(共52张PPT)
2 平行四边形的判定
第1课时
【知识再现】
1.平行四边形:两组对边分别_________的四边形叫做平
行四边形.?
2.平行四边形的性质定理:
(1)平行四边形的对边_________;?
平行
相等
(2)平行四边形的对角_________;?
(3)平行四边形的对角线_____________. ?
相等
互相平分
【新知预习】 阅读教材P140-142,完成探究过程,归
纳有关结论:
1.猜想:用两根长30 cm的木条和两根长
20 cm的木条作为四边形的四条边,能
否拼成一个平行四边形?
验证:连接BD,
∴△ABD≌ ______(SSS).∴∠1=____,∠2=____.?
∴AB∥_______,AD∥_______,?
△CDB
∠3
∠4
CD
CB
∴四边形ABCD是平行四边形.
结论:两组对边_____________的四边形是平行四边形.
几何语言: ∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边
形.?
分别相等
2.猜想:将两根同样长的木条AB,CD平行放置,再用木条AD,BC加固,得到的四边形ABCD是平行四边形吗?
验证:连接AC.∵AB∥CD,∴∠1=________.?
又AB=_______,AC=_______,?
∴△ABC≌__________(SAS),∴BC=_______,?
∴四边形ABCD的两组对边分别相等,它是平行四边形.
∠2
CD
CA
△CDA
DA
结论:一组对边_______________的四边形是平行四边
形.?
几何语言: ∵AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边
形.
平行且相等
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,要使四边形ABCD是
平行四边形,下列添加的条件不正确的是 ( )
B
A.AB=CD B.BC=AD
C.∠A=∠C D.BC∥AD
2.在四边形ABCD中,若AD=8,AB=4,那么当BC=______,
CD=______时,四边形ABCD是平行四边形.?
8
4
3.如图,点C是AB的中点,AD=CE,CD=BE.
(1)求证:△ACD≌△CBE.
(2)连接DE,求证:四边形CBED是平行四边形.
略
知识点一 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
(P140内容拓展)
【典例1】(2018·绍兴中考)如图1,窗框和窗扇用
“滑块铰链”连接,图3是图2中“滑块铰链”的平面示
意图,滑轨MN安装在窗框上,托悬臂DE安装在窗扇上,交
点A处装有滑块,滑块可以左右滑动,支点B,C,D始终在一直线上,延长DE交MN于点F.已知AC=DE=20 cm,AE=CD
=10 cm,BD=40 cm.
(1)窗扇完全打开,张角∠CAB=85°,求此时窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数.
(2)窗扇部分打开,张角∠CAB=60°,求此时点A,B之间
的距离(精确到0.1 cm).
(参考数据: ≈1.732, ≈2.449)
【规范解答】(1)∵AC=DE=20 cm,AE=CD=10 cm,
∴四边形ACDE是平行四边形,
…………平行四边形的判定
∴AC∥DE, …………平行四边形的性质
∴∠DFB=∠CAB, …………平行线的性质
∵∠CAB=85°,
∴∠DFB=85°.
(2)作CG⊥AB于点G,
∵AC=20 cm,∠CGA=90°,∠CAB=60°,
∴AG= AC=10 cm,
………………30°角的直角三角形的性质
CG= cm, ……勾股定理
∵BD=40 cm,CD=10 cm,
∴CB=30 cm,
∴BG= (cm),
………………勾股定理
∴AB=AG+BG=10+10 ≈10+10×2.449=34.49≈
34.5(cm),即A,B之间的距离约为34.5 cm.
【题组训练】
1.顺次连接平面上A,B,C,D四点得到一个四边形,从
①AB∥CD;②BC=AD;③∠A=∠C;④∠B=∠D四个条件中
任取其中两个,可以得出“四边形ABCD是平行四边形”
这一结论的情况共有 ( )
A.5种 B.4种 C.3种 D.1种
C
★2.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,要使四边形ABCD成
为平行四边形,则应增加的条件是 ( )
B
A.AB=CD B.∠BAD=∠DCB
C.AC=BD D.∠ABC+∠BAD=180°
★3.如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD上的
点,且EF∥BC,DE∥BF,则图中共有______个平行四边
形.(平行四边形ABCD除外) .?
