第3节 万有引力理论的成就
学习目标
核心素养形成脉络
1.了解万有引力定律在天文学上的应用．
2．会用万有引力定律计算天体的质量和密度．
3．掌握综合运用万有引力定律和圆周运动知识分析具体问题的方法.
一、“称量”地球的质量
1．思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力．
2．关系式：mg＝G.
3．结果：m地＝，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量．
二、计算天体的质量
1．太阳质量的计算
(1)依据：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力，即G＝．
(2)结论：m太＝，只要知道行星绕太阳运动的周期T和半径r就可以计算出太阳的质量．
2．行星质量的计算：同理，若已知卫星绕行星运动的周期T和卫星与行星之间的距离r，可计算行星的质量M，公式是M＝．
三、发现未知天体、预言哈雷彗星回归
1．“笔尖下发现的行星”是指海王星．
2．海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位．
思维辨析
(1)地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力．( )
(2)若只知道某行星的自转周期和行星绕太阳做圆周运动的半径，则可以求出太阳的质量．( )
(3)牛顿被称作第一个称出地球质量的人．( )
(4)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量．( )
(5)海王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的．( )
提示：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
基础理解
(1)①如果已知地球绕太阳公转的周期和轨道半径，能否计算太阳、地球的质量？
②如果已知月球绕地球公转的周期和轨道半径，能否计算地球、月球的质量？
(2)太阳系中，海王星、冥王星距离太阳很远，是如何被发现的？
提示：(1)①能计算太阳质量，不能计算地球质量．
②能计算地球质量，不能计算月球质量．
(2)他们根据天王星的观测资料，根据万有引力定律计算出来的轨道与实际观测的结果总有一些偏差．
万有引力与重力的关系
问题导引
假如某个人做环球旅行，可能到达地球的任何地点，如果地球看成标准的球体，那么该人分别位于赤道上某点、北半球的某点、南半球的某点、北极点、南极点等不同地点．
(1)该人在各地点所受的万有引力有什么关系？
(2)该人在各地点所受的重力有什么关系？
[要点提示] (1)在各地点所受的万有引力大小相等，方向沿对应的地球半径指向地心．
(2)由于地球自转的影响，该人在各地点所受的重力大小不一定相等，方向也不一定指向地心．
【核心深化】
1．地球表面上的重力与万有引力的关系
如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，由万有引力公式得F＝G.
图中F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力，F2就是物体的重力mg，故一般情况下mg＜G.
2．重力与纬度的关系
(1)在赤道上：重力和向心力在一条直线上，G＝mω2R＋mg.
(2)在两极上：F向＝0，G＝mg.
(3)在一般位置：重力是万有引力的一个分力，G＞mg.越靠近南北两极g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即G＝mg.
3．重力、重力加速度与高度的关系
(1)地球表面物体的重力约等于地球对物体的万有引力，即mg＝G，所以地球表面的重力加速度g＝.
(2)地球上空h高度处，万有引力等于重力，即mg＝G，所以h高度处的重力加速度g＝.
火星半径是地球半径的，火星质量大约是地球质量的，那么地球表面上质量为50 kg的宇航员．(在地球表面的重力加速度g取10 m/s2)
(1)在火星表面上受到的重力是多少？
(2)若宇航员在地球表面能跳1.5 m高，那他在火星表面能跳多高？
[思路点拨] 本题涉及星球表面重力加速度的求法，应先求火星表面的重力加速度，再求宇航员在火星表面所受的重力；然后再利用竖直上抛运动规律求上升的高度．
[解析] (1)在地球表面有mg＝G，得g＝G
同理可知，在火星表面上有g′＝G
即g′＝＝＝g＝ m/s2
宇航员在火星表面上受到的重力
G′＝mg′＝50× N≈222.2 N.
(2)在地球表面宇航员跳起的高度H＝
在火星表面宇航员跳起的高度h＝
综上可知，h＝H＝×1.5 m＝3.375 m.
[答案] (1)222.2 N (2)3.375 m
处理万有引力与重力关系的思路
(1)若题目中不考虑地球自转的影响，不考虑重力随纬度的变化，可认为重力等于万有引力，mg＝G.
