9.1 探索规律问题
一、数字猜想型
在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题．
解题方法：分析比较 发现数量关系 猜想 计算 解决问题．
二、数式规律型
通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．
解题方法：观察 分析 归纳 验证 得出结论．
三、图形规律型
图形规律问题主要是观察图形的组成、分解等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，注意对应思想和数形结合．
解题方法：观察 图形的组成与分解利用数形结合归纳解决问题．
四、数形结合猜想型
首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系．
解题方法：观察图形变化规律利用数形结合思想猜想并验证得出结论．
五、动态规律型
要将图形每一次的变化与前一次变化进行比较，明确哪些结果发生了变化，哪些结果没有发生变化，从而逐步发现规律．
解题方法：观察图形体会变化确定发生变化的与没有发生变化的量逐步发现规律．
一、填空题
1．（2017·烟台）用棋子摆出下列一组图形：
按照这种规律摆下去，第个图形用的棋子个数为（ ）
A． B． C. D．
2.（2017?河北）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作： 将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（?? ）
A.?1.4???????????????????????????????????????B.?1.1???????????????????????????????????????C.?0.8???????????????????????????????????????D.?0.5
3．（2018·阜新）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2018次得到正方形OA2018B2018C2018，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2018的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（0，2） C．（?2，0） D．（﹣1，1）
4．（2018·十堰）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（ ）
123256722310???
A．210 B．41 C．52 D．51
5．（2018·广州）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到An．则△OA2A2018的面积是（ ）
A．504m2 B．10092m2 C．10112m2 D．1009m2
6．（2019·济宁）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2019·河南）如图，在中，顶点，，，将与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2019·赤峰）如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：
①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；
②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
9.（2017?徐州）如图，已知OB=1，以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO，再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O，如此下去，则线段OAn的长度为________．
10.（2017?淄博）设△ABC的面积为1． 如图1，分别将AC，BC边2等分，D1 ， E1是其分点，连接AE1 ， BD1交于点F1 ， 得到四边形CD1F1E1 ， 其面积S1= 13 ． 如图2，分别将AC，BC边3等分，D1 ， D2 ， E1 ， E2是其分点，连接AE2 ， BD2交于点F2 ， 得到四边形CD2F2E2 ， 其面积S2= 16 ； 如图3，分别将AC，BC边4等分，D1 ， D2 ， D3 ， E1 ， E2 ， E3是其分点，连接AE3 ， BD3交于点F3 ， 得到四边形CD3F3E3 ， 其面积S3= 110 ； … 按照这个规律进行下去，若分别将AC，BC边（n+1）等分，…，得到四边形CDnFnEn ， 其面积Sn=________．
11．（2018·绥化）将一些圆按照如图方式摆放，从上向下有无数行，其中第一行有2个圆，第二行有4个圆，第三行有6个圆…按此规律排列下去，则前50行共有圆______个.
12．（2018·辽阳）如图，等边三角形ABC的边长为1，顶点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上，过点B作BA1⊥AC于点A1,过点A1作A1B1∥OA,交OC于点B1；过点B1作B1A2⊥AC于点A2，过点A2作A2B2∥OA,交OC于点B2；……，按此规律进行下去，点A2020的坐标是_____________.
13．（2018·淮安）如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x的图象，点A1的坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x轴的垂线，垂足为A3，交直线l于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下所得到的正方形AnBnCnDn的面积是_____．
14．（2019·辽阳）如图，在平面直角坐标系中，都是等腰直角三角形，点都在轴上，点与原点重合，点都在直线上，点在轴上，轴， 轴，若点的横坐标为﹣1，则点的纵坐标是_____．
15．（2019·伊春）如图，四边形是边长为的正方形，以对角线为边作第二个正方形，连接，得到；再以对角线为边作第三个正方形，连接，得到；再以对角线为边作第四个正方形，连接，得到……记、、的面积分别为、、，如此下去，则_____．
16．（2019·衢州）如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形.
（1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形，其中顶点位于轴上，顶点，位于轴上，为坐标原点，则的值为____.
（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点，摆放第三个“7”字图形得顶点，依此类推，…，摆放第个“7”字图形得顶点，…，则顶点的坐标为_____.
三、解答题
17.（2017?安徽）阅读理解 我们知道，1+2+3+…+n= n(n+1)2 ，那么12+22+32+…+n2结果等于多少呢？ 在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12 ， 第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22 ， …；第n行n个圆圈中数的和为 n+n+?+n︸n个n ，即n2 ， 这样，该三角形数阵中共有 n(n+1)2 个圆圈，所有圆圈中数的和为12+22+32+…+n2 ．
（1）将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n﹣1，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为________，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3（12+22+32+…+n2）=________，因此，12+22+32+…+n2=________．
（2）根据以上发现，计算： 12+22+32+?+201721+2+3+?+2017 的结果为________．
18．（2018·安徽）观察以下等式：
第1个等式：11+02+11×02=1，
第2个等式：12+13+12×13=1，
第3个等式：13+24+13×24=1，
第4个等式：14+35+14×35=1，
第5个等式：15+46+15×46=1，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)，并证明.
19．（2019·安徽）观察以下等式:
第1个等式:，
第2个等式:，
第3个等式:，
第4个等式:，
第5个等式:，
……按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)，并证明.
