人教A版高中数学必修第一册 2.3第二章　一元二次函数、方程和不等式教案（Word版）

第二章　一元二次函数、方程和不等式
2.2 基本不等式
本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第二节《基本不等式》第1课时。从内容上看学生原有知识的掌握情况为：初中的勾股定理知识及三角形相似的知识、圆的相关知识，会用作差比较法证明简单的不等式，所以在学法上要指导学生：从代数与几何的角度理解基本不等式。引导学生学会观察几何图形，进行几何与代数的结合运用，培养数学结合的思想观点，发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养。
课程目标
学科素养
A. 推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当两个数相等；
B. 通过实例探究抽象基本不等式；通过多媒体体会基本不等式等号成立条件, 进一步掌握基本不等式；
C. 积极倡导同学们进行几何与代数的结合运用，发现各种事物之间的普遍联系.
a.数学抽象：将问题转化为基本不等式；
b.逻辑推理：通过图形，分析法与综合法等证明基本不等式；
c.数学运算：准确熟练运用基本不等式；
d.直观想象：运用图像解释基本不等式；
e.数学建模：将问题转化为基本不等式解决；
1.教学重点：从不同角度探索不等式的证明过程，会用此不等式求某些简单函数的最值；
2.教学难点：基本不等式等号成立条件；
多媒体
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
（一）、情景导学
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，赵爽是为了证明勾股定理而绘制了弦图。
弦图既标志着中国古代的数学成就，又象一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们。
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系．
思考1：这图案中含有怎样的几何图形？
思考2：你能发现图案中的相等关系或不等关系吗？
（二）、探索新知
1．探究图形中的不等关系
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边
长为a,b（a≠b）,
那么正方形的边长为．
这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为．
由于4个直角三角形的面积之和小于正方形的面积，
我们就得到了一个不等式：．
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，
正方形EFGH缩为一个点，
这时有．（通过几何画板演示当a=b时的图像）
2．得到结论（重要不等式）：一般的，对于任意实数a,b，我们有，当且仅当a=b时，等号成立。
3．思考证明：你能给出它的证明吗？（设计意图：证明：因为
，
当且仅当a=b时等号成立
4．（1）基本不等式：如果a>0,b>0,我们用、分别代替a、b ，可得，通常我们把上式写作：基本不等式（a>0,b>0)（当且仅当a=b时，取等号）
5.基本不等式：（1）在数学中，我们称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.此不等式又叫均值不等式。
（2）从不等式的性质推导基本不等式
如果学生类比重要不等式的证明给出证明，再介绍书上的分析法。
用分析法证明：证明不等式
证明：要证
只要证
只要证
只要证 显然，是成立的．
当且仅当a=b时，（3）中的等号成立．
（3）理解基本不等式的几何意义
探究：你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？
在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b．过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD．(1)AB表示什么?(2)表示哪个线段？(3)对应哪个线段呢？
（4）OD与CD的大小关系如何？
易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB即ＣD＝.
这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.
因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”
【归纳总结】
1、由赵爽弦图我们得到了重要不等式：
通过换元我们得到了基本不等式：
（2）两个不等式的区别和联系：区别： a,b范围不同;联系:等号成立的条件相同
（3）从形的角度来看，基本不等式具有特定的几何意义；
从数的角度来看，基本不等式揭示了“和”与“积”这两种结构间的不等关系
（三）典例解析
利用基本不等式求最值
解析：
解析：
基本不等式的使用条件
解析：
解: ∵ ,
当且仅当 2x=(1-2x), 即时, 取“=”号.
∴当时, 函数 y=x(1-2x) 的最大值是.
跟踪训练
通过介绍第24届国际数学家大会会标 的背景，进行设问，引导学生观察分析，发现图形中蕴藏的基本不等式，培养学生数学抽象和逻辑推理的核心素养，同时渗透数学文化，和爱国主义教育。
通过图形得到了重要不等式的几何解释，为了更准确地感知和理解，再从数学的逻辑方面给出证明，不仅培养了学生严谨的数学态度，而且还可以从中学习到分析法证明的大体过程，培养和发展数学抽象和逻辑推理的核心素养，增强数形结合的思想意识。
从不同的侧面理解不等式，培养学生数形结合的思想意识。
；
通过典型例题的解析和跟踪练习，让学生明确运用基本不等式的三个关键步骤；一正、二定、三相等，发展严谨细致的思考习惯，训练思维的灵活性。
三、达标检测
1．下列不等式中，正确的是(　　)
A．a＋≥4　　　　　　B．a2＋b2≥4ab
C.≥ D．x2＋≥2
解析：选D.a＜0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错，a＝4，b＝16，则＜，故C错；由基本不等式可知D项正确．
2．若a＞1，则a＋的最小值是(　　)
A．2 B．a C. D．3
解析：选D.a＞1，所以a－1＞0，
所以a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3.　
当且仅当a－1＝即a＝2时取等号．
3．若a，b都是正数，则的最小值为(　　)
A．7 B．8 C．9 D．10
解析：选C.因为a，b都是正数，所以
＝5＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当b＝2a＞0时取等号．
4．已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值为________．
解析：x＋y＝(x＋y)·＝10＋＋
≥10＋2＝10＋6＝16.
即x＝4，y＝12时等号成立，所以x＋y的最小值为16.
通过练习巩固本节所学知识，提高学生运用基本不等式解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的逻辑推理和数学运算素养。
四、小结
本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；基本不等式；两正数a、b的算术平均数（），几何平均数（）及它们的关系（≥）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).
五、作业
1. 习题2.2 1,2,4,5题
2. 预习下节课内容
生学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；