(共37张PPT)
第六章 平行四边形
1 平行四边形的性质
第1课时
【知识再现】
1.在同一平面内,由几条线段_____________相接所得到
的图形叫多边形,其中由三条线段组成的叫___________,
由四条线段组成的叫___________.?
首尾顺次
三角形
四边形
2.平面内___________的两条直线叫做平行线,两条线段
平行是指它们所在_________平行.?
不相交
直线
【新知预习】 阅读教材P135-137:
1.平行四边形的概念及表示方法
(1)平行四边形:两组对边分别_________的四边形.?
(2)四边形ABCD是平行四边形,记作“__________”.?
(3)平行四边形的对角线:平行四边形___________的两
个顶点连成的线段.?
平行
?ABCD
不相邻
2.平行四边形的性质
(1)平行四边形的中心对称性: 平行四边形是中心对称
图形,_____________________是它的对称中心.?
(2)平行四边形的边:对边_______________.?
(3)平行四边形的角:对角_________,邻角_________.?
两条对角线的交点
平行且相等
相等
互补
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.(2019·润州区月考)如图,在?ABCD中,AD=4 cm,AB=
2 cm,则?ABCD的周长是 ( )
A
A.12 cm B.10 cm
C.8 cm D.6 cm
2.在平行四边形ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D的可能情
况是 ( )
A.2∶7∶2∶7 B.2∶2∶7∶7
C.2∶7∶7∶2 D.2∶3∶4∶5
A
知识点一 平行四边形的对边相等(P136例1拓展)
【典例1】 (2018·济南中考)如图,在?ABCD中,连接BD,E是DA延长线上的点,F是BC延长线上的点,且AE=CF,连接EF交BD于点O.求证:OB=OD.
【规范解答】∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC, …………平行四边形的性质
∴∠ADB=∠CBD, ……平行线的性质
又∵AE=CF,
∴AE+AD=CF+BC,
∴ED=FB, ……等量代换
又∵∠EOD=∠FOB, ……对顶角相等
∴△EOD≌△FOB, ……AAS
∴OB=OD. ……全等三角形的性质
【题组训练】
1.如图,在?ABCD中,已知AC=4 cm,若△ACD的周长为
13 cm,则?ABCD的周长为 ( )
D
A.26 cm B.24 cm C.20 cm D.18 cm
★2.如图,?ABCD在平面直角坐标系中,A(-2,0),B(4,0),
C(3,5),则点D的坐标为___________.?
(-3,5)
★★3.(2018·青海中考)如图,在平行四边形ABCD中,E为AB边上的中点,连接DE并延长,交CB的延长线于点F.
(1)求证:AD=BF.
(2)若平行四边形ABCD的面积为32,试求四边形EBCD的面积. .
解:(1)∵E是AB边上的中点,∴AE=BE.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,
∴∠ADE=∠F.在△ADE和△BFE中,∠ADE=∠F,∠DEA=∠FEB,AE=BE,
∴△ADE≌△BFE.∴AD=BF.
(2)过点D作DM⊥AB交BA的延长线于点M,
则DM同时也是平行四边形ABCD的高.
∴S△AED= × AB·DM= AB·DM= ×32=8,
∴S四边形EBCD=32-8=24.
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平行四边形的边的性质
(1)位置关系:对边_____.?
(2)数量关系:对边_____.?
(3)应用:应用平行四边形对边的性质证明三角形_____
或进行有关计算.?
平行
相等
全等
知识点二 平行四边形的对角相等
(P137随堂练习第2题拓展)
【典例2】如图,平行四边形ABCD中,E,F分别是边BC,AD的中点,求证:∠ABF=∠CDE.
【尝试解答】在?ABCD中,
AD=_______,∠A=________,?
…………平行四边形的性质
∵E,F分别是边BC,AD的中点,∴AF=_______,?
BC
∠C
CE
∴△ABF≌ __________, ……SAS?
∴∠ABF=__________, ……全等三角形的性质?
△CDE
∠CDE
【学霸提醒】
平行四边形角的性质
(1)平行四边形的对角相等,邻角互补.
(2)平行四边形+角平分线→角相等→等腰三角形.
【题组训练】
1.在下列性质中,平行四边形不一定具有的是 ( )
A.对边相等 B.对边平行
C.对角互补 D.内角和为360°
C
★2.(2019·淮安洪泽区期中)已知?ABCD中,∠A+∠C
=240°,则∠B的度数是 ( )
A.100° B.60°
C.80° D.160°
B
★3.如图,在?ABCD中,AC=BC,AE⊥DC于点E,若∠B=65°,
则∠CAE的度数为_________.?
