3.2 函数的基本性质 同步练习（含答案）

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人教A版（2019）数学必修第一册3.2函数的基本性质
一、单选题
1.下列四个函数中，在(－∞，0)上是增函数的为(??? )
A.?f(x)＝x2＋1????????????????????B.?f(x)＝1－ ????????????????????C.?f(x)＝x2－5x－6????????????????????D.?f(x)＝3－x

2.下列函数为偶函数的是（? ）
A.????????????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????D.?
3.若函数 是奇函数，则 =（??? ）
A.?2???????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
4.已知函数 在 上是单调函数，则 的取值范围是 (?? )
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
5.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ???）
A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
6.函数 (??? )
A.?在 上单调递增???????????????????????????????????B.?在 上单调递增
C.?在 上单调递减???????????????????????????????????D.?在 上单调递减
7.已知定义在R上的奇函数 ,当 时, ,那么当 时, 的解析式为（??? ）.
A.????????B.????????C.????????D.?
8.函数y＝ 的单调递减区间为(?? ?)
A.?(－∞，－3]????????????????????????B.?(－∞，－1]????????????????????????C.?[1，＋∞)????????????????????????D.?[－3，－1]
9.已知函数 在区间 上不单调，则实数 的取值范围是（?? ）
A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
10.若 是偶函数，且对任意 ∈ 且 ，都有 ，则下列关系式中成立的是（??? ）
A.??????????????????????????????????????B.?
C.??????????????????????????????????????D.?
11.已知 是定义在R上的偶函数，且在区间 上单调递增，若实数m满足 ，则m的取值范围是（??? ）
A.???????????????????????B.???????????????????????C.?（0，2）??????????????????????D.?
12.设 是奇函数，且在 内是增函数，又 ，则 的解集是（??? ）

A.?或 ?????????????????????????????????????B.?或
C.?或 ????????????????????????????????????????????D.?或
13.已知函数 的图象关于直线 对称，当 时， 恒成立，则满足 的 的取值范围是（? ）

A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?

14.是定义在 上的减函数，则 的范围是(?? )

A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?

二、填空题
15.已知一个奇函数的定义域为[a+1，b-2]， 则 =________.

16.已知 ，若 ，则 ________.

17.奇函数? 在区间 上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为-1，

则 ________

18.已知f（x）是R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣5x，则f（x﹣1）＞f（x）的解集为________．

19.函数y=f（x）定义域是D，若对任意x1 ， x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），则称函

数f（x）在D上为非减函数，设函数y=f（x）在[0，1]上为非减函数，满足条件：①f（0）=0；②f（ ）= f（x）；③f（1﹣x）=1﹣f（x）；则f（ ）+f（ ）=________．

三、解答题
20.已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， 现已画出函数 在 轴左侧的图象，如图所示．

（1）画出函数 在 轴右侧的图象，并写出函数 在 上的单调区间；
（2）求函数 在 上的解析式．







21.已知函数 的图像经过点
（1）求 的值并判断 的奇偶性；
（2）判断并证明函数 在 的单调性，并求出最大值.









22.定义在[﹣1，1]上的奇函数f（x）是减函数，且f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞0，求实数a的取值范围．











23.已知函数 ．
（1）判断函数f（x）在区间[0，+∞）上的单调性，并用定义证明其结论；
（2）求函数f（x）在区间[2，9]上的最大值与最小值．
















24.已知定义在R上的函数 满足：① 对任意 ， ，有 .②当 时， 且 .
（1）求证： 是奇函数；
（2）解不等式 .