(2)若题目中需要考虑地球自转，需要考虑重力随纬度的变化，就要注意重力与万有引力的差别，两极：mg＝G；赤道：mg＋F向＝G.
宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象．若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为( )
A．0 B.
C. D.
解析：选B.由G＝mg得，g＝，故B项正确．
天体质量和密度的计算
问题导引
卡文迪什在实验室测出了引力常量G的值，他称自己是“可以称量地球质量的人”．
(1)他“称量”的依据是什么？
(2)若还已知地球表面重力加速度g，地球半径R，求地球的质量和密度．
[要点提示] (1)若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力．
(2)由mg＝G得，M＝，ρ＝＝＝.
【核心深化】
1．天体质量的计算
重力加速度法
环绕法
情景
已知天体(如地球)的半径R和天体(如地球)表面的重力加速度g
行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动
思路
物体的重力近似等于天体(如地球)与物体间的万有引力：mg＝G
行星或卫星受到的万有引力充当向心力：
G＝m
或G＝mω2r
或G＝mr
结果
天体(如地球)质量：M＝
中心天体质量：M＝
或M＝
或M＝
2.天体密度的计算
(1)一般思路：若天体半径为R，则天体的密度ρ＝，将质量代入可求得密度．
(2)特殊情况
①卫星绕天体做半径为r的圆周运动，若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝，将M＝代入得：ρ＝.当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝.
②已知天体表面的重力加速度为g，则
ρ＝＝＝.
关键能力1 重力加速度法求中心天体的质量和密度
(2019·北师大附中期中)地球半径是R，地球表面的重力加速度是g，引力常量是G.忽略地球自转的影响．如认为地球的质量分布是均匀的，则地球的密度ρ的表达式为( )
A．ρ＝ B．ρ＝
C．ρ＝ D．ρ＝
[解析] 地球表面重力与万有引力相等有：G＝mg，可得地球质量为：M＝；地球的体积为：V＝πR3，所以地球的密度为：ρ＝＝，D项正确．
[答案] D
关键能力2 “环绕法”求中心天体的质量和密度
(2019·重庆一中期末)火星探测器在距火星表面高度为h的轨道绕其飞行，该运动可看作匀速圆周运动．已知探测器飞行一周的时间为 T，火星视为半径为 R 的均匀球体，引力常量为 G，求：
(1)火星的质量 M；
(2)火星表面的重力加速度 g.
[解析] (1)设火星的质量为M，火星探测器质量为m，对火星探测器，有：G＝m(R＋h)
解得： M＝.
(2)物体在火星表面受到的重力等于万有引力＝mg
联立解得火星表面的重力加速度g＝.
[答案] (1) (2)
求解天体质量和密度时的两种常见错误
(1)根据轨道半径r和运行周期T，求得M＝是中心天体的质量，而不是行星(或卫星)的质量．
(2)混淆或乱用天体半径与轨道半径，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用R表示，轨道半径用r表示，这样就可以避免如ρ＝误约分；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径r才可以认为等于天体半径R.