20．（2019·常州）（阅读）：数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．
（理解）：（1）如图，两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；
（2）如图2，行列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：________；
（运用）：（3）边形有个顶点，在它的内部再画个点，以（）个点为顶点，把边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得个这样的三角形．当，时，如图，最多可以剪得个这样的三角形，所以．
①当，时，如图， ；当， 时，；
②对于一般的情形，在边形内画个点，通过归纳猜想，可得 （用含、的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．
一、选择题
1．（2018?重庆二模）如图，小桥用黑白棋子组成的一组图案，第1个图案由1个黑子组成，第2个图案由1个黑子和6个白子组成，第3个图案由13个黑子和6个白子组成，按照这样的规律排列下去，则第8个图案中共有（?? ）和黑子．
A．37 B．42 C．73 D．121
2．（2018?武汉模拟）按照一定规律排列的n个数：1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64 …若最后两个数的差为﹣1536，则n为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
3．（2018?湖北模拟）如图，10个不同正整数按下图排列，箭头上方的每个数都等于其下方两数的和．如表示a1＝a2＋a3，则a1的最小值为（ ）
A．15 B．17 C．18 D．40
4．（2018?河南模拟）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1 E1E2B2、A2B2 C2D2、D2E3E4B3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为l，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…，则正方形A2017B2017C2017 D2017的边长是（ ）
A．（12）2016 B．（12）2017 C．（33）2016 D．（33）2017
5．（2019·曲靖模拟）观察下列图形，它们是按一定规律排列的，照此规律，第n个图形中“*“的个数是（ ）
A．4n+4 B．4n﹣4 C．4n D．n2
6．（2019·北京模拟）在平面直角坐标系中，张敏做走棋游戏，其走法：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…，以此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n能被3除时，余数为1时，则向右走1个单位；当n能被3除时，余数为2时，则向右走2个单位，当走完67步时，棋子所处的位置坐标是（ ）
A．（66，22） B．（66，23） C．（67，23） D．（67，22）
7．（2019·重庆模拟）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，…，依此规律，第9个图形的小圆个数是（ ??）
A．58????????????? B．74???????? C．92?????????? D．112
8．（2019·随州模拟）定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝，已知a1＝﹣，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，以此类推，a2009的值为( )
A．﹣ B． C．4 D．
二、填空题
9．（2018?沈阳一模）已知a1＝32，a2＝55，a3＝710，a4＝917，a5＝1126，…，则an＝_____．（n为正整数）．
10．（2018?莆田模拟）下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为______．
11．（2018?北京模拟）如图，∠AOB=10°，点P在OB上．以点P为圆心，OP为半径画弧，交OA于点P1（点P1与点O不重合），连接PP1；再以点P1为圆心，OP为半径画弧，交OB于点P2（点P2与点P不重合），连接P1 P2；再以点P2为圆心，OP为半径画弧，交OA于点P3（点P3与点P1不重合），连接P2 P3；……
请按照上面的要求继续操作并探究：
∠P3 P2 P4=_____°；按照上面的要求一直画下去，得到点Pn，若之后就不能再画出符合要求点Pn+1了，则n=_____．
12．（2019·汕头模拟）一组按规律排列的式子：……此规律第10个数为_____．
13．（2019·青岛模拟）如图是含x的代数式按规律排列的前4行，依此规律，若第10行第2项的值为1034，则此时x的值为_____．
14．（2019·上饶模拟）如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的顶点B的坐标为______．
15．（2019·大庆模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA=2，OC=1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，以此类推，得到的矩形AnOCnBn的对角线交点的坐标为_____．
16．（2019·恩施模拟）如图，我们把1，1，2，3，5，8，13，21，……这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°的圆弧、、…，得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P1P2，P2P3，P3P4，得到螺旋折线，已知点P1（0，1）、P2（-1，0）、P3（0，-1），则该折线上的点P9的坐标为______．
三、解答题
17．（2018?安徽模拟）如图，观察下列图形，它们是一些五角星按一定规律排列的，依照此规律，解决下列问题：
（1）第5个图形有__________个五角星，第6个图形有__________个五角星；
（2）第2018个图形有多少个五角星，第n个图形有多少个五角星？
18．（2018?滁州模拟）阅读下面材料：
小丁在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的k个数：x1，x2，…，xk，称为数列Ak：x1，x2，…，xk，其中k为整数且k≥3．
定义V（Ak）=|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+…+|xk﹣2﹣xk﹣1|+|xk﹣1﹣xk|．
例如，若数列A5：1，2，3，4，5，则V（A5）=|1﹣2|+|2﹣3|+|3﹣4|+|4﹣5|=4．
根据以上材料，回答下列问题：
（1）已知数列A3：3，5，﹣2，求V（A3）．
（2）已知数列A4：x1，x2，x3，x4，其中x1，x2，x3，x4为4个互不相等的整数，且x1=3，x4=7，V（A4）=4，直接写出满足条件的数列A4．
（3）已知数列A5：x1，x2，x3，x4，x5中的5个数均为非负整数，且x1+x2+x3+x4+x5=25，请直接写出V（A5）的最大值和最小值及对应的数列．
19．（2019·台州模拟）阅读：在平面直角坐标系内，对于点P（x，y），我们把Q（﹣y+1，x+3）叫做它的伴随点．如点（2，1）的伴随点为（﹣1+1，2+3），即（0，5）．
（1）若点M的伴随点坐标为（﹣5，3），则点M的坐标为 ；
（2）若点A1（a，b）的伴随点为A2，A2的伴随点为A3，A3的伴随点为A4，…，以此类推，将所有点记为An．
①若点A104的坐标为（3，﹣1），则点A1的坐标为 ；
②点An有没有可能始终在y轴的右侧？若可能，请分别求出a，b的取值范围；若不可能，请说明理由；
③设直角坐标系的原点为O，若点An始终在一个半径为3的圆上，请直接写出OAn的最小值．
20．（2019·重庆模拟）数学不仅是一门学科，也是一种文化，即数学文化.数学文化包括数学史、数学美和数学应用等多方面.古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋，为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这位大臣的一个要求.大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧.第格放粒米，第格放粒米，第格放粒米，然后是粒、粒、粒······一只到第格.”“你真傻！就要这么一点米粒？”国王哈哈大笑.大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米！”国王的国库里真没有这么多米吗？题中问题就是求是多少？请同学们阅读以下解答过程就知道答案了.
设,
则
即：
事实上，按照这位大臣的要求，放满一个棋盘上的个格子需要粒米.那么到底多大呢?借助计算机中的计算器进行计算，可知答案是一个位数: ，这是一个非常大的数，所以国王是不能满足大臣的要求.请用你学到的方法解决以下问题:
我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”意思是:一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，则塔的顶层共有多少盏灯?
计算:
某中学“数学社团”开发了一款应用软件，推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：
已知一列数：，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，以此类推，求满足如下条件的所有正整数，且这一数列前项和为的正整数幂.请直接写出所有满足条件的软件激活码正整数的值.
