章末综合检测（三） 圆周运动
A级—学考达标
1．(2019·滨州高一检测)关于匀速圆周运动的线速度v、角速度ω和半径r，下列说法正确的是( )
A．若r一定，则v与ω成正比
B．若r一定，则v与ω成反比
C．若ω一定，则v与r成反比
D．若v一定，则ω与r成正比
2.(2019·聊城高一检测)如图所示，A、B为啮合传动的两齿轮，rA＝2rB，则A、 B两轮边缘上两点的( )
A．角速度之比为2∶1
B．向心加速度之比为1∶2
C．周期之比为1∶2
D．转速之比为2∶1
3.(2019·烟台高一检测)2019年春节期间电影《流浪地球》的热播使人们关注到影视中“领航员号”空间站通过让圆形空间站旋转的方法获得人工重力的情形，即刘培强中校到达空间站时电脑“慕斯”所讲的台词“离心重力启动”，空间模型如图。已知空间站半径为1 000米，为了使宇航员感觉跟在地球表面上的时候一样“重”，g取10 m/s2，空间站转动的角速度为( )
A．10 rad/s B．1 rad/s
C．0.1 rad/s D．0.01 rad/s
4.(2019·三亚高一检测)如图所示，在水平转动的圆盘上，两个完全一样的木块A、B一起随圆盘做匀速圆周运动，转动的角速度为ω。已知木块A、B到圆盘中心O的距离为rA和rB，则两木块的向心力之比为( )
A．rA∶rB B．rB∶rA
C．r∶r D．r∶r
5．如图所示为两级皮带传动装置，转动时皮带均不打滑，中间两个轮子是固定在一起的，轮1的半径和轮2的半径相同，轮3的半径和轮4的半径相同，且为轮1和轮2半径的一半，则轮1边缘的a点和轮4边缘的c点相比( )
A．线速度之比为1∶4
B．角速度之比为4∶1
C．向心加速度之比为8∶1
D．向心加速度之比为1∶8
6.如图所示，铁路转弯处外轨应略高于内轨，火车必须按规定的速度行驶，则转弯时( )
A．火车所需向心力沿水平方向指向弯道内侧
B．弯道半径越大，火车所需向心力越大
C．火车的速度若小于规定速度，火车将做离心运动
D．火车若要提速行驶，弯道的坡度应适当减小
7.如图所示，在盛满水的试管中装有一个小蜡块，小蜡块所受浮力略大于重力，当用手握住A端让试管在竖直平面内左右快速摆动时，关于蜡块的运动，以下说法正确的是( )
A．与试管保持相对静止
B．向B端运动，可以到达B端
C．向A端运动，可以到达A端
D．无法确定
8.(2019·安徽学业水平测试)如图所示，一个圆盘在水平面内绕中心轴匀速转动，角速度为2 rad/s，盘面上距圆盘中心0.2 m处有一个质量为0.5 kg的小物体随盘一起做匀速圆周运动，则圆盘对物体的静摩擦力大小为________N。
9．如图所示，一质量为m的汽车行驶在圆弧半径为R的拱桥上。重力加速度为g。
(1)当汽车到达桥顶时速度为v，求此时汽车对桥面的压力大小。
(2)汽车以多大速度经过桥顶时，恰好对桥面没有压力？
B级—选考提能
10.如图所示，是从一辆在水平公路上行驶着的汽车后方拍摄的汽车后轮照片。从照片来看，汽车此时正在( )
A．直线前进 B．向右转弯
C．向左转弯 D．不能判断
11.汽车车厢顶部悬挂一根轻质弹簧，弹簧下端拴一个质量为m的小球。当汽车以某一速率在水平面上匀速行驶时弹簧的长度为L1，当汽车以同一速率匀速通过一个桥面为圆弧形的凸桥最高点时，弹簧长度为L2，则下列选项中正确的是( )
A．L1＝L2 B．L1＞L2
C．L1＜L2 D．前三种情况都有可能
12．在云南省某些地方到现在还要依靠滑铁索过江，如图甲。把滑铁索过江简化成图乙的模型，铁索的两个固定点A、B在同一水平面内，AB间的距离为L＝80 m，绳索的最低点离AB间的垂直距离为H＝8 m，若把绳索看作是一段圆弧，已知一质量m＝52 kg的人借助滑轮(滑轮质量不计)滑到最低点时速度为10 m/s，重力加速度g取10 m/s2，那么( )
A．人在整个绳索上运动可看成是匀速圆周运动
B．可求得绳索的圆弧半径为102 m
C．人滑到最低点时对绳索的压力为470 N
D．人滑到最低点时对绳索的压力为570 N
13．[多选]如图所示，用长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，下列说法正确的是( )
A．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力
