9.2 方案设计问题
方案设计型问题是设置一个实际问题的情景及信息，提出解决问题的要求，寻求恰当的解决方案，有时还要求判断最优方案．此类题主要考查学生的动手操作能力和实践能力．此类题的解题策略有三种：一是利用方程或不等式解决方案设计问题：首先要了解问题取材的生活背景；其次要弄清题意，根据题意建构恰当的方程模型或不等式模型，求出所求未知数的取值范围；最后再结合实际问题确定方案设计的种数；二是择优型方案设计问题：这类问题一般方案已经给出，要求综合运用数学知识比较确定哪种方案合理．此类问题要注意两点：一是要符合问题描述的要求，二是要具有代表性；三是操作型问题：可运用中心对称、轴对称或旋转等几何知识去解决，关键是抓住需要拼接的图形与所给图形之间的内在关系，然后逐一组合，并遵循由特殊到一般、由简单到复杂的动手操作过程．
一、解答题
1.（2017?佳木斯）为了推动“龙江经济带”建设，我省某蔬菜企业决定通过加大种植面积、增加种植种类，促进经济发展．2017年春，预计种植西红柿、马铃薯、青椒共100公顷（三种蔬菜的种植面积均为整数），青椒的种植面积是西红柿种植面积的2倍，经预算，种植西红柿的利润可达1万元/公顷，青椒1.5万元/公顷，马铃薯2万元/公顷，设种植西红柿x公顷，总利润为y万元．
（1）求总利润y（万元）与种植西红柿的面积x（公顷）之间的关系式．
（2）若预计总利润不低于180万元，西红柿的种植面积不低于8公顷，有多少种种植方案？
（3）在（2）的前提下，该企业决定投资不超过获得最大利润的 18 在冬季同时建造A、B两种类型的温室大棚，开辟新的经济增长点，经测算，投资A种类型的大棚5万元/个，B种类型的大棚8万元/个，请直接写出有哪几种建造方案？
2.（2017?宁夏）某商店分两次购进 A、B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：
购进数量（件）
购进所需费用（元）
A
B
第一次
30
40
3800
第二次
40
30
3200
（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．
3.（2017?天水）天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两行环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元，
（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？
（2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于650万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？
4．（2018?广州）友谊商店A型号笔记本电脑的售价是a元/台．最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案．方案一：每台按售价的九折销售；方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售；若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑x台．
（1）当x＝8时，应选择哪种方案，该公司购买费用最少？最少费用是多少元？
（2）若该公司采用方案二购买更合算，求x的取值范围．
5．（2018?巴彦淖尔）为了对学生进行爱国主义教育，某校组织学生去看演出，有甲乙两种票，已知甲乙两种票的单价比为4：3，单价和为42元.
（1）甲乙两种票的单价分别是多少元？
（2）学校计划拿出不超过750元的资金，让七年级一班的36名学生首先观看，且规定购买甲种票必须多于15张，有哪几种购买方案？
6．（2018?伊春）为了落实党的“精准扶贫”政策，A、B两城决定向C、D两乡运送肥料以支持农村生产，已知A、B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/吨和25元/吨；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨．现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨．
（1）A城和B城各有多少吨肥料？
（2）设从A城运往C乡肥料x吨，总运费为y元，求出最少总运费．
（3）由于更换车型，使A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元，这时怎样调运才能使总运费最少？
7．（2018?咸宁）为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示．
甲种客车
乙种客车
载客量/（人/辆）
30
42
租金/（元/辆）
300
400
学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师．
（1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？
（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师，可知租用客车总数为 辆；
（3）你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．
8．（2019·遵义）某校计划组织240名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动．旅游公司有A，B两种客车可供租用，A型客车每辆载客量45人，B型客车每辆载客量30人．若租用4辆A型客车和3辆B型客车共需费用10700元；若租用3辆A型客车和4辆B型客车共需费用10300元．
（1）求租用A，B两型客车，每辆费用分别是多少元；
（2）为使240名师生有车坐，且租车总费用不超过1万元，你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？
9．（2019·广安）为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A型节能灯和5只B型节能灯共需50元，2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元．
（1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？
（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
10．（2019·衡阳）某商店购进、两种商品，购买1个商品比购买1个商品多花10元，并且花费300元购买商品和花费100元购买商品的数量相等．
（1）求购买一个商品和一个商品各需要多少元；
（2）商店准备购买、两种商品共80个，若商品的数量不少于商品数量的4倍，并且购买、商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？
11．（2019·内江）某商店准备购进两种商品，种商品毎件的进价比种商品每件的进价多20元，用3000元购进种商品和用1800元购进种商品的数量相同．商店将种商品每件的售价定为80元，种商品每件的售价定为45元．
（1）种商品每件的进价和种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1560元的资金购进两种商品共40件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
（3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件种商品售价优惠（）元，种商品售价不变，在（2）条件下，请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．
12．（2019·荆州）为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某中学组织八年级全体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动．在此次活动中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
35
30
租金（元/辆）
400
320
学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有2名老师．
（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？
（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为 辆；
（3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？
一、解答题
1．（2018?荆州模拟）某共享单车公司提供了手机和会员卡两种支付方式．若用手机支付方式，骑行时间在半小时以内（含半小时）不收费，超出半小时后每半小时收费1元，若选择会员卡支付，骑行时间每半小时收费0.8元，设骑行时间为x小时．
（1）根据题意，填写下表（单位：元）：
骑行时间（小时）
0.5
2
3
…
手机支付付款金额（元）
0
…
会员卡支付付款金额（元）
3.2
…
（2）设用手机支付付款金额为y1元，用会员卡支付付款金额为y2元，分别写出y1，y2关于x的函数关系式；
（3）若李老师经常骑行该公司的共享单车，他应选择哪种支付方式比较合算？
2．（2018?广州模拟）某校决定购买一些跳绳和排球，需要的跳绳数量是排球数量的3倍，购买的总费用不低于2200元，但不高于2500元．
（1）商场内跳绳的售价为20元/根，排球的售价为50元/个，按照学校所定的费用，有几种购买方案？每种方案中跳绳和排球数量各为多少？
（2）在（1）的方案中，哪一种方案的总费用最少？最少的费用是多少元？
3．（2018?邵阳模拟）某学校为美化校园，准备在长35米，宽20米的长方形场地上，修建若干条宽度相同的道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与方案设计，现有3位同学各设计了一种方案，图纸分别如图l、图2和图3所示（阴影部分为草坪）．
请你根据这一问题，在每种方案中都只列出方程不解．
①甲方案设计图纸为图l，设计草坪的总面积为600平方米．
②乙方案设计图纸为图2，设计草坪的总面积为600平方米．
③丙方案设计图纸为图3，设计草坪的总面积为540平方米．
4．（2018?石狮模拟）甲、乙两个文具店均出售钢笔和笔记本，其中每支钢笔定价10元，每本笔记本定价5元．两个文具店在开展促销活动中，各自提出优惠方案如下：
甲店：买一支钢笔送一本笔记本；
乙店：买钢笔或笔记本都按定价的80%付款.
