人教版高中物理必修2 功和功率 知识总结+习题精选

功和功率 知识总结
1．功
(1)做功的两个要素
①作用在物体上的__力__.
②物体在力的方向上发生的__位移__.
(2)公式W＝Flcos α
①α是力与__位移__方向之间的夹角，l是物体对地的位移．
②该公式只适用于__恒力__做功．
(3)功的正负
①当0≤α<时，W>0，力对物体做__正功__，是动力．
②当<α≤π时，W<0，力对物体做__负功_，或者说物体__克服_这个力做了功，是阻力．
③当α＝时，W＝0，力对物体__不做功__.
2．功率
类别 定义 计算公式 单位
平均功率 力在一段时间内做功的平均快慢程度，大小等于__功__跟完成这些功所用__时间__的比值 (1)＝ (2)＝F，适用条件：__F为恒力，且F与平均速度共线__ 瓦特(W)
瞬时功率 力在__某一时刻__做功的快慢程度 (1)P＝__Fv__，适用条件：__F与瞬时速度v共线__ (2)t→0，P＝为瞬时功率(不要求)
额定功率 动力机械在正常条件下长时间工作的__最大__功率
实际功率 动力机械工作时实际消耗的功率一般小于或等于额定功率





功和功率 习题精选
【例题精选】
[例1]一物体静止在粗糙水平地面上．现用一大小为F1的水平拉力拉动物体，经过一段时间后其速度变为v.若将水平拉力的大小改为F2，物体从静止开始经过同样的时间后速度变为2v.对于上述两个过程，用WF1、WF2分别表示拉力F1、F2所做的功，Wf1、Wf2分别表示前后两次克服摩擦力所做的功，则(　C　)
A．WF2>4WF1，Wf2>2Wf1 B．WF2>4WF1，Wf2＝2Wf1
C．WF2<4WF1，Wf2＝2Wf1 D．WF2<4WF1，Wf2<2Wf1
解析　物体两次的加速度之比a2∶a1＝∶＝2∶1，位移之比l2∶l1＝t∶t＝2∶1，摩擦力之比Ff2∶Ff1＝1∶1，由牛顿第二定律得F－Ff＝ma，则拉力之比F2∶F1＝(ma2＋Ff)∶(ma1＋Ff)<2，拉力做功之比WF2∶WF1＝F2l2∶F1l1<4，克服摩擦力做功之比Wf2∶Wf1＝(－Ff2l2)∶(－Ff1l1)＝2∶1，故选项C正确．
[例2](2019·广西南宁模拟)一质量为1 kg的质点静止于光滑水平面上，从t＝0时刻开始，受到水平外力F作用，如图所示．下列判断正确的是(　A　)

A．0～2 s内外力的平均功率是4 W
B．第2 s内外力所做的功是4 J
C．第2 s末外力的瞬时功率最大
D．第1 s末与第2 s末外力的瞬时功率之比为9∶5
解析　0～1 s内，质点的加速度a1＝＝ m/s2＝3 m/s2，则质点在0～1 s内的位移x1＝a1t＝×3×1 m＝1.5 m，1 s末的速度v1＝a1t1＝3×1 m/s＝3 m/s；第2 s内质点的加速度a2＝＝ m/s2＝1 m/s2，第2 s内的位移x2＝v1t2＋a2t＝3×1 m＋×1×1 m＝3.5 m，在0～2 s内外力F做功的大小W＝F1x1＋F2x2＝3×1.5 J＋1×3.5 J＝8 J，可知0～2 s内外力的平均功率＝＝ W＝4 W，故选项A正确．第2 s内外力做功W2＝F2x2＝1×3.5 J＝3.5 J，故选项B错误．第1 s末外力的瞬时功率P1＝F1v1＝3×3 W＝9 W，第2 s末的速度v2＝v1＋a2t2＝3 m/s＋1×1 m/s＝4 m/s，则外力的瞬时功率P2＝F2v2＝1×4 W＝4 W，可知第2 s末外力的瞬时功率不是最大，第1 s末和第2 s末外力的瞬时功率之比为9∶4，故选项C、D错误．


