第4节 机械能守恒定律
学习目标
核心素养形成脉络
1.知道什么是机械能，知道物体的动能和势能可以相互转化．
2．会正确推导物体在光滑曲面上运动过程中的机械能守恒，理解机械能守恒定律的内容，知道它的含义和适用条件．
3．在具体问题中，能判定机械能是否守恒，并能应用机械能守恒定律解决简单问题.
一、追寻守恒量
能量：伽利略实验表明：小球在运动过程中，“有某一量是守恒的”，这个量就是能量．
二、动能与势能的相互转化
1．重力势能与动能：只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能减少，动能增加，重力势能转化成了动能；若重力做负功，则动能转化为重力势能．
2．弹性势能与动能：只有弹簧弹力做功时，若弹力做正功，则弹簧弹性势能减少，物体的动能增加，弹性势能转化为动能．
3．机械能：重力势能、弹性势能和动能的统称，表达式为E＝Ek＋Ep.
三、机械能守恒定律
1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．
2．表达式：Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1或E2＝E1 .
思维辨析
(1)通过重力做功，动能和重力势能可以相互转化．( )
(2)弹性势能发生了改变，一定有弹力做功．( )
(3)机械能守恒时，物体一定只受重力和弹力作用．( )
(4)合力为零，物体的机械能一定守恒．( )
(5)合力做功为零，物体的机械能保持不变．( )
(6)只有重力做功时，物体的机械能一定守恒．( )
提示：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√
基础理解
(1)毛泽东的诗词中曾写到 “一代天骄成吉思汗，只识弯弓射大雕”．试分析成吉思汗在弯弓射雕过程中，涉及机械能中哪些能量之间的转化？
(2)如图所示，一小球自A点由静止自由下落，到B点时与弹簧接触，到C点时弹簧被压缩到最短．若不计弹簧质量和空气阻力，在小球由A→B→C的过程中，小球的重力势能、动能及机械能如何变化？
提示：(1)箭被射出过程中，弹性势能转化为箭的动能；箭上升过程中，动能向重力势能转化；下落过程中，重力势能又向动能转化．
(2)重力势能减小 动能先增大后减小 机械能先不变后减小
对机械能守恒条件的理解
问题导引
如图所示，过山车由高处在关闭发动机的情况下飞奔而下．(忽略轨道的阻力和其他阻力)
过山车下滑时，过山车受哪些力作用？各做什么功？动能和势能怎么变化？机械能守恒吗？
[要点提示] 过山车下滑时，如果忽略阻力作用，过山车受重力和轨道支持力作用；重力做正功，支持力不做功，动能增加，重力势能减少，机械能保持不变．
【核心深化】
1．对机械能守恒条件的理解
(1)物体只受重力，只发生动能和重力势能的相互转化，如自由落体运动、抛体运动等．
(2)只有弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化．如在光滑水平面上运动的物体碰到一个弹簧，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒．
(3)物体既受重力，又受弹力，重力和弹力都做功，发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化，如自由下落的物体落到竖直的弹簧上和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒．
(4)除受重力或弹力外，还受其他力，但其他力不做功，或其他力做功的代数和为零．如物体在沿斜面的拉力F的作用下沿斜面向下运动，其拉力的大小与摩擦力的大小相等，在此运动过程中，其机械能守恒．
2．判断机械能是否守恒的方法
(1)利用机械能的定义判断(直接判断)：若物体动能、势能均不变，机械能不变．若一个物体动能不变、重力势能变化，或重力势能不变、动能变化或动能和重力势能同时增加(或减小)，其机械能一定变化．
(2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒．
(3)用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒．
关键能力1 单个物体的机械能守恒判断
(2019·广东深圳期末)以下四种情境中，物体a机械能守恒的是(不计空气阻力)( )
[解析] 物块a在沿固定斜面匀速下滑和沿粗糙的圆弧面加速下滑过程中都受到摩擦力作用，有内能的产生，物块a的机械能不守恒，故A、B错误；摆球a由静止释放，自由摆动过程中只有重力做功，摆球a的动能和重力势能相互转化，机械能守恒，故C正确；小球a由静止释放至运动到最低点的过程中，小球a和弹簧组成的系统机械能守恒，小球a的机械能不守恒，故D错误．
[答案] C
关键能力2 系统的机械能守恒判断
(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒
B．乙图中，A置于光滑水平面，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力时A加速下落，B加速上升过程中，A、B组成的系统机械能守恒
D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒
[思路点拨] 判断机械能是否守恒的关键：一是注意系统的选择；二是看系统内重力、弹力之外的力是否做功．
[解析] 甲图中重力和弹簧弹力做功，系统机械能守恒，但弹簧的弹性势能增加，A的机械能减少，A错；B物体下滑，B对A的弹力做功，A的动能增加，B的机械能减少，B错；丙图中A、B组成的系统只有重力做功，机械能守恒，C对；丁图中小球受重力和拉力作用，但都不做功，小球动能不变，机械能守恒，D对．
[答案] CD
判断机械能是否守恒应注意的问题
(1)物体在共点力作用下所受合外力为0是物体处于平衡状态的条件．物体受到的合外力为0时，它一定处于匀速直线运动状态或静止状态，但物体的机械能不一定守恒．
(2)合外力做功为0是物体动能不变的条件．合外力对物体不做功，它的动能一定不变，但它的机械能不一定守恒．
(3)只有重力做功或系统内弹簧类弹力做功是机械能守恒的条件．只有重力对物体做功时，物体的机械能一定守恒；只有重力或系统内弹簧类弹力做功时，系统的机械能一定守恒．
【达标练习】
1．(2019·江苏淮安期末)物体做下列几种运动，其中物体的机械能守恒的是( )
A．平抛运动
B．竖直方向上做匀速直线运动
C．水平方向上做匀变速直线运动
D．竖直平面内做匀速圆周运动
解析：选A.平抛运动的物体只受到重力的作用，所以机械能守恒，故A正确；物体在竖直方向做匀速直线运动，说明物体受力平衡，除了重力之外还有其他的外力的作用，并且其他的外力对物体做功，所以机械能不守恒，故B错误；水平方向上做匀变速直线运动，动能变化，重力势能不变，所以机械能也变化，故C错误；竖直平面内做匀速圆周运动，速度的大小不变，动能不变，但是物体的高度变化，即重力势能发生变化，所以物体的机械能不守恒，故D错误．
2.木块静止挂在绳子下端，一子弹以水平速度射入木块并留在其中，再与木块一起共同摆到一定高度如图所示，从子弹开始射入到共同上摆到最大高度的过程中，下列说法正确的是( )
A．子弹的机械能守恒
B．木块的机械能守恒
C．子弹和木块总机械能守恒
D．子弹和木块上摆过程中机械能守恒
解析：选D.子弹射入木块过程，系统中摩擦力做负功，机械能减少；而共同上摆过程，系统只有重力做功，机械能守恒．综上所述，整个过程机械能减少，减少部分等于克服摩擦力做功产生的热量．
机械能守恒定律的应用
问题导引
如图所示，是运动员投掷铅球的动作，如果忽略铅球所受空气的阻力．
(1)铅球在空中运动过程中，机械能是否守恒？
(2)若铅球被抛出时速度大小一定，铅球落地时的速度大小与运动员将铅球抛出的方向有关吗？
(3)在求解铅球落地的速度大小时，可以考虑应用什么规律？
[要点提示] (1)由于阻力可以忽略，铅球在空中运动过程中，只有重力做功，机械能守恒．
(2)根据机械能守恒定律，落地时速度的大小与运动员将铅球抛出的方向无关．
(3)可以应用机械能守恒定律，也可以应用动能定理．
【核心深化】
1．机械能守恒定律的不同表达式
表达式
物理意义
守恒角度
Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末
初状态的机械能等于末状态的机械能
转化角度
Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp
过程中动能的增加量等于势能的减少量
转移角度
EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB
系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能(不用选择参考平面)
2.应用机械能守恒定律解题的步骤
关键能力1 单个物体的机械能守恒问题
如图所示，质量为m的小物块在粗糙水平桌面上做直线运动，经距离l后以速度v飞离桌面，最终落在水平地面上．已知l＝1.4 m，v＝3.0 m/s，m＝0.10 kg，物块与桌面间的动摩擦因数μ＝0.25，桌面高h＝0.45 m．不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2.求：
(1)小物块落地点距飞出点的水平距离s；
(2)小物块落地时的动能Ek；
(3)小物块的初速度大小v0.
[思路点拨] 解答本题时应把握以下两点：
(1)小物块飞离桌面后做平抛运动，机械能守恒，根据平抛运动规律和机械能守恒定律求解小物块飞过的水平距离和落地时的动能；
(2)小物块在桌面上运动时摩擦力做负功，根据动能定理求解小物块的初速度．
[解析] (1)小物块飞离桌面后做平抛运动，根据平抛运动规律，有
竖直方向：h＝gt2
水平方向：s＝vt
解得水平距离s＝v＝0.90 m.
(2)小物块从飞离桌面到落地的过程中机械能守恒，根据机械能守恒定律可得小物块落地时的动能为
Ek＝mv2＋mgh＝0.90 J.
(3)小物块在桌面上运动的过程中，根据动能定理，有
－μmg·l＝mv2－mv
解得小物块的初速度大小v0＝＝4.0 m/s.