3
★★4.(2019·盐城东台市月考)如图,已知△ABC,分别以△ABC的三边为边在△ABC的同侧作三个等边三角形:△ABE,△BCD,△ACF,求证:四边形DEAF是平行四边形.
证明:∵△ABE,△BDC都是等边三角形,
∴BE=AB,BD=BC,∠EBA=∠DBC=60°,
∴∠DBE=60°-∠DBA,∠ABC=60°-∠DBA,
∴∠DBE=∠ABC,在△DBE和△ABC中,
∴△DBE≌△CBA(SAS),∴DE=AC,
又∵△ACF是等边三角形,∴AC=AF,∴DE=AF.
同理可得:△ABC≌△FDC,∴DF=AB=AE.
∵DE=AF,EA=DF,∴四边形DEAF为平行四边形.
【我要做学霸】
从两边的角度证明平行四边形的方法
(1)两组对边分别_________的四边形是平行四边形.
(2)两组对边分别_____的四边形是平行四边形.?
平行
相等
知识点二 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
(P141例1拓展)
【典例2】(2018·孝感中考)如图,B,E,C,F在一条直线上,已知AB∥DE,AC∥DF,BE=CF,连接AD.求证:四边形ABED是平行四边形.
【尝试解答】∵AB∥DE,AC∥DF,
∴∠B=______,∠ACB=____, ……平行线的性质?
∵BE=CF,
∴BE+_______=CF+_______, …………等式性质?
∴BC=EF.
∠DEF
∠F
CE
CE
∴△ABC≌ __________, …………ASA,?
∴AB=_______, …………全等三角形的性质?
△DEF
DE
又∵AB∥DE,∴四边形ABED是平行四边形.
………………平行四边形的判定
【学霸提醒】
从边的角度判定平行四边形的“两点注意”
(1)已知两组对边:可以通过判定这两组对边分别平行,也可以通过判定这两组对边分别相等来证明四边形是平行四边形.
(2)已知一组对边:需要证明这一组对边平行且相等.
【题组训练】
1.四边形ABCD中,AB=CD,AB∥CD,则下列结论中错误的
是 ( )
A.∠A=∠C B.AD∥BC
C.∠A=∠B D.对角线互相平分
C
★2.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥CB,且AD>BC,BC=
6 cm,动点P,Q分别从A,C同时出发,P以1 cm/s的速度由
A向D运动,Q以2 cm/s的速度由C向B运动,则______秒后
四边形ABQP为平行四边形. .?
2
★★3.(2019·哈尔滨南岗区月考)如图,BD是△ABC的角平分线,点E,F分别在BC,AB上,且DE∥AB,BE=AF.求证:四边形ADEF是平行四边形.
证明:∵BD是△ABC的角平分线,
∴∠ABD=∠DBE,
∵DE∥AB,
∴∠ABD=∠BDE,
∴∠DBE=∠BDE,∴BE=DE.
∵BE=AF,∴AF=DE,
∵AF∥OE,
∴四边形ADEF是平行四边形.
【火眼金睛】
在平行四边形ABCD中,点E,F分别为一组对边的中点,则图中有几个平行四边形?并写出.
正解:有6个平行四边形,分别为:?ABFE,?EFCD,?ABCD,
?AFCE,?BFDE,?MFNE.
【一题多解】
如图,在?ABCD中,点E,F在对角线AC上,且AE=CF.求证:四边形DEBF是平行四边形.
证明:方法一:(利用两组对边分别相等)
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥CB,AD=CB,
∴∠DAE=∠BCF.
在△ADE和△CBF中,
∴△ADE≌△CBF,
∴DE=BF,
同理可得,△ABE≌△CDF,
∴BE=DF,
∴四边形DEBF是平行四边形.
方法二:(利用一组对边平行且相等)
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥CB,AD=CB,
∴∠DAE=∠BCF.
