第4节 生活中的圆周运动
学习目标
核心素养形成脉络
1.会分析具体圆周运动问题中向心力的来源，能解决生活中的圆周运动问题．
2．了解航天器中的失重现象及原因．
3．了解离心运动及物体做离心运动的条件，知道离心运动的应用及危害.
一、火车转弯
1．火车在弯道上的运动特点
火车在弯道上运动时做圆周运动，具有向心加速度，由于其质量巨大，因此需要很大的向心力．
2．转弯处内外轨一样高的缺点
如果转弯处内外轨一样高，则由外轨对轮缘的弹力提供向心力，这样铁轨和车轮极易受损．
3．铁路弯道的特点
(1)转弯处外轨略高于内轨．
(2)铁轨对火车的支持力不是竖直向上的，而是斜向弯道的内侧．
(3)铁轨对火车的支持力与火车所受重力的合力指向轨道的圆心，它提供了火车以规定速度行驶时的向心力．
二、汽车过拱形桥
1．汽车过凸形桥
汽车在凸形桥最高点时，如图甲所示，向心力Fn＝mg－FN＝，汽车对桥的压力FN′＝FN＝mg－，故汽车在凸形桥上运动时，对桥的压力小于汽车的重力．
2．汽车过凹形桥
汽车在凹形桥最低点时，如图乙所示，向心力Fn＝FN－mg＝，汽车对桥的压力FN′＝FN＝mg＋，故汽车在凹形桥上运动时，对桥的压力大于汽车的重力．
三、航天器中的失重现象
1．向心力分析：宇航员受到的地球引力与座舱对他的支持力的合力提供向心力，mg－FN＝m，所以FN＝mg－m.
2．完全失重状态：当v＝时，座舱对宇航员的支持力FN＝0，宇航员处于完全失重状态．
四、离心运动
1．定义：做圆周运动的物体沿切线飞出或逐渐远离圆心的运动．
2．原因：向心力突然消失或合力不足以提供所需的向心力．
3．离心运动的应用和防止
(1)应用：离心干燥器；洗衣机的脱水桶；离心制管技术．
(2)防止：汽车在公路转弯处必须限速行驶；转动的砂轮、飞轮的转速不能太高．
思维辨析
(1)车辆在水平路面上转弯时，所受重力与支持力的合力提供向心力．( )
(2)车辆在水平路面上转弯时，所受摩擦力提供向心力．( )
(3)车辆在“内低外高”的路面上转弯时，受到的合力可能为零．( )
(4)车辆按规定车速通过“内低外高”的弯道时，向心力是由重力和支持力的合力提供的．( )
(5)汽车在水平路面上匀速行驶时，对地面的压力等于车重，加速行驶时大于车重．( )
(6)汽车在拱形桥上行驶，速度小时对桥面的压力大于车重，速度大时压力小于车重．( )
提示：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× (6)×
基础理解
(1)同一辆汽车先后经过凹形区域和凸形区域，在哪一区域汽车对地面的压力更大？
(2)①空间站中的物体为什么能飘浮在空中？
②空间站中的宇航员为什么躺着与站着一样舒服？
③我国宇航员王亚平为什么能在空间站做“水球”实验？
提示：(1)经过凹形区域汽车对地面的压力更大
(2)空间站中的物体处于完全失重状态
火车的弯道问题
问题导引
火车在铁轨上转弯可以看成是匀速圆周运动，如图所示．
重力G与支持力FN的合力F是使火车转弯的向心力．
请思考下列问题：
(1)火车转弯处的铁轨有什么特点？火车受力如何？运动特点如何？
(2)火车以规定的速度转弯时，什么力提供向心力？
(3)火车转弯时速度过大或过小，会对哪侧轨道有侧压力？
[要点提示] (1)火车转弯处，外轨高于内轨；由于外轨高于内轨，火车所受支持力的方向斜向上，火车所受支持力与重力的合力可以提供向心力；火车转弯处虽然外轨高于内轨，但火车在行驶的过程中，中心的高度不变，即在同一水平面内做匀速圆周运动，即火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心．
(2)火车以规定的速度转弯时，重力和支持力的合力提供向心力．
(3)火车转弯时速度过大会对轨道外侧有压力，速度过小会对轨道内侧有压力．
【核心深化】
1．火车在弯道上的运动特点
火车在弯道上运动时实际上是在水平面内做圆周运动，由于其质量巨大，需要很大的向心力．
2．转弯轨道受力与火车速度的关系
(1)若火车转弯时，火车所受支持力与重力的合力提供向心力，如图所示，有mgtan θ＝m，则v0＝，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面的夹角(tan θ≈)，v0为转弯处的规定速度．此时，内外轨道对火车均无侧向挤压作用．
(2)若火车行驶速度v0＞，外轨对轮缘有侧压力．
(3)若火车行驶速度v0＜，内轨对轮缘有侧压力．
关键能力1 火车转弯的分析
(2019·山东菏泽高一检测)有一列重为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m．(g取10 m/s2)
(1)试计算铁轨受到的侧压力大小；
(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值．
[解析] (1)v＝72 km/h＝20 m/s，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力，所以有：
FN＝m＝ N＝1×105 N
由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于1×105 N.
(2)火车过弯道，重力和铁轨对火车的支持力的合力正好提供向心力，如图所示，则mgtan θ＝m.
由此可得tan θ＝＝0.1.