[答案] (1)0.90 m (2)0.90 J (3)4.0 m/s
关键能力2 多个物体的机械能守恒问题
如图所示，质量不计的轻杆一端安装在水平轴O上，杆的中央和另一端分别固定一个质量均为m的小球A和B(可以当作质点)，杆长为l，将轻杆从静止开始释放，不计空气阻力．当轻杆通过竖直位置时，求：小球A、B的速度各是多少？
[思路点拨] A球和B球单独随轻杆在空间转动时它们运动的快慢程度是不同的，即A、B球和轻杆一起转动的过程中，轻杆对A、B球做功，因此两球机械能均不守恒，但以A、B(包括轻杆)作为一个系统，只有小球的重力和系统弹力做功，系统机械能守恒．
[解析] 对A、B(包括轻杆)组成的系统，由机械能守恒定律－ΔEp＝ΔEk得
mg＋mgl＝mv＋mv①
又因A、B两球的角速度ω相等，则vA＝ω②
vB＝ωl③
联立①②③式，代入数据解得
vA＝ ，vB＝2.
[答案] 2
【达标练习】
1．(2019·黑龙江大庆铁人中学期末)将物体由地面竖直上抛，如果不计空气阻力，物体能够达到的最大高度为H，以地面为零势能面，当物体在上升过程中的某一位置，它的动能是重力势能的2倍，则这一位置的高度为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.物体总的机械能为mgH，当高度为h时，动能是势能的2倍，即动能为2mgh，由机械能守恒定律可得：mgh＋2mgh＝mgH解得：h＝，故B项正确．
2．(多选)(2019·北京西城区期末)如图所示，弧形光滑轨道的下端与轨道半径为R的竖直光滑圆轨道相接，使质量为m的小球从高h的弧形轨道上端自由滚下，小球进入圆轨道下端后沿圆轨道运动．当小球通过圆轨道的最高点时，对轨道的压力大小等于小球重力大小．不计空气阻力，重力加速度为g，则( )
A．小球通过最高点时的速度大小为
B．小球在轨道最低点的动能为2.5mgR
C．小球下滑的高度h为3R
D．小球在轨道最低点对轨道压力的大小为7mg
解析：选ACD.小球经过最高点，对轨道的压力N＝mg，依据牛顿第三定律可知轨道对小球的压力为mg，由牛顿第二定律有：mg＋mg＝m，解得v＝，故A正确；小球自开始下滑到圆轨道最高点的过程，依据动能定理有mg(h－2R)＝mv2，解得 h＝3R，故C正确；设小球从高的位置释放运动到最低点时的速度为v1，受轨道的压力为N1，根据牛顿第二定律有，N1－mg＝m，小球由最低点运动到最高点的过程，根据动能定理有，mg·2R＝mv－mv2，解得最低点动能mv＝3mgR，压力N1＝7mg，故B错误，D正确．
1．(2019·北师大附中期末)如图所示，一个用细线悬挂的小球从A点开始摆动，记住它向右能够达到的最大高度，然后用一把直尺在P点挡住悬线，继续观察之后小球的摆动情况并分析，下列结论中正确的是( )
A．在P点放置直尺后，悬线向右摆动的最大高度明显低于没放直尺时到达的高度
B．在P点放置直尺后，悬线向右摆动的最大高度明显高于没放直尺时到达的高度
C．悬线在P点与直尺碰撞前、后的瞬间相比，小球速度变大
D．悬线在P点与直尺碰撞前、后的瞬间相比，小球加速度变大
解析：选D.小球从A点开始摆动，在P点挡住摆线后，小球能继续运动，在整个过程中机械能的总量保持不变，机械能是守恒的，小球能上升到原来的高度，故A、B错误；小球到达最低点时水平方向不受力，则悬线在P点与直尺碰撞前、后的瞬间相比，小球速度大小不变，而半径变小，根据a＝可知，小球加速度变大，故C错误，D正确．
2.(多选)如图所示，一轻质弹簧一端固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平高度且弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物从A点摆向最低点B的过程中，下列说法中正确的是( )
A．重物的重力势能减小
B．重物的动能增大
C．重物的机械能不变
D．重物的机械能减小
解析：选ABD.重物从A点释放后，在从A点向B点运动的过程中，重物的重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，弹簧逐渐被拉长，即弹簧的弹性势能逐渐增大，所以重物减小的重力势能一部分转化为重物的动能，另一部分转化为弹簧的弹性势能，对重物来说，它的机械能减小，故正确选项为A、B、D.