【达标练习】
1．(2019·湖南长郡中学期中)通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量．假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量．这两个物理量可以是( )
A．卫星的质量和轨道半径
B．卫星的运行周期和角速度
C．卫星的质量和角速度
D．卫星的速度和角速度
解析：选D.根据G＝m，可知，卫星的质量可以约去，只知道半径不能求出冥王星质量，故A错误；卫星的运行周期和角速度关系是T＝，也就是说知道周期，就知道了角速度，其实只知道一个量，根据G＝mω2r可知，卫星的质量可以约去，只知道角速度或周期不能求出冥王星质量，所以知道卫星的运行周期和角速度或卫星的质量和角速度，没法计算出冥王星的质量，故B、C错误；卫星围绕冥王星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，已知卫星的速度和角速度，则轨道半径r＝，根据G＝mωv，即可求解冥王星质量M，故D正确．
2．过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的.该中心恒星与太阳的质量比约为( )
A. B．1
C．5 D．10
解析：选B.行星绕恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由G＝mr可得M＝，该中心恒星的质量与太阳的质量之比＝·＝×≈1，故B项正确．
天体运动的分析与计算
问题导引
如图所示，太阳系的行星在围绕太阳运动．
(1)地球、火星等行星绕太阳的运动遵守什么规律？
(2)如何比较地球、火星等行星绕太阳的运动的线速度、角速度、周期及向心加速度等各量的大小关系？
[要点提示] (1)地球、火星等行星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，万有引力提供向心力．
(2)由G＝man＝m＝mω2r＝mr表达式可知线速度、角速度、周期及向心加速度等各量都与轨道半径有关系．
【核心深化】
1．基本思路
一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，即F向＝F万．
2．常用关系
(1)G＝m＝mrω2＝mr＝mωv＝man，万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力．
(2)mg＝G，在天体表面上物体的重力等于它受到的引力，可得gR2＝GM，该公式称为黄金代换．
3．四个重要结论
项目
推导式
关系式
结论
v与r的关系
G＝m
v＝
r越大，
v越小
ω与r的关系
G＝mrω2
ω＝
r越大，
ω越小
续 表
项目
推导式
关系式
结论
T与r的关系
G＝mr()2
T＝2π
r越大，
T越大
a与r的关系
G＝ma
a＝
r越大，
a越小
速记口诀：“越高越慢”
4．双星模型
如图所示，宇宙中有相距较近、质量可以相比的两个星球，它们离其他星球都较远，因此其他星球对它们的万有引力可以忽略不计．在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，这种结构叫作“双星”．
5．双星模型的特点
(1)两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点．
(2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供．
(3)两星的运动周期、角速度都相同．
(4)两星的运动轨道半径之和等于它们之间的距离，即r1＋r2＝L.
关键能力1 天体的运行规律
(2019·北京八中期中)木星至少有16颗卫星，1610年1月7日伽利略用望远镜发现了其中的4颗．这4颗卫星被命名为木卫1、木卫2、木卫3和木卫4.他的这个发现对于打破“地心说”提供了重要的依据．若将木卫1、木卫2绕木星的运动看作匀速圆周运动，已知木卫2的轨道半径大于木卫1的轨道半径，则它们绕木星运行时( )
A．木卫2的周期大于木卫1的周期
B．木卫2的线速度大于木卫1的线速度
C．木卫2的角速度大于木卫1的角速度
D．木卫2的向心加速度大于木卫1的向心加速度
[解析] 研究卫星绕木星表面做匀速圆周运动，根据万有引力提供圆周运动所需的向心力得出：＝m＝mω2r＝m＝ma.由上式可得：T＝2π，知木卫2的轨道半径大于木卫1的轨道半径，木卫2的周期大于木卫1的周期，故A正确；由v＝已知木卫2的线速度小于木卫1的线速度，故B错误；由ω＝知木卫2的角速度小于木卫1的角速度，故C错误；由a＝知木卫2的向心加速度小于木卫1的向心加速度，故D错误．
[答案] A
关键能力2 对双星系统的理解
宇宙中两个相距较近的天体称为“双星”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，但两者不会因万有引力的作用而吸引到一起．设两者的质量分别为m1和m2，两者相距为L.求：
(1)双星的轨道半径之比；
(2)双星的线速度之比；
(3)双星的角速度．
[解析] 这两颗星必须各自以一定的速度绕某一中心转动才不至于因万有引力作用而吸引在一起，从而保持两星间距离L不变，且两者做匀速圆周运动的角速度ω必须相同．如图所示，两者轨迹圆的圆心为O，圆半径分别为R1和R2.由万有引力提供向心力，
有：G＝m1ω2R1①
G＝m2ω2R2②
(1)由①②两式相比，得＝.
(2)因为v＝ωR，
所以＝＝.
(3)由几何关系知R1＋R2＝L③
联立①②③式解得ω＝ .