[答案] (1)1×105 N (2)0.1
解答火车转弯问题的两个关键
(1)合外力的方向：火车转弯时，火车所受合外力沿水平方向指向圆心，而不是沿轨道斜面向下．因为，火车转弯的圆周平面是水平面，不是斜面，所以火车的向心力即合外力应沿水平面指向圆心．
(2)规定速度：火车轨道转弯处的规定速率一旦确定则是唯一的，火车只有按规定的速率转弯，内外轨才不受火车的挤压作用．速率过大时，由重力、支持力及外轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力；速率过小时，由重力、支持力及内轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力．
关键能力2 汽车转弯的分析
(多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc 时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势．则在该弯道处( )
A．路面外侧高内侧低
B．车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动
C．车速高于vc，只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D．当路面结冰时，与未结冰时相比，vc 的值变小
[解析] 汽车以速率vc转弯，需要指向内侧的向心力，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，说明此处公路内侧较低外侧较高，选项A正确．车速只要低于vc，车辆便有向内侧滑动的趋势，但不一定向内侧滑动，选项B错误．车速高于vc，由于车轮与地面有摩擦力，只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动，选项C正确．根据题述，汽车以速率vc转弯，需要指向内侧的向心力，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，没有受到摩擦力，所以当路面结冰时，与未结冰时相比，转弯时vc的值不变，选项D错误．
[答案] AC
【达标练习】
1.(2019·河北石家庄期末)某段水平公路转弯处弯道所在圆半径为40 m，汽车轮胎与路面间的动摩擦因数为0.25，假设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，重力加速度g＝10 m/s2，汽车转弯时不发生侧滑的最大速率为( )
A．5 m/s B．10 m/s
C．15 m/s D．20 m/s
解析：选B.汽车转弯时不发生侧滑，静摩擦力充当向心力，有：μmg＝m，解得汽车转弯时不发生侧滑的最大速率v＝＝ m/s＝10 m/s，故B正确，A、C、D错误．
2．(2019·河南南阳期末)为了行驶安全和减少对铁轨的磨损，火车转弯处轨道平面与水平面会有一个夹角．若火车以规定的速度行驶，则转弯时轮缘与铁轨无挤压．已知某
转弯处轨道平面与水平面间夹角为α，转弯半径为R，规定行驶速率为v，重力加速度为g，则( )
A．v＝gRtan α B．v＝gRsin α
C．v＝ D．v＝
解析：选D.火车受力如图所示：
在转弯处火车按规定速度行驶时，火车所需要的向心力由重力和支持力的合力提供，有：F合＝mgtan α，根据牛顿第二定律有：mgtan α＝m，解得火车规定行驶速度为：v＝，故D正确．
汽车过桥问题与航天器中的失重现象
【核心深化】
1．汽车过桥问题
(1)向心力来源
汽车过凹凸桥的最高点或最低点时，在竖直方向受重力和支持力，其合力提供向心力．
(2)汽车过凹凸桥压力的分析与讨论
若汽车质量为m，桥面圆弧半径为R，汽车在最高点或最低点速率为v，则汽车对桥面的压力大小情况讨论如下：
汽车过凸形桥
汽车过凹形桥
受力分析
指向圆心
为正方向
G－FN＝m
FN＝G－m
FN－G＝m
FN＝G＋m
牛顿
第三定律
F压＝FN＝G－m
F压＝FN＝G＋m
讨论
v增大，F压减小；
当v增大到时，
F压＝0
v增大，F压增大
2.航天器中的失重现象
绕地球做圆周运动的卫星、飞船、空间站处于完全失重状态．
(1)质量为M的航天器在近地轨道运行时，航天器的重力提供向心力，满足关系：Mg＝M，则v＝.
(2)质量为m的航天员：航天员的重力和座舱对航天员的支持力的合力提供向心力，满足关系：mg－FN＝.当v＝ 时，FN＝0，即航天员处于完全失重状态．
(3)航天器内的任何物体都处于完全失重状态．
关键能力1 汽车过桥问题
(2019·北京西城区期末)一辆小汽车驶上圆弧半径为90 m的拱桥．当汽车经过桥顶时恰好对桥没有压力而腾空，g＝10 m/s2，则此时汽车的速度大小为( )
A．90 m/s B．30 m/s
C．10 m/s D．3 m/s
[解析] 汽车经过桥顶时受力分析，如图所示：
车对桥恰好没有压力而腾空，根据牛顿第三定律知桥对车的支持力为零，即N＝0
即汽车做圆周运动的向心力完全由其自身的重力提供，有：F＝G＝m
解得：v＝＝ m/s＝30 m/s，故B项正确．
[答案] B
关键能力2 航天器中的失重现象
(多选)航天飞机在围绕地球做匀速圆周运动过程中，关于航天员，下列说法中正确的是( )
A．航天员受到的重力消失了
B．航天员仍受重力作用，重力提供其做匀速圆周运动的向心力
C．航天员处于超重状态
D．航天员对座椅的压力为零
[解析] 航天飞机在绕地球做匀速圆周运动时，依然受地球的吸引力，而且正是这个吸引力提供航天飞机绕地球做圆周运动的向心力，航天员的加速度与航天飞机的相同，也是重力提供向心力，即mg＝m，选项A错误，B正确；此时航天员不受座椅弹力，航天员对座椅的压力为零，处于完全失重状态，选项D正确，C错误．
[答案] BD
【达标练习】
1．(多选)宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，下列说法中正确的有( )
A．在飞船内可以用天平测量物体的质量
B．在飞船内可以用水银气压计测舱内的气压
C．在飞船内可以用弹簧测力计测拉力
D．在飞船内将重物挂于弹簧测力计上，弹簧测力计示数为0，但重物仍受地球的引力