3．(2019·湖北孝感期末)如图所示，某同学在离地面高度为h1处沿与水平方向成θ夹角抛出一质量为m的小球，小球运动到最高点时离地面高度为h2.若该同学抛出小球时对它做功为W，重力加速度为g，不计空气阻力．则下列说法正确的是( )
A．小球抛出时的初动能为W＋mgh1
B．小球在最高点的动能为W＋mgh1－mgh2
C．小球落到地面前瞬间的动能为W＋mgh2
D．小球落到地面时的机械能与抛出时的角度θ有关
解析：选B.对于抛球的过程，根据动能定理可得，抛出时初动能为W，故A错误；从开始抛球到球到最高点的过程，由动能定理得：小球在最高点的动能为W＋mgh1－mgh2，故B正确；小球在落到地面前瞬间的动能为W＋mgh1故C错误；小球在落到地面前过程中机械能守恒，与抛出时的角度θ无关，故D错误．
4．(2019·安徽合肥期末)如图，初速度大小相同的A、B、C三个物体在同一水平面上，A做竖直上抛，B做斜上抛，抛射角θ，C沿斜面上滑(斜面光滑，倾斜角也为θ，足够长)，摩擦和空气阻力都略去不计，如用hA、hB、hC分别表示它们各自上升的最大高度．则( )
A．hA＝hC＞hB B．hA＝hB＝hC
C．hB ＞hC ＝hA D．hA＞hB＞hC
解析：选A.对于A、C两个球，达到最高点时，A、C两个球的速度均为零，物体的动能全部转化为重力势能，所以A、C的最大高度相同，D错误；对于B球来说，由于B是斜抛运动，在水平方向上有一个速度，这个分速度的动能不会转化成物体的重力势能，所以B球在最高点时的重力势能要比A、C两球的小，所以高度要比A、C两球的高度小，A正确，B、C错误．
(建议用时：30分钟)
A组 学业达标练
1．(2019·广东省实验中学期中)如图所示的四种情景中，属于重力势能转化为动能的是( )
A．(a)图运动员把弯弓拉开将箭射出
B．(b)图跳伞运动员匀速下落
C．(c)图跳水运动员从空中下落
D．(d)图运动员骑自行车冲向坡顶
解析：选C.运动员把弯弓拉开将箭射出，是弹性势能转化为动能的过程，故A错误；跳伞运动员匀速下落，质量不变，速度不变，动能不变，高度变小，重力势能减小，所以重力势能转化为其他形式的能，故B错误；跳水运动员从空中下落，质量不变，速度增大，动能增大，高度减小，重力势能减小，此过程中，重力势能转化为动能，故C正确；运动员骑自行车冲向坡顶，运动员和自行车的质量不变，速度减小，动能减小，高度增大，重力势能增大，此过程中，动能转化为重力势能，故D错误．
2．(多选)(2019·广东中山期末)下列关于机械能守恒的判断正确的是( )
A．拉着一个物体沿着光滑的斜面匀速上升时，物体的机械能守恒
B．如果忽略空气阻力作用，物体做竖直上抛运动时，机械能守恒
C．一个物理过程中，当重力和弹力以外的力做了功时，机械能不再守恒
D．合外力对物体做功为零时，物体机械能一定守恒
解析：选BC.拉着一个物体沿着光滑的斜面匀速上升时，动能不变，势能增大，故机械能增大，故A错误；物体做竖直上抛运动时，只有重力做功，故机械能守恒，故B正确；机械能守恒的条件是除重力和弹力以外的力做功的代数和为0，或者不做功，当重力和弹力以外的力做了功时，物体的机械能不守恒，故C正确；合外力对物体做功为零时，如在拉力作用下竖直向上的匀速运动，物体机械能不守恒，故D错误．
3．(2019·湖南张家界期末)把小球放在竖立的弹簧上，并把球往下按至A的位置，如图甲所示．迅速松手后，球升高至最高位置C(图丙)，途中经过位置B时弹簧正处于原长(图乙)．松手后，小球从A到B再到C的过程中，忽略弹簧的质量和空气阻力，下列分析正确的是( )
A．小球处于A位置时小球的机械能最小
B．小球处于B位置时小球的机械能最小
C．小球处于C位置时小球的机械能最小
D．小球处于A、B、C三个位置时小球的机械能一样大
解析：选A.对于系统而言，只有重力和弹簧弹力做功，动能、重力势能、弹性势能相互转化，系统机械能守恒，所以小球处于A、B、C三个位置时系统机械能一样大；而对于小球而言，在A到B的过程中，弹簧对小球做正功，弹簧弹性势能减小，故小球机械能增加，B到C过程中小球只有重力做功，小球机械能不变，所以小球在A位置机械能最小，B、C位置小球机械能一样大，故A正确．
4．(2019·江苏泰州中学期末)如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后的物体以速度vt落到比地面低h的海平面上，若以地面为零势能的参考面且不计空气阻力，则下列说法中正确的是( )
A．物体落到海平面时的重力势能为mgh
B．物体在海平面上的机械能为mv
C．物体在海平面上的动能为mv－mgh
D．物体在海平面上的机械能为mv