B．小球在最高点时绳子的拉力有可能为零
C．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为0
D．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力
14．[多选](2019·郑州高一检测)如图所示，竖直平面内固定有一个半径为R的光滑圆环形细管，现给小球(直径略小于管内径)一个初速度，使小球在管内做圆周运动，小球通过最高点时的速度为v，已知重力加速度为g，则下列叙述中正确的是( )
A．v的最小值为
B．v由零逐渐增大的过程中，轨道对球的弹力先减小再增大
C．当v由值逐渐增大的过程中，轨道对小球的弹力也逐渐增大
D．当v由值逐渐减小的过程中，轨道对小球的弹力也逐渐减小
15.如图所示是“用圆锥摆验证向心力公式”实验的装置图，细线下悬挂了一个质量为m的小钢球，细线上端固定在O点。将画有几个同心圆的白纸放在水平桌面上，使小钢球自然静止时(细线张紧)位于同心圆的圆心处。用手带动小钢球，使小钢球在水平面内做匀速圆周运动，随即手与球分离。(当地的重力加速度为g)
(1)用秒表记录小钢球运动n圈的时间t，从而测出此时钢球做匀速圆周运动的周期T＝________；
(2)再通过纸上的圆，测出小钢球做匀速圆周运动的半径R；可算出小钢球做匀速圆周运动所需的向心力F向＝________；
(3)测量出细线长度L，小钢球做匀速圆周运动时所受的合力F合＝__________(小钢球的直径与线长相比可忽略)；
(4)这一实验方法简单易行，但是有几个因素可能会影响实验的成功，至少写出一条：________________________________________________________________________
________________________________________________________________________。
16.杂技演员在做“水流星”表演时，用一根细绳两端系着盛水的杯子，抡起绳子，让杯子在竖直平面内做圆周运动。如图所示，杯内水的质量m＝0.5 kg，绳子总长l＝120 cm。求：(g取9.8 m/s2)
(1)在最高点水不流出的最小速率。
(2)水在最高点速率v＝3 m/s时，水对杯底的压力大小。
17．如图中给出了一段“S”形单行盘山公路的示意图。弯道1、弯道2可看作两个不同水平面上的圆弧，圆心分别为O1、O2，弯道中心线半径分别为r1＝10 m，r2＝20 m，弯道2比弯道1高h＝12 m，有一直道与两弯道圆弧相切。质量m＝1 200 kg的汽车通过弯道时做匀速圆周运动，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是车重的1.25倍，行驶时要求汽车不打滑。(sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8，g取10 m/s2)
(1)求汽车沿弯道1中心线行驶时的最大速度v1；
(2)汽车以v1进入直道，以P＝30 kW恒定功率直线行驶了t＝8.0 s进入弯道2，此时速度恰为通过弯道2中心线的最大速度，求直道上除重力以外的阻力对汽车做的功；
(3)汽车从弯道1的A点进入，从同一直径上的B点驶离，有经验的司机会利用路面宽度，用最短时间匀速安全通过弯道。设路宽d＝10 m，求此最短时间(A、B两点都在轨道的中心线上，计算时视汽车为质点)。
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章末综合检测（三） 圆周运动
A级—学考达标
1．(2019·滨州高一检测)关于匀速圆周运动的线速度v、角速度ω和半径r，下列说法正确的是( )
A．若r一定，则v与ω成正比
B．若r一定，则v与ω成反比
C．若ω一定，则v与r成反比
D．若v一定，则ω与r成正比
解析：选A 根据v＝ωr知，若r一定，则v与ω成正比；若ω一定，则v与r成正比；若v一定，则ω与r成反比。故只有选项A正确。
2.(2019·聊城高一检测)如图所示，A、B为啮合传动的两齿轮，rA＝2rB，则A、 B两轮边缘上两点的( )
A．角速度之比为2∶1
B．向心加速度之比为1∶2