在△ADE和△CBF中,
∴△ADE≌△CBF,
∴DE=BF,∠ADE=∠CBF,
∵∠DEF=∠DAE+∠ADE,
∠BFE=∠BCF+∠CBF,
∴∠DEF=∠BFE,
∴DE∥BF,
又∵DE=BF,
∴四边形DEBF是平行四边形.
【核心点拨】根据已知平行四边形判定另一个平行四边形的一般思路是:平行四边形的性质→对应元素相等→三角形全等→对应元素相等→平行四边形的判定.
(共32张PPT)
2 平行四边形的判定
第2课时
【知识再现】
1.两组对边_____________的四边形是平行四边形.?
2.两组对边_____________的四边形是平行四边形.?
3.一组对边_______________的四边形也是平行四边
形.?
分别平行
分别相等
平行且相等
【新知预习】 阅读教材P143-144,完成探究过程,归纳有关结论:
1.验证:在△AOB和△COD中,
∴△AOB≌__________(SAS),?
∴∠BAO=__________,AB=_______.?
∴AB∥_______,?
∴四边形ABCD是平行四边形.
△COD
∠OCD
CD
CD
2.结论:对角线_____________的四边
形是平行四边形.?
几何语言:∵OA=_______,OB=_______,?
∴四边形ABCD是平行四边形.
互相平分
OC
OD
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.若AC=10,BD=8,AC与BD相交于点O,那么当AO=______,
DO=______时,四边形ABCD是平行四边形.?
5
4
2.已知:如图,在?ABCD中,E,F为对角线BD上的两点,且DF=BE,分别连接AE,EC,CF,AF.求证:四边形AECF是平行四边形.
略
知识点 对角线互相平分的四边形是平行四边形
(P144例2拓展)
【典例】(2019·德州期末)如图,已知G,H是△ABC的边AC的三等分点,GE∥BH,交AB于点E,HF∥BG交BC于点F,延长EG,FH交于点D,连接AD,DC,设AC和BD交于点O,求证:四边形ABCD是平行四边形.
【尝试解答】∵GE∥BH,HF∥BG,
∴四边形_________是平行四边形,?
………………………………两组对边分别平行的四
边形是平行四边形
∴OB=_______,OG=_______,?
…………平行四边形对角线互相平分
BHDG
OD
OH
∵G,H是△ABC的边AC的三等分点,
∴AG=GH=_______,?
∴OG+_______=OH+_______, …………等式性质?
∴OA=_______,?
∴四边形ABCD是平行四边形.
…………对角线互相平分的四边形是平行四边形
CH
AG
CH
OC
【学霸提醒】
判定平行四边形的方法选择
已知条件 证明思路
一组对边相等 1.另一组对边也相等
2.相等的边也平行
一组对边平行 1.另一组对边也平行
2.平行的边也相等
对角线相交 对角线互相平分
【题组训练】
1.如图,已知D是△ABC的边AB上一点,CE∥AB,DE交AC于点O,且OA=OC.求证:四边形ADCE是平行四边形.
证明:∵CE∥AB,
∴∠ADE=∠CED,
在△AOD与△COE中,
∴△AOD≌△COE,∴OD=OE,
∴四边形ADCE是平行四边形.
★2.(2019·无锡梁溪区一模)如图,在△ABC中,D是AB边上任意一点,E是BC边中点,CF∥AB,交DE的延长线于点F,连接BF,CD.求证:四边形CDBF是平行四边形.
证明:∵CF∥AB,∴∠ECF=∠EBD,
∵E是BC的中点,∴CE=BE,
∵∠CEF=∠BED,
∴△CEF≌△BED(ASA),
∴EF=ED
∴四边形CDBF是平行四边形.
★★3.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD交于点P,过点P作直线交AD于点E,交BC于点F.若PE=PF,且AP+AE=CP+CF.
.
(1)求证:PA=PC.
(2)若AD=12,AB=15,∠DAB=60°,求四边形ABCD的面积.