9.1 探索规律问题
一、数字猜想型
在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题．
解题方法：分析比较 发现数量关系 猜想 计算 解决问题．
二、数式规律型
通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．
解题方法：观察 分析 归纳 验证 得出结论．
三、图形规律型
图形规律问题主要是观察图形的组成、分解等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，注意对应思想和数形结合．
解题方法：观察 图形的组成与分解利用数形结合归纳解决问题．
四、数形结合猜想型
首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系．
解题方法：观察图形变化规律利用数形结合思想猜想并验证得出结论．
五、动态规律型
要将图形每一次的变化与前一次变化进行比较，明确哪些结果发生了变化，哪些结果没有发生变化，从而逐步发现规律．
解题方法：观察图形体会变化确定发生变化的与没有发生变化的量逐步发现规律．
一、填空题
1．（2017·烟台）用棋子摆出下列一组图形：
按照这种规律摆下去，第个图形用的棋子个数为（ ）
A． B． C. D．
【答案】D
【解析】∵第一个图需棋子3+3=6；
第二个图需棋子3×2+3=9；
第三个图需棋子3×3+3=12；
…
∴第n个图需棋子3n+3枚．
故选：D．
2.（2017?河北）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作： 将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（?? ）
A.?1.4???????????????????????????????????????B.?1.1???????????????????????????????????????C.?0.8???????????????????????????????????????D.?0.5
【答案】C
【解析】解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线， 观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣ 2 小于等于1， 故选C． 【点评】如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣ 2 小于等于1，由此即可判断．
3．（2018·阜新）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2018次得到正方形OA2018B2018C2018，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2018的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（0，2） C．（?2，0） D．（﹣1，1）
【答案】D
【解析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论．
解：∵四边形OABC是正方形，且OA=1，
∴B（1，1），
连接OB，
由勾股定理得：OB=2，
由旋转得：OB=OB1=OB2=OB3=…=2，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，
相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45°，
∴B1（0，2），B2（-1，1），B3（-2，0），…，
发现是8次一循环，所以2018÷8=252…余2，
∴点B2018的坐标为（-1，1）
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法
4．（2018·十堰）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（ ）
123256722310???
A．210 B．41 C．52 D．51
【答案】B
【解析】由图形可知，第n行最后一个数为1+2+3+?n=nn+12，据此可得答案．
解：由图形可知，第n行最后一个数为1+2+3+?n=nn+12，
∴第8行最后一个数为8×92=36=6，
则第9行从左至右第5个数是36+5=41，
故选B．
【点评】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是根据题意得出第n行最后一个数为nn+12．
5．（2018·广州）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到An．则△OA2A2018的面积是（ ）
A．504m2 B．10092m2 C．10112m2 D．1009m2
【答案】A
【解析】由OA4n=2n知OA2017=20162+1=1009，据此得出A2A2018=1009-1=1008，据此利用三角形的面积公式计算可得．
解：由题意知OA4n=2n，
∴OA2016=2016÷2=1008，即A2016坐标为(1008，0)，
∴A2018坐标为(1009，1)，
则A2A2018=1009－1=1008(m)，
∴S△OA2A2018＝12×A2A2018×A1A2＝12×1008×1＝504(m2).
故选：A.
【点评】本题主要考查点的坐标的变化规律，解题的关键是根据图形得出下标为4的倍数时对应长度即为下标的一半，据此可得．
6．（2019·济宁）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意知原图形中各行、各列中点数之和为10，据此可得．
解：由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10，
符合此要求的只有：
故选C．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出原图形中各行、各列中点数之和为10．
7．（2019·河南）如图，在中，顶点，，，将与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先求出，再利用正方形的性质确定，由于，所以第70次旋转结束时，相当于与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转，此时旋转前后的点D关于原点对称，于是利用关于原点对称的点的坐标特征可出旋转后的点D的坐标．
解：，，
，
四边形ABCD为正方形，
，
，
，
每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转，
点D的坐标为．
故选D．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：，，，，．
8．（2019·赤峰）如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：
①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；
②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据正方形的面积公式，即可推出操作次数与余下面积的关系式.
解：正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，
第一次：余下面积，
第二次：余下面积，
第三次：余下面积，
当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为，
故选：C．
【点评】本题考查数字问题，熟练掌握计算法则是解题关键.
二、填空题
9.（2017?徐州）如图，已知OB=1，以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO，再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O，如此下去，则线段OAn的长度为________．
【答案】2n
【解析】解：∵△OBA1为等腰直角三角形，OB=1， ∴AA1=OA=1，OA1= 2 OB= 2 ； ∵△OA1A2为等腰直角三角形， ∴A1A2=OA1= 2 ，OA2= 2 OA1=2； ∵△OA2A3为等腰直角三角形， ∴A2A3=OA2=2，OA3= 2 OA2=2 2 ； ∵△OA3A4为等腰直角三角形， ∴A3A4=OA3=2 2 ，OA4= 2 OA3=4． ∵△OA4A5为等腰直角三角形， ∴A4A5=OA4=4，OA5= 2 OA4=4 2 ， ∵△OA5A6为等腰直角三角形， ∴A5A6=OA5=4 2 ，OA6= 2 OA5=8． ∴OAn的长度为 2n ． 故答案为： 2n 【点评】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，进而得出答案．
10.（2017?淄博）设△ABC的面积为1． 如图1，分别将AC，BC边2等分，D1 ， E1是其分点，连接AE1 ， BD1交于点F1 ， 得到四边形CD1F1E1 ， 其面积S1= 13 ． 如图2，分别将AC，BC边3等分，D1 ， D2 ， E1 ， E2是其分点，连接AE2 ， BD2交于点F2 ， 得到四边形CD2F2E2 ， 其面积S2= 16 ； 如图3，分别将AC，BC边4等分，D1 ， D2 ， D3 ， E1 ， E2 ， E3是其分点，连接AE3 ， BD3交于点F3 ， 得到四边形CD3F3E3 ， 其面积S3= 110 ； … 按照这个规律进行下去，若分别将AC，BC边（n+1）等分，…，得到四边形CDnFnEn ， 其面积Sn=________．
【答案】2(n+1)(n+2)
【解析】解：如图所示，连接D1E1 ， D2E2 ， D3E3 ，
∵图1中，D1 ， E1是△ABC两边的中点， ∴D1E1∥AB，D1E1= 12 AB， ∴△CD1E1∽△CBA，且 D1E1BF1 = D1E1AB = 12 ， ∴S△CD1E1= 14 S△ABC= 14 ， ∵E1是BC的中点， ∴S△BD1E1=S△CD1E1= 14 ， ∴S△D1E1F1= 13 S△BD1E1= 13 × 14 = 112 ， ∴S1=S△CD1E1+S△D1E1F1= 14 + 112 = 13 ， 同理可得： 图2中，S2=S△CD2E2+S△D2E2F2= 19 + 118 = 16 ， 图3中，S3=S△CD3E3+S△D3E3F3= 116 + 380 = 110 ， 以此类推，将AC，BC边（n+1）等分，得到四边形CDnEnFn ， 其面积Sn= 1(n+1)2 + 1(n+1)2 ×n× 11+n+1 = 2(n+1)(n+2) ， 故答案为： 2(n+1)(n+2) ． 【点评】根据三角形中位线定理得出相似三角形的面积比，从而得出S1、S2、S3…的面积，从数据中探索出规律得出结论.
