必修2 第二章 空间中的平行与垂直 同步测试题（含答案解析）

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专题 空间中的平行与垂直 训练测试题
1.已知两条相交直线a，b，且a∥平面α，则b与平面α的位置关系是(　　)
A.相交或平行 B.平行
C.b在平面α内 D.平行或b在平面α内
2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点.有以下四个结论：
INCLUDEPICTURE"P5.TIF"
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线.
其中正确的结论为(　　)
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
3.已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A?l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是(　　)
A.AB∥m B.AC⊥m
C.AB∥β D.AC⊥β
4.如图所示，点P在正方形ABCD所在的平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，则PB与AC所成的角是(　　)
INCLUDEPICTURE"A16.TIF"
A.90° 　　　 B.60°
C.45° 　　　 D.30°
5.已知PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是(　　)
A.PA⊥BC B.BC⊥平面PAC
C.AC⊥PB D.PC⊥BC
6.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角的大小为(　　)
A.75° B.60° C.45° D.30°
7.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点P是平面AA1D1D的中心，点Q是上底面A1B1C1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长的最小值为(　　)
A.1 B. C. D.
8.如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别是AB，CD的中点，且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN的长度为________.
INCLUDEPICTURE"a21.TIF"
9.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可).
INCLUDEPICTURE"4S85.TIF"
10.空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，且AB＝AD，则AC与平面BCD所成角的大小是________.
11.如图，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，PE∥BC，M是AE的中点，N是PA上一点.
INCLUDEPICTURE"A23.TIF"
(1)若N是PA的中点，求证：MN⊥平面PAC；
(2)若MN∥平面ABC，求证：N是PA的中点.




12.如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.
INCLUDEPICTURE"4S78.TIF"
(1)求三棱锥P－ABC的体积；
(2)在线段PC上是否存在点M，使得AC⊥BM，若存在点M，求出的值；若不存在，请说明理由.



13.如图1所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD为∠ACB的平分线，点E在线段AC上，CE＝4.如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连接AB，BE，设点F是AB的中点.
INCLUDEPICTURE"P9.TIF"
(1)求证：DE⊥平面BCD；
(2)若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B－DEG的体积.
















解析答案
1.解析　结合长方体模型，易知b∥α或b与α相交.
答案　A
2.解析　直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误，显然③④正确.
答案　C
3.解析　因为直线m∥α，m∥β，α∩β＝l，所以m∥l，所以AB∥m，AC⊥m，选项A、B正确；根据线面平行的判定定理可得AB∥β，选项C正确；当直线AC不在平面α内时，尽管AC⊥l，AC与平面β可以平行，也可以相交(不垂直)，所以AC⊥β不一定成立.
答案　D
4.解析　将其放入正方体ABCD－PQRS中，连接SC，AS，则PB∥SC，
∴∠ACS(或其补角)是PB与AC所成的角.
INCLUDEPICTURE"A17.TIF"
∵△ACS为等边三角形，
∴∠ACS＝60°，
∴PB与AC所成的角是60°.
答案　B
5.解析　由PA⊥平面ABC，知PA⊥BC，A正确.
又AB是圆的直径，知∠ACB＝90°，则BC⊥AC，
由于AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，B项正确.
又PC?平面PAC，得PC⊥BC，D项正确.
答案　C
6.解析　如图，在四棱锥P－ABCD中，过P作PO⊥平面ABCD于点O，连接AO，则AO是AP在底面ABCD上的射影，
INCLUDEPICTURE"P6.TIF"
∴∠PAO即为所求线面角.
∵AO＝，PA＝1，
∴cos∠PAO＝＝.
∴∠PAO＝45°，即所求线面角为45°.
答案　C
7.解析　由PQ∥平面AA1B1B知Q在过点P且平行于平面AA1B1B的平面上，易知点Q在A1D1，B1C1中点的连线MN上，故PQ的最小值为PM＝AA1＝1.
INCLUDEPICTURE"A20.TIF"
答案　A
8.解析　如图，取AD的中点P，连接PM，PN，则PM∥BD，PN∥AC，PN＝AC＝4，
INCLUDEPICTURE"A22.TIF"
PM＝BD＝3.
∴∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角，
∴∠MPN＝90°，∴MN＝5.
答案　5

9.解析　连接AC，BD，则AC⊥BD，因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD.又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC.所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC?平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.
INCLUDEPICTURE"4S86.TIF"
答案　DM⊥PC(或BM⊥PC)
10.解析　如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO.
因为AB＝AD，所以AO⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO?平面ABD，所以AO⊥平面BCD.
INCLUDEPICTURE"P8.TIF"
因此，∠ACO为AC与平面BCD所成的角.
由于∠BAD＝90°＝∠BCD，
所以AO＝OC＝BD，
又AO⊥OC，
所以∠ACO＝45°.
答案　45°
11.证明　(1)∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，AC⊥BC，BC?平面ABC，
∴BC⊥平面PAC.
∵M是AE的中点，N是PA的中点，
∴MN∥PE.
又PE∥BC，∴MN∥BC，∴MN⊥平面PAC.
(2)设平面PAE∩平面ABC＝l.
∵MN∥平面ABC，MN?平面PAE，∴MN∥l.
∵PE∥BC，BC?平面ABC，PE?平面ABC，
∴PE∥平面ABC.
又平面PAE∩平面ABC＝l，PE?平面PAE，
∴PE∥l，从而MN∥PE.
在△APE中，∵M是AE的中点，
∴N是PA的中点.
12.解　(1)由题知AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，
可得S△ABC＝·AB·AC·sin 60°＝，
由PA⊥平面ABC，可知PA是三棱锥P－ABC的高.
又PA＝1，
知三棱锥P－ABC的体积V＝·S△ABC·PA＝.
(2)在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N.在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM.
INCLUDEPICTURE"4S79.TIF"
由PA⊥平面ABC知PA⊥AC，所以MN⊥AC.
由于BN∩MN＝N，故AC⊥平面MBN.
又BM?平面MBN，所以AC⊥BM.
在Rt△BAN中，AN＝AB·cos∠BAC＝，
从而NC＝AC－AN＝.
由MN∥PA，得＝＝.
13.(1)证明　∵AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°
∴∠ACB＝60°.
又CD平分∠ACB，知∠BCD＝∠ACD＝30°，
则CD＝2.
在△DCE中，CE＝4，∠DCE＝30°，
∴DE2＝CE2＋CD2－2CE·CD·cos 30°＝4，则DE＝2.
从而CD2＋DE2＝EC2，因此DE⊥DC.
又∵平面BCD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，DE?平面ACD
∴DE⊥平面BCD.
(2)解　EF∥平面BDG，EF?平面ABC，平面ABC∩平面BDG＝BG，
∴EF∥BG.
∵点E在线段AC上，CE＝4，点F是AB的中点，
∴AE＝EG＝CG＝2.
INCLUDEPICTURE"P10.TIF"
如图，作BH⊥CD于H.
∵平面BCD⊥平面ACD，
∴BH⊥平面ACD.
由条件得BH＝，
S△DEG＝S△ACD＝×AC·CD·sin 30°＝，
∴三棱锥B－DEG的体积V＝S△DEG·BH＝××＝.





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