[例3]在检测某种汽车性能的实验中，质量为3×103 kg的汽车由静止开始沿平直公路行驶，达到的最大速度为40 m/s，利用传感器测得此过程中不同时刻该汽车的牵引力F与对应速度v，并描绘出如图所示的F－图象(图线ABC为汽车由静止到达到最大速度的全过程，AB、BO均为直线)．假设该汽车行驶中所受的阻力恒定，根据图线ABC求：
(1)该汽车的额定功率；
(2)该汽车由静止开始运动，经过35 s达到最大速度40 m/s，其在BC段的位移．

解析　(1)由图线分析可知：图线AB表示牵引力F不变即F＝8 000 N，阻力Ff不变，汽车由静止开始做匀加速度直线运动；图线BC的斜率表示汽车的功率P不变，达到额定功率后，汽车所受牵引力逐渐减小，汽车做加速度减小的变加速直线运动，直至达到最大速度40 m/s，此后汽车做匀速直线运动．
由图可知：当最大速度vmax＝40 m/s时，牵引力为Fmin＝2 000 N，
由平衡条件Ff＝Fmin可得Ff＝2 000 N，
由公式P＝Fminvmax得
P额＝8×104 W.
(2)匀加速运动的末速度vB＝，代入数据解得vB＝10 m/s，
汽车由A到B做匀加速运动的加速度为a＝＝2 m/s2.
设汽车由A到B所用时间为t1，由B到C所用时间为t2，位移为x，则
t1＝＝5 s，t2＝35 s－5 s＝ 30 s，
B点之后，对汽车由动能定理可得
Pt2－Ffx＝mv－mv，代入数据可得x＝75 m.
[例4]用锤子击打钉子，设木板对钉子的阻力跟钉子进入木板的深度成正比，每次击打钉子时锤子对钉子做的功相同．已知第一次击打钉子后，钉子进入的深度为1 cm，则第二次击打时，钉子进入的深度是多少？
解析　设木板对钉子的阻力为Ff＝kx，x为钉子进入木板的深度，第一次击打后钉子进入木板的深度为x1，第二次击打钉子后，钉子进入木板的总深度为x2，则有
W1＝f1x1＝x1＝kx，
W2＝f2(x2－x1)＝(x2－x1)＝k(x－x)，
由于W1＝W2，
代入数据解得x2＝x1＝1.41 cm，
所以钉子第二次击打时进入的深度为
Δx＝x2－x1＝0.41 cm.
[例5](2019·重庆模拟)轻质弹簧右端固定在墙上，左端与一质量m＝0.5 kg的物块相连，如图甲所示，弹簧处于原长状态，物块静止且与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2.以物块所在处为原点，水平向右为正方向建立x轴，现对物块施加水平向右的外力F，F随x轴坐标变化的情况如图乙所示，物块运动至x＝0.4 m处时速度为零，则此时弹簧的弹性势能为(g＝10 m/s2)(　A　)

A．3.1 J B．3.5 J
C．1.8 J D．2.0 J
解析　物块与水平面间的摩擦力为Ff＝μmg＝1 N．现对物块施加水平向右的外力F，由F－x图象面积表示功可知F做功W＝3.5 J，克服摩擦力做功Wf＝Ffx＝0.4 J．由功能关系可知，W－Wf＝EP，此时弹簧的弹性势能为EP＝3.1 J，选项A正确．
[例6]如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升．若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1和W2，滑块在B、C两点的动能分别为EkB和EkC，图中AB＝BC，则一定有(　A　)