11．（2018·绥化）将一些圆按照如图方式摆放，从上向下有无数行，其中第一行有2个圆，第二行有4个圆，第三行有6个圆…按此规律排列下去，则前50行共有圆______个.
【答案】2550
【解析】先找出规律，确定出第n行圆的个数为2n个，即：第50行为100个，进而求2+4+6+8+?+100即可得出结论．
解：∵第一行有2个圆，
第二行有4个圆，
第三行有6个圆，
…，
∴第n行有2n个圆，
∴前50行共有圆：2+4+6+8+?+2×50=2+4+6+8+?+100=2550个，
故答案为：2550.
【点评】本题考查了规律题——图形的变化类，解题的关键是根据题意得出每行点数为行数的2倍是解题的关键.
12．（2018·辽阳）如图，等边三角形ABC的边长为1，顶点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上，过点B作BA1⊥AC于点A1,过点A1作A1B1∥OA,交OC于点B1；过点B1作B1A2⊥AC于点A2，过点A2作A2B2∥OA,交OC于点B2；……，按此规律进行下去，点A2020的坐标是_____________.
【答案】22021?122021,322021
【解析】根据△ABC是等边三角形，得到AB=AC=BC=1，∠ABC=∠A=∠ACB=60°，解直角三角形得到A（12，34 ），C（1，0），根据等腰三角形的性质得到AA1=A1C，根据中点坐标公式得到A1（34，34），推出△A1B1C是等边三角形，得到A2是A1C的中点，求得A2（78，38），推出An（2n+1?12n+1），即可得到结论．
解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC=1，∠ABC=∠A=∠ACB=60°， ∴A（12,32），C（1，0）， ∵BA1⊥AC， ∴AA1=A1C， ∴A1（34，34）， ∵A1B1∥OA， ∴∠A1B1C=∠ABC=60°， ∴△A1B1C是等边三角形， ∴A2是A1C的中点， ∴A2（78，38）， 同理A3（1516，316）， … ∴An（2n+1?12n+1,32n+1）,A2020的坐标是22021?122021,322021,
故答案为：22021?122021,322021 .
【点评】本题考查了点的坐标，等边三角形的性质，解题的关键是能根据求出的数据得出规律．
13．（2018·淮安）如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x的图象，点A1的坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x轴的垂线，垂足为A3，交直线l于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下所得到的正方形AnBnCnDn的面积是_____．
【答案】（92）n﹣1
【解析】根据正比例函数的性质得到∠D1OA1=45°，分别求出正方形A1B1C1D1的面积、正方形A2B2C2D2的面积，总结规律解答．
解：∵直线l为正比例函数y=x的图象，
∴∠D1OA1=45°，
∴D1A1=OA1=1，
∴正方形A1B1C1D1的面积=1=（92）1﹣1，
由勾股定理得，OD1=2，D1A2=22，
∴A2B2=A2O=322，
∴正方形A2B2C2D2的面积=92=（92）2﹣1，
同理，A3D3=OA3=92，
∴正方形A3B3C3D3的面积=814=（92）3﹣1，
…
由规律可知，正方形AnBnCnDn的面积=（92）n﹣1，
故答案为：（92）n﹣1．
【点评】本题考查的是正方形的性质、一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数解析式得到∠D1OA1=45°，正确找出规律是解题的关键．
14．（2019·辽阳）如图，在平面直角坐标系中，都是等腰直角三角形，点都在轴上，点与原点重合，点都在直线上，点在轴上，轴， 轴，若点的横坐标为﹣1，则点的纵坐标是_____．
【答案】
【解析】由题意，可得，设，则，解得，求出的坐标，再设，则，解得，故求出的坐标，同理可求出、的坐标，根据规律 即可得到的纵坐标.
解：由题意，可得，
设，则，解得，
∴，
设，则，解得，
∴，
设，则，解得，
∴，同法可得，…，的纵坐标为，
故答案为．
【点评】此题主要考查一次函数图像的应用，解题的关键是根据题意求出、、，再发现规律即可求解.
15．（2019·伊春）如图，四边形是边长为的正方形，以对角线为边作第二个正方形，连接，得到；再以对角线为边作第三个正方形，连接，得到；再以对角线为边作第四个正方形，连接，得到……记、、的面积分别为、、，如此下去，则_____．
【答案】
【解析】首先求出S1、S2、S3，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．
解：四边形是正方形，
，
，
，
∴，
，
，
同理可求：，…，
，
，
故答案为：．
【点评】此题考查正方形的性质，规律型：图形变换，解题关键在于找到规律
16．（2019·衢州）如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形.
（1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形，其中顶点位于轴上，顶点，位于轴上，为坐标原点，则的值为____.
（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点，摆放第三个“7”字图形得顶点，依此类推，…，摆放第个“7”字图形得顶点，…，则顶点的坐标为_____.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）根据题意可得，，由同角的余角相等得，根据相似三角形判定得，由相似三角形性质即可求得答案.（2）根据题意标好字母，根据题意可得，，，，，在Rt△DCB中，由勾股定理求得
，由（1）知，从而可得，，，结合题意易得：，根据相似三角形性质可得，，，，，从而可得，，观察这两点坐标知由点到点横坐标增加了，纵坐标增加了，依此可得出规律：的坐标为：，将n=2019代入即可求得答案.
解：（1）依题可得，，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）根据题意标好字母，如图，
依题可得：
，，，
∴，
由（1）知，
∴，，
易得：
，
∴，，，，
∴，，
∴，，
∴由点到点横坐标增加了，纵坐标增加了，
……
∴的坐标为：，
∴的坐标为：，
故答案为：，.
