人教版四年级上册《教材新解》1 平行与垂直 同步教材详解（含答案）

第五单元 平行四边形和梯形
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1.认识垂线、平行线，理解“互相垂直”及“平行”的含义。
2.会用三角尺画已知直线的垂线和平行线。
3. 掌握平行四边形和梯形的联系与区别，注重动手能力的培养。
1 平行与垂直（教材P56～63）
教材提示
目标导向
1.初步理解垂直和与平行是同一平面内两条直线特殊的两种位置关系，会初步辨析垂线和平行线。
2.通过观察、分类、比较等环节，认识垂线和平行线，感知生活中垂直和平行的现象。
3.体会到垂直与平行的应用和美感，激发我们学习数学的兴趣。
重点导学
1.两条直线的夹角是直角时，两直线垂直。
2.平行线间的距离处处相等。
难点剖析
垂线与平行线的画法。
教材新解
教材讲解
知识点1 认识平行和垂直
【例】在纸上任意画两条直线，会有哪几种情况？
【分析】1．实际操作。
在纸上任意画两条直线，可能会有以下几种情况。
通过观察可以发现：①、⑤、②没有相交，③、 ④相交。
延长没有相交的直线，再次验证是否相交，并测量另外相交直线所成的角的角度。
通过操作可以发现①、⑤的两条直线还是没有相交，②的两条直线延长后相交，③的两条直接相交形成了直角，④的两条直线相交形成了60°和120°的角。
讨论总结。
在同一平面内，两条直线的相互位置关系有两种不同情况；一种是相交，一种是不相交。
4．两种特殊位置关系的定义。
平行：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平等。如图：
上图中a 与b 互相平行，记作a//b，读作a平行于b。
垂直：如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。这两条直线的交点叫做垂足。如图：
上图中直线a 与b 互相垂直，记作a⊥b, 读作a 垂直于b。
5．生活中关于平行和垂直的例子。
生活中关于平行的例子：五线谱种的五条线，窗户相对的框，公路上的斑马线……
生活中关于垂直的例子：镜框长边与短边互相垂直，单杠中的横杠和竖杠互相垂直……
【解答】
在同一平面内，两条直线不相交就平行。
【知识归纳】
1．在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。
2．如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，两条直线的交点叫做垂足。
知识点2 垂线的画法
【例】你能画出互相垂直的两条直线吗？
【分析】1．过直线上一点画垂线。
方法一：用三角尺画垂线。
先把三角尺的一条直角边与已知直线重合。然后沿着直线移动三角尺，使三角尺的直角顶点和直线上的已知点重合。最后从直角的顶点起沿另一条直角边画一条射线，在垂足处标记出垂直符号。
方法二：用量角器画垂线。
先将量角器的中心点与已知点重合，0 刻度线于这条直线对齐。然后在量角器90 度处点一个点，再把这个点与已知直线上的点连接起来。最后在垂足处标出垂直符号。
过直线外一点画这条直线的垂线，用三角尺应该怎样画呢？试一试。
（1）方法提示。
也可以用量角器来画，但没有用三角尺画方便。
（2）操作方法。
① 把三角尺的一条直角边与直线重合。
② 沿着直线移动三角尺，使三角尺的另一直角边直线外的一点重合。
③ 沿三角尺的另一直角边画一条直线。
④ 最后标出垂直符号。
【解答】如图所示：
【知识归纳】
在画两条互相垂直的两条直线时，可以借助三角尺或量角器来画，其中用一把三角尺来画比较方便。
在画已知直线的垂线时，可以借助三角尺来画。但在移动三角尺时，必须保证三角尺与直线重合的直角边始终与直线重合，不能错位。
知识点3 点到直线的距离
【例】把直线外一点A 与直线上任意一点连接起来，可以画出很多条线段，用尺量一量所画线段的长度，哪一条线段最短？
【分析】
实际测量发现，这些线段的长度各不相等，但垂直线段c 最短，c 的长度便是点A到这条直线的距离。
距离定义：从直线外一点到这条线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。
要点发现：点到直线的距离必须是垂直线段。
下图中，a//b。在a 上任选几个点，分别向b 画垂直的线段。量一量这些线段的长度，你发现了什么？
先选几个点画出平行线间的垂直线段。如图：
再量一量这些线段的长度，发现平行线间的距离处处相等。
【知识归纳】
画已知直线的垂线用三角尺比较方便。先把三角尺的一条直角边已知直线重合。然后沿着直线移动三角尺，使三角尺的另一条直角边过直线外一点。然后沿三角尺的另一条直角边画一条直线。最后在垂足处标出垂直符号。
点到直线的距离就是从直线外一点到这条直线的垂直线段的长度。平行线间的距离处处相等。
知识点4 平行线和垂线的运用
【例】画一个长10 厘米、宽8 厘米的长方形。
【分析】1.理解题意。
已知长方形的长和宽，要画出这个长方形因为长方形相邻的两条边互相垂直，可以用画垂线和平行线的方法来画。
2.具体画法。
（1）先画一条10 厘米长的线段。
（2）从画出的线段两端，画两条与这条线段垂直的两条线段，使他们分别长8 厘米。
（3）把这两条线段另外的端点连接起来。
【知识归纳】
画长方形时，先画出长方形的长，再从画出的长的两端，向同一方向画两条与长垂直的两条宽，最后把两条宽另外的端点连起来。
误区点拨
【误区1】判断：在同一平面内不相交的两条线叫平行线。（ ）
错误解答：√
误区分析：此题错在对平行线的认识不够清楚，平行线中的“线”必须是直线，而不是曲线。如，就不能算是平行线。因此说，在同一平面内不相交的两条直线叫平行线。
正确解答：×
提示：需要明确的是，无论平行还是垂直都是指同一平面内两条直线的位置关系。
【误区2】判断：两条直线相交，它们就互相垂直。（ ）
错误解答：√
误区分析：两条直线垂直必须具备的两个条件是:①相交；②成直角。而命题中只说两条直线相交，并未说成直角，所以表述错误。
正确解答：×
提示：此题考查学生的是相交和垂直的定义，垂直是相交的特殊形式。
【误区3】选择：过点A画已知直线的平行线。正确的是（ ）
A· A· A·