现小明要购买钢笔30支，笔记本x本(x＞30)．
（1）试用含x的代数式表示：
①小明到甲店购买所付款为 元；
②小明到乙店购买所付款为 元；
（2）当x=40时，你能帮小明设计一种最为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并说明理由．
5．（2018?武汉模拟）某电脑公司经销甲种型号电脑，每台售价4000元．为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑．已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台.
（1）有几种进货方案？
（2）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？ 若考虑投入成本最低，则应选择哪种进货方案？
6．（2018?武汉二模）五一假期某学校计划组织385名师生租车旅游，现知道出租公司有42座和60座客车，每辆42座比每辆60座客车租金便宜140元，租3辆42座和2每辆60座客车租金共计1880元
(1) 求两种车租金每辆各多少元？
(2) 若学校同时租用这两种客车8辆（可以坐不满），总租金不超过3200元，有几种租车方案？请选择最节省的租车方案
7．（2019·天津模拟）某品牌笔记本电脑的售价是5000元/台。最近，该商家对此型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案。方案一：每台按售价的九折销售；方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售；若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售。
设公司一次性购买此型号笔记本电脑台。
Ⅰ.根据题意，填写下表：
购买台数
3
10
20
…
方案一的总费用（元）
13500
45000
90000
…
方案二的总费用（元）
15000
…
Ⅱ.设选择方案一的费用为元，选择方案二的费用为元，分别写出关于的函数关系式；
Ⅲ.当时，该公司采用哪种方案购买更合算？并说明理由。
8．（2019·梧州模拟）为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A、B两种型号的污水处理设备共10台（注：要求同时有两种型号），买2台A型设备和3台B型设备共需要90万元，其中A型设备单价是B型设备单价的1.5倍；经预算，指挥部购买污水处理设备经费不超过180万元，请解答下列问题
（1）A型设备和B型设备的单价各是多少万元？
（2）指挥部有哪几种购买方案？
（3）若A型设备月处理污水量200吨、B型设各月处理污水量180吨，现要求月处理污水量不低于1840吨，设购买设备需要总费用为y万元，A型设备x台，请写出y与x的函数解析式，并根据函数性质选择更省钱的购买方案？
9．（2019·河南模拟）世界上最先使用口罩的是中国，古时候，宫廷里的人为了防止粉尘和口气污染而开用丝巾遮盖口鼻，如《礼疏》载：“掩口，恐气触人，“和《孟子?离要）记：“西子蒙不洁，则人掩鼻而过之，”用手成袖括鼻子是很不卫生的，也不方便做其他事情，后来有人就用一块绢布来蒙口鼻，马可?波罗在他的（马可?波罗游记》一书中，记述他生活在中国十七年的见闻．其中有一条：“在元朝宫殿里，献食的人，皆用组布蒙口鼻，俾其气息，不触饮食之物，”这样蒙口鼻的绢布，也就是原始的口罩．由于雾霾天气发，市场上防护口罩出现热销，某药店准备购进一批口，已知1个A型口罩和2个B型口罩共需32元：2个A型口罩和1个B型口罩共需28元．
（1）求一个A型口罩和一个B型口罩的售价各是多少元？
（2）药店准备购进这两种型号的口罩共500个，其中A型口罩数量不少于330个，且不多于B型口罩的2倍，请设计出最省钱方案？
10．（2019·长沙模拟）某汽车销售公司经销某品牌 A 款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降， 今年5月份 A 款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的 A 款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元.
（1）今年5月份 A 款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的 B 款汽车，已知 A 款汽车每辆进价为7.5万元，B 款汽车每辆进价为 6 万元，公司预计用不多余105 万元且不少于99 万元的资金购买这两款汽车共15辆,有几种进货方案？
（3）在（2）的前提下，如果 B 款汽车每辆售价为8 万元，为打开 B 款汽车的销路,公司决定每售出一辆 B 款汽车，返还顾客现金 a 万元(0 ( a( 2(，此时，哪种方案对公司更有利？最大利润是多少？
11．（2019·陕西模拟）在学习习总书记关于生态文明建设重要讲话精神，树立“绿水青山就是金山银山”理念后，某学校计划组织全校1440名师生到某林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共62辆，两种型号客车作为交通工具，下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：
型号
载客量
租金单价
30人/辆
380元/辆
20人/辆
280元/辆
注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数.
设学校租用型号客车辆，租车总费用为元.
（1）求与的函数解析式，请直接写出的取值范围：
（2）若要使租车总费用不超过19600元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？求出最低费用.
12．（2019·重庆模拟）随着科技的发展，智能制造逐渐成为一种可能的生产方式.重庆某电子零部件生产商原来采用自动化程度较低的传统生产方式，工厂有熟练工人和新工人共100人，熟练工平均每天能生产30个零件，新工人平均每天能生产20个零件，所有工人刚好用30天完成了一项7.2万个零件的生产任务.
(1)请问该工厂有熟练工，新工人各多少人？(请列二元一次方程组解题)
(2)今年，某自动化技术团队为工厂提供了A、B两种不同型号的机器人，且两种机器人都可以单独完成零件的生产.已知A型机器人的售价为80万元/台，B型机器人的售价为120万元/台.工厂准备采购价值840万元的机器人设备，两种机器人都至少购买一台，若840万元刚好用完，求出所有可能的购买方案.
