3.4 函数的应用（一） 同步练习（含答案）

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人教A版（2019）数学必修第一册3.4函数的应用（一）
一、单选题
1.已知 ? ，那么 等于（ ??）
A.?2???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?5
2.设 (?? )
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
3.设函数f（x） ，若f（x）＞f（0），则x的取值范围是（? ）

A.?????????????????????????B.?????????????????????????C.?????????????????????????D.?
4.已知??则的值等于(　　)．
A.?－2 B.?4 C.?2 D.?－4
5.拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f（m）=1.06（0.50×[m]+1）给出，其中m＞0，[m]是大于或等于m的最小整数（例如[3]=3，[3.7]=4，[3.1]=4），则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的话费为（? ）
A.?3.71?????????????????????????????????????B.?3.97?????????????????????????????????????C.?4.24?????????????????????????????????????D.?4.77
6.已知函数 ，其中a，b是常数，若对?x∈R，都有f（1﹣x）=f（1+x），则a+b=（　　）
A.?﹣6?????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.?﹣1?????????????????????????????????????D.?
7.设 ，若f( )＝f( ＋1)，则 ＝( ??)
A.?8???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?2
8.已知函数若， 则实数a的取值范围是（ ?）

A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
9.国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费（扣税前）为（? ）
A.?2800元??????????????????????????????B.?3000元??????????????????????????????C.?3800元??????????????????????????????D.?3818元
10.已知函数 为 上的减函数，则实数 的取值范围是（ ??）
A.??????????????????????????B.??????????????????????????C.??????????????????????????D.?
11.已知函数f（x）=x（1+|x|），设关于x的不等式f（x2+1）＞f（ax）的解集为A，若 ，则实数a的取值范围为（?? ）
A.?（﹣2，2）????????????B.?????????????C.?????????????D.?

二、填空题
12.已知 则 ________.

13.已知函数 ，如果 ，那么实数 的值为________.

14.设函数 若f(x0)>1，则x0的取值范围是________.

15.函数 ， 在定义域上是单调函数，则 的取值范围为________.

三、解答题
16.已知函数
（1）写出 的单调区间；
（2）若 ，求相应 的值．








17.某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过5吨时，每吨为2.6元，当用水超过5吨时，超过部分每吨4元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x，3x吨．
（1）求y关于x的函数；
（2）若甲、乙两户该月共交水费34.7元，分别求甲、乙两户该月的用水量和水费．















18.已知a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|．
（1）当a=0时，写出函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）当a=1时，讨论函数y=f（x）的奇偶性；
（3）设a≠0，函数y=f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m，n的取值范围（用a表示）．






















19.近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器x（百台），其总成本为P（x）（万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入Q（x）（万元）满足Q（x）= ，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据以述统计规律，请完成下列问题：
（1）求利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；
（2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？



答案解析部分
一、单选题
1.答案： A
解：由分段函数第二段解析式可知， ，继而 ,
由分段函数第一段解析式 ，，
故答案为：A.
【分析】由已知分段函数的解析式，分别代入即可求值.
2.答案：B
解： .
.
故答案为：B.
【分析】首先将代入到分段函数相应的函数中求出,然后将代入到相应的函数中求出函数值即可。
3.答案： D
解：f（0）＝2
∴x＜ 2时，由 ＞2得：x＜ ；
x≥ 2时，由 得：x＞0．
∴x的取值范围是（ ∞， ）∪（0，+∞）．
故答案为：D．
【分析】f（x）是分段函数，先求出f（0），然后在每段函数里求x的取值范围，从而求出x的取值范围．
4.答案：B
解：，
，
.
5.答案： C
解：由[m]是大于或等于m的最小整数可得[5.5]=6．
所以f（5.5）=1.06×（0.50×[5.5]+1）=1.06×4=4.24．
故选：C．
【分析】先利用[m]是大于或等于m的最小整数求出[5.5]=6，再直接代入f（m）=1.06（0.50×[m]+1）即可求出结论．
6.答案：D
解：若对?x∈R，都有f（1﹣x）=f（1+x），
可得函数f（x）的图象关于直线x=1对称，
当x≤1时，f（x）=2x+a，由对称性可得，
当x＞1时，可得f（x）=f（2﹣x）=2（2﹣x）+a=4+a﹣2x，
由x＞1时，可得f（x）=bx﹣2a，
即有b=﹣2，4+a=﹣2a，解得a=﹣ ，则a+b=﹣ ．
故答案为：D．
【分析】由f（1﹣x）=f（1+x）得到函数f（x）的图象关于直线x=1对称，再讨论x≤1时，x＞1时得到a，b的值。
7.答案： C
解：由题意，当 时， ，若 ，可得 ，
解得 ，则 ；
当 时， ，若 ，可得 ，显然无解，
综上可得 ，
故答案为：C.
【分析】首先对a进行分情况讨论，当a ∈ ( 0 , 1 ) 时，根据分段函数解得a的值，进一步求出；当a≥1时，根据分段函数求出a，再求出。
8.答案： D
解：根据题意，由于函数是定义域上的减函数，且为奇函数，那么可知若，
故可知得到参数a的范围是，
故选D.
【分析】主要是考查了分段函数的解析式的运用，属于基础题。
9.答案： C
解：设扣税前应得稿费为x元，则应纳税额为分段函数，由题意得
y= ．
如果稿费为4000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4000元之间，
∴（x﹣800）×14%=420，∴x=3800．
故选C．
【分析】根据题意求出稿费的函数表达式，然后利用纳税420元，求出这个人应得稿费（扣税前）．
10.答案：D
解：若函数 在R上为减函数，则 ，
即 ，解得 ，
故答案为：D.
【分析】利用分段函数为 R 上的减函数，列出不等式组，即可解出实数 a 的取值范围.
11.答案：B
解：根据题意，f（x）=x（1+|x|）= ，
分析可得：函数f（x）为增函数，
若f（x2+1）＞f（ax）的解集为A，则不等式x2+1＞ax的解集为A，
又由 ，
则有 ，解可得﹣ ＜a＜ ，
即a的取值范围是（﹣ ， ）；
故选：B．
【分析】根据题意，将函数f（x）写成分段函数的形式为f（x）= ，进而分析可得函数f（x）为增函数，则可以将f（x2+1）＞f（ax）转化为x2+1＞ax，即不等式x2+1＞ax的解集为A，结合题意可得 ，解可得a的取值范围，即可得答案．