[答案] (1)m2∶m1 (2)m2∶m1 (3)
【达标练习】
1．(2019·北京海淀区期中)地球的两颗人造卫星A和B，它们的轨道近似为圆．已知A的周期约为12小时，B的周期约为16小时，则两颗卫星相比( )
A．A距地球表面较远 B．A的角速度较小
C．A的线速度较小 D．A的向心加速度较大
解析：选D.由万有引力提供向心力，则有：＝，可得：r＝，可知周期大的轨道半径大，则有A的轨道半径小于B的轨道半径，所以B距地球表面较远，故选项A不正确；根据ω＝可知周期大的角速度小，则有B的角速度较小，故选项B不正确；由万有引力提供向心力，则有：＝可得：v＝，可知轨道半径大的线速度小，则有A的线速度大于B的线速度，故选项C不正确；由万有引力提供向心力，则有：＝ma可得：a＝，可知轨道半径大的向心加速度小，则有A的向心加速度大于B的向心加速度，故选项D正确．
2．(多选)(2019·广东珠海期中)经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的大小远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．两颗星球组成的双星A、B，A、B的质量分别为m1、m2，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2.则可知( )
A．A与B做圆周运动的角速度之比为2∶3
B．A与B做圆周运动的线速度之比为2∶3
C．A做圆周运动的半径为L
D．B做圆周运动的半径为L
解析：选BC.双星靠相互间的万有引力提供向心力，相等的时间内转过相同的角度，则角速度相等，故A项错误；向心力大小相等，有：m1ω2r1＝m2ω2r2，即m1r1＝m2r2，因为质量之比为m1∶m2＝3∶2，则轨道半径之比r1∶r2＝2∶3，所以A做圆周运动的半径为L，B做圆周运动的半径为L，故C项正确，D项错误；根据v＝ωr，角速度相等，有双星的线速度比等于半径比为2∶3，故B项正确．
1．(多选)(2019·湖南长郡中学期中)许多科学家在物理学的发展过程中作出了重要贡献，下列叙述符合事实的是( )
A．开普勒首先指出了行星绕太阳运动的轨道不是圆，而是椭圆
B．海王星是人们根据万有引力定律计算出其轨道后才发现的，被称为“笔尖下发现的行星”
C．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
D．卡文迪什第一次在实验室里测出了引力常量
解析：选ABD.开普勒对天体圆周运动提出质疑，指出了行星绕太阳运动的轨道不是圆，而是椭圆，故A正确；当初发现天王星后，人们发现天王星的实际轨道和按照理论计算的总是不符合．所以人们怀疑在天王星的轨道外有一颗未知的大行星存在，它的引力干扰了天王星的运行．于是人们先计算了这颗行星应该在的位置，然后去那里寻找，果然发现了这颗行星，所以叫它“笔尖下发现的行星”，故B正确；发现了万有引力定律的是牛顿，不是开普勒，故C错误；卡文迪什第一次在实验室里用扭秤实验测出了引力常量G，故D正确．
2．(多选)(2019·辽河油田月考)有一宇宙飞船到了某行星上(假设该行星没有自转运动)，以速度v贴近行星表面匀速飞行，测出运动的周期为T，已知引力常量为G，则可得( )
A．该行星的半径为
B．该行星的平均密度为
C．无法求出该行星的质量
D．该行星表面的重力加速度为
解析：选AB.根据周期与线速度的关系T＝，可得行星的半径为：R＝，故A正确；根据万有引力提供向心力＝m可得行星的质量为：M＝，由M＝πR3·ρ可得：ρ＝，故B正确，C错误；行星表面的万有引力等于重力，＝m＝mg′，解得：g′＝，故D错误．
3．(2019·内蒙古包头期中)由于行星自转的影响，行星表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同．宇航员在某行星的北极处从高h处自由释放一重物，测得经过时间t1重物下落到行星的表面，而在该行星赤道处从高h处自由释放一重物，测得经过时间t2重物下落到行星的表面，已知行星的半径为R，引力常量为G，则这个行星的平均密度是( )
A．ρ＝ B．ρ＝
C．ρ＝ D．ρ＝
解析：选A.在北极，根据h＝gt，得：g＝，根据G＝mg，得星球的质量为：M＝＝，则星球的密度为：ρ＝＝＝，故A正确，B、C、D错误．
4．(2019·湖北孝感期末)中国载人航天工程办公室发布消息称，我国即将建成的空间站包括一个核心舱，两个实验舱．若宇航员通过随身携带的计时工具测得空间站绕地球运动n周的时间为t，又知地球的半径为R，地球表面处的重力加速度为g，引力常量为G.将空间站绕地球的运动看作匀速圆周运动，不考虑地球自转的影响，求空间站离地面的高度h.
