人教B版高中数学必修第一册 2.2.1不等式及其性质学案

第二章 等式与不等式
2.2 不等式
2.2.1 不等式及其性质导学案
1、掌握不等式5个性质与5个推论.
2、掌握用配方法、作差法、综合法、反证法、分析法证明不等式.
3、熟练灵活运用不等式性质、推论、思想方法证明不等式.
【重点】
1、掌握不等式5个性质与5个推论.
2、掌握用配方法、作差法、综合法、反证法、分析法证明不等式.
3、熟练灵活运用不等式性质、推论、思想方法证明不等式.
【难点】
正确选用性质推理和思想方法来证明不等式.
【情境与问题】
不等式：在现实世界里，量与量之间的不等关系是普遍的，不等式是刻画不等关系的工具，我们用数学符号 连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式.
上述不等式符号中，要特别注意“≥”“≤”.事实上，住意给定两个实数a，b，那么

a≥b ? a＞b或a=b
a≤b ?
【想一想】
怎样理解两个实数之间的大小呢？
我们已经知道，实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.一般地，如果点P对应的数为x，则称x为点P的坐标，并记作P（x）.另外，数轴上的点往数轴的正方向运动时，它所对应的实数会变大，这就是说，两个数在数轴上对应的点的相对位置决定了这两个数的大小、如下图所示的数轴中，A（a），B（b），不难看出
b>1>0>a.
此外，我们也知道，一个数加上一个正数，相当于数轴上对应的点向正方向移动了一段距离；一个数减去一个正数（即加上一个负数），相当于数轴上对应的点向负方向移动了一段距离。由此可以看出，要比较两个实数a，b的大小，只要考察a-b与0的相对大小就可以了，即
初中的时候，我们就已经归纳出了不等式的三个性质：
性质1
性质2
性质3
【尝试与发现】
事实上，如下图所示，a>b是指点A在点B的右侧，a+c和b+c表示点A和点B在数轴上做了相同的平移，平移后得到的点A'和B'的相对位置，与A和B的相对位置是一样的，因此a+c>b+c.
性质1可以用如下方式证明：因为
（a+c）-（b+c）=a+c-b-c=a-b，
又因为a>b，所以a-b>0，从而
（a+c）-（b+c）>0.
因此a+c>b+c.
性质2可以用类似的方法证明：因为
ac-bc=（a-b）c，
又因为a>b，所以a-b>0，而c>0，因此
（a-b）c>0，
因此ac-bx>0，即ac>bc.
性质3的证明留作练习.
【尝试与发现】
在不等式的证明与求解中，我们还经常用到以下不等式的性质。
性质4
直观上，如下图所示，点A在点B的右侧，点B在点C的右侧，因此点A必定在点C的右侧.
证明 因为
a-c=（a-b）+（b-c），
又因为a>b，所以a-b>0；且b>c，所以b-c>0，因此
（a-b）+（b-c）>0，
从而a-c>0，即a>c.
性质4通常称为不等关系的 ，.我们前面在判断x2>-1等类似命题的真假时就用过不等关系的传递性。
性质5
这只要利用a-b=-（b-a）就可以证明，请读者自行尝试.
另外，值得注意的是，上述不等式性质对任意满足条件的实数都成立，因此我们可以用任意满足条件的式子去代替其中的字母。
【典型例题】
例1 比较x2-x和x-2的大小.
例1的证明中用了配方法，这种方法经常用于式子变形，大家应熟练掌握.
需要注意的是，前面我们证明不等式性质和解答例1的方法，其实质都是通过比较两式之差的符号来判断两式的大小，这种方法通常称为作差法.在证明不等式时，当然也可直接利用已经证明过的不等式性质等。从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法.下面我们用综合法来得出几个常用的不等式性质的推论.
推论1 .
证明 a+b>c?a+b+（-b）>c+（-b）?a>c-b.
推论1表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边.推论1通常称为不等式的移项法则.
推论2
证明 根据性质1有
b?a+c>b+c，
d?b+c>b+d，
再根据性质4可知
a+c>b+d.
我们把a>b和c>d（或a有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向。
推论3
证明 根据性质2有
a>b，c>0?ac>bc，
c>d，b>0?bc>bd，
再根据性质4可知
ac>bd.
很明显，这个推论也可以推广为更一般的结论：
几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向.
推论4
这个结论的证明只要多次使用推论3的结论即可.
推论5
证明 假设≤，即
<或=，
根据推论4和二次根式的性质，得
a这都与a>b矛盾，因此假设不成立，从而>.
【尝试与发现】
可以看出，推论5中证明方法的实质是：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立。这种得到数学结论的方法通常称为 ，反证法是一种间接证明的方法.
例2 （1）已知a>b，cb-d；
（2）已知a>b，ab>0，求证：
（3）已知a>b>0，0可以看出，例2中所使用的方法是综合法.综合法中，最重要的推理形式为p?q，其中p是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论。
【尝试与发现】
上述这种证明方法通常称为分析法.分析法中，最重要的推理形式是“要证p，只需证明q”，这可以表示为pg，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件.的证明过程也可简写为：因为
例3 已知m>0，求证：
1.判断下列命题的真假：
（1）当x=3时，x≥3； （2）当x≥3时，x=3；
（3）当x≥3且x≤3时，x=3.
2.用“ >”或“<”填空：
（1）x+5 x+2； （2）a（3）abac（5）a>ba-1 b-2； （6）a>b>0，c3.求证：如果a>b，c<0，那么ac4.用反证法证明.
1．设，则“”是“” 的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．若，，则下列选项中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【学习过程】1.真 假 真
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略4.略
【当堂检测】1.A 2.A 3.D