C．周期之比为1∶2
D．转速之比为2∶1
解析：选B 根据两轮边缘线速度相等，由v＝ωr，得角速度之比为ωA∶ωB＝rB∶rA＝1∶2，故A错误；由a＝，得向心加速度之比为aA∶aB＝rB∶rA＝1∶2，故B正确；由
T＝，得周期之比为TA∶TB＝rA∶rB＝2∶1，故C错误；由n＝，得转速之比为nA∶nB＝ωA∶ωB＝1∶2，故D错误。
3.(2019·烟台高一检测)2019年春节期间电影《流浪地球》的热播使人们关注到影视中“领航员号”空间站通过让圆形空间站旋转的方法获得人工重力的情形，即刘培强中校到达空间站时电脑“慕斯”所讲的台词“离心重力启动”，空间模型如图。已知空间站半径为1 000米，为了使宇航员感觉跟在地球表面上的时候一样“重”，g取10 m/s2，空间站转动的角速度为( )
A．10 rad/s B．1 rad/s
C．0.1 rad/s D．0.01 rad/s
解析：选C 空间站中宇航员做匀速圆周运动，使宇航员感受到与地球一样的“重力”是向心力所致，则根据g＝ω2r，得ω＝＝0.1 rad/s，故选项C正确，A、B、D错误。
4.(2019·三亚高一检测)如图所示，在水平转动的圆盘上，两个完全一样的木块A、B一起随圆盘做匀速圆周运动，转动的角速度为ω。已知木块A、B到圆盘中心O的距离为rA和rB，则两木块的向心力之比为( )
A．rA∶rB B．rB∶rA
C．r∶r D．r∶r
解析：选A 木块A、B在绕O点转动的过程中，木块与圆盘间的静摩擦力提供了向心力，因两木块旋转的角速度ω等大，质量一样，由向心力公式F＝mrω2得FA∶FB＝rA∶rB，故A正确。
5．如图所示为两级皮带传动装置，转动时皮带均不打滑，中间两个轮子是固定在一起的，轮1的半径和轮2的半径相同，轮3的半径和轮4的半径相同，且为轮1和轮2半径的一半，则轮1边缘的a点和轮4边缘的c点相比( )
A．线速度之比为1∶4
B．角速度之比为4∶1
C．向心加速度之比为8∶1
D．向心加速度之比为1∶8
解析：选D 由题意知2va＝2v3＝v2＝vc，其中v2、v3为轮2和轮3边缘的线速度，所以va∶vc＝1∶2，A错；设轮4的半径为r, 则aa＝＝＝＝ac，即aa∶ac＝1∶8，C错，D对；＝＝，B错。
6.如图所示，铁路转弯处外轨应略高于内轨，火车必须按规定的速度行驶，则转弯时( )
A．火车所需向心力沿水平方向指向弯道内侧
B．弯道半径越大，火车所需向心力越大
C．火车的速度若小于规定速度，火车将做离心运动
D．火车若要提速行驶，弯道的坡度应适当减小
解析：选A 火车转弯做匀速圆周运动，合力指向圆心，受力分析如图，由向心力公式F向＝F合＝m＝mgtan θ。因而m、v一定时，r越大，F向越小；若v小于规定速度，火车将做向心运动，对内轨挤压；当m、r一定时，若要增大v，必须增大θ；故选项A正确。
7.如图所示，在盛满水的试管中装有一个小蜡块，小蜡块所受浮力略大于重力，当用手握住A端让试管在竖直平面内左右快速摆动时，关于蜡块的运动，以下说法正确的是( )
A．与试管保持相对静止
B．向B端运动，可以到达B端
C．向A端运动，可以到达A端
D．无法确定
解析：选C 试管快速摆动，试管中的水和浸在水中的蜡块都有做离心运动的趋势(尽管试管不是做完整的圆周运动，且运动的方向也不断变化，但并不影响问题的实质)，但因为蜡块的密度小于水的密度，蜡块被水挤压向下运动。只要摆动速度足够大且时间足够长，蜡块就能一直运动到手握的A端，故C正确。
8.(2019·安徽学业水平测试)如图所示，一个圆盘在水平面内绕中心轴匀速转动，角速度为2 rad/s，盘面上距圆盘中心0.2 m处有一个质量为0.5 kg的小物体随盘一起做匀速圆周运动，则圆盘对物体的静摩擦力大小为________N。
解析：小物块受到的静摩擦力充当向心力，即f＝mω2r，
解得f＝mω2r＝0.5×22×0.2 N＝0.4 N。
答案：0.4
9．如图所示，一质量为m的汽车行驶在圆弧半径为R的拱桥上。重力加速度为g。
(1)当汽车到达桥顶时速度为v，求此时汽车对桥面的压力大小。
(2)汽车以多大速度经过桥顶时，恰好对桥面没有压力？
解析：(1)设汽车到达桥顶时桥对汽车的支持力为N，
由mg－N＝得N＝mg－
根据牛顿第三定律可知汽车对桥面的压力大小N′等于桥对汽车的支持力大小N，