解析：不考虑地球自转的影响，在地球表面处质量为m0的物体所受重力等于地球对物体的引力
即：m0g＝G ①
空间站绕地球运动的周期为T＝ ②
空间站绕地球做圆周运动的向心力由地球与空间站间的万有引力提供
G＝m(R＋h) ③
联立①②③式解得：
h＝－R.
答案： －R
(建议用时：30分钟)
A组 学业达标练
1．下列说法正确的是( )
A．海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的
B．天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
C．海王星是人们经过长期的太空观测而发现的
D．天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此人们发现了海王星
解析：选D.由行星的发现历史可知，天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的；海王星不是通过观测发现，也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的，而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差，然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道，从而发现了海王星．由此可知，A、B、C错误，D正确．
2．土星最大的卫星叫“泰坦”(如图所示)，每16天绕土星一周，其公转轨道半径约为1.2×106 km，已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为( )
A．5×1017 kg B．5×1026 kg
C．7×1033 kg D．4×1036 kg
解析：选B.“泰坦”围绕土星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力．G＝mr，其中T＝16×24×3 600 s≈1.4×106 s．代入数据解得M≈5×1026 kg.
3．(2019·湖南郴州期末)宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统．设某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示．若A星轨道半径较大，则( )
A．星球A的质量大于B的质量
B．星球A的线速度大于B的线速度
C．星球A的角速度大于B的角速度
D．星球A的周期大于B的周期
解析：选B.根据万有引力提供向心力mAω2rA＝mBω2rB，因为rA＞rB，所以mA＜mB，即A的质量一定小于B的质量，故A错误；双星系统角速度相等，则周期相等，根据v＝ωr可知，vA＞vB，故B正确，C、D错误．
4．一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要( )
A．测定飞船的运行周期
B．测定飞船的环绕半径
C．测定行星的体积
D．测定飞船的运行速度
解析：选A.取飞船为研究对象，由G＝mR及M＝πR3ρ，知ρ＝，故选A.
5．我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高.2018年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705 km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36 000 km，它们都绕地球做圆周运动．与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是( )
A．周期 B．角速度
C．线速度 D．向心加速度
解析：选A.由万有引力定律有G＝mRω2＝mR＝m＝ma，可得T＝2π，ω＝，v＝，a＝，又由题意可知，“高分四号”的轨道半径R1大于“高分五号”的轨道半径R2，故可知“高分五号”的周期较小，选项A正确．
6．(2019·山东烟台联考)2018年11月1日，我国成功发射第四十一颗北斗导航卫星，这颗卫星属于地球同步卫星；2019年1月3日，我国发射的嫦娥四号探测器在月球背面成功着陆，开启了人类探测月球的新篇章．若嫦娥四号绕月球做匀速圆周运动的半径是第四十一颗北斗导航卫星绕地球运行的轨道半径的，月球质量为地球质量的，则嫦娥四号绕月球做匀速圆周运动的周期与第四十一颗北斗导航卫星绕地球运行的周期之比为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.根据＝m可得T＝，则
＝＝＝，选项A正确．