A．W1>W2 B．W1C．W1＝W2 D．W1与W2的大小关系无法确定
解析　绳子对滑块做的功为变力做的功，求解比较复杂，但可通过转换研究对象，由于绳子对滑块做的功等于拉力F对绳子所做的功，因此，求绳子对滑块做的功时，可改求拉力F对绳子所做的功，这样就转化为恒力做功．如图所示，设滑块经A、B、C位置时左边的绳子的长度分别为l1、l2、l3，则滑块从A上升到B所做的功为W1＝F(l1－l2)，滑块从B上升到C所做的功为W2＝F(l2－l3)．过C点、A点分别作OA、OC的平行线CD、AD交于D点，OCDA为平行四边形，OB延长线必过D点，且OB＝BD＝l2在△OCD中有l1＋l3>2l2，则l1－l2>l2－l3，则W1>W2，故选项A正确，B、C、D错误．

[例7]如图，一半径为R、粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置，直径POQ水平．一质量为m的质点自P点上方高度R处由静止开始下落，恰好从P点进入轨道．质点滑到轨道最低点N时，对轨道的压力为4mg，g为重力加速度的大小．用W表示质点从P点运动到N点的过程中克服摩擦力所做的功．则(　C　)

A．W＝mgR，质点恰好可以到达Q点
B．W>mgR，质点不能到达Q点
C．W＝mgR，质点到达Q点后，继续上升一段距离
D．W解析　设质点到达N点的速度为vN，在N点质点受到轨道的弹力为FN，则FN－mg＝，已知FN＝F′N＝4mg，则质点到达N点的动能为EkN＝mv＝mgR.质点由开始至N点的过程，由动能定理得mg·2R＋Wf＝EkN－0，解得摩擦力做的功为Wf＝－mgR，即克服摩擦力做的功为W＝－Wf＝mgR.设从N到Q的过程中克服摩擦力做功为W′，则W′0，故质点到Q点后速度不为零，继续上升一段距离，选项C正确．
[例8]如图所示，质量m＝2.0 kg的物体用长R＝5 m的绳拴着，绳的另一端固定在水平桌面上，今用大小始终为10 N的水平力F拉着物体从A点运动到B点，F的方向始终与绳的夹角为127°，g取10 m/s2，求：

(1)拉力F做的功；
(2)克服摩擦力做的功．(已知物体与桌面的动摩擦因数μ＝0.2)
解析　(1)将圆弧分成很多小段l1，l2，…，ln，拉力在每小段上做的功为W1，W2，…，Wn，因拉力F大小不变，方向始终与物体在该点的切线成37°角，
所以W1＝Fl1cos 37°，W2＝Fl2cos 37°，…，Wn＝Flncos 37°；
W＝W1＋W2＋…＋Wn＝Fcos 37°(l1＋l2＋…＋ln)＝
Fcos 37°·R＝π J≈42 J.
(2)同理可得克服摩擦力做的功为
WFf＝μmg·R＝π J≈21 J.
【同步习题】
1．某同学进行体能训练，用100 s从一楼跑上教学楼七楼，试估测他登楼时的平均功率最接近的数值是(　B　)
A．10 W B．100 W
C．1 kW D．10 kW
解析　中学生的质量可取50 kg,7层楼的高度约为20 m，该同学上楼时所做的功W＝mgh＝50×10×20 J＝10 000 J，则他做功的功率P＝＝＝100 W，故选项B正确．
2．(2017·湖北武汉模拟)一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1 m/s，从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力F，力F和滑块的速率v随时间的变化规律分别如图甲和乙所示，设在第1 s内、第2 s内、第3 s内力F对滑块做的功分别为W1、W2、W3，则以下关系正确的是(　B　)

A．W1＝W2＝W3 B．W1C．W1解析　在第1 s内，滑块的位移为s1＝×1×1 m＝0.5 m，力F做的功为W1＝F1s1＝1×0.5 J＝0.5 J；第2 s内，滑块的位移为s2＝×1×1 m＝0.5 m，力F做的功为W2＝F2s2＝3×0.5 J＝1.5 J；第3 s内，滑块的位移为s3＝1×1 m＝1 m，力F做的功为W3＝F3s3＝2×1 J＝2 J．所以W13．如图所示，细线的一端固定于O点，另—端系一小球．在水平拉力F的作用下，小球以恒定速率在竖直平面内由A点运动到B点．在此过程中拉力的瞬时功率变化情况是 (　A　)