(3)已知一个零件的毛利润(只扣除了原材料成本)为10元，若选择传统生产方式，熟练工每月基本工资3000元，新工人每月基本工资2000元，在基本工资之上，工厂还需额外支付计件工资5元/件，传统生产方式的设备成本忽略不计.若选择智能制造方式生产，A型机器人每月生产零件1.5万个，B型机器人每月能生产零件2.7万个，1台A型机器人需要8名技术人员操控，一台B型机器人需要12名技术人员操控，技术人员每人工资1万元，实际生产过程中，一台A型机器人平均每月的总成本为6万元(包含所有设备成本和维护成本)，一台B型机器人平均每月的总成本为8万元(包含所有设备成本和维护成本).请你比较传统的生产方式和(2)中的所有购买方案对应的智能生产方式，哪种生产方式每月的总利润最大,最大利润为多少万元？(注：每月均按30天计算)
9.2 方案设计问题
方案设计型问题是设置一个实际问题的情景及信息，提出解决问题的要求，寻求恰当的解决方案，有时还要求判断最优方案．此类题主要考查学生的动手操作能力和实践能力．此类题的解题策略有三种：一是利用方程或不等式解决方案设计问题：首先要了解问题取材的生活背景；其次要弄清题意，根据题意建构恰当的方程模型或不等式模型，求出所求未知数的取值范围；最后再结合实际问题确定方案设计的种数；二是择优型方案设计问题：这类问题一般方案已经给出，要求综合运用数学知识比较确定哪种方案合理．此类问题要注意两点：一是要符合问题描述的要求，二是要具有代表性；三是操作型问题：可运用中心对称、轴对称或旋转等几何知识去解决，关键是抓住需要拼接的图形与所给图形之间的内在关系，然后逐一组合，并遵循由特殊到一般、由简单到复杂的动手操作过程．
一、解答题
1.（2017?佳木斯）为了推动“龙江经济带”建设，我省某蔬菜企业决定通过加大种植面积、增加种植种类，促进经济发展．2017年春，预计种植西红柿、马铃薯、青椒共100公顷（三种蔬菜的种植面积均为整数），青椒的种植面积是西红柿种植面积的2倍，经预算，种植西红柿的利润可达1万元/公顷，青椒1.5万元/公顷，马铃薯2万元/公顷，设种植西红柿x公顷，总利润为y万元．
（1）求总利润y（万元）与种植西红柿的面积x（公顷）之间的关系式．
（2）若预计总利润不低于180万元，西红柿的种植面积不低于8公顷，有多少种种植方案？
（3）在（2）的前提下，该企业决定投资不超过获得最大利润的 18 在冬季同时建造A、B两种类型的温室大棚，开辟新的经济增长点，经测算，投资A种类型的大棚5万元/个，B种类型的大棚8万元/个，请直接写出有哪几种建造方案？
【答案】答案见解析
【解析】（1）解：由题意y=x+1.5×2x+2（100﹣3x）=﹣2x+200 （2）解：由题意﹣2x+200≥180， 解得x≤10， ∵x≥8， ∴8≤x≤10． ∵x为整数， ∴x=8，9，10． ∴有3种种植方案， 方案一：种植西红柿8公顷、马铃薯76公顷、青椒16公顷． 方案二：种植西红柿9公顷、马铃薯73公顷、青椒18公顷． 方案三：种植西红柿10公顷、马铃薯70公顷、青椒20公顷 （3）解：∵y=﹣2x+200， ﹣2＜0， ∴x=8时，利润最大，最大利润为184万元． 设投资A种类型的大棚a个，B种类型的大棚b个， 由题意5a+8b≤ 18 ×184， ∴5a+8b≤23， ∴a=1，b=1或2， a=2，b=1， a=3，b=1， ∴可以投资A种类型的大棚1个，B种类型的大棚1个， 或投资A种类型的大棚1个，B种类型的大棚2个， 或投资A种类型的大棚2个，B种类型的大棚1个， 或投资A种类型的大棚3个，B种类型的大棚1个
【点评】（1）总利润=三种蔬菜利润的总和，用x 的代数式分别表示三种利润即可；（2）由“总利润不低于180万元“可列不等式﹣2x+200≥180，取正整数解三个，就有三种方案;（3）由y=﹣2x+200(8≤x≤10)，-2<0,y随x的增大而减小，故x=8时y最大=184万元，由题意列出不等式5a+8b≤?18×184,取整数解即可.
2.（2017?宁夏）某商店分两次购进 A、B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：
购进数量（件）
购进所需费用（元）
A
B
第一次
30
40
3800
第二次
40
30
3200
（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．
【答案】答案见解析
【解析】（1）解：设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元， 根据题意得： {30x+40y=380040x+30y=3200 ，解得： {x=20y=80 ． 答：A种商品每件的进价为20元，B种商品每件的进价为80元 （2）解：设购进B种商品m件，获得的利润为w元，则购进A种商品（1000﹣m）件， 根据题意得：w=（30﹣20）（1000﹣m）+（100﹣80）m=10m+10000． ∵A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍， ∴1000﹣m≥4m， 解得：m≤200． ∵在w=10m+10000中，k=10＞0， ∴w的值随m的增大而增大， ∴当m=200时，w取最大值，最大值为10×200+10000=12000， ∴当购进A种商品800件、B种商品200件时，销售利润最大，最大利润为12000元．
【解析】可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进B种商品m件，获得的利润为w元，则购进A种商品（1000﹣m）件，根据总利润=单件利润×购进数量，即可得出w与m之间的函数关系式，由A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再根据一次函数的性质即可解决最值问题．
3.（2017?天水）天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两行环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元，
（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？
（2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于650万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？
【答案】答案见解析
【解析】（1）解：设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，由题意得 {x+2y=4002x+y=350 ， 解得 {x=100y=150 ， 答：购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元 （2）解：设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由题意得 {100a+150(10?a)≤122060a+100(10?a)≥650 ， 解得： 285 ≤a≤ 354 ， 因为a是整数， 所以a=6，7，8； 则（10﹣a）=4，3，2； 三种方案： ①购买A型公交车6辆，则B型公交车4辆：100×6+150×4=1200万元； ②购买A型公交车7辆，则B型公交车3辆：100×7+150×3=1150万元； ③购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆：100×8+150×2=1100万元； 购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆费用最少，最少总费用为1100万元
【解析】车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元”列出方程组解决问题；（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由“购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元”和“10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于650万人次”列出不等式组探讨得出答案即可．
4．（2018?广州）友谊商店A型号笔记本电脑的售价是a元/台．最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案．方案一：每台按售价的九折销售；方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售；若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑x台．
（1）当x＝8时，应选择哪种方案，该公司购买费用最少？最少费用是多少元？
（2）若该公司采用方案二购买更合算，求x的取值范围．
【答案】（1）应选择方案一，该公司购买费用最少，最少费用是7.2a元；（2）x＞10．
【解析】（1）根据两个方案的优惠政策，分别求出购买8台所需费用，比较后即可得出结论；
（2）根据购买x台时，该公司采用方案二购买更合算，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论．
解：设购买A型号笔记本电脑x台时的费用为w元，
（1）当x＝8时，方案一：w＝90%a×8＝7.2a，
方案二：w＝5a+（8﹣5）a×80%＝7.4a，
∴当x＝8时，应选择方案一，该公司购买费用最少，最少费用是7.2a元；
（2）∵若该公司采用方案二购买更合算，
∴x＞5，
方案一：w＝90%ax＝0.9ax，
方案二：当x＞5时，w＝5a+（x﹣5）a×80%＝5a+0.8ax﹣4a＝a+0.8ax，
则0.9ax＞a+0.8ax，
x＞10，
∴x的取值范围是x＞10．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据优惠方案，列式计算；（2）找准不等量关系，正确列出一元一次不等式．
5．（2018?巴彦淖尔）为了对学生进行爱国主义教育，某校组织学生去看演出，有甲乙两种票，已知甲乙两种票的单价比为4：3，单价和为42元.
（1）甲乙两种票的单价分别是多少元？
（2）学校计划拿出不超过750元的资金，让七年级一班的36名学生首先观看，且规定购买甲种票必须多于15张，有哪几种购买方案？
【答案】（1）甲乙两种票的单价分别是24元、18元；（2）①甲种票买16张，乙种票买20张；?②甲种票买17张，乙种票买19张，
【解析】（1）设甲票价为4x元，乙为3x元，根据单价和为42元得到x的一元一次方程，解方程得x的值，然后分别计算4x与3x即可；
（2）设甲种票有y张，则乙种票（36-y）张，根据购买的钱不超过750元和购买甲种票必须多于15张得到两个不等式，求出它们的公共部分，然后找出其中的整数，即可得到购买方案．
解：（1）设甲票价为4x元，乙为3x元，
∴3x+4x=42，解得x=6，
∴4x=24，3x=18，
所以甲乙两种票的单价分别是24元、18元；
（2）设买甲种票a张，则买乙种票（36-a）张，
24a+1836?a≤750a>15，
解得：15＜a≤17，
∴a取16、17，
所以有两种购买方案：甲种票16张，乙种票20张；甲种票17张，乙种票19张．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系或不等关系，列出方程或不等式组是解题的关键.