7．假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.物体在地球的两极时，mg0＝G，物体在赤道上时，mg＋mR＝G，地球质量M＝πR3·ρ，以上三式联立解得地球的密度ρ＝.故选项B正确，选项A、C、D错误．
8．(2019·陕西咸阳期中)如图所示，“洞察”号火星探测器于2018年11月26日成功在火星表面着陆，据新闻媒体报道，“洞察”号火星探测器在着陆前的6分45秒，“洞察”号开始减速，加速度是地球表面重力加速度的12倍．已知火星半径约为地球半径的一半，火星质量约为地球质量的.由这些数据可推知，“洞察”号减速时的加速度与火星表面的加速度的比值为( )
A．3 B．9
C．27 D．81
解析：选C.由星体表面万有引力等于重力：mg＝，解得：g＝.已知火星半径约为地球半径的一半，火星质量约为地球质量的，解得火星与地球表面重力加速度的比值为：g火：g地＝4∶9，“洞察”号开始减速，加速度是地球表面重力加速度的12倍，所以“洞察”号减速时的加速度与火星表面的加速度的比值为27，故C项正确．
9．(多选)(2019·陕西咸阳期中)月球是地球的邻居，是距离我们最近的天体，月球的自转周期和公转周期相等，一般情况下不考虑月球自转，如果要想计算出月球质量，在引力常量G已知的情况下，还需测出( )
A．月球的半径R及其表面重力加速度g
B．人造月球卫星环绕月球做圆周运动的周期T与月球半径R
C．人造月球卫星环绕月球做圆周运动的周期T与轨道半径r
D．人造月球卫星环绕月球做圆周运动的周期T与卫星离月球表面高度h
解析：选AC.根据月球表面物体重力等于万有引力可得：mg＝，所以月球质量M＝，故A项正确；根据万有引力提供向心力可得G＝mr，故可根据人造月球卫星环绕月球做圆周运动的周期T与轨道半径r，求得中心天体月球的质量M，故B项错误，C项正确；根据万有引力提供向心力可得：G＝m(R＋h)，只知道人造月球卫星环绕月球做圆周运动的周期T和卫星离月球表面的高度h，不知道月球的半径，仍然不能求出月球的质量，故D项错误．
B组 素养提升练
10．(多选)据观测，某行星外围有一模糊不清的环，为了判断该环是行星的连续物还是卫星群，又测出了环中各层的线速度v的大小和该层至行星中心的距离R，以下判断中正确的是 ( )
A．若v与R成正比，则环是连续物
B．若v与R成反比，则环是连续物
C．若v2与R成反比，则环是卫星群
D．若v2与R成正比，则环是卫星群
解析：选AC.若环是行星的连续物，则其角速度与行星自转的角速度相同，故v与R成正比，A对，B错．若环是行星的卫星群，则由G＝m可得v2＝G，即v2与R成反比，C对，D错．
11．(多选)(2019·江苏南京高一检测)如图所示，a、b、c是地球大气层外圈圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b质量相等，且小于c的质量，则( )
A．b所需向心力最小
B．b、c的周期相同且大于a的周期
C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
D．b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度
解析：选ABD.因卫星运动的向心力是由它们所受的万有引力提供，由F向＝知b所受的引力最小，故A对．由＝mrω2＝mr得T＝2π，即人造地球卫星运动的周期与其轨道半径三次方的平方根成正比，所以b、c的周期相等且大于a的周期，B对．由＝ma，得a＝，即卫星的向心加速度与轨道半径的平方成反比，所以b、c的向心加速度大小相等且小于a的向心加速度，C错．由＝，得v＝.即地球卫星的线速度与其轨道半径的平方根成反比，所以b、c的线速度大小相等且小于a的线速度，D对．
12．(2019·陕西咸阳期中)中新社北京2019年3月3日电：全国政协委员、中国探月工程总设计师吴伟仁在北京透露明年中国将发射火星探测器，实现火星的环绕着陆和巡视探测．设火星探测器在距离火星表面h高度做周期为T的匀速圆周运动．已知火星的半径为R，引力常量为G.求：
(1)探测到的火星质量；
(2)探测到的火星表面的重力加速度；
(3)探测到的火星的密度．
解析：(1)探测器绕着火星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，故：G＝m(R＋h)
解得火星质量M＝.
(2)在火星表面，万有引力等于重力，故：mg＝
解得火星表面的重力加速度为g＝.
(3)火星的密度为ρ＝＝＝.
答案：(1) (2)
(3)
13．(2019·贵州遵义期末)根据我国航天规划，未来某个时候将会在月球上建立基地，若从该基地发射一颗绕月卫星，该卫星绕月球做匀速圆周运动时距月球表面的高度为h，绕月球做圆周运动的周期为T，月球半径为R，引力常量为G.求：
(1)月球的密度ρ；
(2)在月球上发射绕月卫星所需的最小速度v.