解析：选D.以地面为零势能面，海平面低于地面h，所以物体在海平面上时的重力势能为－mgh，故A错误；物体在海平面上的机械能为 E＝mv－mgh，故B错误；物体运动的过程中，只有重力对物体做功，物体的机械能守恒，则mv＝Ek＋(－mgh)，得物体在海平面上的动能为 Ek＝mv＋mgh，故C错误；整个过程机械能守恒，即初末状态的机械能相等，以地面为零势能面，抛出时的机械能为mv，所以物体在海平面时的机械能也为mv，故D正确．
5.(多选)(2019·广东佛山四校期末)如图所示，质量相同的两物体处于同一高度，A沿固定在地面上的光滑斜面下滑，B自由下落，最后到达同一水平面，取地面为零势能面，则( )
A．重力对两物体做功相同
B．重力的平均功率PA< PB
C．到达底端时重力的瞬时功率相同
D．到达底端时两物体的机械能不相同
解析：选AB.两物体下落的高度，重力做功为：W＝mgh，由于m、g、h都相同，则重力做功相同，故A正确；A沿斜面向下做匀加速直线运动，B做自由落体运动，A的运动时间大于B的运动时间，重力做功相同，由P＝可知，PA< PB，故B正确；由机械能守恒定律可知，mgh＝mv2，得v＝，则知到达底端时两物体的速度大小相等，到达底端时A重力的瞬时功率 PA＝mgvsin θ，B重力的瞬时功率 PB＝mgv，所以PA＜PB，故C错误；两物体运动过程中只有重力做功，机械能守恒，两物体初态机械能相同，则到达底端时两物体的机械能相同，故D错误．
6．(多选)(2019·山东济南外国语学校检测)如图所示，在两个质量分别为m和2m的小球a和b之间，用一根轻质细杆连接，两小球可绕过轻杆中心的水平轴无摩擦转动，现让轻杆处于水平位置，静止释放小球后，重球b向下转动，轻球a向上转动，在转过90°的过程中，以下说法正确的是( )
A．b球的重力势能减少，动能增加
B．a球的重力势能增加，动能减少
C．a球和b球的机械能总和保持不变
D．a球和b球的机械能总和不断减小
解析：选AC.在b球向下、a球向上摆动过程中，两球均在加速转动，两球动能增加，同时b球重力势能减少，a球重力势能增加，A正确，B错误；a、b两球组成的系统只有重力和系统内弹力做功，系统机械能守恒，C正确，D错误．
7．(多选)两个质量不同的小铁块A和B，分别从高度相同的都是光滑的斜面和圆弧面的顶点滑向底部，如图所示．如果它们的初速度都为0，则下列说法正确的是( )
A．下滑过程中重力所做的功相等
B．它们到达底部时动能相等
C．它们到达底部时速率相等
D．它们在最高点时的机械能和它们到达最低点时的机械能大小各自相等
解析：选CD.小铁块A和B在下滑过程中，只有重力做功，机械能守恒，则由mgH＝mv2，得v＝，所以A和B到达底部时速率相等，故C、D正确；由于A和B的质量不同，所以下滑过程中重力所做的功不相等，到达底部时的动能也不相等，故A、B错误．
8.(多选)(2019·酒泉玉门一中期末)如图为“嫦娥二号”的姐妹星“嫦娥一号”某次在近地点A由轨道1变轨为轨道2的示意图，其中B、C分别为两个轨道的远地点．关于上述变轨过程及“嫦娥一号”在两个轨道上运动的情况，下列说法中正确的是( )
A．“嫦娥一号”在轨道1的A点处应点火减速
B．“嫦娥一号”在轨道2的A点向C点运动的过程动能减小，势能增大
C．“嫦娥一号”在轨道1的B点运动到A点万有引力做正功，动能增大，机械能守恒
D．以上说法均不正确
解析：选BC.要想使“嫦娥一号”在近地点A由轨道1变轨为轨道2，需要加速做离心运动，应在A点加速，故选项A错误； “嫦娥一号”在轨道2的A点向C点运动的过程中，克服万有引力做功，卫星动能减小，势能增大，故选项B正确； “嫦娥一号”在轨道1的B点运动到A点的过程中，万有引力做正功，动能增大，机械能守恒，故选项C正确，选项D错误．
9．(2019·湖北孝感期末)滑板运动深得青少年的喜爱．如图所示为滑板运动轨道的示意图，某同学(可视为质点)沿倾角为θ＝30°的倾斜直轨道AB滑下，通过M点时速度为5 m/s，后经水平直轨道BC，冲上轨道CD，到N点速度减小为零．已知该同学质量m＝50 kg，M点与 B点的距离L＝3.0 m，取重力加速度g＝10 m/s2.轨道各部分间均平滑连接，不计一切摩擦和空气阻力．求：
(1)该同学运动到B点时的动能Ek；
(2)N点离水平轨道的高度H.
解析：(1)以水平轨道为零势能面，设该同学经过M点时速度为vM，由下滑过程中机械能守恒得，该同学运动到B点时的动能：
Ek＝mv＋mgLsin 30°
代入数据得：Ek＝1 375 J.
(2)由于该同学整个运动过程中机械能守恒，有：
mv＋mgLsin 30°＝mgH
代入数据得：H＝2.75 m.
