河南省信阳市普通高中2019-2020学年高二上学期期末教学质量检测数学（理）试题（含解析）

2019-2020学年高二第一学期期末数学试卷（理科）
一、选择题
1．某种食品的广告词是：“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而它的实际效果可大了，原来这句话的等价命题是（　　）
A．不拥有的人们不一定幸福
B．不拥有的人们可能幸福
C．拥有的人们不一定幸福
D．不拥有的人们就不幸福
2．己知＝（2，﹣1，3），＝（﹣1，4，﹣2），＝（7，5，λ），若，，三向量不能构成空间的一个基底，则实数λ的值为（　　）
A． B．9 C． D．0
3．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子，数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”根据上述问题的已知条件，分得橘子最多的人所得的橘子个数为（　　）
A．15 B．16 C．18 D．21
4．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的实轴长是虚轴长的两倍，则它的渐近线方程为（　　）
A． B． C．y＝±2x D．
5．已知a＞0＞b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．a2＜﹣ab B．|a|＜|b|
C．＞ D．（）a＞（）b
6．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，则“A＜B＜C”是“cosA＞cosB＞cosC”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．等比例数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若S6＝9S3，S5＝62，则a1＝（　　）
A． B．2 C． D．3
8．如图，已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，则线段AC1的长为（　　）

A．1 B． C． D．2
9．已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（　　）
A． B．
C． D．
10．设0＜m＜，若+≥k2﹣2k恒成立，则k的取值范围为（　　）
A．[﹣2，0）∪（0，4] B．[﹣4，0）∪（0，2] C．[﹣4，2] D．[﹣2，4]
11．已知点F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过点F的直线与抛物线相交于A，B两点（点A在x轴上方），与y轴的正半轴相交于点N，点Q是抛物线不同于A，B的点，若，则|BF|：|BA|：|BN|＝（　　）
A．1：2：4 B．2：3：4 C．2：4：5 D．2：3：6
12．设f（x）为最接近（n∈N*）的整数，如f（1）＝1，f（2）＝1，f（3）＝2，f（4）＝2，f（5）＝2，…，若正整数m满足+…+＝4034，则m＝（　　）
A．2016×2017 B．20172 C．2017×2018 D．2018×2019
二、填空题
13．若x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最小值为　 　．
14．已知命题p：?x0∈[0，π]，使得sinx0＜a，命题，，若p∧q为真命题，则实数a的取值范围为　 　．
15．如图，某校一角读书亭MN的高为，在该读书亭的正东方向有一个装饰灯塔PQ，在它们之间的地面点A（M、A、P三点共线）处测得读书亭顶部N与灯塔顶部Q的仰角分别是15°和60°，在读书亭顶部N测得灯塔顶部Q的仰角为30°，则灯塔PQ的高为　 　m．

16．如图，已知椭圆，点A，B分别是椭圆C的上、下顶点，点P是直线y＝﹣2b上的一个动点（与y轴交点除外），直线PB与椭圆C交于另一点Q，直线AP，AQ的斜率的乘积恒为﹣2，则椭圆C的离心率为　 　．

三、解答题：
17．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．
（1）求cos∠ADB；
（2）若DC＝2，求BC．
18．已知Sn是单调递减等比数列{an}的前n项和，，且S4+a4，S6+a6，S5+a5成等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}满足bn＝﹣log2an+λn（λ≠﹣1），数列的前n项和Tn满足T2019＝2019，求λ的值．
19．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1，侧面ABB1A1⊥底面ABC，D是BC的中点，∠B1BA＝60°，B1D⊥AB．
（Ⅰ）求证：△ABC为直角三角形；
（Ⅱ）求二面角C1﹣AD﹣B的余弦值．

20．党的“十八大”之后，做好农业农村工作具有特殊重要的意义．国家为了更好地服务于农民、开展社会主义新农村工作，派调查组到农村某地区考察．该地区有100户农民，且都从事蔬菜种植．据了解，平均每户的年收入为6万元．为了调整产业结构，当地政府决定动员部分农民从事蔬菜加工．据统计，若动员x（x＞0）户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入有望提高3x%，而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入为万元．
（1）在动员x户农民从事蔬菜加工后，要使剩下（100﹣x）户从事蔬菜种植的所有农民总年收入不低于动员前100户从事蔬菜种植的所有农民年总年收入，求x（x＞0，x∈N*）的取值范围；
（2）在（1）的条件下，要使这x户农民从事蔬菜加工的总年收入始终不高于（100﹣x）户从事蔬菜种植的所有农民年总年收入，求a的最大值．（参考数据：）
及5758
21．已知右焦点为F的椭圆M：+＝1（a＞）与直线y＝相交于P，Q两点，且PF⊥QF．
（1）求椭圆M的方程：
（2）O为坐标原点，A，B，C是椭圆E上不同三点，并且O为△ABC的重心，试探究△ABC的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是．说明理由．