解析：选CD.飞船内的物体处于完全失重状态，此时放在天平上的物体对天平的压力为0，因此不能用天平测量物体的质量，A错误；同理，水银也不会产生压力，故水银气压计也不能使用，B错误；弹簧测力计测拉力遵从胡克定律，拉力的大小与弹簧伸长量成正比，C正确；飞船内的重物处于完全失重状态，并不是不受重力，而是重力全部用于提供物体做圆周运动所需的向心力，D正确．
2．(2019·北京石景山区期末)公路在通过小型水库的泄洪闸的下游时，常常要修建凹形桥，也叫“过水路面”．如图所示，汽车通过凹形桥的最低点时( )
A．汽车对凹形桥的压力等于汽车的重力
B．汽车对凹形桥的压力小于汽车的重力
C．汽车的向心加速度大于重力加速度
D．汽车的速度越大，对凹形桥面的压力越大
解析：选D.汽车通过凹形桥的最低点时N－mg＝m，解得：N＝mg＋m，可知汽车对桥的压力大于汽车的重力，故A、B错误；汽车通过凹形桥的最低点时N－mg＝man，所以汽车的向心加速度不一定大于重力加速度，故C错误；汽车通过凹形桥的最低点时N－mg＝m，解得：N＝mg＋m，所以汽车的速度越大，对凹形桥面的压力越大，故D正确．
离心运动
问题导引
链球比赛中，高速旋转的链球被放手后会飞出(如图甲所示)；雨天，当你旋转自己的雨伞时，会发现水滴沿着伞的边缘切线飞出(如图乙所示)．
(1)链球飞出后受什么力？
(2)你能说出水滴沿着伞的边缘切线飞出的原因吗？
(3)物体做离心运动的条件是什么？
[要点提示] (1)重力和空气阻力．
(2)旋转雨伞时，雨滴也随着运动起来，但伞面上的雨滴受到的力不足以提供其做圆周运动的向心力，雨滴由于惯性要保持其原来的速度方向而沿切线方向飞出．
(3)物体受到的合力不足以提供所需的向心力．
【核心深化】
对离心运动的理解
(1)物体做离心运动的原因：提供向心力的合外力突然消失，或者合外力不能提供足够的向心力．
注意：物体做离心运动并不是物体受到离心力作用，而是由于合外力不能提供足够的向心力．所谓“离心力”实际上并不存在．
(2)合外力与向心力的关系(如图所示)．
①若F合＝mrω2或F合＝，物体做匀速圆周运动，即“提供”满足“需要”．
②若F合>mrω2或F合>，物体做半径变小的近心运动，即“提供过度”，也就是“提供”大于“需要”．
③若0④若F合＝0，则物体做直线运动．
如图所示是摩托车比赛转弯时的情形，转弯处路面常是外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车将发生滑动．关于摩托车滑动的问题，下列论述正确的是( )
A．摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用
B．摩托车所受外力的合力小于所需的向心力
C．摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去
D．摩托车将沿其半径方向沿直线滑去
[解析] 摩托车受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，A项错误；摩托车正常转弯时可看作匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动，说明提供的向心力即合力小于需要的向心力，B项正确；摩托车将在沿线速度方向与半径向外的方向之间做离心曲线运动，C、D项错误．
[答案] B
(多选)(2019·四川乐山期末)洗衣机的脱水筒采用带动衣物旋转的方式脱水，下列说法中正确的是( )
A．脱水过程中，衣物是紧贴筒壁的
B．加快脱水筒转动角速度，脱水效果会更好
C．靠近中心的衣物脱水效果不如四周的衣物脱水效果好
D．水会从筒中甩出是因为水滴受到的向心力很大
解析：选ABC.脱水过程中，衣物做离心运动而甩向桶壁，故A正确；F＝ma＝mω2R，ω增大会使向心力F增大，而转筒有洞，不能提供足够大的向心力，水滴就会被甩出去，增大向心力，会使更多水滴被甩出去，脱水效果会更好，故B正确；中心的衣服，R比较小，角速度ω一样，所以向心力小，脱水效果差，故C正确；水滴依附的附着力是一定的，当水滴因做圆周运动所需的向心力大于该附着力时，水滴被甩掉，故D错误．
竖直平面内圆周运动
【核心深化】
两类模型的分析
轻绳模型
轻杆模型
常见类型
均是没有支撑的小球
均是有支撑的小球
过最高点的临界条件
由mg＝m得v临＝
v临＝0
讨论分析
(1)能过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN
(2)不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道，如图所示
(1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心
(2)当0(3)当v＝时，FN＝0
(4)当v>时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大
关键能力1 轻绳模型分析
(2019·浙江宁波期末)如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力)，小球运动到最高点时绳对小球的拉力为T，小球在最高点的速度大小为v，其T－v2关系如图乙所示，则( )
A．轻质绳长为
B．当地的重力加速度为
C．当v2＝c时，轻质绳的拉力大小为＋a
D．只要v2≥0，小球就能在竖直平面内做完整的圆周运动
[解析] 在最高点时，绳对小球的拉力和重力的合力提供向心力，则得：mg＋T＝m，解得：T＝v2－mg①，由图像知，T＝0时，v2＝b.图像的斜率k＝，则得：＝，得绳长 L＝，故A错误；当v2＝0时，T＝－a，由①得：－a＝－mg，得：g＝，故B正确；当v2＝c时，代入①得：T＝·c－mg＝·c－a，故C错误；只要v2≥b，在最高点绳子的拉力F≥0，小球就能在竖直平面内做完整的圆周运动，故D错误．
[答案] B
关键能力2 轻杆模型分析
(2019·滨州高一检测)长度为0.5 m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做圆周运动，A端连着一个质量m＝2 kg的小球．求在下述的两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向．(g取10 m/s2)
(1)杆做匀速圆周运动的转速为2.0 r/s；
(2)杆做匀速圆周运动的转速为0.5 r/s.