解析：(1)万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
G＝m(R＋h)，
解得月球的质量为：M＝；
则月球的密度为：ρ＝＝.
(2)万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
G＝m，
解得：v＝.
答案：(1) (2)
课件63张PPT。第3节 万有引力理论的成就 第七章 万有引力与宇宙航行第七章 万有引力与宇宙航行地球对物体的万有引力海王星哈雷彗星本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放 (建议用时：30分钟)
A组 学业达标练
1．下列说法正确的是( )
A．海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的
B．天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
C．海王星是人们经过长期的太空观测而发现的
D．天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此人们发现了海王星
解析：选D.由行星的发现历史可知，天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的；海王星不是通过观测发现，也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的，而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差，然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道，从而发现了海王星．由此可知，A、B、C错误，D正确．
2．土星最大的卫星叫“泰坦”(如图所示)，每16天绕土星一周，其公转轨道半径约为1.2×106 km，已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为( )
A．5×1017 kg B．5×1026 kg
C．7×1033 kg D．4×1036 kg
解析：选B.“泰坦”围绕土星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力．G＝mr，其中T＝16×24×3 600 s≈1.4×106 s．代入数据解得M≈5×1026 kg.
3．(2019·湖南郴州期末)宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统．设某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示．若A星轨道半径较大，则( )
A．星球A的质量大于B的质量
B．星球A的线速度大于B的线速度
C．星球A的角速度大于B的角速度
D．星球A的周期大于B的周期
解析：选B.根据万有引力提供向心力mAω2rA＝mBω2rB，因为rA＞rB，所以mA＜mB，即A的质量一定小于B的质量，故A错误；双星系统角速度相等，则周期相等，根据v＝ωr可知，vA＞vB，故B正确，C、D错误．
4．一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要( )
A．测定飞船的运行周期
B．测定飞船的环绕半径
C．测定行星的体积
D．测定飞船的运行速度
解析：选A.取飞船为研究对象，由G＝mR及M＝πR3ρ，知ρ＝，故选A.
5．我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高.2018年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705 km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36 000 km，它们都绕地球做圆周运动．与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是( )
A．周期 B．角速度
C．线速度 D．向心加速度
解析：选A.由万有引力定律有G＝mRω2＝mR＝m＝ma，可得T＝2π，ω＝，v＝，a＝，又由题意可知，“高分四号”的轨道半径R1大于“高分五号”的轨道半径R2，故可知“高分五号”的周期较小，选项A正确．
6．(2019·山东烟台联考)2018年11月1日，我国成功发射第四十一颗北斗导航卫星，这颗卫星属于地球同步卫星；2019年1月3日，我国发射的嫦娥四号探测器在月球背面成功着陆，开启了人类探测月球的新篇章．若嫦娥四号绕月球做匀速圆周运动的半径是第四十一颗北斗导航卫星绕地球运行的轨道半径的，月球质量为地球质量的，则嫦娥四号绕月球做匀速圆周运动的周期与第四十一颗北斗导航卫星绕地球运行的周期之比为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.根据＝m可得T＝，则
＝＝＝，选项A正确．