6．（2018?伊春）为了落实党的“精准扶贫”政策，A、B两城决定向C、D两乡运送肥料以支持农村生产，已知A、B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/吨和25元/吨；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨．现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨．
（1）A城和B城各有多少吨肥料？
（2）设从A城运往C乡肥料x吨，总运费为y元，求出最少总运费．
（3）由于更换车型，使A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元，这时怎样调运才能使总运费最少？
【答案】（1）A城和B城分别有200吨和300吨肥料；（2）从A城运往D乡200吨，从B城运往C乡肥料240吨，运往D乡60吨时，运费最少，最少运费是10040元；（3）当0＜a<4时， A城200吨肥料都运往D乡，B城240吨运往C乡，60吨运往D乡；当a=4时，在0≤x≤200范围内的哪种调运方案费用都一样；当4＜a＜6时， A城200吨肥料都运往C乡，B城40吨运往C乡，260吨运往D乡.
【解析】（1）根据A、B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，列方程或方程组得答案；
（2）设从A城运往C乡肥料x吨，用含x的代数式分别表示出从A运往运往D乡的肥料吨数，从B城运往C乡肥料吨数，及从B城运往D乡肥料吨数，根据：运费=运输吨数×运输费用，得一次函数解析式，利用一次函数的性质得结论；
（3）列出当A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元时的一次函数解析式，利用一次函数的性质讨论，得结论．
解：（1）设A城有化肥a吨，B城有化肥b吨，
根据题意，得b+a=500b?a=100，
解得a=200b=300，
答：A城和B城分别有200吨和300吨肥料；
（2）设从A城运往C乡肥料x吨，则运往D乡（200﹣x）吨，
从B城运往C乡肥料（240﹣x）吨，则运往D乡（60+x）吨，
设总运费为y元，根据题意，
则：y=20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）=4x+10040，
∵x≥0200?x≥0240?x≥060+x≥0，∴0≤x≤200，
由于函数是一次函数，k=4＞0，
所以当x=0时，运费最少，最少运费是10040元；
（3）从A城运往C乡肥料x吨，由于A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元，
所以y=（20﹣a）x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）=（4﹣a）x+10040，
当4﹣a>0时，即0＜a<4时，y随着x的增大而增大，∴当x=0时，运费最少，A城200吨肥料都运往D乡，B城240吨运往C乡，60吨运往D乡；
当4-a=0时，即a=4时，y=10040，在0≤x≤200范围内的哪种调运方案费用都一样；
当4﹣a＜0时，即4＜a＜6时，y随着x的增大而减小，∴当x=240时，运费最少，此时A城200吨肥料都运往C乡，B城40吨运往C乡，260吨运往D乡.
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、不等式组的应用、一次函数的应用等，弄清题意、根据题意找准等量关系、不等关系列出方程组，列出一次函数解析式是关键．注意（3）小题需分类讨论．
7．（2018?咸宁）为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示．
甲种客车
乙种客车
载客量/（人/辆）
30
42
租金/（元/辆）
300
400
学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师．
（1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？
（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师，可知租用客车总数为 辆；
（3）你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．
【答案】（1）老师有16名，学生有284名；（2）8；（3）共有3种租车方案，最节省费用的租车方案是：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆．
【解析】（1）设老师有x名，学生有y名，根据等量关系：若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生，列出二元一次方程组，解出即可；
（2）由（1）中得出的教师人数可以确定出最多需要几辆汽车，再根据总人数以及汽车最多的是42座的可以确定出汽车总数不能小于30042=507（取整为8）辆，由此即可求出；
（3）设租用x辆乙种客车，则甲种客车数为：（8﹣x）辆，由题意得出400x+300（8﹣x）≤3100，得出x取值范围，分析得出即可．
解：（1）设老师有x名，学生有y名，
依题意，列方程组为17x=y?1218x=y+4，
解得：x=16y=284，
答：老师有16名，学生有284名；
（2）∵每辆客车上至少要有2名老师，
∴汽车总数不能大于8辆；
又要保证300名师生有车坐，汽车总数不能小于30042=507（取整为8）辆，
综合起来可知汽车总数为8辆，
故答案为：8；
（3）设租用x辆乙种客车，则甲种客车数为：（8﹣x）辆，
∵车总费用不超过3100元，
∴400x+300（8﹣x）≤3100，
解得：x≤7，
为使300名师生都有座，
∴42x+30（8﹣x）≥300，
解得：x≥5，
∴5≤x≤7（x为整数），
∴共有3种租车方案：
方案一：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆，租车费用为2900元；
方案二：租用甲种客车2辆，乙种客车6辆，租车费用为3000元；
方案三：租用甲种客车1辆，乙种客车7辆，租车费用为3100元；
故最节省费用的租车方案是：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，弄清题意找准等量关系列出方程组、找准不等关系列出不等式组是解题的关键.
8．（2019·遵义）某校计划组织240名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动．旅游公司有A，B两种客车可供租用，A型客车每辆载客量45人，B型客车每辆载客量30人．若租用4辆A型客车和3辆B型客车共需费用10700元；若租用3辆A型客车和4辆B型客车共需费用10300元．
（1）求租用A，B两型客车，每辆费用分别是多少元；
（2）为使240名师生有车坐，且租车总费用不超过1万元，你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？
【答案】（1）租用A，B两型客车，每辆费用分别是1700元、1300元；（2）共有三种租车方案，方案一：租用A型客车2辆，B型客车5辆，费用为9900元，方案二：租用A型客车4辆，B型客车2辆，费用为9400元，方案三：租用A型客车5辆，B型客车1辆，费用为9800元，方案二：租用A型客车4辆，B型客车2辆最省钱．
【解析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，从而可以求得租用A，B两型客车，每辆的费用； （2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以得到有哪几种租车方案和最省钱的方案．
解：（1）设租用A，B两型客车，每辆费用分别是x元、y元，
，
解得，，
答：租用A，B两型客车，每辆费用分别是1700元、1300元；
（2）设租用A型客车a辆，租用B型客车b辆，
，
解得，，，，
∴共有三种租车方案，
方案一：租用A型客车2辆，B型客车5辆，费用为9900元，
方案二：租用A型客车4辆，B型客车2辆，费用为9400元，
方案三：租用A型客车5辆，B型客车1辆，费用为9800元，
由上可得，方案二：租用A型客车4辆，B型客车2辆最省钱．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用不等式的性质和方程的知识解答．
9．（2019·广安）为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A型节能灯和5只B型节能灯共需50元，2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元．
（1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？
（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【答案】（1）1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元；（2）当购买A型号节能灯150只，B型号节能灯50只时最省钱，见解析.
