北师大版八下数学体验课—第01讲不等式（组）和分式方程学案（附答案）

第01讲——不等式（组）和分式方程
趣味问答
13颗高尔夫球里，已知有一颗重量跟其他12颗不一样，但不知道是轻还是重。现有一个天平，需要你只利用这13颗球秤三次，找出出问题的球。怎么秤？

考点梳理
计算训练
1．分解因式：
（1）3x2﹣12xy+12y2；
（2）（x﹣y）2+16（y﹣x）．
【解析】解：（1）原式=3（x2﹣4xy+4y2）=3（x﹣2y）2；
（2）原式=（x﹣y）[（x﹣y）﹣16]=（x﹣y）（x﹣y﹣16）．
2．求不等式组的正整数解．
【解析】解：解不等式2x+1＞0，得：x＞﹣，
解不等式x＞2x﹣5，得：x＜5，
∴不等式组的解集为﹣＜x＜5，
∵x是正整数，
∴x=1、2、3、4．
3．先化简，再求值：，其中．
【解析】解：，
=+，
=+1，
4．解分式方程：．
【解析】解：去分母得：2x﹣4+4x﹣2=﹣3，
解得：x=0.5，
经检验x=0.5是增根，分式方程无解．
例题剖析
1．如图，直线y=kx+b与y=x交于A（3，1）与x轴交于B（6，0），则不等式组0的解集为　3＜x＜6　．
2．若关于x的方程产生增根，则m=　2　．
3．通惠新城开发某工程准备招标，指挥部现接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知：乙队单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的2倍；该工程若由甲队先做6天，剩下的工程再由甲、乙两队合作16天可以完成．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为0.67万元，乙队每天的施工费用为0.33万元，该工程预算的施工费用为19万元．为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，问：该工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需要追加预算多少万元？请说明理由．
【解析】解：（1）设甲队单独完成这项目需要x天，则乙队单独完成这项工程需要2x天，
根据题意，得解得x=30经检验，x=30是原方程的根，
则2x=2×30=60（6分）答：甲、乙两队单独完成这项工程各需要30天和60天．
（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，
则有，解得y=20 需要施工费用：20×（0.67+0.33）=20（万元）
∵20＞19， ∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算1万元．
4．某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．
（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？
（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？
【解析】解：（1）设今年5月份A款汽车每辆售价m万元．则：
，解得：m=9．经检验，m=9是原方程的根且符合题意．
答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元；
（2）设购进A款汽车x辆．则：99≤7.5x+6（15﹣x）≤105．解得：6≤x≤10．
∵x的正整数解为6，7，8，9，10，∴共有5种进货方案；
（3）设总获利为W万元，购进A款汽车x辆，则：
W=（9﹣7.5）x+（8﹣6﹣a）（15﹣x）=（a﹣0.5）x+30﹣15a．
当a=0.5时，（2）中所有方案获利相同．
此时，购买A款汽车6辆，B款汽车9辆时对公司更有利．　
【变式训练】
1．如图，直线l1的解析式为y1=k1x+b1，直线l2的解析式为y2=k2x+b2，则不等式k1x+b1＞k2x+b2的解集是（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣2 D．x＜﹣2
【解析】D．
2．关于x的分式方程无解，则常数a的值是多少？
【解析】解：方程两边都乘以3（x+1）得：3x=ax+3x+3①，
∴ax=﹣3，
∴当a=0时，此分式方程无解；
∵关于x的分式方程无解，
∴x+1=0，x=﹣1，∴当x=﹣1时，a=3，
∴当a=3时，此分式方程无解．
综上，a=0或3．
故答案为：3或0．　
3．甲乙两人加工同一种机器零件，每时甲比乙少加工2个这种零件，甲加工64个这种零件所用的时间与乙加工80个这种零件所用的时间相等．
（1）求甲乙两人每时各加工多少个这种零件？
（2）某公司拟从甲乙两人中聘用一人来加工该种机器零件，已知两人加工的质量相同，需支付给甲的工资标准是：基本工资为每天50元，另每加工一个零件支付2元；需支付给乙的工资标准是：每加工一个零件支付4元，请问该公司应聘用哪一人，才可使每天所支付的工资更少？
【解析】解：（1）设甲每时加工a个这种零件，
由题意得：，解得a=8，经检验，a=8是原方程的解，
当a=8时，a+2=10，答：甲每时加工8个这种零件，乙每时加工10个这种零件．
（2）：设当每天需加工x个这种零件时，需支付给甲的工资为y1元，需支付给乙的工资为y2元，
由题意得：y1=2x+50，y2=4x，
由y1=y2得，2x+50=4x，解得x=25，
由y1＞y2得，2x+50＞4x，解得x＜25，
由y1＜y2得，2x+50＜4x，解得x＞25，
故当每天需加工25个零件时，可任聘其中一人；当每天需加工的零件少于25个时，聘用乙；当每天需加工的零件多于25个时，聘用甲．