答案：(1)1 375 J (2)2.75 m
B组 素养提升练
10．(2019·内蒙古集宁一中期末)如图，一质量为M的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大环上质量为m的小环(可视为质点)，从大环的最高处由静止滑下．重力加速度大小为g.当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为( )
A．5mg B．Mg＋4mg
C．Mg＋5mg D．Mg＋10mg
解析：选C.设大环底端处为重力势能零点，大环半径为R，小环在最低点速度为v，由于小环运动过程中只受弹力和重力，弹力和运动方向始终垂直，所以弹力不做功，只有重力做功，所以根据机械能守恒可得：
mv2＝2mgR
解得：v＝＝2
当小环到达大环最低点时，分析小环的受力得：
F支－mg＝
把v＝2代入得：F支＝5mg
分析大环的受力，大环受到自身重力和小环竖直向下的压力5mg，故大环对轻杆的拉力为：Mg＋5mg，C正确．
11.如图，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍．当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高．将A由静止释放，B上升的最大高度是( )
A．2R B.
C. D.
解析：选C.运用机械能守恒定律：当A下落到地面前，对A、B整体有：2mgR－mgR＝×2mv2＋mv2，A落地后，对B球有mv2＝mgh，解得h＝，即A落地后
B还能再升高，上升的最大高度为R，故选项C正确，A、B、D错误．
12．(2019·河北张家口期末)如图是弹簧枪发射钢珠前，测量弹簧的弹性势能的装置，M为半径R＝1.6 m、固定于竖直平面内的光滑半圆弧轨道，A、B分别是轨道的最低点和最高点；N为钢珠接收罩，它是一个与轨道的最低点A相平的水平很大的接收罩．在A放置水平向左的弹簧枪(枪的水平长度远小于M的半径)，可向M轨道发射速度不同的质量均为m＝0.01 kg的小钢珠，弹簧枪可将弹性势能完全转化为小钢珠的动能．取g＝10 m/s2.
(1)某次发射的小钢珠沿轨道恰好能经过B点，水平飞出后落到N的某一点上，求该次发射该钢珠前，弹簧的弹性势能Ep1；
(2)另一次发射的小钢珠沿轨道从B点水平飞出后落到N上的位置与A点水平距离为s＝4.8 m，求该次发射该钢珠前，弹簧的弹性势能Ep2.
解析：(1)在B处对小钢珠进行受力分析，由牛顿第二定律：mg＝m
得：vB＝＝4 m/s
从发射钢珠到上升至B点过程，由机械能守恒定律：
Ep1＝ΔEp＋ΔEk1＝mg·2R＋mv
得：Ep1＝0.4 J.
(2)钢珠做平抛运动，有
2R＝gt2
s＝v′B·t
联立解得：v′B＝6 m/s
由机械能守恒定律：
Ep2＝ΔEp＋ΔEk2＝mg·2R＋mv′
得：Ep2＝0.5 J.
答案：(1)0.4 J (2)0.5 J
课件48张PPT。第4节 机械能守恒定律第八章 机械能守恒定律第八章 机械能守恒定律能量减少增加重力势能动能重力势能减少增加弹性势能重力势能动能重力弹力保持不变本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放 (建议用时：30分钟)
A组 学业达标练
1．(2019·广东省实验中学期中)如图所示的四种情景中，属于重力势能转化为动能的是( )
A．(a)图运动员把弯弓拉开将箭射出
B．(b)图跳伞运动员匀速下落
C．(c)图跳水运动员从空中下落
D．(d)图运动员骑自行车冲向坡顶
解析：选C.运动员把弯弓拉开将箭射出，是弹性势能转化为动能的过程，故A错误；跳伞运动员匀速下落，质量不变，速度不变，动能不变，高度变小，重力势能减小，所以重力势能转化为其他形式的能，故B错误；跳水运动员从空中下落，质量不变，速度增大，动能增大，高度减小，重力势能减小，此过程中，重力势能转化为动能，故C正确；运动员骑自行车冲向坡顶，运动员和自行车的质量不变，速度减小，动能减小，高度增大，重力势能增大，此过程中，动能转化为重力势能，故D错误．
2．(多选)(2019·广东中山期末)下列关于机械能守恒的判断正确的是( )
A．拉着一个物体沿着光滑的斜面匀速上升时，物体的机械能守恒
B．如果忽略空气阻力作用，物体做竖直上抛运动时，机械能守恒
C．一个物理过程中，当重力和弹力以外的力做了功时，机械能不再守恒
D．合外力对物体做功为零时，物体机械能一定守恒