【解析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以得到费用与购买A型号节能灯的关系式，然后根据一次函数的性质即可解答本题．
解：（1）设1只A型节能灯的售价是x元，1只B型节能灯的售价是y元，
，解得，，
答：1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元；
（2）设购买A型号的节能灯a只，则购买B型号的节能灯只，费用为w元，
∴当时，w取得最小值，此时
答：当购买A型号节能灯150只，B型号节能灯50只时最省钱．
【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
10．（2019·衡阳）某商店购进、两种商品，购买1个商品比购买1个商品多花10元，并且花费300元购买商品和花费100元购买商品的数量相等．
（1）求购买一个商品和一个商品各需要多少元；
（2）商店准备购买、两种商品共80个，若商品的数量不少于商品数量的4倍，并且购买、商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？
【答案】（1）购买一个商品需要15元，购买一个商品需要5元；（2）商店有2种购买方案，方案①：购进商品65个、商品15个；方案②：购进商品64个、商品16个．
【解析】（1）设购买一个商品需要元，则购买一个商品需要元，根据数量＝总价÷单价结合花费300元购买商品和花费100元购买商品的数量相等，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买商品个，则购买商品个，根据商品的数量不少于商品数量的4倍并且购买、商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数即可找出各购买方案．
解：（1）设购买一个商品需要元，则购买一个商品需要元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：购买一个商品需要15元，购买一个商品需要5元．
（2） 设购买商品个，则购买商品个，
依题意，得：，
解得：．
∵为整数，
∴或16．
∴商店有2种购买方案，方案①：购进商品65个、商品15个；方案②：购进商品64个、商品16个．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
11．（2019·内江）某商店准备购进两种商品，种商品毎件的进价比种商品每件的进价多20元，用3000元购进种商品和用1800元购进种商品的数量相同．商店将种商品每件的售价定为80元，种商品每件的售价定为45元．
（1）种商品每件的进价和种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1560元的资金购进两种商品共40件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
（3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件种商品售价优惠（）元，种商品售价不变，在（2）条件下，请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．
【答案】（1种商品每件的进价是50元，种商品每件的进价是30元；（2）商店共有5种进货方案;（3）①当时，获利最大，即买18件商品，22件商品，②当时，，（2）问中所有进货方案获利相同，③当时，获利最大，即买14件商品，26件商品．
【解析】（1）设A商品每件进价为x元，B商品每件的进价为（x-20）元，根据种商品毎件的进价比种商品每件的进价多20元，用3000元购进种商品和用1800元购进种商品的数量相同，列方程求解；
（2）设购买种商品件，则购买商品（）件，根据商店计划用不超过1560元的资金购进两种商品共40件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，列出不等式组即可
（3）先设销售两种商品共获利元，然后分析求解新的进货方案
解：（1）设种商品每件的进价是元，则种商品每件的进价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：种商品每件的进价是50元，种商品每件的进价是30元；
（2）设购买种商品件，则购买商品（）件，
由题意得：，
解得：，
∵为正整数，
∴14、15、16、17、18，
∴商店共有5种进货方案；
（3）设销售两种商品共获利元，
由题意得：
，
①当时，，随的增大而增大，
∴当时，获利最大，即买18件商品，22件商品，
②当时，，
与的值无关，即（2）问中所有进货方案获利相同，
③当时，，随的增大而减小，
∴当时，获利最大，即买14件商品，26件商品．
【点评】此题考查一元一次不等式组的应用，分式方程的应用，解题关键在于根据题意列出方程
12．（2019·荆州）为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某中学组织八年级全体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动．在此次活动中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
35
30
租金（元/辆）
400
320
学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有2名老师．
（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？
（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为 辆；
（3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？
【答案】（1）参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人．（2）8；（3）学校共有4种租车方案，最少租车费用是2720元．
【解析】（1）设参加此次研学活动的老师有人，学生有人，根据题意列出方程组即可求解；
（2）利用租车总辆数=总人数÷35，再结合每辆车上至少要有2名老师，即可求解；
（3）设租35座客车辆，则需租30座的客车辆，根据题意列出不等式组即可求解.
解：（1）设参加此次研学活动的老师有人，学生有人，
依题意，得：，
解得：．
答：参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人．
（2）（辆）（人），（辆），
租车总辆数为8辆．
故答案为：8．
（3）设租35座客车辆，则需租30座的客车辆，
依题意，得：，
解得：．
为正整数，
，
共有4种租车方案．
设租车总费用为元，则，
，
的值随值的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值为2720．
学校共有4种租车方案，最少租车费用是2720元．
【点评】本题考查的是二元一次方程组和不等式组的实际应用，熟练掌握两者是解题的关键.
一、解答题
1．（2018?荆州模拟）某共享单车公司提供了手机和会员卡两种支付方式．若用手机支付方式，骑行时间在半小时以内（含半小时）不收费，超出半小时后每半小时收费1元，若选择会员卡支付，骑行时间每半小时收费0.8元，设骑行时间为x小时．
（1）根据题意，填写下表（单位：元）：
骑行时间（小时）
0.5
2
3
…
手机支付付款金额（元）
0
…
会员卡支付付款金额（元）
3.2
…
（2）设用手机支付付款金额为y1元，用会员卡支付付款金额为y2元，分别写出y1，y2关于x的函数关系式；
（3）若李老师经常骑行该公司的共享单车，他应选择哪种支付方式比较合算？
【答案】（1）3，5；0.8，4.8．（2）当0≤x≤0.5时，y1=0；x>0.5时，y1=x?0.50.5×1=2x–1；y2=1.6x（x≥0）（3）李老师应该根据自己的骑行时间，选择合适的付费方式．
【解析】（1）用手机支付方式，骑行时间在半小时以内（含半小时）不收费，超出半小时后每半小时收费1元，所以骑行2小时，收费（2–0.5）÷0.5×1=3（元）；骑行3小时，收费（3–0.5）÷0.5×1=5（元）；
用会员卡支付，骑行时间每半小时收费0.8元，
所以所以骑行0.5小时，收费0.5÷0.5×0.8=0.8（元），骑行3小时，收费3÷0.5×0.8=4.8（元）；
故答案为：3，5；0.8，4.8．
（2）骑行x小时用手机支付方式，当0≤x≤0.5时，y1=0；
x>0.5时，y1=x?0.50.5×1=2x–1；
骑行x小时用会员卡支付方式y2=1.6x（x≥0）．
（3）当y1=y2时，即2x–1=1.6x，解得x=2.5，
当骑行时间为2.5小时时，两种支付方式价格相同；
当0≤x≤2.5时，y12.5时，y1>y2，所以会员卡支付合算．
李老师应该根据自己的骑行时间，选择合适的付费方式．
2．（2018?广州模拟）某校决定购买一些跳绳和排球，需要的跳绳数量是排球数量的3倍，购买的总费用不低于2200元，但不高于2500元．
（1）商场内跳绳的售价为20元/根，排球的售价为50元/个，按照学校所定的费用，有几种购买方案？每种方案中跳绳和排球数量各为多少？
（2）在（1）的方案中，哪一种方案的总费用最少？最少的费用是多少元？
【答案】（1）有三种购买方案：方案一：跳绳60根，排球20个；方案二：跳绳63根，排球21个；方案三：跳绳66根，排球22个；
（2）方案一购买的总数量最少，所以总费用最少，最少费用为2200元.
