北师大版八下数学体验课—第02讲特殊三角形和平行四边形学案（附答案）

第02讲—特殊三角形和平行四边形
趣味问答
新年过后，食品纷纷涨价，下面是三个人的对话：
甲说：如果大米涨价的话，油也会涨
乙说：如果油涨的话，鸡蛋也会涨
丙说：如果鸡蛋涨的话，牛奶也会涨。
从三个人的对话看，说法都正确，但四种商品只有两种涨了价，请问是哪两种？
考点梳理
例题剖析
考点1：垂直平分线、角平分线的性质
例1、如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（　　）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【解析】 D．
例2、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4，BD是角平分线，则BC+CD的长（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】B．
考点2：等腰三角形和特殊角的直角三角形
例3、如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，BD=2cm，求AB的长（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【解析】C．
例4、如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=α，且AE=AD，则∠EDC=（　　）
A．α B．α C．α D．α
【解析】A．
考点3：图形的平移和旋转
例5、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则BE的长是2+2．
【解析】解：连结CE，设BE与AC相交于点F，如下图所示，
∵Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°
∴∠BCA=∠BAC=45°
∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转60°与Rt△ADE重合，
∴∠BAC=∠DAE=45°，AC=AE
又∵旋转角为60°
∴∠BAD=∠CAE=60°，
∴△ACE是等边三角形
∴AC=CE=AE=4
在△ABE与△CBE中，
∴△ABE≌△CBE （SSS）
∴∠ABE=∠CBE=45°，∠CEB=∠AEB=30°
∴在△ABF中，∠BFA=180°﹣45°﹣45°=90°
∴∠AFB=∠AFE=90°
在Rt△ABF中，由勾股定理得，
BF=AF==2
又在Rt△AFE中，∠AEF=30，°∠AFE=90°
FE=AF=2
∴BE=BF+FE=2+2
故，本题的答案是：2+2
例6、如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将△ABC向下平移4个单位、再向右平移3个单位得到△A1B1C1，然后将△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°得到△A1B2C2．
（1）在网格中画出△A1B1C1和△A1B2C2；
（2）计算线段AC在变换到A1C2的过程中扫过区域的面积（重叠部分不重复计算）
【解析】解：（1）如图所示：
（2）∵图中是边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，
∴AC==2，
∴线段AC在变换到A1C2的过程中扫过区域的面积=4×2+3×2+﹣=14+π．
考点4：全等三角形与平行四边形的判定与性质
例6、如图，△ABC和△BEF都是等边三角形，点D在BC边上，点F在AB边上，且∠EAD=60°，连接ED、CF．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）求证：四边形EFCD是平行四边形．
【解析】证明：（1）∵△ABC和△BEF都是等边三角形，
∴AB=AC，∠EBF=∠ACB=∠BAC=60°，
∵∠EAD=60°，∴∠EAD=∠BAC，∴∠EAB=∠CAD，
∴△ABE≌△ACD．
（2）由（1）得△ABE≌△ACD，∴BE=CD，
∵△BEF、△ABC是等边三角形，∴BE=EF，∴∠EFB=∠ABC=60°，∴EF∥CD，
∴BE=EF=CD，∴EF=CD，且EF∥CD，
∴四边形EFCD是平行四边形．
例7、如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．
（1）若点D是BC边的中点（如图①），求证：EF=CD；
（2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；
（3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图②），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【解析】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，且∠BAD=∠BAC=30°，
∵△AED是等边三角形，∴AD=AE，∠ADE=60°，∴∠EDB=90°﹣∠ADE=90°﹣60°=30°，
∵ED∥CF，∴∠FCB=∠EDB=30°，
∵∠ACB=60°，∴∠ACF=∠ACB﹣∠FCB=30°，∴∠ACF=∠BAD=30°，
∴△ABD≌△CAF（ASA），∴AD=CF，
∵AD=ED，∴ED=CF，
又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF=CD．
（2）解：△AEF和△ABC的面积比为：1：4；
（易知AF=BF，延长EF交AD于H，△AEF的面积=?EF?AH=?CB?AD=??BC?AD，由此即可证明）
（3）解：成立．
理由如下：∵ED∥FC，∴∠EDB=∠FCB，
∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF，∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB
∴∠AFC=∠BDA，∴△ABD≌△CAF（AAS），∴AD=FC，
∵AD=ED，∴ED=CF，
又∵ED∥CF，
∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF=DC．
【变式训练】
1．如图Rt△ACB中，已知∠BAC=30°，BC=2，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE． EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；
（2）求四边形ADFE的周长．
【解析】（1）证明：∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AB=2AF∴AF=BC，
∴△AFE≌△BCA（HL），∴AC=EF；
∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°，
又∵EF⊥AB，∴EF∥AD，
∵AC=EF，AC=AD，∴EF=AD，
∴四边形ADFE是平行四边形；
（2）解：∵∠BAC=30°，BC=2，∠ACB=90°，∴AB=AE=4，
∵AF=BF=AB=2，则EF=AD=2，
故四边形ADFE的周长为：2（4+2）=8+4．
2．如图，在?ABCD中，AE、AF是高，∠BAE=30°，BE=2，CF=1，DE交AF于点G．
（1）求?ABCD的面积；
（2）求证：△AEG是等边三角形．
【解析】（1）解：∵在Rt△AEB中，∠1=30°，BE=2，
∴∠B=60°，AB=2BE=4，∴AE==2，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=4，BC=AD，∠ADC=∠B=60°，
∵CF=1，∴DF=3，∴在Rt△ADF中，∠DAF=90°﹣60°=30°，则AD=2DF=6，
∴BC=6，∴S平行四边形ABCD=BC×AE=6×2=12；
（2）证明：由（1）知：∠DAF=30°，∠BAD=180°﹣∠B=120°，即∠C=120°，
∴∠EAF=∠BAD﹣∠1﹣∠DAF=60°，
∵BC=6，BE=2，∴EC=BC﹣BE=4=CD，∴∠2=∠3=（180°﹣∠C）=30°，
∴∠AEG=90°﹣∠2=60°，∴∠EAG=∠AEG=∠AGE=60°，∴△AEG是等边三角形