答案解析部分
一、单选题
1.答案： B
解：A，C，D选项中的三个函数在(－∞，0)上都是减函数，只有B符合题意．
故答案为：B
【分析】根据函数单调性的定义，结合基本初等函数的单调性逐一判断即可.
2.答案： B
解：当 时, ,所以 为偶函数,
为非奇非偶函数函数, 与 为奇函数.
故答案为：B
【分析】根据偶函数的定义逐个判断可得答案.
3.答案： B
解：因为函数 是奇函数
所以 即
得 ，.
故答案为：
【分析】由函数 是奇函数，则 构造方程，解得 的值.
4.答案： A
解：由于 的零点是 ，且在直线 两侧左减右增，要使函数 在 上是单调函数，则 ，解得 ，
故答案为：A.
【分析】根据 的零点和性质列不等式，解不等式求得 的取值范围.
5.答案： D
解：A是增函数，不是奇函数；B和C都不是定义域内的增函数，排除，只有D符合题意.
故答案为：D.
【分析】该题主要考察函数的奇偶性和单调性，理解和掌握基本函数的性质是关键.
6.答案： D
解：函数 的图象是由 的图象向右平移一个单位，再向上一个单位而得到，
所以函数 在 上单调递减，
故答案为：D
【分析】根据分式函数的性质即可得到结论.
7.答案： D
解：设 ,则 ,
∵
∴ .
故答案为：D
【分析】根据奇函数的定义,可以直接写出当 时, 的解析式.
8.答案： A
解：该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数f(x)＝x2＋2x－3的对称轴为x＝－1，由复合函数的单调性可知该函数在区间(－∞，－3]上是减函数．
故答案为：A
【分析】利用偶次根式函数的定义域和二次函数的图象的对称性以及复合函数的单调性，确定复合函数的单调递减区间。
9.答案： C
解：根据题意，函数 ，
当 时， ，在区间 ， 上是减函数，不符合题意；
当 时， ，若 在区间 ， 上不单调，
必有对称轴 或
解可得： ，即 的取值范围为 .
故答案为：C．
【分析】根据题意，分两种情况讨论：当 时， ，易得此时不符合题意；当 时， ，结合二次函数的性质分析求出 的取值范围，综合即可得答案．
10.答案： A
解：∵对任意的x1 ， x2∈（0，+∞），都有 ，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
又∵ ，∴ ，
又∵f（x）是偶函数，∴f（﹣ ）＝f（ ）．
∴ ．
故答案为：A．
【分析】由于对任意的x1 ， x2∈（0，+∞），都有 ，可得函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，即可得出．
11.答案： C
解：由题意，函数 为R上的偶函数，且在区间 上单调递增，
函数 在 上单调递减，
，，
解得 ，即 .
故答案为：
【分析】根据函数 为R上的偶函数，且在区间 上单调递增，可得函数在 上的单调性，然后将函数不等式转化为自变量的不等式，即可解得
12.答案： D
解：∵f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，
∴在（﹣∞，0）内f（x）也是增函数，又∵f（﹣2）＝0，∴f（2）＝0，
∴当x∈（﹣∞，﹣2）∪（0，2）时，f（x）＜0；
当x∈（﹣2，0）∪（2，+∞）时，f（x）＞0；
∴ 的解集是{x|﹣2＜x＜0或0＜x＜2}．
故答案为：D．
【分析】由 对x＞0或x＜0进行讨论，把不等式 转化为f（x）＞0或f（x）＜0的问题解决，根据f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣2）＝0，把函数值不等式转化为自变量不等式，求得结果．
13.答案： A
解：当 时， 恒成立，
所以 恒成立，即函数 在 上单调递增，
又因为函数 的图象关于直线 对称，所以 在 上单调递减，
若要满足 ，即 ，解得 ，
故答案为：A．
【分析】求得函数 在 上单调递增，又由函数 的图象关于直线 对称，得到 在 上单调递减，从而根据函数不等式列出相应的不等式，即可求解．
14.答案： B
解：要使得 在 上是单调减函数
需满足 ，解得
故答案为：B.
【分析】由一次函数的单调性以及端点处的函数值的关系结合分段函数的单调性即可得到 的范围.
二、填空题
15.答案：
解：根据题意，函数f（x）是奇函数，且其定义域为[a+1，b-2]，
则有a+1+b-2＝0，解可得：a+b＝1，，
故答案为： ．
【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得a+1+b-2＝0，即可得答案．
16.答案： 1
解：令g（x）＝ax3+bx ， 则由奇函数的定义可得函数g（x）为R上的奇函数，
∴由f（2019）＝g（2019）+2＝3得，g（2019）＝1，
∴f（-2019）＝g（-2019）+2＝﹣g（2019）+2＝1．
故答案为：1
【分析】令g（x）＝ax3﹣bx ， 根据奇函数的定义即可求出答案．
17.答案： 17
解：∵函数f（x）在[3，7]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为﹣1，
∴f（3）＝-1，最小值为f（6）＝8，
∵f（x）是奇函数， ∴f（-3）+2f（6）=-f（3）+2f（6）=1+2×8=17
故答案为：17
【分析】根据奇函数在对称区间上单调性一致，判断出区间[﹣6，﹣3]上的最大值为f（﹣6）＝1，最小值为f（﹣3）＝﹣8，代入即可得到答案．
18.答案：
解：当 时， ，所以 ，
又f（x）是R上的奇函数，所以 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
做出 和 的图像如下图所示，