[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（k为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝3．
（1）曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）求曲线C上的点到直线l的距离的取值范围．
[选修4-5，不等式选讲]
23．设函数f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣a|，x∈R．
（Ⅰ）当a＝4时，求不等式f（x）＞9的解集；
（Ⅱ）对任意x∈R，恒有f（x）﹣|x﹣|≥5﹣a，求实数a的取值范围．




参考答案
一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．某种食品的广告词是：“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而它的实际效果可大了，原来这句话的等价命题是（　　）
A．不拥有的人们不一定幸福
B．不拥有的人们可能幸福
C．拥有的人们不一定幸福
D．不拥有的人们就不幸福
解：“幸福的人们都拥有”
我们可将其化为：
如果人是幸福的，则这个人拥有某种食品
它的逆否命题为：如果这个没有拥有某种食品，则这个人是不幸福的
即“不拥有的人们就不幸福”
故选：D．
2．己知＝（2，﹣1，3），＝（﹣1，4，﹣2），＝（7，5，λ），若，，三向量不能构成空间的一个基底，则实数λ的值为（　　）
A． B．9 C． D．0
解：∵，，三向量不能构成空间的一个基底，
∴此三个向量共面，
∴存在实数m，n，使得＝m+n，
∴（7，5，λ）＝m（2，﹣1，3）+n（﹣1，4，﹣2），
∴2m﹣n＝7，﹣m+4n＝5，3m﹣2n＝λ，
解得λ＝．
故选：A．
3．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子，数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”根据上述问题的已知条件，分得橘子最多的人所得的橘子个数为（　　）
A．15 B．16 C．18 D．21
解：设第一个人分到的橘子个数为a1，
由题意得：S5＝×3＝60，
解得a1＝6．
则a5＝a1+（5﹣1）×3＝6+12＝18．
∴得到橘子最多的人所得的橘子个数是18．
故选：C．
4．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的实轴长是虚轴长的两倍，则它的渐近线方程为（　　）
A． B． C．y＝±2x D．
解：双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的实轴长是虚轴长的两倍，
可得a＝2b，
它的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x．
故选：A．
5．已知a＞0＞b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．a2＜﹣ab B．|a|＜|b|
C．＞ D．（）a＞（）b
解：a2+ab＝a（a+b），符合无法确定，故A错误，
取a＝2，b＝﹣1，则有|a|＞|b|，故B错误，
，故，故C正确，
取a＝1，b＝﹣2，则（）a＝，（）b＝4，又，即（）a＜（）b，故D错误，
故选：C．
6．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，则“A＜B＜C”是“cosA＞cosB＞cosC”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解：△ABC的三个内角分别为A，B，C，
在三角形中，由y＝cosx在（0，π）上是减函数，
所以cosA＜cosB＜cosC，反之也成立，
故选：C．
7．等比例数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若S6＝9S3，S5＝62，则a1＝（　　）
A． B．2 C． D．3
解：根据题意，等比例数列{an}中，若S6＝9S3，则q≠±1，
若S6＝9S3，则＝9×，解可得q3＝8，则q＝2，
又由S5＝62，则有S5＝＝31a1＝62，
解可得a1＝2；
故选：B．
8．如图，已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，则线段AC1的长为（　　）

A．1 B． C． D．2
解：∵平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，
底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，
∴＝，
∴＝（）2
＝+2+2
＝1+1+4+2×1×2×cos120°+2×1×2×cos120°
＝2．
∴线段AC1的长为||＝．
故选：B．
9．已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（　　）
A． B．
C． D．
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
代入椭圆方程得，
相减得，
∴．
∵x1+x2＝2，y1+y2＝﹣2，＝＝．
∴，
化为a2＝2b2，又c＝3＝，解得a2＝18，b2＝9．
∴椭圆E的方程为．
故选：D．
10．设0＜m＜，若+≥k2﹣2k恒成立，则k的取值范围为（　　）
A．[﹣2，0）∪（0，4] B．[﹣4，0）∪（0，2] C．[﹣4，2] D．[﹣2，4]
解：由于0＜m＜，则得到≤＝
（当且仅当2m＝1﹣2m，即m＝时，取等号）
∴+＝≥8
∵+≥k2﹣2k恒成立，
∴k2﹣2k﹣8≤0，
∴﹣2≤k≤4．
故选：D．
11．已知点F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过点F的直线与抛物线相交于A，B两点（点A在x轴上方），与y轴的正半轴相交于点N，点Q是抛物线不同于A，B的点，若，则|BF|：|BA|：|BN|＝（　　）
A．1：2：4 B．2：3：4 C．2：4：5 D．2：3：6
解：由题意如图所示，若，可得2＝（）+（）＝2+，可得＝，可得A为NF的中点；
因为焦点F（，0），所以xA＝，代入抛物线的方程可得yA＝，即A（，p），所以N（0，p），
设B（，y0），y0＜0，由＝，即＝可得：y0＝﹣p，x0＝p，即B（p，﹣），
所以：|BF|＝x0+＝，|BA|＝+p+p＝，|BN|＝＝3p，
所以|BF|：|BA|：|BN|＝：：3p＝2：3：4，
故选：B．