【点评】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．
三、解答题
17.（2017?安徽）阅读理解 我们知道，1+2+3+…+n= n(n+1)2 ，那么12+22+32+…+n2结果等于多少呢？ 在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12 ， 第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22 ， …；第n行n个圆圈中数的和为 n+n+?+n︸n个n ，即n2 ， 这样，该三角形数阵中共有 n(n+1)2 个圆圈，所有圆圈中数的和为12+22+32+…+n2 ．
（1）将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n﹣1，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为________，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3（12+22+32+…+n2）=________，因此，12+22+32+…+n2=________．
（2）根据以上发现，计算： 12+22+32+?+201721+2+3+?+2017 的结果为________．
【答案】（1）2n+1；n(n+1)(2n+1)2；n(n+1)(2n+1)6（2）12345
【解析】（1）解：由题意知，每个位置上三个圆圈中数的和均为n﹣1+2+n=2n+1， 由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为： 3（12+22+32+…+n2）=（2n+1）×（1+2+3+…+n）=（2n+1）× n(n+1)2 ， 因此，12+22+32+…+n2= n(2n+1)(n+1)6 ； 故答案为：2n+1， n(n+1)(2n+1)2 ， n(n+1)(2n+1)6 ； ⑵原式= 16×2017×(2017+1)×(2×2017+1)12×2017×(2017+1) = 13 ×（2017×2+1）=1345， 故答案为：1345． 【点评】（1）将同一位置圆圈中的数相加即可，所有圈中的数的和应等于同一位置圆圈中的数的和乘以圆圈个数，据此可得，每个三角形数阵和即为三个三角形数阵和的 13 ，从而得出答案； ⑵运用以上结论，将原式变形为 16×2017×(2017+1)×(2×2017+1)12×2017×(2017+1) ，化简计算即可得．
18．（2018·安徽）观察以下等式：
第1个等式：11+02+11×02=1，
第2个等式：12+13+12×13=1，
第3个等式：13+24+13×24=1，
第4个等式：14+35+14×35=1，
第5个等式：15+46+15×46=1，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)，并证明.
【答案】（1）16+57+16×57=1；（2）1n+n?1n+1+1n?n?1n+1=1，证明见解析.
【解析】（1）根据观察到的规律写出第6个等式即可；
（2）根据观察到的规律写出第n个等式，然后根据分式的运算对等式的左边进行化简即可得证.
解：（1）观察可知第6个等式为：16+57+16×57=1，
故答案为：16+57+16×57=1；
（2）猜想：1n+n-1n+1+1n×n-1n+1=1，
证明：左边=1n+n-1n+1+1n×n-1n+1=n+1+n（n-1）+n-1n（n+1）=n（n+1）n（n+1）=1，
右边=1，
∴左边=右边，
∴原等式成立，
∴第n个等式为：1n+n-1n+1+1n×n-1n+1=1，
故答案为：1n+n-1n+1+1n×n-1n+1=1.
【点评】本题考查了规律题，通过观察、归纳、抽象出等式的规律与序号的关系是解题的关键.
19．（2019·安徽）观察以下等式:
第1个等式:，
第2个等式:，
第3个等式:，
第4个等式:，
第5个等式:，
……按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)，并证明.
【答案】（1）；（2），见解析.
【解析】观察各式子的分母之间的关系发现：等式左边式子的分母的值从1开始，后一项的值比前一个分母的值大2，分子不变，等式右边分子不变，第一个式子的分母等序增加，第二个分母的值依次为：1,6，15,28,45，根据顺序关系可以记作第n组式子对应的分母为n（2n+1），然后解题即可.
解：（1）第6个等式：
（2）
证明：∵右边左边.
∴等式成立
【点评】本题是规律探究题，解答过程中，要注意各式中相同位置数字的变化规律，并将其用代数式表示出来．
20．（2019·常州）（阅读）：数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．
（理解）：（1）如图，两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；
（2）如图2，行列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：________；
（运用）：（3）边形有个顶点，在它的内部再画个点，以（）个点为顶点，把边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得个这样的三角形．当，时，如图，最多可以剪得个这样的三角形，所以．
①当，时，如图， ；当， 时，；
②对于一般的情形，在边形内画个点，通过归纳猜想，可得 （用含、的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．
【答案】（1）见解析，故结论为：直角长分别为、斜边为的直角三角形中；（2）；（3）①6，3；②，见解析.
【解析】（1）此等腰梯形的面积有三部分组成，利用等腰梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理．
（2）由图可知行列的棋子排成一个正方形棋子个数为，每层棋子分别为，，，，…，．故可得用两种不同的方法计算棋子的个数，即可解答．
（3）根据探画出图形究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加部分，即可得出结论．
解：（1）有三个其面积分别为，和．
直角梯形的面积为．
由图形可知：
整理得，，
．
故结论为：直角长分别为、斜边为的直角三角形中．
（2）行列的棋子排成一个正方形棋子个数为，每层棋子分别为，，，，…，．
由图形可知：．
故答案为：．
（3）①如图，当，时，，
如图，当，时，．
②方法1．对于一般的情形，在边形内画个点，第一个点将多边形分成了个三角形，以后三角形
内部每增加一个点，分割部分增加部分，故可得．
方法2．以的二个顶点和它内部的个点，共（）个点为顶点，可把分割成个互不重叠的小三角形．以四边形的个顶点和它内部的个点，共（）个点为顶点，可把四边形分割成个互不重叠的小三角形．故以边形的个顶点和它内部的个点，共（）个点作为顶点，可把原n边形分割成个互不重叠的小三角形．故可得．
故答案为：①，；②．
【点评】本题考查了图形的变化规律的问题，读懂题目信息，找到变化规律是解题的关键．
一、选择题
1．（2018?重庆二模）如图，小桥用黑白棋子组成的一组图案，第1个图案由1个黑子组成，第2个图案由1个黑子和6个白子组成，第3个图案由13个黑子和6个白子组成，按照这样的规律排列下去，则第8个图案中共有（?? ）和黑子．
A．37 B．42 C．73 D．121
【答案】C
【解析】解：第1、2图案中黑子有1个，第3、4图案中黑子有1+2×6=13个，第5、6图案中黑子有1+2×6+4×6=37个，第7、8图案中黑子有1+2×6+4×6+6×6=73个．故选C．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
2．（2018?武汉模拟）按照一定规律排列的n个数：1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64 …若最后两个数的差为﹣1536，则n为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【解析】解：观察数列，可知：第n个数为（﹣2）n﹣1．
设倒数第二个数为x，则最后一个数为﹣2x，根据题意得：x﹣（﹣2x）=﹣1536，解得：x=﹣512，∴﹣2x=1024，∴（﹣2）n﹣1=1024，∴n=11．故选C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化类，找准等量关系，列出一元一次方程求出该数列的最后一个数是解题的关键．
3．（2018?湖北模拟）如图，10个不同正整数按下图排列，箭头上方的每个数都等于其下方两数的和．如表示a1＝a2＋a3，则a1的最小值为（ ）
A．15 B．17 C．18 D．40
【答案】D
【解析】由a1=a7+3(a8+a9)+a10，知要使a1取得最小值，则a8+a9应尽可能的小，取a8=2、a9=4，根据a5=a8+a9=6，则a7、a10中不能有6，据此对应于a7、a10，分别取8、10、12、14检验可得，进而得出结果.