[解析] 小球在最高点的受力如图所示：
(1)杆的转速为2.0 r/s时，ω＝2πn＝4π rad/s.
由牛顿第二定律得F＋mg＝mLω2，
故小球所受杆的作用力
F＝mLω2－mg＝2×(0.5×42×π2－10) N≈138 N，
即杆对小球提供了138 N的拉力．
由牛顿第三定律知小球对杆的拉力大小为138 N，方向竖直向上．
(2)杆的转速为0.5 r/s时，ω′＝2πn′＝π rad/s.
同理可得小球所受杆的作用力
F′＝mLω′2－mg＝2×(0.5×π2－10) N≈－10 N.
力F′为负值表示它的方向与受力分析中所假设的方向相反，故小球对杆的压力大小为10 N，方向竖直向下．
[答案] (1)138 N，方向竖直向上
(2)10 N，方向竖直向下
竖直平面内圆周运动的分析方法
(1)明确运动的模型，是轻绳模型还是轻杆模型．
(2)明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点．
(3)分析物体在最高点及最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解．
【达标练习】
1．(2019·广东湛江期末)一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是( )
A．小球过最高点的最小速度是
B．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
解析：选B.由于杆可以提供拉力，也可以提供支持力，所以小球过最高点的最小速度为0，故A错误；当小球在最高点的速度v＝时，靠重力提供向心力，杆的弹力为零，故B正确；杆在最高点可以提供拉力，也可以提供支持力，当提供支持力时，速度越大作用力越小，当提供拉力时，速度越大作用力越大，故C、D错误．
2．(2019·广西桂林期末)质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过轨道最高点而不脱离轨道的最小速度是v，则当小球以3v的速度经过最高点时，对轨道压力的大小是( )
A．0 B．3mg
C．5mg D．8mg
解析：选D.当小球以速度v经内轨道最高点时不脱离轨道，小球仅受重力，重力充当向心力，有mg＝m；当小球以速度3v经内轨道最高点时，小球受重力G和向下的支持力N，合外力充当向心力，有mg＋N＝m；又由牛顿第三定律得到，小球对轨道的压力与轨道对小球的支持力相等，N′＝N；由以上三式得到，N′＝8mg，选项D正确．
1.(2019·河南驻马店期末)如图所示，在竖直平面内的圆周轨道半径为r，质量为m的小物块以速度v通过轨道的最高点P.已知重力加速度为g，则小物块在P点受到轨道对它的压力大小为( )
A．m B.－mg
C．mg－m D．m＋mg
解析：选B.在P点由牛顿第二定律可知：mg＋F＝m，解得F＝m－mg，选项B正确．
2．(多选)(2019·四川宜宾期末)下列有关生活中的圆周运动实例分析，其中说法正确的是( )
A．汽车通过凹形桥的最低点时，车对桥的压力大于汽车的重力
B．在铁路的转弯处，通常要求外轨比内轨高，目的是减轻轮缘与外轨的挤压
C．杂技演员表演“水流星”，当“水流星”通过最高点时处于完全失重状态，不受重力作用
D．洗衣机脱水桶的脱水原理是水滴受到的离心力大于它受到的向心力，从而沿切线方向甩出
解析：选AB.汽车通过凹形桥的最低点时，N－mg＝m，支持力大于重力，根据牛顿第三定律可知，车对桥的压力大于汽车的重力，A正确；在铁路的转弯处，通常要求外轨比内轨高，当火车按规定速度转弯时，由重力和支持力的合力完全提供向心力，从而减轻轮缘对外轨的挤压，B正确；杂技演员表演“水流星”，当“水流星”通过最高点时仍受重力作用，C错误；离心力与向心力并非物体实际受力，衣服对水的吸附力小于水做圆周运动所需要的向心力，因此产生离心现象，D错误．
3．(多选)(2019·浙江宁波九校期末)一质量为2.0×103 kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的最大静摩擦力为1.6×104 N，当汽车经过半径为100 m的弯道时，下列判断正确的是( )
A．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力
B．汽车转弯的速度为30 m/s时所需的向心力为1.6×104 N
C．汽车转弯的速度为30 m/s时汽车会发生侧滑
D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过8.0 m/s2
解析：选CD.汽车在水平面转弯时，做圆周运动，重力与支持力平衡，侧向静摩擦力提供向心力，不能说受到向心力，故A错误；如果车速达到30 m/s，需要的向心力F＝m＝2.0×103× N＝1.8×104 N，故B错误；最大静摩擦力f＝1.6×104 N，则F＞f，所以汽车会发生侧滑，故C正确；最大加速度为：a＝＝ m/s2＝8.0 m/s2，故D正确．