7．假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.物体在地球的两极时，mg0＝G，物体在赤道上时，mg＋mR＝G，地球质量M＝πR3·ρ，以上三式联立解得地球的密度ρ＝.故选项B正确，选项A、C、D错误．
8．(2019·陕西咸阳期中)如图所示，“洞察”号火星探测器于2018年11月26日成功在火星表面着陆，据新闻媒体报道，“洞察”号火星探测器在着陆前的6分45秒，“洞察”号开始减速，加速度是地球表面重力加速度的12倍．已知火星半径约为地球半径的一半，火星质量约为地球质量的.由这些数据可推知，“洞察”号减速时的加速度与火星表面的加速度的比值为( )
A．3 B．9
C．27 D．81
解析：选C.由星体表面万有引力等于重力：mg＝，解得：g＝.已知火星半径约为地球半径的一半，火星质量约为地球质量的，解得火星与地球表面重力加速度的比值为：g火：g地＝4∶9，“洞察”号开始减速，加速度是地球表面重力加速度的12倍，所以“洞察”号减速时的加速度与火星表面的加速度的比值为27，故C项正确．
9．(多选)(2019·陕西咸阳期中)月球是地球的邻居，是距离我们最近的天体，月球的自转周期和公转周期相等，一般情况下不考虑月球自转，如果要想计算出月球质量，在引力常量G已知的情况下，还需测出( )
A．月球的半径R及其表面重力加速度g
B．人造月球卫星环绕月球做圆周运动的周期T与月球半径R
C．人造月球卫星环绕月球做圆周运动的周期T与轨道半径r
D．人造月球卫星环绕月球做圆周运动的周期T与卫星离月球表面高度h
解析：选AC.根据月球表面物体重力等于万有引力可得：mg＝，所以月球质量M＝，故A项正确；根据万有引力提供向心力可得G＝mr，故可根据人造月球卫星环绕月球做圆周运动的周期T与轨道半径r，求得中心天体月球的质量M，故B项错误，C项正确；根据万有引力提供向心力可得：G＝m(R＋h)，只知道人造月球卫星环绕月球做圆周运动的周期T和卫星离月球表面的高度h，不知道月球的半径，仍然不能求出月球的质量，故D项错误．
B组 素养提升练
10．(多选)据观测，某行星外围有一模糊不清的环，为了判断该环是行星的连续物还是卫星群，又测出了环中各层的线速度v的大小和该层至行星中心的距离R，以下判断中正确的是 ( )
A．若v与R成正比，则环是连续物
B．若v与R成反比，则环是连续物
C．若v2与R成反比，则环是卫星群
D．若v2与R成正比，则环是卫星群
解析：选AC.若环是行星的连续物，则其角速度与行星自转的角速度相同，故v与R成正比，A对，B错．若环是行星的卫星群，则由G＝m可得v2＝G，即v2与R成反比，C对，D错．
11．(多选)(2019·江苏南京高一检测)如图所示，a、b、c是地球大气层外圈圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b质量相等，且小于c的质量，则( )
A．b所需向心力最小
B．b、c的周期相同且大于a的周期
C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
D．b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度
解析：选ABD.因卫星运动的向心力是由它们所受的万有引力提供，由F向＝知b所受的引力最小，故A对．由＝mrω2＝mr得T＝2π，即人造地球卫星运动的周期与其轨道半径三次方的平方根成正比，所以b、c的周期相等且大于a的周期，B对．由＝ma，得a＝，即卫星的向心加速度与轨道半径的平方成反比，所以b、c的向心加速度大小相等且小于a的向心加速度，C错．由＝，得v＝.即地球卫星的线速度与其轨道半径的平方根成反比，所以b、c的线速度大小相等且小于a的线速度，D对．
12．(2019·陕西咸阳期中)中新社北京2019年3月3日电：全国政协委员、中国探月工程总设计师吴伟仁在北京透露明年中国将发射火星探测器，实现火星的环绕着陆和巡视探测．设火星探测器在距离火星表面h高度做周期为T的匀速圆周运动．已知火星的半径为R，引力常量为G.求：
(1)探测到的火星质量；
(2)探测到的火星表面的重力加速度；
(3)探测到的火星的密度．
解析：(1)探测器绕着火星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，故：G＝m(R＋h)
解得火星质量M＝.
(2)在火星表面，万有引力等于重力，故：mg＝
解得火星表面的重力加速度为g＝.
(3)火星的密度为ρ＝＝＝.
答案：(1) (2)
(3)
13．(2019·贵州遵义期末)根据我国航天规划，未来某个时候将会在月球上建立基地，若从该基地发射一颗绕月卫星，该卫星绕月球做匀速圆周运动时距月球表面的高度为h，绕月球做圆周运动的周期为T，月球半径为R，引力常量为G.求：
(1)月球的密度ρ；
(2)在月球上发射绕月卫星所需的最小速度v.
解析：(1)万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
G＝m(R＋h)，
解得月球的质量为：M＝；
则月球的密度为：ρ＝＝.
(2)万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
G＝m，
解得：v＝.
答案：(1) (2)