即N′＝mg－。
(2)当汽车对桥面没有压力时，设此时速度为v0
由mg＝
得v0＝。
答案：(1)mg－ (2)
B级—选考提能
10.如图所示，是从一辆在水平公路上行驶着的汽车后方拍摄的汽车后轮照片。从照片来看，汽车此时正在( )
A．直线前进 B．向右转弯
C．向左转弯 D．不能判断
解析：选C 从汽车后方拍摄的后轮照片可以看到汽车的后轮发生变形，汽车不是正在直线前进，而是正在转弯，根据惯性、圆周运动和摩擦力知识，可判断出地面给车轮的静摩擦力水平向左，所以汽车此时正在向左转弯，应选C。
11.汽车车厢顶部悬挂一根轻质弹簧，弹簧下端拴一个质量为m的小球。当汽车以某一速率在水平面上匀速行驶时弹簧的长度为L1，当汽车以同一速率匀速通过一个桥面为圆弧形的凸桥最高点时，弹簧长度为L2，则下列选项中正确的是( )
A．L1＝L2 B．L1＞L2
C．L1＜L2 D．前三种情况都有可能
解析：选B 当汽车在水平面上做匀速直线运动时，设弹簧原长为L0，劲度系数为k，根据平衡得：mg＝k(L1－L0)，解得：L1＝＋L0①
当汽车以同一速率匀速通过一个桥面为圆弧形凸形桥的最高点时，由牛顿第二定律得：
mg－k(L2－L0)＝m，
解得：L2＝＋L0－②
①②两式比较可得：L1＞L2，故A、C、D错误，B正确。
12．在云南省某些地方到现在还要依靠滑铁索过江，如图甲。把滑铁索过江简化成图乙的模型，铁索的两个固定点A、B在同一水平面内，AB间的距离为L＝80 m，绳索的最低点离AB间的垂直距离为H＝8 m，若把绳索看作是一段圆弧，已知一质量m＝52 kg的人借助滑轮(滑轮质量不计)滑到最低点时速度为10 m/s，重力加速度g取10 m/s2，那么( )
A．人在整个绳索上运动可看成是匀速圆周运动
B．可求得绳索的圆弧半径为102 m
C．人滑到最低点时对绳索的压力为470 N
D．人滑到最低点时对绳索的压力为570 N
解析：选D 人在下滑过程中速度大小变化，不能看成匀速圆周运动，A错误；设绳索的圆弧半径为r，则由几何知识得r2＝(r－H)2＋2，代入解得r＝104 m，B错误；对人研究：根据牛顿第二定律得N－mg＝m，得到N＝mg＋m，代入数据解得人在滑到最低点时绳索对人支持力N＝570 N，根据牛顿第三定律得知，人在滑到最低点时对绳索的压力为570 N，C错误，D正确。
13．[多选]如图所示，用长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，下列说法正确的是( )
A．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力
B．小球在最高点时绳子的拉力有可能为零
C．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为0
D．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力
解析：选BD 设在最高点小球受的拉力为F1，最低点受到的拉力为F2，则在最高点F1＋mg＝m，即向心力由拉力F1与mg的合力提供，A错。当v1＝ 时，F1＝0，B对。v1＝ 为小球经过最高点的最小速度，即小球在最高点的速率不可能为0，C错。在最低点，F2－mg＝m，则F2＝mg＋m，所以经最低点时，小球受到绳子的拉力一定大于它的重力，D对。
14．[多选](2019·郑州高一检测)如图所示，竖直平面内固定有一个半径为R的光滑圆环形细管，现给小球(直径略小于管内径)一个初速度，使小球在管内做圆周运动，小球通过最高点时的速度为v，已知重力加速度为g，则下列叙述中正确的是( )
A．v的最小值为
B．v由零逐渐增大的过程中，轨道对球的弹力先减小再增大
C．当v由值逐渐增大的过程中，轨道对小球的弹力也逐渐增大
D．当v由值逐渐减小的过程中，轨道对小球的弹力也逐渐减小
解析：选BC 由题可知，v的最小值为0，选项A错误；当v的范围在0～范围内逐渐变大时，根据mg－FN＝m可知，FN逐渐减小；当v在大于范围内逐渐变大时，根据mg＋FN＝m可知，FN逐渐变大；故选项B、C正确，D错误。