4．(2019·北京石景山区期末)如图所示为火车车轮在转弯处的截面示意图，轨道的外轨高于内轨，在此转弯处规定火车的行驶速度为v，则( )
A．若火车通过此弯道时速度大于v，则火车的轮缘会挤压外轨
B．若火车通过此弯道时速度小于v，则火车的轮缘会挤压外轨
C．若火车通过此弯道时行驶速度等于v，则火车的轮缘会挤压外轨
D．若火车通过此弯道时行驶速度等于v，则火车对轨道的压力小于火车的重力
解析：选A.如图所示为火车车轮在转弯处的截面示意图，轨道的外轨高于内轨，在此转弯处规定火车的行驶速度为v，则当转弯的实际速度大于规定速度时，火车所受的重力和支持力的合力不足以提供所需的向心力，火车有离心趋势，故其外侧车轮轮缘会与铁轨相互挤压，故A正确；当转弯的实际速度小于规定速度时，火车所受的重力和支持力的合力大于所需的向心力，火车有向心趋势，故其内侧车轮轮缘会与铁轨相互挤压，故B错误；当火车以v的速度通过此弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力恰好提供向心力，内外轨都无压力，故C错误；设内外轨间形成斜面的倾角为θ，当火车以v的速度通过此弯路时，由受力可知，Ncos θ＝mg，解得：N＝，所以火车对轨道的压力大于火车的重力，故D错误．
(建议用时：30分钟)
A组 学业达标练
1．(多选)(2019·江苏盐城期末)下列现象中，利用离心现象的是( )
A．用洗衣机脱水
B．汽车转弯时要减速
C．用离心沉淀器分离物质
D．转动雨伞，可以去除雨伞上的一些水
解析：选ACD.用洗衣机脱水，是利用了离心现象，故A正确．汽车转弯时要减速，是防止离心现象，故B错误．用离心沉淀器分离物质，是利用了离心现象，故C正确．转动雨伞，可以去除雨伞上的一些水，是利用了离心现象，故D正确．
2．(2019·北京西城区期末)如图将红、绿两种颜色的石子放在水平圆盘上，围绕圆盘中心摆成半径不同的两个同心圆圈(r红A．绿石子先被甩出
B．红、绿两种石子同时被甩出
C．石子被甩出的轨迹一定是沿着切线的直线
D．在没有石子被甩出前，红石子所受摩擦力大于绿石子的
解析：选A.对石子受力分析，在没有被甩出之前，受重力、支持力、圆盘的静摩擦力三个力的作用，静摩擦力提供向心力，根据牛顿第二定律有f＝mω2r，当角速度增大时，两石子所受静摩擦力也在增大，当静摩擦力达到最大静摩擦力时，石子将发生相对运动，即被甩出，由题意可知绿石子的半径大于红石子的半径，所以绿石子所受摩擦力大于红石子所受摩擦力，而两石子与圆盘的最大静摩擦力均为fm＝μmg，则可知绿石子先被甩出，故A正确，B、D错误；石子被甩出后，其所受合外力不等于零，而是等于圆盘对它的滑动摩擦力，石子做离心运动，所以轨迹是沿着切线的曲线，故C错误．
3．(2019·江苏淮安期末)如图所示，当汽车以12 m/s通过拱形桥顶时，对桥顶的压力为车重的.如果要使汽车在桥面行驶至桥顶时，对桥面的压力恰好为零，则汽车通过桥顶的速度为( )
A．3 m/s B．10 m/s
C．12 m/s D．24 m/s
解析：选D.根据牛顿第二定律得：mg－N＝m，其中N＝mg，解得：R＝57.6 m．当车对桥顶无压力时，有：mg＝，代入数据解得：v′＝24 m/s，选项D正确．
4．(2019·安徽宣城期末)在室内自行车比赛中，运动员以速度v在倾角为θ的赛道上做匀速圆周运动．已知运动员的质量为m，做圆周运动的半径为R，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．运动员做圆周运动的角速度为vR
B．如果运动员减速，运动员将做离心运动
C．运动员做匀速圆周运动的向心力大小是m
D．将运动员和自行车看作一个整体，则整体受重力、支持力、摩擦力和向心力的作用
解析：选C.运动员做圆周运动的角速度为ω＝，选项A错误；如果运动员减速，运动员将做近心运动，选项B错误；运动员做匀速圆周运动的向心力大小是m，选项C正确；将运动员和自行车看作一个整体，则整体受重力、支持力、摩擦力的作用，三个力的合力充当向心力，选项D错误．
5．飞机俯冲拉起时，飞行员处于超重状态，此时座位对飞行员的支持力大于所受的重力，这种现象叫过荷．过荷过重会造成飞行员大脑贫血，四肢沉重，暂时失明，甚至昏厥．受过专门训练的空军飞行员最多可承受9倍重力的支持力影响．取g＝10 m/s2，则当飞机在竖直平面上沿圆弧轨道俯冲速度为100 m/s时，圆弧轨道的最小半径为( )
A．100 m B．111 m
C．125 m D．250 m
解析：选C.由题意知，9mg－mg＝m，代入数值得R＝125 m．选项C正确．