解由题得
=a7+3(a8+a9)+a10,
要a1使取得最小值,则a8+a9应尽可能的小,取a8=2 ，a9=4,所以a5=a8+a9=6 ，则a7，a10中不能有6
若a7=8，a10=1`4，则,不符合题意,舍去；
若a7=8 ，a10=14，则,,不符合题意,舍去；
若a7=8，a10=14，则，，，，，符合题意；
综上, a1的最小值为40。
故选D.
【点评】本题考查了数字的变化类，根据题目要求得出a1取得最小值的切入点是解答本题的关键.
4．（2018?河南模拟）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1 E1E2B2、A2B2 C2D2、D2E3E4B3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为l，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…，则正方形A2017B2017C2017 D2017的边长是（ ）
A．（12）2016 B．（12）2017 C．（33）2016 D．（33）2017
【答案】C
【解析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．
解：如图所示：∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…
∴D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，
∴D1E1=C1D1sin30°=，则B2C2===（）1，
同理可得：B3C3==（）2，
故正方形AnBnCnDn的边长是：（）n﹣1．
则正方形A2017B2017C2017D2017的边长是：（）2016．
故选C．
“【点评】”此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键．
5．（2019·曲靖模拟）观察下列图形，它们是按一定规律排列的，照此规律，第n个图形中“*“的个数是（ ）
A．4n+4 B．4n﹣4 C．4n D．n2
【答案】C
【解析】根据图形的变化找规律，图一4＝4×1，图二8＝4×2，图三12＝4×3…则图n是4n.
解：∵第1个图形中“*”的个数4＝4×1，
第2个图形中“*”的个数8＝4×2，
第3个图形中“*”的个数12＝4×3，
……
∴第n个图形中“*”的个数为4n，
故选：C．
【点评】本题考查变量之间的关系，观察图找规律，要认真看每个图形，并找到规律.
6．（2019·北京模拟）在平面直角坐标系中，张敏做走棋游戏，其走法：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…，以此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n能被3除时，余数为1时，则向右走1个单位；当n能被3除时，余数为2时，则向右走2个单位，当走完67步时，棋子所处的位置坐标是（ ）
A．（66，22） B．（66，23） C．（67，23） D．（67，22）
【答案】D
【解析】根据走法，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右3个单位，向上1个单位，用67除以3，然后根据商和余数的情况确定出所处位置的横坐标与纵坐标即可．
解：由题意得，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右3个单位，向上1个单位，
∵67÷3＝22余1，
∴走完第67步，为第23个循环组的第1步，
所处位置的横坐标为22×3+1＝67，
纵坐标为22×1＝22，
∴棋子所处位置的坐标是（67，22）．
故选：D．
【点评】本题考查了坐标确定位置，点的坐标位置的规律变化，读懂题目信息并理解每3步为一个循环组依次循环是解题的关键．
7．（2019·重庆模拟）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，…，依此规律，第9个图形的小圆个数是（ ??）
A．58????????????? B．74???????? C．92?????????? D．112
【答案】C
【解析】由题意可知：第一个图形有2+1×2=4个小圆，第二个图形有2+2×3=8个小圆，第三个图形有2+3×4=14个小圆，第四个图形有2+4×5=22个小圆…由此得出，第8个图形的小圆个数为2+9×10=92，由此得出答案即可．
解：通过观察图形可知：每个图形中，最上端和最下端各有一个小圆，是不变的。然后我们可以得出序号n与图中小圆的个数有如下规律：
序号? ? ? ? ? ? ? ? ?小圆个数
? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1×2+2
? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2×3+2
? 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3×4+2?
? 4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4×5+2
? …? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?…? ? ? ?
? n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n（n+1）+2
∴第9个图形中小圆的个数为9×（9+1）+2=92.
故选C.
【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律，利用规律解决问题是解答此题的关键．
8．（2019·随州模拟）定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝，已知a1＝﹣，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，以此类推，a2009的值为( )
A．﹣ B． C．4 D．
【答案】B
【解析】计算出前面的几个数据即可发现规律，3个数一个轮回，于是a2009＝a2．
解：∵a1＝﹣，
∴a2＝
a3＝
a4＝
…
∴每3个数为一周期循环，
∵2009÷3＝669…2，
∴a2009＝a2＝，
故选B．
【点评】此题考查了数字的变化类，是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
二、填空题
9．（2018?沈阳一模）已知a1＝32，a2＝55，a3＝710，a4＝917，a5＝1126，…，则an＝_____．（n为正整数）．
【答案】2n+1n2+1.
【解析】观察分母的变化为n的1次幂加1、2次幂加1、3次幂加1…，n次幂加1；分子的变化为：3、5、7、9…2n+1．
解：∵a1=32，a2=55，a3=710，a4=917，a5=1126，…，
∴an＝2n+1n2+1，
故答案为：2n+1n2+1．
【点评】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．
10．（2018?莆田模拟）下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为______．
【答案】72．
【解析】试题先根据题意求找出其中的规律，即可求出第⑥个图形中五角星的个数．
解：第①个图形一共有2个五角星，
第②个图形一共有：2+（3×2）=8个五角星，
第③个图形一共有8+（5×2）=18个五角星，
……
第n个图形一共有：
1×2+3×2+5×2+7×2+…+2（2n-1）
=2[1+3+5+…+（26-1）] ，
=[1+（2n-1）]×n
=2n2，
则第（6）个图形一共有：h×62=72个五角星；
【点评】此题属于规律题，主要考察学生的观察和分析能力，此类型题目可以在平时的训练中加强。
11．（2018?北京模拟）如图，∠AOB=10°，点P在OB上．以点P为圆心，OP为半径画弧，交OA于点P1（点P1与点O不重合），连接PP1；再以点P1为圆心，OP为半径画弧，交OB于点P2（点P2与点P不重合），连接P1 P2；再以点P2为圆心，OP为半径画弧，交OA于点P3（点P3与点P1不重合），连接P2 P3；……
请按照上面的要求继续操作并探究：
∠P3 P2 P4=_____°；按照上面的要求一直画下去，得到点Pn，若之后就不能再画出符合要求点Pn+1了，则n=_____．
【答案】40，8
【解析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠P1PB，∠P2P1A，∠P3P2B，∠P4P3A，…，依次得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解.