解:(1)在PA和PC的延长线上分别取点M,N,使AM=AE,CN=CF.连接EM,FN,
∵AP+AE=CP+CF,∴PN=PM.
∵PE=PF,∴四边形EMFN是平行四边形.
∴ME=FN,∠EMA=∠CNF.
又∵∠AME=∠AEM,∠CNF=∠CFN,
∴△EAM≌△FCN.∴AM=CN.
∵PM=PN,∴PA=PC.
(2)略
【一题多变】
已知:如图,在?ABCD中,对角线AC,BD
相交于点O,直线EF过点O,分别交AD,
BC于点E,F,直线GH过点O,分别交AB,
CD于点G,H.求证:四边形EGFH是平行四边形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,BO=DO,AD∥BC,
∴∠AEO=∠CFO,
在△AEO和△CFO中,
∴△AEO≌△CFO(AAS),∴EO=FO,
同理可得:△BGO≌△DHO,
∴GO=HO,
∴四边形EGFH是平行四边形.
【母题变式】
(变换条件)如图,已知:?ABCD中,对角线AC,BD相交于O,线段EF过点O且分别交AD,BC于E,F点.求证:四边形AFCE是平行四边形.
略
【一题多解】
已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E是BC的中点,直线AE交DC的延长线于点F.求证:四边形ABFC是平行四边形.
证明:方法一:(根据对角线互相平分)
∵AB∥CD,∴∠BAE=∠CFE,
∵E是BC的中点,∴BE=CE,
在△ABE和△FCE中,
∴△ABE≌△FCE(AAS),
∴AE=EF,又∵BE=CE,
∴四边形ABFC是平行四边形.
方法二:(根据一组对边平行且相等)
∵AB∥CD,∴∠BAE=∠CFE,
∵E是BC的中点,∴BE=CE,
在△ABE和△FCE中,
∴△ABE≌△FCE(AAS),∴AB=FC,
又∵AB∥CD,∴四边形ABFC是平行四边形.
【核心点拨】当四边形的两条对角线具备时,判定平行四边形的思路比较灵活,既可以根据对角线互相平分,又可以根据两组对边平行或相等.
(共33张PPT)
2 平行四边形的判定
第3课时
【知识再现】
1.点到直线的距离:从直线外一点到这条直线的_______
的长度,叫做这点到这条直线的距离.?
2.平行四边形的性质:(1)边:对边_______________;
(2)角:对角_________;(3)线:对角线_____________.?
垂线段
平行且相等
相等
互相平分
3.平行四边形的判定:(1)边:两组对边_________的四边
形,两组对边_________的四边形,一组对边_________
___的四边形,都是平行四边形;(2)角:两组对角_____
_____的四边形是平行四边形;(3)线:对角线_________
的四边形是平行四边形.
分别平行
分别相等
平行且相
等
分别
相等
互相平分
【新知预习】 阅读教材P146-147,完成探究过程,归纳有关结论:
1.操作探究:如图1,在方格纸上画两条互相平行的直线,在其中一条直线上任取若干点,过这些点作另一条直线的垂线,用刻度尺度量出平行线之间的垂线段的长度,它们是否相等?
2.推理证明:如图2,∵AC⊥___,BD⊥___,∴∠1=∠2=
_____,?
∴AC∥_______,∵AB∥_______,∴四边形ACDB是平行
四边形,∴AC=_______.?
CD
CD
90°
BD
CD
BD
3.拓展思考:若垂线段改为夹在两条线段间的平行线段呢?它们是否相等呢?
4.归纳结论:
平行线之间的距离
(1)定义
若两条直线互相_____,则其中一条直线上_____一点到
另一条直线的距离都_____,这个距离称为平行线之间
的距离.?
平行
任意
相等
(2)符号语言
如图,E,N为直线a上任意两点且直线a∥b,
EF⊥b,NM⊥b,垂足分别为F,M,则EF=___.?
(3)夹在两平行线间的平行线段_________.?