【解析】（1）设购买跳绳x根，则购买排球13x个，由题意得到关于x的不等式组，解得60≤x≤68211，再根据x，13x都必须为整数，得到x，13x的可能值；
（2）根据（1）即可求得答案.
解：（1）设购买跳绳x根，则购买排球13x个，
根据题意得：20x+50×13x≥220020x+50×13x≤2500，
解得60≤x≤68211，
∵x为正整数，
∴x可取60，61，62，63，64，65，66，67，68，
∵13x也必需是整数，
∴13x可取20，21，22；
∴有三种购买方案：
方案一：跳绳60根，排球20个；
方案二：跳绳63根，排球21个；
方案三：跳绳66根，排球22个．
（2）在（1）中，方案一购买的总数量最少，所以总费用最少，
最少费用为：60×20+20×50=2200．
答：方案一购买的总数量最少，所以总费用最少，最少费用为2200元．
3．（2018?邵阳模拟）某学校为美化校园，准备在长35米，宽20米的长方形场地上，修建若干条宽度相同的道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与方案设计，现有3位同学各设计了一种方案，图纸分别如图l、图2和图3所示（阴影部分为草坪）．
请你根据这一问题，在每种方案中都只列出方程不解．
①甲方案设计图纸为图l，设计草坪的总面积为600平方米．
②乙方案设计图纸为图2，设计草坪的总面积为600平方米．
③丙方案设计图纸为图3，设计草坪的总面积为540平方米．
【答案】：①(35?2x)(20?2x)=600；②(35?x)(20?x)=600；③(35?2x)(20?x)=540
【解析】①设道路的宽为x米．长应该为35﹣2x，宽应该为20﹣2x；那么根据草坪的面积为600m2 ，即可得出方程；
②如果设路宽为xm，草坪的长应该为35﹣x，宽应该为20﹣x；那么根据草坪的面积为600m2，即可得出方程；
③如果设路宽为xm，草坪的长应该为35﹣2x，宽应该为20﹣x；那么根据草坪的面积为540m2 ， 即可得出方程．
解：①设道路的宽为x米．依题意得：（35﹣2x）（20﹣2x）=600；
②设道路的宽为x米．依题意得：（35﹣x）（20﹣x）=600；
③设道路的宽为x米．依题意得：（35﹣2x）（20﹣x）=540．
4．（2018?石狮模拟）甲、乙两个文具店均出售钢笔和笔记本，其中每支钢笔定价10元，每本笔记本定价5元．两个文具店在开展促销活动中，各自提出优惠方案如下：
甲店：买一支钢笔送一本笔记本；
乙店：买钢笔或笔记本都按定价的80%付款.
现小明要购买钢笔30支，笔记本x本(x＞30)．
（1）试用含x的代数式表示：
①小明到甲店购买所付款为 元；
②小明到乙店购买所付款为 元；
（2）当x=40时，你能帮小明设计一种最为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并说明理由．
【答案】（1）（1）①5x+150； ②4x+240；（2）应选择方案三最为省钱，理由见解析.
【解析】（1）根据甲乙两店的优惠方案列出各自的代数式即可；
（2）把x＝40代入各方案，比较即可．
解：（1）①[30×10＋5（x?30）]，即5x＋150；
②（30×10＋5x）×80%，即4x＋240；
故答案为：①5x＋150；②4x＋240；
（2）方案一：小明所要的30支钢笔和40本笔记本都在甲店购买，则他应付款为：30×10＋5×（40?30）＝350（元）；
方案二：小明所购的30支钢笔和40本笔记本都在乙店购买，则他应付款为：（30×10＋40×5）×80%＝400（元）；
方案三：小明所要的30支钢笔和30本笔记本在甲店购买，10本笔记本在乙店购买，则他应付款为：30×10＋（10×5）×80%＝340（元），
综上，应选择方案三最为省钱．
【点评】此题考查了代数式求值，以及列代数式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（2018?武汉模拟）某电脑公司经销甲种型号电脑，每台售价4000元．为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑．已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台.
（1）有几种进货方案？
（2）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？ 若考虑投入成本最低，则应选择哪种进货方案？
【答案】（1）共有5种进货方案；（2）购买甲种电脑6台，乙种电脑9台时对公司更有利（利润相同，成本最低）．
【解析】（1）关系式为：4.8≤甲种电脑总价+乙种电脑总价≤5． （2）方案获利相同，说明与所设的未知数无关，让未知数x的系数为0即可；对公司更有利，因为甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，所以要多进乙.
解：（1）设购进甲种电脑x台，
48000≤3500x+3000(15?x)≤50000 解得6≤x≤10.
（2）设总获利为W元，
W=(4000?3500)x+(3800?3000?a)(15?x)，
=(a?300)x+12000?15a.
当a=300时，（2）中所有方案获利相同．
此时，购买甲种电脑6台，乙种电脑9台时对公司更有利（利润相同，成本最低）．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的实际运用.
6．（2018?武汉二模）五一假期某学校计划组织385名师生租车旅游，现知道出租公司有42座和60座客车，每辆42座比每辆60座客车租金便宜140元，租3辆42座和2每辆60座客车租金共计1880元
(1) 求两种车租金每辆各多少元？
(2) 若学校同时租用这两种客车8辆（可以坐不满），总租金不超过3200元，有几种租车方案？请选择最节省的租车方案
【答案】（1）42座客车租金320元/辆，60座客车租金460元/辆；（2）有2种方案，当m=5时，W取得最小值，最小值为2980
【解析】（1））设42座客车租金x元/辆，根据题中的等量关系列出方程组求解即可;（2）根据租用的辆客车所载的总人数应大于等于师生的总人数和所需的费用应比单独租用车辆的费用少,列出不等式组进行求解,然后分类讨论.
解：（1）设42座客车租金x元/辆，60座客车租金（x+140）元/辆，
根据题意，得：3x+2（x+140）=1880
解得：x=320
答：42座客车租金320元/辆，60座客车租金460元/辆.
（2）设租42座客车m辆，则60座客车（8- m）辆，
根据题意得：42m+60(8- m)≥385(, 320m+460 (8- m)≤3200(，
解得：3≤m≤5
∵m为整数，∴m的值可以是4、5，即有2种方案；
设总费用为W，则W=320m+460 (8- m)= -140m+ 3680，
∵W随m的增大而减小大，∴当m=5时，W取得最小值，最小值为2980，
（列举两种情况的费用，再比大小也可）
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用,根据题意得出正确的不等关系是解题关键.