25°
【火眼金睛】
如图,在?ABCD中,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.若DE=
4 cm,DF=6 cm,平行四边形的周长为40 cm,求平行四边形的面积.
正解:设AB的长为x cm,
则BC的长为(20-x)cm,
根据题意得:4x=6(20-x),
解得:x=12,
∴S?ABCD=12×4=48(cm2).
【一题多解】
已知:如图,E,F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点,AE=CF.
求证:BE=DF.
证明:方法一:(证△ADF≌△CBE)
∵AE=CF,
∴AE+EF=CF+FE,即AF=CE.
又四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=CB,AD∥BC.
∴∠DAF=∠BCE.
在△ADF与△CBE中,
∴△ADF≌△CBE(SAS).
∴BE=DF.
方法二:(证△ABE≌△CDF)
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∴∠BAE=∠DCF,
在△ABE与△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(SAS).
∴BE=DF.
【核心点拨】根据平行四边形的性质很容易得到有关三角形边角之间的相等关系,因此在平行四边形中所分割出的三角形往往全等.
(共50张PPT)
1 平行四边形的性质
第2课时
【知识再现】
1.平行四边形是中心对称图形,_______________是对称
中心.?
2.平行四边形对边_______________.?
3.平行四边形对角_________,邻角_________.?
对角线交点
平行且相等
相等
互补
【新知预习】 阅读教材P137-139,思考问题,归纳结
论:
动手操作:如图,?ABCD对角线相交于点O,
量一量OA,OB,OC,OD的长度,可以发现:
OA=_______,?OB=_______.?
OC
OD
思考探究:?ABCD是中心对称图形,对称中心是点O,A和C
是对应点,B和D是对应点,根据“对应点到对称中心的
距离相等”,也可得到:OA=_______,OB=_______.?
OC
OD
归纳结论:
平行四边形的对角线_____________.?
进而还可得到:
(1)平行四边形的一条对角线将平行四边形分成两个三
角形,两个三角形_________.?
互相平分
全等
(2)平行四边形的两条对角线将平行四边形分成___个三
角形,其中_____的两个三角形全等.?
四
相对
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.如图所示,在?ABCD中,AC,BD相交于点O,则下列结论
中错误的是 ( )
D
A.OA=OC
B.∠ABC=∠ADC
C.AB=CD
D.AC=BD
2.如图,在?ABCD中,AB=6,AC=10,BD=16,求△COD的周长.
略
知识点一 平行四边形的对角线互相平分
(P138例2拓展)
【典例1】(2018·淮安中考)已知:如图,?ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线分别与AD,BC相交于点E,F,求证:AE=CF.
【尝试解答】∵四边形ABCD是_______________,?
∴AD∥BC,OA=OC, …………平行四边形的性质
∴∠OAE=__________. …………平行线的性质?
在△OAE和△OCF中,
平行四边形
∠OCF
∴ ______≌ ______. ………证三角形全等?
∴AE=CF. …………全等三角形的性质
△OAE
△OCF
【学霸提醒】
平行四边形对角线的性质
平行四边形的两条对角线交于一点,这个点是平行四边形的中心,也是两条对角线的中点,平行四边形被对角线分成的四部分的面积相等,并且经过中心的任意一条直线可将平行四边形分成完全重合的两个图形.
【题组训练】
1.(2019·盐城东台市期中)已知平行四边形一边是
10 cm,两条对角线长分别是x cm,y cm,则x,y的取值可
能是 ( )
A.8,12 B.4,24
C.8,18 D.6,14
C
★2.(2019·遂宁中考)如图,?ABCD中,对角线AC,BD相
交于点O,OE⊥BD交AD于点E,连接BE,若?ABCD的周长为
28,则△ABE的周长为 ( )
D
A.28 B.24 C.21 D.14
★★3.如图,?ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BC,
垂足为点E,AB= ,AC=2,BD=4,则AE=______.
★★4.如图,?ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在AC上,且AF=CE.
求证:BE=DF.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OD=OB,
∵AF=CE,
∴OE=OF,
在△BEO和△DFO中,
∴△BEO≌△DFO,
∴BE=DF.