6．在较大的平直木板上相隔一定距离钉几个钉子，将三合板弯曲成拱桥形卡入钉子内形成拱形桥，三合板上表面事先铺上一层牛仔布以增大摩擦，这样玩具惯性车就可以在桥面上跑起来了．把这套系统放在电子秤上做实验，如图所示，关于实验中电子秤的示数下列说法正确的是( )
A．玩具车静止在拱形桥顶端时的示数小一些
B．玩具车运动通过拱形桥顶端时的示数大一些
C．玩具车运动通过拱形桥顶端时处于超重状态
D．玩具车运动通过拱形桥顶端时速度越大(未离开拱形桥)，示数越小
解析：选D.玩具车运动到最高点时，受向下的重力和向上的支持力作用，根据牛顿第二定律有mg－FN＝m，即FN＝mg－m7．(多选)(2019·广东潮州期末)2018年珠海航展，我国五代战机“歼-20”再次闪亮登场．表演中，战机先水平向右，再沿曲线ab向上(如图)，最后沿陡斜线直入云霄．设飞行路径在同一竖直面内，飞行速率不变．则沿ab段曲线飞行时，战机( )
A．所受合外力大小为零
B．所受合外力方向不断变化
C．竖直方向的分速度逐渐增大
D．水平方向的分速度不变
解析：选BC.战机做曲线运动，运动状态发生变化，合外力不为零，故A错误；战机飞行速率不变，合力方向始终与速度方向垂直，即指向圆心，故B正确；飞机速度大小不变，与水平方向的倾角θ增大，则vy＝vsin θ增大，即竖直方向的分速度逐渐增大，故C正确；飞机速度大小不变，与水平方向的倾角θ增大，则vx＝vcos θ减小，即水平方向的分速度减小，故D错误．
8．(多选)在如图所示光滑轨道上，小球滑下经平直部分冲上半圆弧部分的最高点A时，对圆弧的压力为mg，已知圆弧的半径为R，则( )
A．在最高点A，小球受重力和向心力
B．在最高点A，小球受重力和圆弧的压力
C．在最高点A，小球的速度为
D．在最高点A，小球的向心加速度为2g
解析：选BD.小球在最高点受重力和压力，由牛顿第二定律得FN＋mg＝ma＝m，又FN＝mg，所以a＝2g，v＝，选项B、D正确．
9．(2019·安徽滁州期末)一辆汽车以恒定速率驶上一座拱形桥，已知拱桥面的圆弧半径为50 m，g＝10 m/s2.
(1)若要求汽车在经过最高点后不离开桥面，则它的速度不能超过多少？
(2)若汽车的速率为10 m/s，则质量为50 kg的乘客对座位的压力多大？
解析：(1)当汽车对最高点压力刚好为零时，有：
mg＝m
解得：vm＝＝ m/s＝10 m/s
可知汽车的速度不能超过10 m/s.
(2)对乘客分析，根据牛顿第二定律得，m′g－FN＝m′
解得FN＝m′g－m′＝ N＝400 N
根据牛顿第三定律知，质量为50 kg的乘客对座位的压力为400 N.
答案：(1)10 m/s (2)400 N
B组 素养提升练
10．(2019·湖南五市十校期末)如图所示，轻质细杆OA长为1 m，A端固定一个质量为5 kg的小球，小球在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率为3 m/s，g＝10 m/s2，细杆受到( )
A．5 N的压力 B．5 N的拉力
C．95 N的压力 D．95 N的拉力
解析：选A.小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，当在最高点小球与细杆无弹力作用时，小球的速度为v1，则有：mg＝得：v1＝＝ m/s，因为 m/s>3 m/s，所以小球受到细杆的支持力，小球在最高点受力分析：受到重力与支持力，mg－F＝m，则F＝mg－m＝ N＝5 N，所以由牛顿第三定律知细杆受到压力，大小为5 N，选项A正确．
11．(多选)一个质量为m的物体(体积可忽略)，在半径为R的光滑半球顶点处以水平速度v0运动，如图所示，则下列说法正确的是( )
A．若v0＝，则物体对半球顶点无压力
B．若v0＝，则物体对半球顶点的压力为mg
C．若v0＝0，则物体对半球顶点的压力为mg
D．若v0＝0，则物体对半球顶点的压力为零
解析：选AC.设物体受到的支持力为FN，若v0＝，则mg－FN＝m，得FN＝0，则物体对半球顶点无压力，A正确．若v0＝，则mg－FN＝m，得FN＝mg，则物体对半球顶点的压力为mg，B错误．若v0＝0，根据牛顿第二定律mg－FN＝m＝0，得FN＝mg，物体对半球顶点的压力为mg，C正确，D错误．
12．(2019·河南驻马店期末)中国已经成功拥有世界最先进的高铁集成技术、施工技术、装备制造技术和运营管理技术．中国高速列车保有量世界最多、种类最全．高速列车转弯时可认为是在水平面做圆周运动．为了让列车顺利转弯，同时避免车轮和铁轨受损，在修建铁路时会让外轨高于内轨，选择合适的内外轨高度差，以使列车以规定速度转弯时所需要的向心力完全由重力和支持力的合力来提供，如图所示，已知某段弯道内外轨道的倾角为θ，弯道的半径为R，重力加速度为g.
(1)若质量为m的一高速列车以规定速度通过上述弯道时，求该列车对轨道的压力大小．
(2)求上述弯道的规定速度v的大小．
(3)若列车在弯道上行驶的速度大于规定速度，将会出现什么现象或造成什么后果(请写出三条)?
