第16章 二次根式
16.1 二次根式
第1课时 二次根式的概念及性质（1）
【教学目标】
知识与技能
理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目．
过程与方法
提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.
情感态度
通过本节的学习培养学生准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力.
【教学重点】
形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念的理解.
【教学难点】
利用“（a≥0）”解决具体问题.
【教学过程】
一、创设情境，提出问题
1.用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
（1）面积为3 的正方形的边长为 ，面积为S 的正方形的边长为 .
问：（1）中式子你是怎么得到的？得到的两个式子有什么不同？
（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它的宽为 m.
问：（2）中得到的式子有什么意义？
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h =5t2，如果用含有h 的式子表示t ，则 .
【教学说明】
由数字到字母，逐步渗透二次根式的概念，使学生对二次根式的由来有一个初步的印象.
2.（3）中当h 的值分别为0，10，15，20，25时，得到的结果分别是什么？ 表示的数怎样变化？
【教学说明】
让学生自主选择数字代入求值，一方面感知二次根式的计算，另一方面对二次根式有意义的条件有一个具体的认识.
二、合作探究，探索新知
1.上面问题中，得到的结果分别是：
（1）这些式子分别表示什么意义？
（2）这些式子有什么共同特征？
答：（1）分别表示3，S，65 的算术平方根．
（2）这些式子的共同特征是:都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根.
【教学说明】让学生观察思考后回答，使学生掌握二次根式的本质含义.
2.根据你的理解，请写出二次根式的定义.
把形如 ,用来表示一个非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式.
【教学说明】用具体的例子来归纳二次根式的定义，便于学生理解掌握.
3.二次根式：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号.
二次根式→被开方数a≥0；根指数为2.
【教学说明】教师及时归纳总结，形成相应的数学知识.
三、示例讲解，掌握新知
例1 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
【分析】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0.
解：二次根式有：；不是二次根式的有：.
【教学说明】教师强调要根据二次根式的定义进行判断,注意二次根式的特征.
例2 当x是多少时，在实数范围内有意义？
【分析】由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义.
解：由3x-1≥0，得：x≥
当x≥时，在实数范围内有意义.
【教学说明】教师强调二次根式有意义的条件是被开方数要大于或等于0，然后根据这一条件列出相应的不等式.
3.小结：请比较a和0 的大小
分类讨论思想
当a＞0 时, 表示a 的算术平方根，因此＞0；当a =0 时， 表示0 的算术平方根，因此=0；
这就是说，（a≥0）是一个非负数.具有双重非负性
【教学说明】教师引导学生进行总结，掌握二次根式的双重非负性.
四、练习反馈，巩固提高
1.下列各式中，是二次根式的为 .
2.当x为何值时，下列各式有意义？
【教学说明】 第1题是对二次根式定义的理解;第2题是对二次根式有意义条件的理解,第3题是对二次根式计算的应用.教师要求学生独立完成，以便于学生及时进行反馈.
五、师生互动，课堂小结
（1）本节课你学到了哪一类新的式子？
（2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？
（3）二次根式与算术平方根有什么关系？一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号. 中的a≥0.
（4）双重非负性
二次根式都是非负数的算术平方根，带有根号的算术平方根是二次根式.
【教学说明】让学生总结归纳，形成知识体系，更进一步掌握本节课知识.
【布置作业】
完成同步练习册中本课时的练习.
【教学反思】
本节课主要学习二次根式的定义和二次根式有意义的条件，以及它们的简单应用.在教学中，要与前面所学习的算数平方根紧密相连，从一个非负数的算数平方根入手，使学生逐步掌握二次根式的定义和二次根式成立的条件，关键是要学生理解为什么二次根式的被开方数是一个非负数，以及怎样应用它的非负性解决简单的问题.这里要注意除了满足被开方数为非负数以外，还要注意分母不能为0.
第2课时 二次根式的概念及性质（2）
【教学目标】
知识与技能
理解=a（a≥0）,=a（a≥0）并利用它进行计算和化简.
过程与方法
通过具体数据的解答，探究=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题.
情感态度
通过本节的学习培养学生准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力.
【教学重点】
（a≥0）是一个非负数；=a（a≥0）和=a（a≥0），及其运用。
【教学难点】
用分类思想的方法导出（a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出=a（a≥0）.
【教学过程】
一、复习提问，导入新课
（学生活动）口答：
1.什么叫二次根式？
2.当a≥0时，叫什么？当a＜0时，有意义吗？
【教学说明】通过复习，让学生回顾二次根式的定义和有意义的条件，为本节课的学习奠定基础.
二、合作探究，探索新知
1.问题1 做一做：根据算术平方根的意义填空：
老师点评 是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于4的非负数，因此有（）2=4.
【教学说明】 这些计算，可以让学生去尝试完成，然后教师引导学生进行总结，发现规律.
【教学说明】 教师及时进行总结，并用含字母的式子表示，便于学生理解和记忆.
3.问题2 （学生活动）填空：
老师点评：根据算术平方根的意义，我们可以得到：
4.小结： 因此，一般地： =a（a≥0）
【教学说明】 让学生先进行相应的计算探究，然后让学生仿照前一个探究进行总结，教师及时予以补充和强调，最后用含有字母的式子进行总结.这里要特别强调a≥0这一条件.
三、示例讲解，掌握新知
例1 计算
【分析】我们可以直接利用=a（a≥0）的结论解题.
【教学说明】 这是对第一个探究的应用，可以让学生自主完成，以加深学生的印象.
例2 化简
【分析】因为（1）9=32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32，所以都可运用=a（a≥0）去化简.
【教学说明】 这是对第二个探究的应用，相对要难一些，可以让学生先自主完成，对于出现的问题教师有针对性的进行讲解，尤其是第（2）、（4）题学生理解起来有一定的困难，教师可以在讲解后，再出1~2题相应的训练及时巩固.
四、练习反馈，巩固提高
1.= .
2.已知有意义，那么这个式子是一个 数.
3.计算
4.把下列非负数写成一个数的平方的形式:
（1）5 （2）3.4 （3） （4）x（x≥0）
5.已知=0，求xy的值.
【答案】1.3 2.非负数
【教学说明】 第1题、第3题是对性质的直接应用，考察学生对性质的掌握情况，第2题和第5题是对二次根式的双重非负性的应用，学生应该掌握相应的解题方法，第4题是对性质的反向应用，培养学生的逆向思维能力.
五、师生互动，课堂小结
（1）你知道了二次根式的哪些性质？
（2）运用二次根式性质进行化简需要注意什么？
（3）请谈谈发现二次根式性质的思考过程？
（4）想一想，到现在为止，你学习了哪几类字母表示数得到的式子？说说你对代数式的认识.
【教学说明】 通过回顾本节课知识，查漏补缺，形成相应的知识体系和解题方法.
【布置作业】
完成同步练习册中本课时的练习.
【教学反思】
本节课重点是学习如何理解=a（a≥0）, =a（a≥0）并利用它进行计算和化简，难点是通过对具体数据的解答，探究=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．在教学中重点要引导学生对的结果进行分类讨论，并总结规律得出=|a|，然后分三种情况进行讨论，指出不能直接等于a.