解析：选BC.拉着一个物体沿着光滑的斜面匀速上升时，动能不变，势能增大，故机械能增大，故A错误；物体做竖直上抛运动时，只有重力做功，故机械能守恒，故B正确；机械能守恒的条件是除重力和弹力以外的力做功的代数和为0，或者不做功，当重力和弹力以外的力做了功时，物体的机械能不守恒，故C正确；合外力对物体做功为零时，如在拉力作用下竖直向上的匀速运动，物体机械能不守恒，故D错误．
3．(2019·湖南张家界期末)把小球放在竖立的弹簧上，并把球往下按至A的位置，如图甲所示．迅速松手后，球升高至最高位置C(图丙)，途中经过位置B时弹簧正处于原长(图乙)．松手后，小球从A到B再到C的过程中，忽略弹簧的质量和空气阻力，下列分析正确的是( )
A．小球处于A位置时小球的机械能最小
B．小球处于B位置时小球的机械能最小
C．小球处于C位置时小球的机械能最小
D．小球处于A、B、C三个位置时小球的机械能一样大
解析：选A.对于系统而言，只有重力和弹簧弹力做功，动能、重力势能、弹性势能相互转化，系统机械能守恒，所以小球处于A、B、C三个位置时系统机械能一样大；而对于小球而言，在A到B的过程中，弹簧对小球做正功，弹簧弹性势能减小，故小球机械能增加，B到C过程中小球只有重力做功，小球机械能不变，所以小球在A位置机械能最小，B、C位置小球机械能一样大，故A正确．
4．(2019·江苏泰州中学期末)如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后的物体以速度vt落到比地面低h的海平面上，若以地面为零势能的参考面且不计空气阻力，则下列说法中正确的是( )
A．物体落到海平面时的重力势能为mgh
B．物体在海平面上的机械能为mv
C．物体在海平面上的动能为mv－mgh
D．物体在海平面上的机械能为mv
解析：选D.以地面为零势能面，海平面低于地面h，所以物体在海平面上时的重力势能为－mgh，故A错误；物体在海平面上的机械能为 E＝mv－mgh，故B错误；物体运动的过程中，只有重力对物体做功，物体的机械能守恒，则mv＝Ek＋(－mgh)，得物体在海平面上的动能为 Ek＝mv＋mgh，故C错误；整个过程机械能守恒，即初末状态的机械能相等，以地面为零势能面，抛出时的机械能为mv，所以物体在海平面时的机械能也为mv，故D正确．
5.(多选)(2019·广东佛山四校期末)如图所示，质量相同的两物体处于同一高度，A沿固定在地面上的光滑斜面下滑，B自由下落，最后到达同一水平面，取地面为零势能面，则( )
A．重力对两物体做功相同
B．重力的平均功率PA< PB
C．到达底端时重力的瞬时功率相同
D．到达底端时两物体的机械能不相同
解析：选AB.两物体下落的高度，重力做功为：W＝mgh，由于m、g、h都相同，则重力做功相同，故A正确；A沿斜面向下做匀加速直线运动，B做自由落体运动，A的运动时间大于B的运动时间，重力做功相同，由P＝可知，PA< PB，故B正确；由机械能守恒定律可知，mgh＝mv2，得v＝，则知到达底端时两物体的速度大小相等，到达底端时A重力的瞬时功率 PA＝mgvsin θ，B重力的瞬时功率 PB＝mgv，所以PA＜PB，故C错误；两物体运动过程中只有重力做功，机械能守恒，两物体初态机械能相同，则到达底端时两物体的机械能相同，故D错误．
6．(多选)(2019·山东济南外国语学校检测)如图所示，在两个质量分别为m和2m的小球a和b之间，用一根轻质细杆连接，两小球可绕过轻杆中心的水平轴无摩擦转动，现让轻杆处于水平位置，静止释放小球后，重球b向下转动，轻球a向上转动，在转过90°的过程中，以下说法正确的是( )
A．b球的重力势能减少，动能增加
B．a球的重力势能增加，动能减少
C．a球和b球的机械能总和保持不变
D．a球和b球的机械能总和不断减小
解析：选AC.在b球向下、a球向上摆动过程中，两球均在加速转动，两球动能增加，同时b球重力势能减少，a球重力势能增加，A正确，B错误；a、b两球组成的系统只有重力和系统内弹力做功，系统机械能守恒，C正确，D错误．
7．(多选)两个质量不同的小铁块A和B，分别从高度相同的都是光滑的斜面和圆弧面的顶点滑向底部，如图所示．如果它们的初速度都为0，则下列说法正确的是( )
A．下滑过程中重力所做的功相等
B．它们到达底部时动能相等
C．它们到达底部时速率相等
D．它们在最高点时的机械能和它们到达最低点时的机械能大小各自相等
解析：选CD.小铁块A和B在下滑过程中，只有重力做功，机械能守恒，则由mgH＝mv2，得v＝，所以A和B到达底部时速率相等，故C、D正确；由于A和B的质量不同，所以下滑过程中重力所做的功不相等，到达底部时的动能也不相等，故A、B错误．