12．设f（x）为最接近（n∈N*）的整数，如f（1）＝1，f（2）＝1，f（3）＝2，f（4）＝2，f（5）＝2，…，若正整数m满足+…+＝4034，则m＝（　　）
A．2016×2017 B．20172 C．2017×2018 D．2018×2019
解：由＝1，＝1，2个
＝，＝，＝，＝，4个
＝，＝，＝，＝，＝，＝，6个
＝，＝，…＝，8个
…
…＝，
∴+++…+＝1×2+×4+×6+…+×2n＝4034，
则＝4034，则2n＝4034，则n＝2017，
∴总共有2017个，
则f（）＝，
故m的值为2017×2018；
故选：C．
二、填空题：
13．若x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最小值为　0　．
解：作出x，y满足约束条件所对应的可行域（如图阴影部分），

变形目标函数可得y＝2x﹣z，平移直线y＝2x可知，
当直线经过点O（0，0）时，截距﹣z取最大值，
目标函数z取最小值2×0﹣0＝0，
故答案为：0．
14．已知命题p：?x0∈[0，π]，使得sinx0＜a，命题，，若p∧q为真命题，则实数a的取值范围为　（0，）　．
解：由p∧q为真命题，得p，q均为真命题，
命题p：?x0∈[0，π]，使得sinx0＜a为真命题，∴a＞（sinx0）min，
则a＞0；
若命题q：对?x∈[，3]，+1＞a为真命题，则a＜（+1）min．∴a＜；
∴a的取值范围是（0，），
故答案为：（0，）．
15．如图，某校一角读书亭MN的高为，在该读书亭的正东方向有一个装饰灯塔PQ，在它们之间的地面点A（M、A、P三点共线）处测得读书亭顶部N与灯塔顶部Q的仰角分别是15°和60°，在读书亭顶部N测得灯塔顶部Q的仰角为30°，则灯塔PQ的高为　60　m．

解：在直角三角形ANM中，AN＝＝＝20，
在△AQN中，∠ANQ＝30°+15°＝45°，∠NAQ＝180°﹣15°﹣60°＝105°，
故∠AQN＝180°﹣45°﹣105°＝30°，
在△ANQ中，由正弦定理，，
所以AQ＝＝40，
在直角三角形APQ中，PQ＝AQsin60°＝60．
故答案为：60
16．如图，已知椭圆，点A，B分别是椭圆C的上、下顶点，点P是直线y＝﹣2b上的一个动点（与y轴交点除外），直线PB与椭圆C交于另一点Q，直线AP，AQ的斜率的乘积恒为﹣2，则椭圆C的离心率为　　．

解：由题意设A（0，b），B（0，﹣b），P（t，﹣2b），
直线PB的方程为y＝﹣x﹣b，联立椭圆方程b2x2+a2y2＝a2b2，
消去y可得（b2+）x2+x＝0，
解得x＝0或x＝﹣，
则Q（﹣，），
直线AP，AQ的斜率的乘积恒为﹣2，
即为﹣?＝﹣2，化为2a2＝3b2＝3（a2﹣c2），
则a2＝3c2，
e＝＝．
故答案为：．
三、解答题：
17．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．
（1）求cos∠ADB；
（2）若DC＝2，求BC．
解：（1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．
∴由正弦定理得：＝，即＝，
∴sin∠ADB＝＝，
∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，
∴cos∠ADB＝＝．
（2）∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝sin∠ADB＝，
∵DC＝2，
∴BC＝
＝＝5．

18．已知Sn是单调递减等比数列{an}的前n项和，，且S4+a4，S6+a6，S5+a5成等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}满足bn＝﹣log2an+λn（λ≠﹣1），数列的前n项和Tn满足T2019＝2019，求λ的值．
解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，
由S4+a4，S6+a6，S5+a5成等差数列，得2（S6+a6）＝S4+a4+S5+a5，
得（S6﹣S5）+（S6﹣S4）+2a6＝a4+a5，即4a6＝a4，
∴，
∵{an}是单调递减数列，∴，
又，∴；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得＝（λ+1）n﹣1，
∴，
∴，解得λ＝﹣1或，
∵λ≠﹣1，∴．
19．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1，侧面ABB1A1⊥底面ABC，D是BC的中点，∠B1BA＝60°，B1D⊥AB．
（Ⅰ）求证：△ABC为直角三角形；
（Ⅱ）求二面角C1﹣AD﹣B的余弦值．