不等式 的解集可以理解为将 的图象向右平移一个单位长度后所得函数 的图象在函数 的图象上方部分的点对应的横坐标取值的集合，
由 得 所以 ，
由 得 ，所以 ，
所以不等式 的解集为 .
故答案为： .
【分析】根据函数f（x）是R上的奇函数和已知条件得出函数 和 的解析式，在同一坐标系中做出 和 的图像，求出交点的坐标，根据不等式 的解集可以理解为将 的图象向右平移一个单位长度后所得函数 的图象在函数 的图象上方部分的点对应的横坐标取值的集合，由图示可得出解集.

19.答案：
解：由③，令x=0，则f（1）=1﹣f（0）=1，
由②，令x=1，则f（ ）= f（1）= ，
， ， ，
，， ．
由③，令x= ，则f（ ）= ，
， ， ，
，， ．
∵ ，∴f（ ）= ．
∴f（ ）+f（ ）= ．
故答案为： ．
【分析】由条件求出f（）, f (?) =? f (?) = ,再结合及非减函数概念得f（），则答案可求.

三、解答题
20.答案： 解：（1）如图所示：

的单调递减区间为： ，
单调递增区间为： ，
（2）令 则
所以
又函数 为偶函数，即
所以当 时
所以
【分析】（1）根据偶函数关于 轴对称，即可画出函数 在 轴右侧的图象，再由函数图像即可写出其单调区间。（2）已知 时的解析式，只需计算出 的解析式，根据 则 与 即可使用 时的解析式解出 的解析式。
21.答案：解：（1）由于函数 过点 ，故 ，所以 .函数的定义域为 ，且 ，所以函数为奇函数.
（2）函数 在 上递增，证明如下：
任取 ，则 ，
由于 ，所以 ，
所以函数在 上递增，且最大值为 .
【分析】（1）利用点 列方程，解方程求得 的值.根据函数奇偶性的定义，判断出函数的奇偶性.（2）首先判断出函数 在 上递增，然后利用单调性的定义，证明出单调性，并根据单调性求得函数的最大值.
22.答案：解：定义在[﹣1，1]上的奇函数f（x）是减函数，且f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞0，
∴f（1﹣a）＞f（a2﹣1），∴ ，求得 1＜a≤
【分析】根据题意，利用函数的奇偶性转化原式为f（1﹣a）＞f（a2﹣1），再根据函数在指定的区间上是减函数，由减函数的定义得到不等式组，解出即得结果。
23.答案：解：（1）f（x）在区间[0，+∞）上是增函数．证明如下：
任取x1 ， x2∈[0，+∞），且x1＜x2 ，
= = ．
∵x1﹣x2＜0，（x1+1）（x2+1）＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数.
（2）由（1）知函数f（x）在区间[2，9]上是增函数，
故函数f（x）在区间[2，9]上的最大值为 ，
最小值为 .
【分析】（1）根据函数单调性的定义可证明结果。（2）根据函数的单调性以及二次函数在指定区间上的最值可得结果。
24.答案： （1）证明：令 ， ，
，
令 ，
.
函数 是奇函数.
（2）解：设 ，则 ，

为 上减函数.
， .
即 .
不等式 的解集为 .
【分析】（1）赋值法，令x＝y＝0可证得f（0）＝0；令y＝﹣x代入式子化简，结合函数奇偶性的定义，可得f（x）是奇函数；（2）设x1＜x2 ， 由条件构造f（x1）﹣f（x2）＝f（x1﹣x2）由x＜0时f（x）＞0可证得函数的单调性，然后化简不等式，利用单调性去掉“f”，从而可求出不等式的解集．






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