8.(多选)(2019·酒泉玉门一中期末)如图为“嫦娥二号”的姐妹星“嫦娥一号”某次在近地点A由轨道1变轨为轨道2的示意图，其中B、C分别为两个轨道的远地点．关于上述变轨过程及“嫦娥一号”在两个轨道上运动的情况，下列说法中正确的是( )
A．“嫦娥一号”在轨道1的A点处应点火减速
B．“嫦娥一号”在轨道2的A点向C点运动的过程动能减小，势能增大
C．“嫦娥一号”在轨道1的B点运动到A点万有引力做正功，动能增大，机械能守恒
D．以上说法均不正确
解析：选BC.要想使“嫦娥一号”在近地点A由轨道1变轨为轨道2，需要加速做离心运动，应在A点加速，故选项A错误； “嫦娥一号”在轨道2的A点向C点运动的过程中，克服万有引力做功，卫星动能减小，势能增大，故选项B正确； “嫦娥一号”在轨道1的B点运动到A点的过程中，万有引力做正功，动能增大，机械能守恒，故选项C正确，选项D错误．
9．(2019·湖北孝感期末)滑板运动深得青少年的喜爱．如图所示为滑板运动轨道的示意图，某同学(可视为质点)沿倾角为θ＝30°的倾斜直轨道AB滑下，通过M点时速度为5 m/s，后经水平直轨道BC，冲上轨道CD，到N点速度减小为零．已知该同学质量m＝50 kg，M点与 B点的距离L＝3.0 m，取重力加速度g＝10 m/s2.轨道各部分间均平滑连接，不计一切摩擦和空气阻力．求：
(1)该同学运动到B点时的动能Ek；
(2)N点离水平轨道的高度H.
解析：(1)以水平轨道为零势能面，设该同学经过M点时速度为vM，由下滑过程中机械能守恒得，该同学运动到B点时的动能：
Ek＝mv＋mgLsin 30°
代入数据得：Ek＝1 375 J.
(2)由于该同学整个运动过程中机械能守恒，有：
mv＋mgLsin 30°＝mgH
代入数据得：H＝2.75 m.
答案：(1)1 375 J (2)2.75 m
B组 素养提升练
10．(2019·内蒙古集宁一中期末)如图，一质量为M的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大环上质量为m的小环(可视为质点)，从大环的最高处由静止滑下．重力加速度大小为g.当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为( )
A．5mg B．Mg＋4mg
C．Mg＋5mg D．Mg＋10mg
解析：选C.设大环底端处为重力势能零点，大环半径为R，小环在最低点速度为v，由于小环运动过程中只受弹力和重力，弹力和运动方向始终垂直，所以弹力不做功，只有重力做功，所以根据机械能守恒可得：
mv2＝2mgR
解得：v＝＝2
当小环到达大环最低点时，分析小环的受力得：
F支－mg＝
把v＝2代入得：F支＝5mg
分析大环的受力，大环受到自身重力和小环竖直向下的压力5mg，故大环对轻杆的拉力为：Mg＋5mg，C正确．
11.如图，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍．当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高．将A由静止释放，B上升的最大高度是( )
A．2R B.
C. D.
解析：选C.运用机械能守恒定律：当A下落到地面前，对A、B整体有：2mgR－mgR＝×2mv2＋mv2，A落地后，对B球有mv2＝mgh，解得h＝，即A落地后
B还能再升高，上升的最大高度为R，故选项C正确，A、B、D错误．
12．(2019·河北张家口期末)如图是弹簧枪发射钢珠前，测量弹簧的弹性势能的装置，M为半径R＝1.6 m、固定于竖直平面内的光滑半圆弧轨道，A、B分别是轨道的最低点和最高点；N为钢珠接收罩，它是一个与轨道的最低点A相平的水平很大的接收罩．在A放置水平向左的弹簧枪(枪的水平长度远小于M的半径)，可向M轨道发射速度不同的质量均为m＝0.01 kg的小钢珠，弹簧枪可将弹性势能完全转化为小钢珠的动能．取g＝10 m/s2.
(1)某次发射的小钢珠沿轨道恰好能经过B点，水平飞出后落到N的某一点上，求该次发射该钢珠前，弹簧的弹性势能Ep1；
(2)另一次发射的小钢珠沿轨道从B点水平飞出后落到N上的位置与A点水平距离为s＝4.8 m，求该次发射该钢珠前，弹簧的弹性势能Ep2.
解析：(1)在B处对小钢珠进行受力分析，由牛顿第二定律：mg＝m
得：vB＝＝4 m/s
从发射钢珠到上升至B点过程，由机械能守恒定律：
Ep1＝ΔEp＋ΔEk1＝mg·2R＋mv
得：Ep1＝0.4 J.
(2)钢珠做平抛运动，有
2R＝gt2
s＝v′B·t
联立解得：v′B＝6 m/s
由机械能守恒定律：
Ep2＝ΔEp＋ΔEk2＝mg·2R＋mv′
得：Ep2＝0.5 J.
答案：(1)0.4 J (2)0.5 J