(1) (2) (3)
错误解答：（1）2）
误区分析：此题错在没有掌握平行线的画法，在移动三角尺的时候，没有紧靠直尺。
正确解答：（3）
提示：画直线的平行线，在移动三角尺是不能移动直尺，同时三角尺要紧靠直尺移动，这样画出的线才能与已知直线平行。
典型剖析
【例1】判断下面各组中的两条直线是否互相垂直。
【思路点拨】两条直线互相垂直时，所成的角是直角。我们用三角尺的直角去比较一下各组的角，可以发现只有图（1）相交成的角是直角，所以图（1）中的两条直线是互相垂直的。
【解答】图（1）中的两条直线互相垂直。
【知识归纳】
本题主要考查对垂直及垂线概念的认识，相交成直角的两条直线互相垂直。
【例2】如图，A村要安装自来水，用自来水管接水到A村，怎样接最近?
【思路点拨】因为从直线外一点到这条直线的线段中以和这条直线垂直的线段最短，所以只要从A点向自来水管作一条垂线，沿垂线接水管最近。
【解答】
沿A村到自来水管的垂线处接水管最近。
【知识归纳】
此题实质上还是对“从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂线段最短”的考查。

蒲丰试验
　　一天,法国数学家蒲丰请许多朋友到家里,做了一次试验.蒲丰在桌子上铺好一张大白纸,白纸上画满了等距离的平行线,他又拿出很多等长的小针,小针的长度都是平行线的一半.蒲丰说:“请大家把这些小针往这张白纸上随便仍吧！”客人们按他说的做了。
蒲丰的统计结果是：大家共掷2212次，其中小针与纸上平行线相交704次，2210÷704≈3.142。蒲丰说：“这个数是π的近似值。每次都会得到圆周率的近似值，而且投掷的次数越多，求出的圆周率近似值越精确。”这就是著名的“蒲丰试验”。