二、填空题
12.答案： 10
解：由题意得 ，
∴ .
故答案为：10．
【分析】由已知分段函数解析式，分别代入计算即可得结果.
13.答案：
解：
所以要是 ，则 ，，
故答案为：
【分析】根据解析式要使 则 代入解析式中即可求 的值。
14.答案： (－∞，－2)∪(1，＋∞)
解：当x0≤0时，由－x0－1>1，得x0<－2， ∴x0<－2；
当x0>0时，由 >1，∴x0>1.
∴x0的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞).
【分析】由已知分段函数解析式，分两种情况讨论x，分别解不等式，即可求出x0的取值范围.
15.答案：
解：函数 图象的对称轴为 。由题意得函数 在定义域上是单调递增函数。
当 时，函数 在区间 上单调递减，不合题意。
当 时，函数 在定义域上不单调。
当 时，函数 在区间 上单调递增，要使函数 在定义域上单调递增，则需 ，即 ，解得 ，
故实数 的取值范围为 。
答案：
【分析】先由分段函数第二段一次函数，得到函数 f(x) 在定义域上是单调递增函数，再讨论第一段二次函数的单调性，分三种情况分析t的范围，当 t>0 时不合题意；当 t=0 时也不合题意；当 t<0 时需 t+≥t3+t+1，综上即可求出实数 t 的取值范围.

三、解答题
16.答案：（1）解：由题意知，当x＜0时，f（x）=（x+2）2 ， 当x＞0时，f（x）=（x﹣2）2；
∴函数的单调增区间为[﹣2，0），（2，+∞），
单调减区间为（﹣∞，﹣2），（0，2]．
（2）解：∵f（x）=16，讨论下面两种情况：
∴当x＜0时，（x+2）2=16，∴x=2（舍）或﹣6；
当x＞0时，（x﹣2）2=16，∴x=6或﹣2（舍）．∴x的值为6或﹣6
【分析】（1）首先函数为分段函数，根据分段函数单调性的判定判断函数单调区间。
（2）由于函数为分段函数，故要分情况讨论，当x<0时，将f（x）=16代入到方程中，求解出x；当x>0时，将f（x）=16代入到方程中，求解出x，综合求出相应x的值。

17.答案：（1）解：由题意知，x≥0，令5x=5，得x=1；令3x=5，得x= ．
则当0≤x≤1时，
y=（5x+3x）×2.6=20.8x
当1＜x≤ 时，
y=5×2.6+（5x﹣5）×4+3x×2.6=27.8x﹣7，
当x＞ 时，
y=（5+5）×2.6+（5x+3x﹣5﹣5）×4=32x﹣14；
即得y= ；
（2）解：由于y=f（x）在各段区间上均单增，
当x∈[0，1]时，y≤f（1）=20.8＜34.7；
当x∈（1， ]时，y≤f（ ）≈39.3＞34.7；
令27.8x﹣7=34.7，得x=1.5，
所以甲户用水量为5x=7.5吨，付费S1=5×2.6+2.5×4=23元
乙户用水量为3x=4.5吨，付费S2=4.5×2.6=11.7元
【分析】（1）根据题意可得函数解析式。（2）根据已知选择函数的解析式利用单调性求出答案。

18.答案：（1）解：当a=0时，
y=f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）；
（2）解：当a=1时，f（x）=x|x﹣1|
∵f（1）=0，f（﹣1）=﹣2，
f（1）≠﹣f（﹣1）
∴y=f（x）不是奇函数；
又f（1）≠f（﹣1）
∴y=f（x）不是偶函数；
（3）解： ，
①当a＞0时，图象如图1所示
由 得
，

②当a＜0时，图象如图2所示．
由 ，得 ，
∴ .
【分析】（1）转化为分段函数由二次函数的性质可得增减性区间。（2）利用奇偶函数的定义可得出结果。（3）对a分情况讨论由函数图象可得区间的边界点m,n的取值范围。

19.答案：（1）解：由题意得P（x）=12+10x，
则f（x）=Q（x）﹣P（x）=
即为f（x）=
（2）解：当x＞16时，函数f（x）递减，
即有f（x）＜f（16）=212﹣160=52万元
当0≤x≤16时，函数f（x）=﹣0.5x2+12x﹣12
=﹣0.5（x﹣12）2+60，
当x=12时，f（x）有最大值60万元．
所以当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元．
【分析】1、根据题意可得f（x）=Q（x）﹣P（x），整理成最简的分段函数。
2、由函数的增减性可求得，当x＞16时，函数f（x）递减，即有f（x）＜f（16）=212﹣160=52万元；再根据二次函数在指定区间上的最值求得，当0≤x≤16时，函数f（x）有最大值60万元，综上各式求得当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元。








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