A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．先增大，后减小 D．先减小，后增大
解析　因小球速率不变，所以小球以O点为圆心做匀速圆周运动，受力如图所示，因此在切线方向上应有，mgsin θ＝Fcos θ，得F＝mgtan θ.则拉力F的瞬时功率P＝F·vcos θ＝mgv·sin θ.从A运动到B的过程中，拉力的瞬时功率随θ的增大而增大，选项A正确．

4．假设摩托艇受到的阻力的大小正比于它的速率．如果摩托艇发动机的输出功率变为原来的2倍，则摩托艇的最大速率变为原来的(　D　)
A．4倍 B．2倍
C．倍 D．倍
解析　设Ff＝kv，当阻力等于牵引力时，速度最大，输出功率变化前，有P＝Fv＝kv·v＝kv2，变化后有2P＝F′v′＝kv′·v′＝kv′2，联立解得v′＝v，选项D正确．
5．一物体所受的力F随位移x变化的图象如图所示，求在这一过程中，力F对物体做的功为__6___J.

解析　力F对物体做的功等于x轴上方梯形“面积”所表示的正功与x轴下方三角形“面积”所表示的负功的代数和．
W梯形＝×(3＋4)×2＝7 J，
W三角形＝－×(5－4)×2＝－1 J，
所以力F对物体做的功为W＝(7－1) J＝6 J.
5．(2018·湖北黄冈模拟)(多选)一辆汽车的质量为m，其发动机的额定功率为P0.从某时刻起汽车以速度v0在水平公路上沿直线匀速行驶，此时汽车发动机的输出功率为P0，接着汽车开始沿直线匀加速行驶，当速度增加到v0时，发动机的输出功率恰好为P0，此后汽车继续运动．如果汽车在水平公路上沿直线行驶中所受到的阻力与速率成正比，即Ff＝kv，下列说法正确的是(　BCD　)
A．汽车匀加速运动的加速度大小为
B．汽车匀加速运动的时间为
C．汽车能达到的最大速度为2v0
D．汽车匀速运动时的阻力为
解析　汽车做匀速直线运动时，由共点力平衡条件有－kv0＝0，汽车做匀加速直线运动时，由牛顿第二定律和匀变速直线运动规律分别有－k＝ma、v0＝v0＋at，解得a＝、t＝，选项B正确，A错误；汽车做匀速直线运动时，由共点力平衡条件有－Ff＝0，解得Ff＝，汽车速度最大时，同理有－kvm＝0，解得vm＝2v0，选项C、D均正确．
6．(2019·浙江嘉兴调研)质量为400 kg的汽车沿直线从A点开始以额定功率匀速运动，到达B点后关闭发动机滑行到C点停下，整个过程阻力恒定，BC段做匀变速运动的位移x与速度v的曲线关系如图所示，已知A、C间距l＝400 m，试求：
(1)BC段加速度大小；
(2)AC段所经历的时间；
(3)汽车的额定功率．

解析　(1)设加速度大小为a，由匀变速运动的速度位移关系可得v2＝2ax，
故a＝＝ m/s2＝2 m/s2.
(2)A、C间距l＝400 m，故AB间的位移为x′＝400 m－100 m＝300 m，
从A到B的时间为t1＝＝ s＝15 s，
从B到C的时间为t2＝＝ s＝10 s，
故总时间为t＝t1＋t2＝15 s＋10 s＝25 s.
(3)由BC段做匀减速运动，由牛顿第二定律可得摩擦阻力Ff＝ma＝400×2 N＝800 N，
从A点开始以额定功率匀速运动故有F牵＝Ff＝800 N，
汽车的额定功率P＝F牵v＝800×20 W＝16 000 W.
答案　(1)2 m/s2　(2)25 s　(3)16 000 W