解由题意可知：PO=P1P，P1P=P2P1，…，
则∠POP1=∠OP1P，∠P1PP2=∠P1P2P，…，∵∠BOA=10°，
∴∠P1PB=20°，∠P2P1A=30°，∠P3P2B=40°，∠P4P3A=50°，…，
∴10°n＜90°，
解得n＜9．
由于n为整数，故n=8．
故答案为：40°；8．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
12．（2019·汕头模拟）一组按规律排列的式子：……此规律第10个数为_____．
【答案】-或-
【解析】根据题意可得：第n个数为﹣(n为偶数)或(n为奇数)
解：由式子：…得出第10
个数为﹣
故答案为﹣（或﹣）．
【点评】考核知识点：数列的规律.分类讨论是关键.
13．（2019·青岛模拟）如图是含x的代数式按规律排列的前4行，依此规律，若第10行第2项的值为1034，则此时x的值为_____．
【答案】2
【解析】由方阵可以看出每n行的每一个式子的第一项为2n﹣1x，第二项是n，由题意列出方程，求得x的数值即可．
解：根据题意得：29x+10＝1034，
解得：x＝2，
故答案为2．
【点评】此题考查数字的变化规律，找出代数式之间的联系，找出规律，解决问题．
14．（2019·上饶模拟）如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的顶点B的坐标为______．
【答案】（-2，-2）
【解析】每秒旋转45°，则第60秒时，得45°×60＝2700°，2700°÷360＝7.5周，推出OB旋转了7周半，推出点B在第三象限，由此即可解决问题．
解：每秒旋转45°，则第60秒时，得45°×60＝2700°，
2700°÷360＝7.5周，
∴OB旋转了7周半，
∴点B在第三象限，B（?2，?2），
故答案为：（?2，?2），
【点评】本题考查了菱形的性质，坐标与图形的性质，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
15．（2019·大庆模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA=2，OC=1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，以此类推，得到的矩形AnOCnBn的对角线交点的坐标为_____．
【答案】（﹣，）．
【解析】解：∵在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，
∴矩形A1OC1B1与矩形AOCB是位似图形，点B与点B1是对应点，
∵OA=2，OC=1．
∵点B的坐标为（﹣2，1），
∴点B1的坐标为（﹣2×，1×），
∵将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，
∴B2（﹣2××，1××），
∴Bn（﹣2×，1×），
∵矩形AnOCnBn的对角线交点（﹣2××，1××），即（﹣，），
16．（2019·恩施模拟）如图，我们把1，1，2，3，5，8，13，21，……这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°的圆弧、、…，得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P1P2，P2P3，P3P4，得到螺旋折线，已知点P1（0，1）、P2（-1，0）、P3（0，-1），则该折线上的点P9的坐标为______．
【答案】（-6，25）
【解析】观察图象，推出P9的位置，即可解决问题．
解：由题意，P5在P2的正上方，推出P9在P6的正上方，且到P6的距离=21+5=26，
所以P9的坐标为（-6，25），
故答案为：（-6，25）
【点评】本题考查规律型：点的坐标等知识，解题的关键是理解题意，确定P9的位置．
三、解答题
17．（2018?安徽模拟）如图，观察下列图形，它们是一些五角星按一定规律排列的，依照此规律，解决下列问题：
（1）第5个图形有__________个五角星，第6个图形有__________个五角星；
（2）第2018个图形有多少个五角星，第n个图形有多少个五角星？
【答案】（1）16；19；（2）3n+1．
【解析】（1）观察发现，第1个图形中五角星的个数是1+3=4，
第2个图形中五角星的个数是1+3×2=7，
第3个图形中五角星的个数是1+3×3=10，
第4个图形中五角星的个数是1+3×4=13，
……
∴第5个图形五角星的个数是1+3×5=16，第6个图形五角星的个数是1+3×6=19，
故答案为：16；19；
（2）由（1）中发现的规律可得第2018个图形★的个数是1+3×2018=6055，
第n个图形五角星的个数是3n+1．
18．（2018?滁州模拟）阅读下面材料：
小丁在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的k个数：x1，x2，…，xk，称为数列Ak：x1，x2，…，xk，其中k为整数且k≥3．
定义V（Ak）=|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+…+|xk﹣2﹣xk﹣1|+|xk﹣1﹣xk|．
例如，若数列A5：1，2，3，4，5，则V（A5）=|1﹣2|+|2﹣3|+|3﹣4|+|4﹣5|=4．
根据以上材料，回答下列问题：
（1）已知数列A3：3，5，﹣2，求V（A3）．
（2）已知数列A4：x1，x2，x3，x4，其中x1，x2，x3，x4为4个互不相等的整数，且x1=3，x4=7，V（A4）=4，直接写出满足条件的数列A4．
（3）已知数列A5：x1，x2，x3，x4，x5中的5个数均为非负整数，且x1+x2+x3+x4+x5=25，请直接写出V（A5）的最大值和最小值及对应的数列．
【答案】（1）9（2）数列A4为：3，4，5， 7；3，4，6，7；3，5，4，7；3，5，6，7；3，6，4，7；3，6，5，7（3）5，5，5，5，5
【解析】（1）根据定义V（Ak）=|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+…+|xk﹣1﹣xk|，代入数据即可求出结论；（2）在数轴上标出x1、x4表示的点，利用数形结合可得出x2、x3在3到7之间，找出所有的搭配方式，即可求解；（3）由数列A5：x1，x2，x3，x4，x5中5个数均为非负数，结合绝对值即可得出0≤V（A5）≤25，由此即可求解．
解：（1）V（A3）=|3﹣5|+|5﹣（﹣2）|=2+7=9；