MN
相等
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.如图所示,a∥b,直线a与直线b之间的距离是 ( )
A
A.线段PA的长度
B.线段PB的长度
C.线段PC的长度
D.线段CD的长度
2.如图,已知直线AB∥CD,直线EF截AB,CD于点E,F,EG⊥
CD,∠EFD=45°且FG=6,则AB,CD之间的距离为______.?
6
3.已知:如图,在?ABCD中,AE⊥BC,CF⊥AD,垂足分别为点E,F,AE,CF分别与BD相交于点G,H,连接AH,CG.
求证:四边形AGCH是平行四边形.
略
知识点 平行线之间的距离
(P146平行线之间的距离定义拓展)
【典例】
如图,甲船从北岸码头A向南行驶,航速为36千米/时;乙
船从南岸码头B向北行驶,航速为27千米/时.两船均于
7:15出发,两岸平行,水面宽为18.9千米,求两船距离最近时的时刻.
【尝试解答】设x分钟后两船距离最近,
…………………设未知量
当如图EF_______BD,AE______DF时,两船距离?最近,
…………两平行线间的距离
⊥
=
根据题意得出:36x=18.9-27x, ……列方程
解得:x=________, …………解方程?
0.3小时=0.3×60分钟=18(分钟), ……单位换算
则两船距离最近时的时刻为7:33.
0.3
【学霸提醒】
平行线之间的距离概念辨析
注意:平行线之间的距离是指其中一条直线上的点到另一条直线的距离,是垂线段的长度,而不是垂线段.
作法:从其中一条直线上任意找一点,向另一条直线作垂线,垂线段的长度即平行线之间的距离.
【题组训练】
1.已知直线m∥n,点A在m上,点B,C,D在n上,且AB=4 cm,
AC=5 cm,AD=6 cm,则m与n之间的距离 ( )
A.等于5 cm B.等于6 cm
C.等于4 cm D.小于或等于4 cm
D
★2.在同一平面内的三条直线a,b和c,如果a∥b,a与b
的距离是2 cm,并且b上的点P到直线c的距离也是2 cm,
那么b与c的位置关系是.( )
A.平行 B.相交 C.垂直 D.不一定
D
★★3.(2019·上海浦东新区期中)如图,AD∥BC,AC,BD
交于点E,三角形ABE的面积等于2,三角形CBE的面积等
于3,那么三角形DBC的面积等于______.?
5
★★4.如图,在?ABCD中,AE⊥BD,CF⊥BD,E,F分别为垂足.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形.
(2)如果AE=3,EF=4,求AF,EC所在直线的距离.
解:(1)∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AED=∠CFB=90°,∴AE∥CF,
在?ABCD中,∵AD∥BC,∴∠ADE=∠CBF,
又∵AD=CB,∴△ADE≌△CBF(AAS),
∴AE=CF,
∴四边形AECF是平行四边形.
(2)在?AECF中,AF∥EC,设AF,EC所在直线的距离为h,
∵AE⊥BD,∴∠AEF=90°,
∴AF= =5,
∵S平行四边形AECF=AE·EF=AF·h,
∴h= =2.4,∴AF,EC所在直线的距离是2.4.
【火眼金睛】
已知直线a∥b,点M到直线a的距离是5 cm,到直线b的距离是3 cm,那么直线a和b之间的距离是 .?
【解析】
正解:如图1,直线a和b之间的距离为:5-3=2(cm);
如图2,直线a和b之间的距离为:5+3=8(cm).
答案:2 cm或8 cm
【一题多变】
如图,l1∥l2,AD∥BC,CD∶CF=2∶1.若△CEF的面积为10,
则四边形ABCD的面积为_______.?
40
【母题变式】
【变式一】(变化条件)如图1,l1∥l2,AB∥CD,BC∶CF
=3∶2.若△CEF的面积是5,则四边形ABCD的面积为
_______.?
15
【变式二】(变化条件、结论)
如图2,在?ABCD中,点E在边AD的延长线上,连接BE,交边
DC于点F,连接CE,设四边形ABFD的面积为S1,△CEF的面
积为S2,若?ABCD的面积为4,则S1-S2的值为______.?
2