7．（2019·天津模拟）某品牌笔记本电脑的售价是5000元/台。最近，该商家对此型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案。方案一：每台按售价的九折销售；方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售；若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售。
设公司一次性购买此型号笔记本电脑台。
Ⅰ.根据题意，填写下表：
购买台数
3
10
20
…
方案一的总费用（元）
13500
45000
90000
…
方案二的总费用（元）
15000
…
Ⅱ.设选择方案一的费用为元，选择方案二的费用为元，分别写出关于的函数关系式；
Ⅲ.当时，该公司采用哪种方案购买更合算？并说明理由。
【答案】Ⅰ.，；Ⅱ.见解析；Ⅲ. 方案二购买更合算；理由见解析
【解析】Ⅰ. 根据若购买超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售，进行计算即可
Ⅱ. 方案一：总费用=笔记本电脑的售价×贺卡的数量．方案二：费用=5台笔记本电脑的售价+笔记本电脑的售价×（贺卡的数量-5）．据此可得出方案一和方案二的函数关系式；
Ⅲ.根据两函数解析式分别讨论哪种方案更合算时，对应的x的取值范围，即可得出结论
解：Ⅰ.（元）
（元）
故填写为：，
Ⅱ.根据题意可得：
当时，
；
当时，
Ⅲ. 方案二购买更合算；理由如下：
当时，即；解得：；此时方案二更合算，当时，即；解得：；方案一和方案二一样合算
当时，即；解得：；此时方案一更合算
∴当时，该公司采用方案二购买更合算
【点评】本题考查一次函数的应用、方案选择问题，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
8．（2019·梧州模拟）为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A、B两种型号的污水处理设备共10台（注：要求同时有两种型号），买2台A型设备和3台B型设备共需要90万元，其中A型设备单价是B型设备单价的1.5倍；经预算，指挥部购买污水处理设备经费不超过180万元，请解答下列问题
（1）A型设备和B型设备的单价各是多少万元？
（2）指挥部有哪几种购买方案？
（3）若A型设备月处理污水量200吨、B型设各月处理污水量180吨，现要求月处理污水量不低于1840吨，设购买设备需要总费用为y万元，A型设备x台，请写出y与x的函数解析式，并根据函数性质选择更省钱的购买方案？
【答案】（1）A型设备和B型设备的单价各是22.5万元、15万元；（2）4种购买方案；（3）当购买A型设备2台，B型设备8台更省钱
【解析】（1）根据题意，可以得到关于A、B单价的二元一次方程组，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以得到相应的不等式，从而可以解答本题；
（3）根据题意可以得到y与x的函数关系式，然后利用一次函数的性质即可解答本题．
解：（1）设A型设备和B型设备的单价各是x万元、y万元，
，得 ，
答：A型设备和B型设备的单价各是22.5万元、15万元；
（2）设购买A型设备a台，则购买B型设备（10﹣a）台，
22.5a+15（10﹣a）≤180，≤4
解得，a≤4，
∵a≥1，
∴1≤a≤4，
∴共有4种购买方案，
方案一：购买A型设备1台，B型设备9台；
方案二：购买A型设备2台，B型设备8台；
方案三：购买A型设备3台，B型设备7台；
方案四：购买A型设备4台，B型设备6台；
（3）由题意可得，
y与x的函数解析式是：y＝22.5x+15（10﹣x）＝7.5x+150，
即y与x的函数解析式是y＝7.5x+150，
∵A型设备月处理污水量200吨、B型设各月处理污水量180吨，现要求月处理污水量不低于1840吨，
∴200x+180（10﹣x）≥1840，
解得，x≥2，
由（2）知x≤4，
∴2≤x≤4，
∴当x＝2时，y取得最小值，此时y＝165，
即当购买A型设备2台，B型设备8台更省钱．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用，关键在于根据题意列出方程组，求解满足条件的省钱方法.
9．（2019·河南模拟）世界上最先使用口罩的是中国，古时候，宫廷里的人为了防止粉尘和口气污染而开用丝巾遮盖口鼻，如《礼疏》载：“掩口，恐气触人，“和《孟子?离要）记：“西子蒙不洁，则人掩鼻而过之，”用手成袖括鼻子是很不卫生的，也不方便做其他事情，后来有人就用一块绢布来蒙口鼻，马可?波罗在他的（马可?波罗游记》一书中，记述他生活在中国十七年的见闻．其中有一条：“在元朝宫殿里，献食的人，皆用组布蒙口鼻，俾其气息，不触饮食之物，”这样蒙口鼻的绢布，也就是原始的口罩．由于雾霾天气发，市场上防护口罩出现热销，某药店准备购进一批口，已知1个A型口罩和2个B型口罩共需32元：2个A型口罩和1个B型口罩共需28元．
（1）求一个A型口罩和一个B型口罩的售价各是多少元？
（2）药店准备购进这两种型号的口罩共500个，其中A型口罩数量不少于330个，且不多于B型口罩的2倍，请设计出最省钱方案？
【答案】（1）一个A型口罩的售价是8元，一个B型口罩的售价是12元；（2）有4种购买方案，其中方案四最省钱，需要4668元．
【解析】（1）设一个A型口罩的售价是a元，一个B型口罩的售价是b元，根据：“1个A型口罩和2个B型口罩共需32元：2个A型口罩和1个B型口罩共需28元”列方程组求解即可；
（2）设A型口罩x个，根据“A型口罩数量不少于35个，且不多于B型口罩的3倍”确定x的取值范围，然后得到有关总费用和A型口罩之间的关系得到函数解析式，确定函数的最值即可．
解：（1）设一个A型口罩的售价是a元，一个B型口罩的售价是b元，依题意有：
解得：
答：一个A型口罩的售价是8元，一个B型口罩的售价是12元．
（2）设A型口罩x个，依题意有：
解得330≤x≤
∵x为整数，∴x＝330，331，332，333．
方案如下：
设购买口罩需要y元，则y＝8x+12（500﹣x）＝﹣4x+6000，k＝﹣4＜0，
∴y随x增大而减小，∴x＝333时，y的值最小．
答：有4种购买方案，其中方案四最省钱，需要4668元．
方案
A型口罩
B型口罩
一
330
170
二
331
169
三
332
168
四
333
167
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用等知识，根据题意得出正确的等量关系是解题关键．
10．（2019·长沙模拟）某汽车销售公司经销某品牌 A 款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降， 今年5月份 A 款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的 A 款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元.
（1）今年5月份 A 款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的 B 款汽车，已知 A 款汽车每辆进价为7.5万元，B 款汽车每辆进价为 6 万元，公司预计用不多余105 万元且不少于99 万元的资金购买这两款汽车共15辆,有几种进货方案？
（3）在（2）的前提下，如果 B 款汽车每辆售价为8 万元，为打开 B 款汽车的销路,公司决定每售出一辆 B 款汽车，返还顾客现金 a 万元(0 ( a( 2(，此时，哪种方案对公司更有利？最大利润是多少？
【答案】（1）今年5月份A款汽车每辆售价9万元；（2）共有5种进货方案；（3）见详解
【解析】（1）求单价应根据数量来列等量关系．等量关系为：今年的销售数量=去年的销售数量． （2）关系式为：99≤A款汽车总价+B款汽车总价≤105． （3）列出利润W的关系式，根据a的大小，分情况讨论.
