必修3 第三章 古典概型与几何概型 同步测试题（含答案解析）

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必修3　古典概型与几何概型 训练测试题
1.若在区间上随机取一个数x，则cos x的值介于0到之间的概率为(　　)
A. B. C. D.
2.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(　　)
A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7
3.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为(　　)
A. B. C. D.
4.在面积为1的等边△ABC内取一点P，使△ABP，△ACP，△BCP的面积都小于的概率为(　　)
A. B. C. D.
5.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为(　　)
A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3
6.三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法.如图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现向圆中随机投掷一个点，则该点落在正六边形内的概率为(　　)
INCLUDEPICTURE"P12.TIF"
A. B. C. D.
7.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　)
A. B. C. D.
8.已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP－ABC＜VS－ABC的概率是(　　)
A. B. C. D.
9.点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为________.

10.从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是________.

11.某同学同时掷两枚骰子，得到点数分别为a，b，则双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e>的概率是________.

12.关于x，y的不等式组所表示的平面区域记为M，不等式(x－4)2＋(y－3)2≤1所表示的平面区域记为N，若在M内随机取一点，则该点取自N的概率为________.
13.已知关于x的一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0.
(1)若a，b分别是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；
(2)若a∈[2，6]，b∈[0，4]，求方程没有实根的概率.




14.某省会城市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学子的高度赞誉，在第二季“名师云课”中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：
点击量 [0，1 000] (1 000，3 000] (3 000，＋∞)
节数 6 18 12
(1)现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3 000的节数；
(2)为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间[0，1 000]内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(1 000，3 000]内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3 000，则不需要剪辑，现从(1)中选出的6节课中任意选出2节课进行剪辑，求剪辑时间为40分钟的概率.






答案解析
1.解析　由0≤cos x≤，且x∈得－≤x≤－或≤x≤，
∴由几何概型的概率p＝.
答案　A
2.解析　由题意可知不用现金支付的概率为1－(0.15＋0.45)＝0.4.
答案　B
3.解析　分别用A，B，C表示齐王的上、中、下等马，用a，b，c表示田忌的上、中、下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛有Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc共9种情况，其中田忌的马获胜的有Ba，Ca，Cb共3种情况，所以田忌的马获胜的概率为.
答案　A
4.解析　如图所示，作△ABC的中位线DE，DF，EF，则点P落在△DEF中时，满足题意，记“△ABP，△ACP，△BCP的面积都小于”为事件A，则P(A)＝＝.
INCLUDEPICTURE"P11.TIF"
答案　D
5.解析　设2名男同学为a，b，3名女同学为A，B，C，从中选出两人的情形有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共10种，都是女同学的情形有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3种.
故所求概率为＝0.3.
答案　D
6.解析　设圆的半径为r，则圆的面积S圆＝πr2，正六边形的面积S正六边形＝6××r2×sin 60°＝r2，
所以向圆中随机投掷一个点，该点落在正六边形内的概率p＝＝＝.
答案　A
7.解析　从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：
INCLUDEPICTURE"P13.TIF"
基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，
∴所求概率p＝＝.
答案　D
8.解析　由题意知，当点P在三棱锥的中截面A′B′C′以下时，则满足VP－ABC∴事件“VP－ABCINCLUDEPICTURE"5S152.TIF"
答案　A
9.解析　如图，可设与的长度等于1，则由几何概型可知其整体事件是其周长3，则其概率是.
INCLUDEPICTURE"P14.TIF"
答案　
10.解析　从2，3，8，9中任取两个数分别记为(a，b)，则有(2，3)，(3，2)，(2，8)，(8，2)，(2，9)，(9，2)，(3，8)，(8，3)，(3，9)，(9，3)，(8，9)，(9，8)，共12种情况，其中符合logab为整数的有log39和log28两种情况，所以p＝＝.
答案　
11.解析　由e＝>，得b>2a.
当a＝1时，b＝3，4，5，6四种情况；
当a＝2时，b＝5，6两种情况，总共有6种情况.
又同时掷两枚骰子，得到的点数(a，b)共有36种情况.
所以所求事件的概率p＝＝.
答案　
12.解析　关于实数x，y的不等式组所表示的平面区域记为M，面积为×4×4＝8.
不等式(x－4)2＋(y－3)2≤1所表示的区域记为N，且满足不等式组的面积为π，
在M内随机取一点，则该点取自N的概率为＝.
答案　
13.解　(1)基本事件总数为36，方程有两正根等价于
即
设“方程有两个正根”为事件A，则事件A包含的基本事件为(5，3)，(6，1)，(6，2)，(6，3)共4个，故P(A)＝＝.
(2)基本事件全体Ω＝{(a，b)|2≤a≤6，0≤b≤4}，其面积为S(Ω)＝16.
设“方程无实根”为事件B，则B＝{(a，b)|2≤a≤6，0≤b≤4，(a－2)2＋b2<16}，其面积S(B)＝×π×42＝4π，
故P(B)＝＝＝.
14.解　(1)根据分层抽样，从36节云课中选出6节课，其中点击量超过3 000的节数为×12＝2.
(2)在(1)中选出的6节课中，点击量在区间[0，1 000]内的有1节，点击量在区间(1 000，3 000]内有3节，点击量超过3 000的有2节.
设点击量在区间[0，1 000]内的1节课为A1，点击量在区间(1 000，3 000]内的3节课分别为B1，B2，B3，点击量超过3 000的2节课分别为C1，C2.
从中选出2节课的情况有A1B1，A1B2，A1B3，A1C1，A1C2，B1B2，B1B3，B1C1，B1C2，B2B3，B2C1，B2C2，B3C1，B3C2，C1C2，共15种，其中剪辑时间为40分钟的情况有A1C1，A1C2，B1B2，B1B3，B2B3，共5种.
则剪辑时间为40分钟的概率p＝＝.






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