15.如图所示是“用圆锥摆验证向心力公式”实验的装置图，细线下悬挂了一个质量为m的小钢球，细线上端固定在O点。将画有几个同心圆的白纸放在水平桌面上，使小钢球自然静止时(细线张紧)位于同心圆的圆心处。用手带动小钢球，使小钢球在水平面内做匀速圆周运动，随即手与球分离。(当地的重力加速度为g)
(1)用秒表记录小钢球运动n圈的时间t，从而测出此时钢球做匀速圆周运动的周期T＝________；
(2)再通过纸上的圆，测出小钢球做匀速圆周运动的半径R；可算出小钢球做匀速圆周运动所需的向心力F向＝________；
(3)测量出细线长度L，小钢球做匀速圆周运动时所受的合力F合＝__________(小钢球的直径与线长相比可忽略)；
(4)这一实验方法简单易行，但是有几个因素可能会影响实验的成功，至少写出一条：________________________________________________________________________
________________________________________________________________________。
解析：(1)小钢球做匀速圆周运动的周期T＝。
(2)根据向心力公式得，小钢球所需的向心力
F向＝mR＝。
(3)小钢球的受力情况如图所示，
则合力F合＝mgtan θ＝。
(4)可能会影响实验成功的因素：半径R不容易准确测量、小钢球是否做圆周运动等等。
答案：(1) (2) (3)
(4)半径R不容易准确测量、小钢球是否做圆周运动等等。
16.杂技演员在做“水流星”表演时，用一根细绳两端系着盛水的杯子，抡起绳子，让杯子在竖直平面内做圆周运动。如图所示，杯内水的质量m＝0.5 kg，绳子总长l＝120 cm。求：(g取9.8 m/s2)
(1)在最高点水不流出的最小速率。
(2)水在最高点速率v＝3 m/s时，水对杯底的压力大小。
解析：(1)在最高点水不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需要的向心力，即mg≤m，则所求最小速率v0＝＝ m/s＝2.42 m/s。
(2)当水在最高点的速率大于v0时，只靠重力提供向心力已不足，此时杯子底对水有向下的力，设为N，由牛顿第二定律有N＋mg＝m，即N＝m－mg＝2.6 N
由牛顿第三定律知，水对杯底的压力大小N′＝N＝2.6 N，方向竖直向上。
答案：(1)2.42 m/s (2)2.6 N
17．如图中给出了一段“S”形单行盘山公路的示意图。弯道1、弯道2可看作两个不同水平面上的圆弧，圆心分别为O1、O2，弯道中心线半径分别为r1＝10 m，r2＝20 m，弯道2比弯道1高h＝12 m，有一直道与两弯道圆弧相切。质量m＝1 200 kg的汽车通过弯道时做匀速圆周运动，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是车重的1.25倍，行驶时要求汽车不打滑。(sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8，g取10 m/s2)
(1)求汽车沿弯道1中心线行驶时的最大速度v1；
(2)汽车以v1进入直道，以P＝30 kW恒定功率直线行驶了t＝8.0 s进入弯道2，此时速度恰为通过弯道2中心线的最大速度，求直道上除重力以外的阻力对汽车做的功；
(3)汽车从弯道1的A点进入，从同一直径上的B点驶离，有经验的司机会利用路面宽度，用最短时间匀速安全通过弯道。设路宽d＝10 m，求此最短时间(A、B两点都在轨道的中心线上，计算时视汽车为质点)。
解析：(1)由静摩擦力提供向心力kmg＝m
解得：v1＝＝5 m/s≈11.2 m/s。
(2)由静摩擦力提供向心力kmg＝m
解得：v2＝＝5 m/s≈15.8 m/s
由动能定理得Pt－mgh＋Wf＝mv－mv
解得：Wf＝－21 000 J。
(3)用时最短路线应为过A、B两点且与路内侧边相切的圆弧，如图所示，则有
R2＝r＋2
解得：R＝12.5 m，
由kmg＝m可得vm＝＝12.5 m/s
sin θ＝＝
解得：θ＝53°
线路长度为s＝·2πR≈23.1 m
解得：tmin＝≈1.8 s。
答案：(1)11.2 m/s (2)－21 000 J (3)1.8 s
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