沪科版八下：17.1 一元二次方程 教案

一元二次方程
【教学目标】
1．知识与技能：
（1）通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程的概念给一元二次方程下定义；
（2）一元二次方程的一般形式及有关概念。
2．过程与方法：
通过观察，归纳一元二次方程概念，使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式。
3．情感态度与价值观：
（1）通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情；
（2）感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
【教学重难点】
重点：一元二次方程的概念及其一般形式和用一元二次方程的有关概念解决问题。
难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。
【教学方法】
类比法、启发式教学法。
【教学过程】
（一）复习引入
1．你还记得什么叫方程？什么叫方程的解吗？
2．什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？
一般形式：ax +b=0（a≠0）
3．我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤吗？
（（1）审；（2）设；（3）列；（4）解；（5）验；（6）答。）
（二）创设情境
问题1：某蔬菜队2009年全年无公害蔬菜产量为100t，计划2011年无公害蔬菜的产量比2009年翻一番（即为200t）。要实现这一目标，2010年和2011年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？
思考：
1．根据以往的经验，你想用什么知识来解决这个实际问题？
2．如图：如果假设无公害蔬菜产量的年平均增长率是x，2009年的产量为100t，那么2010年无公害蔬菜产量为 ，2011年无公害蔬菜产量为 。
3．你能根据题意，列出方程吗？
100（1+x）2=200即x2+2x1=0 （1）
问题2：在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛。如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？
思考：
1．若设小路的宽是x m，那么横向小路的面积______m2，纵向小路的面积是 m2，两者重叠的面积是 m2．由于花坛的总面积是570m2。
2．你能根据题意，列出方程吗？
32×20(32x+2×20x)＋2x2=570
整理以上方程可得：x236x＋35=0
想一想：还有其它的列法吗？试说明原因。
(20x)(322x)=570
（三）类比发现，探索新知
1．请观察下面两个方程并回答问题：
x2+2x1=0 x236x+35=0
（1）它们是一元一次方程吗？
（2）与一元一次方程有何异同？
（3）通过比较你能归纳出这类方程的特点吗？
特点：
①等号两边都是整式。
②只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是2。
通过与一元一次方程的对比，你能给这类方程取个合理的名字吗？
一般地，任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，我们把ax2+bx+c=0（a≠0）(a，b，c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。其中a称为二次项系数，b称为一次项系数，c称为常数项。
想一想：为什么要限制a≠0，b，c可以为零吗？
4．做一做
（1）列表填空
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
4x2=3x



(x1)29=0



x(x+2)=3(x+2)



（2）下列方程中哪些是一元二次方程，并说明理由？
①x +2=5x-3 ②x2=4
③2x24=(x+2)2 ④
（3）方程（2a-4)x2-2bx+a=0在什么条件下为一元二次方程？
5．议一议：
通过以上习题的练习的情况，你认为在确定一元二次方程的各项系数及常数项的时候，需要注意哪些？
（1）在确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项时必须把方程化为一般形式才能进行。
（2）二次项系数、一次项系数以及常数项都要连同它前面的符号。
（3）二次项系数a≠0。
6．当m 时，方程(m1)x2(2m1)x+m=0是关于x的一元一次方程，
当m 时，上述方程才是关于x的一元二次方程。
分析：如果方程(m1)x2(2m1)x +m=0是关于x的一元一次方程，则满足下列条件：
m－1=0 ①
2m－1≠0 ②
解①得：m=1，把m=1代入②可得2m-1=2-1=1≠0
∴m=1时，该方程为一元一次方程
如果该方程为关于x的一元二次方程，则应满足m-1≠0
解之得m≠1
∴当m≠1时，该方程为一元二次方程
7．巩固练习：
（1）m为何值时，方程是关于x的一元二次方程？
（2）若是关于心得一元二次方程，求ab的值。
（四）归纳小结
本节课学习了哪些内容，有什么收获和体会？