（2）V（A4）=|3﹣x2|+|x2﹣x3|+|x3﹣7|=4可看成3条线段的长度和，如图所示．
∵7﹣3=4，
∴x2、x3在3到7之间，
∵x1，x2，x3，x4为4个互不相等的整数，
∴数列A4为：3，4，5， 7；3，4，6，7；3，5，4，7；3，5，6，7；3，6，4，7；3，6，5，7．
（3）∵x1，x2，x3，x4，x5中5个数均为非负数，假设x1≥x2≥x3≥x4≥x5，
∴x1≥|x1﹣x2|，x2≥|x2﹣x3|，x3≥|x3﹣x4|，x4≥|x4﹣x5|，x5≥0，
∴0≤|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+|x3﹣x4|+|x4﹣x5|≤x1+x2+x3+x4+x5，即0≤V（A5）≤25．
∴V（A5）的最大值为25，对应的数列为：25，0，0，0，0或0，0，0，0，25或0，25，0，0，0或0，0，25，0，0或0，0，0，25，0，
最小值为0，对应的数列为5，5，5，5，5．
【点评】本题是阅读型的数列问题，考查了有理数和绝对值，有一定的难度，读懂题意熟练掌握并运用新定义的运算法则是解题的关键．
19．（2019·台州模拟）阅读：在平面直角坐标系内，对于点P（x，y），我们把Q（﹣y+1，x+3）叫做它的伴随点．如点（2，1）的伴随点为（﹣1+1，2+3），即（0，5）．
（1）若点M的伴随点坐标为（﹣5，3），则点M的坐标为 ；
（2）若点A1（a，b）的伴随点为A2，A2的伴随点为A3，A3的伴随点为A4，…，以此类推，将所有点记为An．
①若点A104的坐标为（3，﹣1），则点A1的坐标为 ；
②点An有没有可能始终在y轴的右侧？若可能，请分别求出a，b的取值范围；若不可能，请说明理由；
③设直角坐标系的原点为O，若点An始终在一个半径为3的圆上，请直接写出OAn的最小值．
【答案】（1）（2）① ②点（﹣1，2）在第二象限，则必有部分点落在y轴的左侧③
【解析】（1）待定点M的坐标，根据题意建立方程，求解即可；
（2）①待定点A1坐标（a，b），并根据规则求出A2（﹣b+1，a+3）→A3（﹣a﹣2，﹣b+4）→A4（b﹣3，﹣a+1）→A5（a，b）…确定其循环规则，分析即可；
②根据待定的点An的坐标，列出不等式组，分析其是否有解即可；
③先确定点A的运动轨迹是以（﹣1，2）为圆心，以3为半径的圆上，再分析OA的最小值即可．
解：（1）设点M（m，n），则它的伴随点为（﹣n+1，m+3），
∵点M的伴随点坐标为（﹣5，3），
∴﹣n+1＝﹣5，m+3＝3，
解得，m＝0，n＝6，
∴M（0，6）．
故答案为（0，6）；
（2）An的变化规律：A1（a，b）→A2（﹣b+1，a+3）→A3（﹣a﹣2，﹣b+4）
→A4（b﹣3，﹣a+1）→A5（a，b）…
①A4与A104坐标同为（3，﹣1），即b﹣3＝3，﹣a+1＝﹣1，
则a＝2，b＝6；
②代数法：列不等式组，，两个不等式组均无解，
因此点An不可能始终在y轴的右侧，
几何法：A1与A3的中点为（﹣1，2），A2与A4的中点也为（﹣1，2），
说明点An形成一个以（﹣1，2）为中心的对称图形，
而点（﹣1，2）在第二象限，则必有部分点落在y轴的左侧．
③由②得，Q（﹣1，2）就是该圆圆心，如图
连接QO，延长与圆Q交于点A，此时OA最小，，，
因此OAn最小值为．
【点评】此题主要考察新定义规则的运用，同时考察了圆的相关知识，会合理待定点坐标，归纳规律，并用方程与不等式分析解决相关问题是解题的关键．
20．（2019·重庆模拟）数学不仅是一门学科，也是一种文化，即数学文化.数学文化包括数学史、数学美和数学应用等多方面.古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋，为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这位大臣的一个要求.大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧.第格放粒米，第格放粒米，第格放粒米，然后是粒、粒、粒······一只到第格.”“你真傻！就要这么一点米粒？”国王哈哈大笑.大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米！”国王的国库里真没有这么多米吗？题中问题就是求是多少？请同学们阅读以下解答过程就知道答案了.
设,
则
即：
事实上，按照这位大臣的要求，放满一个棋盘上的个格子需要粒米.那么到底多大呢?借助计算机中的计算器进行计算，可知答案是一个位数: ，这是一个非常大的数，所以国王是不能满足大臣的要求.请用你学到的方法解决以下问题:
我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”意思是:一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，则塔的顶层共有多少盏灯?
计算:
某中学“数学社团”开发了一款应用软件，推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：
已知一列数：，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，以此类推，求满足如下条件的所有正整数，且这一数列前项和为的正整数幂.请直接写出所有满足条件的软件激活码正整数的值.
【答案】（1）3；（2）；（3）
【解析】设塔的顶层共有盏灯，根据题意列出方程，进行解答即可.
参照题目中的解题方法进行计算即可.
由题意求得数列的每一项，及前n项和Sn=2n+1-2-n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将-2-n消去即可，分别分别即可求得N的值
解：设塔的顶层共有盏灯，由题意得
.
解得，
顶层共有盏灯.
设,
,
即：
.
即
由题意可知：20第一项,20,21第二项,20,21,22第三项,…20,21,22…,2n?1第n项，
根据等比数列前n项和公式,求得每项和分别为：
每项含有的项数为：1，2，3，…，n，
总共的项数为
所有项数的和为
由题意可知：为2的整数幂，只需将?2?n消去即可，
则①1+2+(?2?n)=0,解得：n=1,总共有，不满足N>10，
②1+2+4+(?2?n)=0,解得：n=5,总共有 满足，
③1+2+4+8+(?2?n)=0,解得：n=13,总共有 满足，
④1+2+4+8+16+(?2?n)=0,解得：n=29,总共有 不满足，
∴
【点评】考查归纳推理，读懂题目中等比数列的求和方法是解题的关键.