解析：(1)如图所示，有
Ncos θ＝mg
得N＝，由牛顿第三定律知，列车对轨道的压力大小为：N′＝.
(2)由牛顿第二定律
mgtan θ＝m
得v0＝.
(3)①铁轨对车轮有指向弯道内侧的摩擦力；
②将会出现外侧车轮的轮缘对外轨有侧向挤压力(或外轨对外侧车轮的轮缘有侧向挤压力)；
③可能造成车轮和铁轨受损(变形)，甚至出现列车脱轨，造成财产损失和人员伤亡的严重后果．
答案：(1) (2) (3)见解析
课件74张PPT。第4节 生活中的圆周运动 第六章 圆周运动第六章 圆周运动向心大外轨外轨内轨内侧圆心向心力mg－FN小于大于mg－FN完全失重逐渐远离消失所需的向心力脱水桶限速行驶本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放 (建议用时：30分钟)
A组 学业达标练
1．(多选)(2019·江苏盐城期末)下列现象中，利用离心现象的是( )
A．用洗衣机脱水
B．汽车转弯时要减速
C．用离心沉淀器分离物质
D．转动雨伞，可以去除雨伞上的一些水
解析：选ACD.用洗衣机脱水，是利用了离心现象，故A正确．汽车转弯时要减速，是防止离心现象，故B错误．用离心沉淀器分离物质，是利用了离心现象，故C正确．转动雨伞，可以去除雨伞上的一些水，是利用了离心现象，故D正确．
2．(2019·北京西城区期末)如图将红、绿两种颜色的石子放在水平圆盘上，围绕圆盘中心摆成半径不同的两个同心圆圈(r红A．绿石子先被甩出
B．红、绿两种石子同时被甩出
C．石子被甩出的轨迹一定是沿着切线的直线
D．在没有石子被甩出前，红石子所受摩擦力大于绿石子的
解析：选A.对石子受力分析，在没有被甩出之前，受重力、支持力、圆盘的静摩擦力三个力的作用，静摩擦力提供向心力，根据牛顿第二定律有f＝mω2r，当角速度增大时，两石子所受静摩擦力也在增大，当静摩擦力达到最大静摩擦力时，石子将发生相对运动，即被甩出，由题意可知绿石子的半径大于红石子的半径，所以绿石子所受摩擦力大于红石子所受摩擦力，而两石子与圆盘的最大静摩擦力均为fm＝μmg，则可知绿石子先被甩出，故A正确，B、D错误；石子被甩出后，其所受合外力不等于零，而是等于圆盘对它的滑动摩擦力，石子做离心运动，所以轨迹是沿着切线的曲线，故C错误．
3．(2019·江苏淮安期末)如图所示，当汽车以12 m/s通过拱形桥顶时，对桥顶的压力为车重的.如果要使汽车在桥面行驶至桥顶时，对桥面的压力恰好为零，则汽车通过桥顶的速度为( )
A．3 m/s B．10 m/s
C．12 m/s D．24 m/s
解析：选D.根据牛顿第二定律得：mg－N＝m，其中N＝mg，解得：R＝57.6 m．当车对桥顶无压力时，有：mg＝，代入数据解得：v′＝24 m/s，选项D正确．
4．(2019·安徽宣城期末)在室内自行车比赛中，运动员以速度v在倾角为θ的赛道上做匀速圆周运动．已知运动员的质量为m，做圆周运动的半径为R，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．运动员做圆周运动的角速度为vR
B．如果运动员减速，运动员将做离心运动
C．运动员做匀速圆周运动的向心力大小是m
D．将运动员和自行车看作一个整体，则整体受重力、支持力、摩擦力和向心力的作用
解析：选C.运动员做圆周运动的角速度为ω＝，选项A错误；如果运动员减速，运动员将做近心运动，选项B错误；运动员做匀速圆周运动的向心力大小是m，选项C正确；将运动员和自行车看作一个整体，则整体受重力、支持力、摩擦力的作用，三个力的合力充当向心力，选项D错误．
5．飞机俯冲拉起时，飞行员处于超重状态，此时座位对飞行员的支持力大于所受的重力，这种现象叫过荷．过荷过重会造成飞行员大脑贫血，四肢沉重，暂时失明，甚至昏厥．受过专门训练的空军飞行员最多可承受9倍重力的支持力影响．取g＝10 m/s2，则当飞机在竖直平面上沿圆弧轨道俯冲速度为100 m/s时，圆弧轨道的最小半径为( )
A．100 m B．111 m
C．125 m D．250 m
解析：选C.由题意知，9mg－mg＝m，代入数值得R＝125 m．选项C正确．
6．在较大的平直木板上相隔一定距离钉几个钉子，将三合板弯曲成拱桥形卡入钉子内形成拱形桥，三合板上表面事先铺上一层牛仔布以增大摩擦，这样玩具惯性车就可以在桥面上跑起来了．把这套系统放在电子秤上做实验，如图所示，关于实验中电子秤的示数下列说法正确的是( )
A．玩具车静止在拱形桥顶端时的示数小一些
B．玩具车运动通过拱形桥顶端时的示数大一些
C．玩具车运动通过拱形桥顶端时处于超重状态
D．玩具车运动通过拱形桥顶端时速度越大(未离开拱形桥)，示数越小