解：（1）设今年5月份A款汽车每辆售价m万元．则： ， 解得：m=9． 经检验，m=9是原方程的根，符合题意． 答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元； （2）设购进A款汽车x辆．则： 解得：6≤x≤10． ∵x的正整数解为6，7，8，9，10， ∴共有5种进货方案； （3）设总获利为W万元，购进A款汽车x辆，则：
= ①当a =0.5时，（2）中所有方案获利相同，利润为22.5万元
由于要打开 B 款汽车的销路，因此购买A款汽车6辆，B款汽车9辆对公司有利．
②当0＜a＜0.5时，W随x的增大而减小，
∴当x=6时， W=
利润最大为27-9a，因此购买A款汽车6辆，B款汽车9辆对公司有利．
③当0.5＜a＜2时，W随x的增大而增大，
∴当x=10时，W=
利润最大为25-5a，因此购买A款汽车10辆，B款汽车5辆对公司有利．
【点评】本题考查分式方程、一元一次不等式组以及一次函数的综合应用，找到合适的等量关系及不等关系是解决问题的关键．
11．（2019·陕西模拟）在学习习总书记关于生态文明建设重要讲话精神，树立“绿水青山就是金山银山”理念后，某学校计划组织全校1440名师生到某林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共62辆，两种型号客车作为交通工具，下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：
型号
载客量
租金单价
30人/辆
380元/辆
20人/辆
280元/辆
注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数.
设学校租用型号客车辆，租车总费用为元.
（1）求与的函数解析式，请直接写出的取值范围：
（2）若要使租车总费用不超过19600元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？求出最低费用.
【答案】（1）；（2）有三种租车方案； 时，最小值为19360元.
【解析】（1）根据费用与租车辆数的关系直接得出关系式，自变量的取值范围要考虑到车辆的总座位数大于或等于总人数，还应考虑只租A型的辆数； （2）利用费用的函数关系式和自变量x的取值范围，确定何时费用最低，此时的租车方案．
解：（1）解：（1）依题意，得,
整理得，
∴与的函数关系式为：；
∴
30x≤1440
∴20≤x≤48
答：y与x的函数解祈式为y＝100x＋17360，自变量x的取值范围为20≤x≤48；
（2）当y≤19600时，即：，
解得；
又∵20≤x≤48，
∴
又∵x为整数， ∴x可以为20，21，22； 因此共有三种租车方案，
在中，，
∴随的增大而增大，
∴当取最小值，即时，有最小值，最小值为元.
【点评】本题考查了一次函数、一元一次不等式组的解法以及方案设计等知识，特别注意自变量的取值范围的确定容易出现错误．
12．（2019·重庆模拟）随着科技的发展，智能制造逐渐成为一种可能的生产方式.重庆某电子零部件生产商原来采用自动化程度较低的传统生产方式，工厂有熟练工人和新工人共100人，熟练工平均每天能生产30个零件，新工人平均每天能生产20个零件，所有工人刚好用30天完成了一项7.2万个零件的生产任务.
(1)请问该工厂有熟练工，新工人各多少人？(请列二元一次方程组解题)
(2)今年，某自动化技术团队为工厂提供了A、B两种不同型号的机器人，且两种机器人都可以单独完成零件的生产.已知A型机器人的售价为80万元/台，B型机器人的售价为120万元/台.工厂准备采购价值840万元的机器人设备，两种机器人都至少购买一台，若840万元刚好用完，求出所有可能的购买方案.
(3)已知一个零件的毛利润(只扣除了原材料成本)为10元，若选择传统生产方式，熟练工每月基本工资3000元，新工人每月基本工资2000元，在基本工资之上，工厂还需额外支付计件工资5元/件，传统生产方式的设备成本忽略不计.若选择智能制造方式生产，A型机器人每月生产零件1.5万个，B型机器人每月能生产零件2.7万个，1台A型机器人需要8名技术人员操控，一台B型机器人需要12名技术人员操控，技术人员每人工资1万元，实际生产过程中，一台A型机器人平均每月的总成本为6万元(包含所有设备成本和维护成本)，一台B型机器人平均每月的总成本为8万元(包含所有设备成本和维护成本).请你比较传统的生产方式和(2)中的所有购买方案对应的智能生产方式，哪种生产方式每月的总利润最大,最大利润为多少万元？(注：每月均按30天计算)
【答案】(1)该工厂有熟练工40名，新工人60名；(2)购买方案有三种，方案一：购买A型机器人3台，B型机器人5台；方案二：购买A型机器人6台，B型机器人3台；方案一：购买A型机器人9台，B型机器人1台；(3)选择智能制造生产方式获得利润最大，此时购进A型机器人3台，B型机器人5台，最大利润为38万元.
【解析】(1)设有熟练工x人，新工人y人，根据熟练工人和新工人共100人，所有工人刚好用30天完成了一项7.2万个零件的生产任务，列方程组进行求解即可；
(2)设购买A型机器人a台，B型机器人b台，由题意得80a+120b=840，根据a、b均为大于1的正整数进行求解即可得；
(3)分别计算出传统方式与智能制造中的三种方案每月获得的总利润，进行比较即可.
解：(1)设有熟练工x人，新工人y人，由题意得
，
解得：，
答：该工厂有熟练工40名，新工人60名；
(2)设购买A型机器人a台，B型机器人b台，由题意得
80a+120b=840，
则a=，
又两种机器人都至少购买一台，
所以，即，
所以1≤b≤6，
又为整数，
所以b为1，3，5，
所以或或，
答：购买方案有三种，方案一：购买A型机器人3台，B型机器人5台；方案二：购买A型机器人6台，B型机器人3台；方案一：购买A型机器人9台，B型机器人1台；
(3)传统方式：每天生产零件：30×40+20×60=2400个，
每月生产：2400×30=720000个=7.2万个，
毛利润：7.2×10=72万元，
每月的总利润：72-40×0.3-60×0.2-7.2×5=12万元；
智能模式：方案一：生产零件：3×1.5+5×2.7=18万个，
毛利润;18×10=180万元，
每月的总利润：180-3×6-5×8-(3×8+5×12)×1=38万元；
方案二：生产零件：6×1.5+3×2.7=17.1万个，
毛利润;17.1×10=171万元，
每月的总利润：171-6×6-3×8-(6×8+3×12)×1=27万元；
方案三：生产零件：9×1.5+1×2.7=16.2万个，
毛利润;16.2×10=162万元，
每月的总利润：162-9×6-1×8-(9×8+1×12)×1=16万元，
综上，选择智能制造生产方式获得利润最大，此时购进A型机器人3台，B型机器人5台，最大利润为38万元.
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程组中的方案问题，弄清题意，找准各量间的关系，认真计算是解题的关键.
