棱台构成．
④由一个长方体与两个四棱台组合而成．
其中正确说法的序号是__________．
解析：该组合体可以看作是由一个长方体割去一个四棱柱构成的，也可以看作是由一个长方体与两个四棱柱组合而成的．
答案：①②
7．若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是________．
解析：设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高h＝ .
由题意可知·2r·h＝r＝8，所以r2＝8，所以h＝2.
答案：2
8．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为________cm.
解析：如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C.在Rt△ABC中，AC＝12 cm，BC＝8－3＝5 (cm)．
所以AB＝＝13(cm)．
答案：13
9．指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．
解：(1)几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成．
(2)几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成．
(3)几何体由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成．
10．一个圆锥的高为2 cm，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积．
解：如图轴截面SAB，圆锥SO的底面直径为AB，SO为高，SA为母线，则∠ASO＝30°.
在Rt△SOA中，AO＝SO·tan 30°＝(cm)．
SA＝＝＝(cm)．
所以S△ASB＝SO·2AO＝(cm2)．
所以圆锥的母线长为cm，圆锥的轴截面的面积为cm2.
[B 能力提升]
11．用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是( )
A．2 B．2π
C.或 D.或
解析：选C.如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr＝8，所以r＝；同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr＝4，所以r＝.所以选C.
12．某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm，如图所示，则该地球仪的半径是________cm.
解析：如图所示，由题意知，北纬30°所在小圆的周长为12π，则该小圆的半径r＝6，其中∠ABO＝30°，
所以该地球仪的半径R＝＝
4 cm.
答案：4
13．圆锥底面半径为1 cm，高为 cm，其中有一个内接正方体，这个内接正方体的棱长为________cm.
解析：圆锥的轴截面SEF、正方体对角面ACC1A1如图．设正方体的棱长为x cm，则AA1＝x cm，A1C1＝x cm.作SO⊥EF于点O，则SO＝ cm，OE＝1 cm.因为△EAA1∽△ESO，
所以＝，即＝.
所以x＝，即该内接正方体的棱长为 cm.
答案：
14．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求：
(1)圆台的高；
(2)截得此圆台的圆锥的母线长．
解：(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．
由已知可得上底半径O1A＝2 cm，
下底半径OB＝5 cm，又因为腰长为12 cm，所以高AM＝＝3(cm)．
(2)如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO可得＝，解得l＝20(cm)，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
[C 拓展探究]
15.如图所示，有一圆锥形粮堆，母线与底面直径构成边长为6 m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食．此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程．(结果不取近似值)
解：因为△ABC为等边三角形，
所以BC＝6，
所以l＝2π×3＝6π，
根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，得：
＝6π，
故n＝180°，则∠B′AC＝90°，
所以B′P＝＝3(m)，
所以小猫所经过的最短路程是3 m.