解析：选D.玩具车运动到最高点时，受向下的重力和向上的支持力作用，根据牛顿第二定律有mg－FN＝m，即FN＝mg－m7．(多选)(2019·广东潮州期末)2018年珠海航展，我国五代战机“歼-20”再次闪亮登场．表演中，战机先水平向右，再沿曲线ab向上(如图)，最后沿陡斜线直入云霄．设飞行路径在同一竖直面内，飞行速率不变．则沿ab段曲线飞行时，战机( )
A．所受合外力大小为零
B．所受合外力方向不断变化
C．竖直方向的分速度逐渐增大
D．水平方向的分速度不变
解析：选BC.战机做曲线运动，运动状态发生变化，合外力不为零，故A错误；战机飞行速率不变，合力方向始终与速度方向垂直，即指向圆心，故B正确；飞机速度大小不变，与水平方向的倾角θ增大，则vy＝vsin θ增大，即竖直方向的分速度逐渐增大，故C正确；飞机速度大小不变，与水平方向的倾角θ增大，则vx＝vcos θ减小，即水平方向的分速度减小，故D错误．
8．(多选)在如图所示光滑轨道上，小球滑下经平直部分冲上半圆弧部分的最高点A时，对圆弧的压力为mg，已知圆弧的半径为R，则( )
A．在最高点A，小球受重力和向心力
B．在最高点A，小球受重力和圆弧的压力
C．在最高点A，小球的速度为
D．在最高点A，小球的向心加速度为2g
解析：选BD.小球在最高点受重力和压力，由牛顿第二定律得FN＋mg＝ma＝m，又FN＝mg，所以a＝2g，v＝，选项B、D正确．
9．(2019·安徽滁州期末)一辆汽车以恒定速率驶上一座拱形桥，已知拱桥面的圆弧半径为50 m，g＝10 m/s2.
(1)若要求汽车在经过最高点后不离开桥面，则它的速度不能超过多少？
(2)若汽车的速率为10 m/s，则质量为50 kg的乘客对座位的压力多大？
解析：(1)当汽车对最高点压力刚好为零时，有：
mg＝m
解得：vm＝＝ m/s＝10 m/s
可知汽车的速度不能超过10 m/s.
(2)对乘客分析，根据牛顿第二定律得，m′g－FN＝m′
解得FN＝m′g－m′＝ N＝400 N
根据牛顿第三定律知，质量为50 kg的乘客对座位的压力为400 N.
答案：(1)10 m/s (2)400 N
B组 素养提升练
10．(2019·湖南五市十校期末)如图所示，轻质细杆OA长为1 m，A端固定一个质量为5 kg的小球，小球在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率为3 m/s，g＝10 m/s2，细杆受到( )
A．5 N的压力 B．5 N的拉力
C．95 N的压力 D．95 N的拉力
解析：选A.小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，当在最高点小球与细杆无弹力作用时，小球的速度为v1，则有：mg＝得：v1＝＝ m/s，因为 m/s>3 m/s，所以小球受到细杆的支持力，小球在最高点受力分析：受到重力与支持力，mg－F＝m，则F＝mg－m＝ N＝5 N，所以由牛顿第三定律知细杆受到压力，大小为5 N，选项A正确．
11．(多选)一个质量为m的物体(体积可忽略)，在半径为R的光滑半球顶点处以水平速度v0运动，如图所示，则下列说法正确的是( )
A．若v0＝，则物体对半球顶点无压力
B．若v0＝，则物体对半球顶点的压力为mg
C．若v0＝0，则物体对半球顶点的压力为mg
D．若v0＝0，则物体对半球顶点的压力为零
解析：选AC.设物体受到的支持力为FN，若v0＝，则mg－FN＝m，得FN＝0，则物体对半球顶点无压力，A正确．若v0＝，则mg－FN＝m，得FN＝mg，则物体对半球顶点的压力为mg，B错误．若v0＝0，根据牛顿第二定律mg－FN＝m＝0，得FN＝mg，物体对半球顶点的压力为mg，C正确，D错误．
12．(2019·河南驻马店期末)中国已经成功拥有世界最先进的高铁集成技术、施工技术、装备制造技术和运营管理技术．中国高速列车保有量世界最多、种类最全．高速列车转弯时可认为是在水平面做圆周运动．为了让列车顺利转弯，同时避免车轮和铁轨受损，在修建铁路时会让外轨高于内轨，选择合适的内外轨高度差，以使列车以规定速度转弯时所需要的向心力完全由重力和支持力的合力来提供，如图所示，已知某段弯道内外轨道的倾角为θ，弯道的半径为R，重力加速度为g.
(1)若质量为m的一高速列车以规定速度通过上述弯道时，求该列车对轨道的压力大小．
(2)求上述弯道的规定速度v的大小．
(3)若列车在弯道上行驶的速度大于规定速度，将会出现什么现象或造成什么后果(请写出三条)?
解析：(1)如图所示，有
Ncos θ＝mg
得N＝，由牛顿第三定律知，列车对轨道的压力大小为：N′＝.
(2)由牛顿第二定律
mgtan θ＝m
得v0＝.
(3)①铁轨对车轮有指向弯道内侧的摩擦力；
②将会出现外侧车轮的轮缘对外轨有侧向挤压力(或外轨对外侧车轮的轮缘有侧向挤压力)；
③可能造成车轮和铁轨受损(变形)，甚至出现列车脱轨，造成财产损失和人员伤亡的严重后果．
答案：(1) (2) (3)见解析