解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OD，OB1，
在△ABB1中，AB＝BB1，∠B1BA＝60°，
故△ABB1是等边三角形，∴AB⊥OB1，
又AB⊥DB1，而OB1与DB1相交于B1，
∴AB⊥平面DOB1，
故AB⊥OD，又OD∥AC，∴AC⊥AB，
∴△ABC为Rt△；
（Ⅱ）以O为坐标原点，分别以OB，OD，OB1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
可令AB＝AC＝AA1＝2，则C（﹣1，2，0），A（﹣1，0，0），D（0，1，0），
B（1，0，0），B1（0，0，），
∴＝（﹣1，0，），＝（0，2，0），
＝+＝+＝（﹣1，2，），＝（1，1，0），
设平面ADC1的法向量为＝（x，y，z），由题意有
，令x＝1，则y＝﹣1，z＝，∴＝（1，﹣1，），
又侧面ABB1A1⊥底面ABC，可得OB1⊥平面ABC，
可得平面ADB的法向量为＝（0，0，1），
cos＜，＞＝＝＝，
二面角C1﹣AD﹣B的平面角为钝角，可得二面角C1﹣AD﹣B的余弦值为﹣．

20．党的“十八大”之后，做好农业农村工作具有特殊重要的意义．国家为了更好地服务于农民、开展社会主义新农村工作，派调查组到农村某地区考察．该地区有100户农民，且都从事蔬菜种植．据了解，平均每户的年收入为6万元．为了调整产业结构，当地政府决定动员部分农民从事蔬菜加工．据统计，若动员x（x＞0）户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入有望提高3x%，而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入为万元．
（1）在动员x户农民从事蔬菜加工后，要使剩下（100﹣x）户从事蔬菜种植的所有农民总年收入不低于动员前100户从事蔬菜种植的所有农民年总年收入，求x（x＞0，x∈N*）的取值范围；
（2）在（1）的条件下，要使这x户农民从事蔬菜加工的总年收入始终不高于（100﹣x）户从事蔬菜种植的所有农民年总年收入，求a的最大值．（参考数据：）
及5758
解：（1）由题意得，3x2﹣200x≤0，
∴，
又x∈N*，所以0＜x≤66（x∈N*）；
（2）x户农民从事蔬菜加工的总年收入为万元，
从事蔬菜种植的所有农民年总年收入万元，
依题意得恒成立，
，恒成立，
∵在上递减，在递增，
，
，
∴a≤5.46．
21．已知右焦点为F的椭圆M：+＝1（a＞）与直线y＝相交于P，Q两点，且PF⊥QF．
（1）求椭圆M的方程：
（2）O为坐标原点，A，B，C是椭圆E上不同三点，并且O为△ABC的重心，试探究△ABC的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是．说明理由．

解：（1）设F（c，0），P（t，），Q（﹣t，），
代入椭圆方程可得+＝1，即t2＝a2①
且PF⊥QF，可得?＝﹣1，
即c2﹣t2＝﹣，②
由①②可得c2＝a2﹣．
又a2﹣c2＝3，
解得a＝2，c＝1，
即有椭圆方程为+＝1；
（2）设直线AB的方程为y＝kx+m，
代入椭圆方程3x2+4y2＝12，
可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1x2＝，x1+x2＝﹣，y1+y2＝k（x1+x2）+2m＝，
由O为△ABC的重心，可得＝﹣（+）
＝（，﹣），
由C在椭圆上，则有3（）2+4（﹣）2＝12，
化简可得4m2＝3+4k2，
|AB|＝?＝?
＝?，
C到直线AB的距离d＝＝，
S△ABC＝|AB|?d＝?＝?＝．
当直线AB的斜率不存在时，|AB|＝3，d＝3，S△ABC＝|AB|?d＝．
综上可得，△ABC的面积为定值．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（k为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝3．
（1）曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）求曲线C上的点到直线l的距离的取值范围．
解：（1）曲线C的参数方程是（k为参数），平方后得，
又，曲线C的普通方程为．
直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝3，转换为直角坐标方程为x﹣y﹣6＝0．
（2）将曲线C化成参数方程形式为（α为参数），
则d＝＝，其中，
所以．
[选修4-5，不等式选讲]
23．设函数f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣a|，x∈R．
（Ⅰ）当a＝4时，求不等式f（x）＞9的解集；
（Ⅱ）对任意x∈R，恒有f（x）﹣|x﹣|≥5﹣a，求实数a的取值范围．
解：（Ⅰ）当a＝4时，，
∴f（x）＞9的解集为；
（Ⅱ）＝，
当且仅当时取等号，
由f（x）≥5﹣a恒成立得，
当a≥5时，不等式恒成立；
当a＜5时，，解得；
综上，实数a的取值范围为．