知识点二 综合应用平行四边形的性质
(P139习题6.2T3拓展)
【典例2】(2018·黄冈中考)如图,在?ABCD中,分别以边BC,CD作等腰△BCF,△CDE,使BC=BF,CD=DE,∠CBF=
∠CDE,连接AF,AE.
(1)求证:△ABF≌△EDA.
(2)延长AB与CF相交于G.若AF⊥AE,求证:BF⊥BC.
【规范解答】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,∠ABC=∠ADC,……平行四边形的性质
∵BC=BF,CD=DE,
∴BF=AD,AB=DE, …………等量代换
∵∠ADE+∠ADC+∠EDC=360°,∠ABF+∠ABC+∠CBF=
360°, ………………周角的性质
∠EDC=∠CBF,
∴∠ADE=∠ABF,
∴△ABF≌△EDA. ……………… SAS
(2)延长FB交AD于H.
∵AE⊥AF,
∴∠EAF=90°, …………垂直的定义
∵△ABF≌△EDA,
∴∠EAD=∠AFB, …………三角形全等的性质
∵∠EAD+∠FAH=90°,
∴∠FAH+∠AFB=90°, …………等量代换
∴∠AHF=90°,即FB⊥AD,
∵AD∥BC,
∴FB⊥BC. …………平行线的性质
【学霸提醒】
平行四边形性质的应用
【题组训练】
1.(2019·柳州中考)如图,在?ABCD中,全等三角形的对
数共有 ( )
C
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
★2.如图,在?ABCD中,∠DAB的平分线交CD于点E,交BC
的延长线于点G,∠ABC的平分线交CD于点F,交AD的延长
线于点H,AG与BH交于点O,连接BE,下列结论错误的是( )
D
A.BO=OH B.DF=CE
C.DH=CG D.AB=AE
★3.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=5,BC=12,点D在
BC上,以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中,DE的最
小值是______.?
5
★★4.如图,在平行四边形ABCD中,点O是对角线AC的中
点,点E是BC上一点,且AB=AE,连接EO并延长交AD于点F.
过点B作AE的垂线,垂足为H,交AC于点G.
(1)若AH=3,HE=1,求△ABE的面积.
(2)若∠ACB=45°,求证:DF= CG.
解:(1)∵AH=3,HE=1,
∴AB=AE=4,
又∵在Rt△ABH中,
BH=
∴S△ABE= AE×BH= ×4×
(2)略
【火眼金睛】
?ABCD的周长为56 cm,对角线AC,BD交于点O,△ABO与△BCO的周长相差4 cm,则AD= cm.?
正解:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AO=CO,AB=DC,AD=BC,
又∵?ABCD的周长为56 cm,
∴AB+BC=28 cm,
∵△ABO与△BCO的周长相差4 cm,
∴AB-BC=4 cm,或BC-AB=4 cm,
∴AB=16 cm,BC=12 cm,
或AB=12 cm,BC=16 cm,
∴AD=BC=12 cm或16 cm.
答案:12或16
【一题多变】
如图,在?ABCD中,E为边CD上一点,将△ADE沿AE折叠至△AD′E处,AD′与CE交于点F.若∠B=52°,∠DAE=20°,求∠FED′的大小.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠D=∠B=52°,
由折叠的性质得:∠D′=∠D=52°,
∠EAD′=∠DAE=20°,
∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°,
∠AED′=180°-∠EAD′-∠D′=108°,
∴∠FED′=108°-72°=36°.
【母题变式】
【变式一】(变换条件)如图,在?ABCD中,E为边AD上的一点,将△DEC沿CE折叠至△D′EC处,若∠B=48°,
∠ECD=25°,求∠D′EA的度数.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠D=∠B=48°,
由翻折变换的性质得:∠D′=∠D=48°,
∠D′EC=∠DEC=180°-∠D-∠ECD=107°,
∴∠AEC=180°-∠DEC=73°,
∴∠D′EA=∠D′EC-∠AEC=34°.
【变式二】(变换条件、问法)如图,将?ABCD折叠,使点A与点C重合,折痕为EF.若∠A=60°,AD=4,AB=6,求AE的长.
解:作CM⊥AB于点M,如图所示:
则∠M=90°,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC=AD=4,BC∥AD,
∴∠CBM=∠A=60°,
∴BM= BC= ×4=2,
CM=
设AE=x,则BE=6-x,EM=8-x,
∵CE2=CM2+EM2,
∴x2=(2 )2+(8-x)2,
解得:x= ,
∴AE= .
