(共54张PPT)
2 直角三角形
第1课时
【知识再现】
1.三角形的分类:锐角三角形,_________三角形,
_________三角形.?
2.直角三角形定义:有一个内角是_________的三角形
叫直角三角形.?
直角
钝角
直角
3.在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所
对的直角边等于斜边的_________.?
一半
【新知预习】 阅读教材P14-16,回答下列问题
1.直角三角形的性质
(1)角:直角三角形的两个锐角_________.?
(2)边:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的
_________.?
互余
平方
2.直角三角形的判定
问题1:勾股定理:直角三角形_____________________
等于_______________;?
它的条件:如果一个三角形是直角三角形;
结论:那么它两条直角边的平方和等于斜边的平方.
两条直角边的平方和
斜边的平方
将勾股定理的条件和结论分别变成结论和条件,其内容
是:
如果___________________________________,那么___
_____________________.
三角形两边的平方和等于第三边的平方
这
个三角形是直角三角形
问题2:证明上述命题:
已知:在△ABC中,AB2+AC2=BC2.
求证:△ABC是直角三角形.
得出定理:如果三角形两边的___________等于第三边
的_________,那么这个三角形是直角三角形.?
平方和
平方
3.互逆命题、逆定理
互逆命题:在两个命题中,如果一个命题的条件和结论
分别是另一个命题的_______________,那么这两个命
题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命
题,相对于逆命题来说,另一个就为原命题.?
结论和条件
互逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是_______
_____,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理.
其中一个定理称为另一个定理的逆定理. ?
真命
题
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.(2019·重庆九龙坡区期中)如图,AC⊥BD,∠1=∠2,
∠D=40°,则∠BAD的度数是 ( )
C
A.85° B.90°
C.95° D.100°
2.下列命题:
①直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方;
②若a>b,则ac2>bc2;
③全等三角形对应角相等;
④直角三角形两锐角互余.
其中原命题与逆命题均为真命题的是 ( )
B
A.①②④ B.①④
C.③④ D.④
3.(2019·北京延庆区期末)直角三角形中,一个锐角等
于另一个锐角的2倍,则较小的锐角是_________.?
30°
知识点一 直角三角形的性质
【典例1】已知等腰三角形ABC的底边BC=20 cm,D是腰
AB上一点,且CD=16 cm,BD=12 cm. .
(1)求证:CD⊥AB.
(2)求该三角形的腰的长度.
【规范解答】(1)∵BC=20 cm,CD=16 cm,BD=12 cm,
∴BD2+CD2=122+162=400,BC2= 400, ……数的运算
∴BD2+CD2=BC2, …………等量代换
∴∠BDC=90°, …………勾股定理逆定理
即CD⊥AB. …………垂直定义
(2)设腰长为x cm,则AD=x-12,
由勾股定理得AD2+CD2=AC2,
即:(x-12)2+162=x2, …………列方程
解得x= , …………方程的解法
∴腰长为 cm.
【学霸提醒】
直角三角形的性质
(1)在求角度时,用到直角三角形两锐角互余,有时利用角平分线或者折叠转化角度.
(2)利用勾股定理,可以已知任意两边求第三边,利用面积相等可以求出斜边上的高;有时结合方程思想解决问题.
【题组训练】
1.在一个直角三角形中,有一个锐角等于35°,则另一
个锐角的度数是 ( )
A.75° B.65° C.55° D.45°
C
★2.(2019·惠州惠城区期末)如图,正方形面积是
( )
A.16 B.8 C.4 D.2
B
★3.(2019·武汉东西湖区期末)在正方形ABCD中,E是
CD上的点.若BE=30,CE=10,求正方形ABCD的面积和对角
线长.
解:连接BD.
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠A=∠C=90°.
在Rt△BCE中,由勾股定理得:
BC2=BE2-CE2=302-102=800.
在Rt△BCD中,由勾股定理得:BD2=BC2+CD2=800+800=
1 600,
∴BD=40,
∴S正方形ABCD=BC2=800.
★★4.如图,直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=12 cm,
BC=5 cm,AB=13 cm,过点C作CD⊥AB于点D.
(1)找出图中相等的锐角,并说明理由.
(2)求出点A到直线BC的距离以及点C到直线AB的距离.
解:(1)∵CD⊥AB(已知),
∴∠CDA=90°,
∴∠A+∠1=90°,
∵∠1+∠2=90°,
∴∠A=∠2(同角的余角相等).
同理可得,∠1=∠B.
(2)点A到直线BC的距离为12 cm.
点C到直线AB的距离为线段CD的长度.
S△ABC= AC×BC= AB×CD.
∵AC=12 cm,BC=5 cm,AB=13 cm,代入上式,解得CD=
cm.
知识点二 勾股定理逆定理的应用
【典例2】若a,b,c为△ABC的三边长,且a,b,c满足等式(a-5)2+(b-12)2+|c-13|=0,求△ABC的面积.
【规范解答】∵(a-5)2+(b-12)2+|c-13|=0,
∴a-5=0,b-12=0,c-13=0, …………非负数的性质
∴a=5,b=12,c=13, …………解一元一次方程
∵52=25,122=144,132=169. …………平方数
∴52+122=132,即a2+b2=c2.
∴△ABC是直角三角形,a,b为直角边,c为斜边. 勾股定
理逆定理
∴S△ABC= ab= ×5×12=30.
…………直角三角形的面积公式
【学霸提醒】
由三边判定直角三角形的“三步法”
1.确定:确定三角形的最大边.
2.计算:算出最大边的平方及其他两边的平方和.
3.判断:根据计算后的数量关系判断三角形的形状.
【题组训练】
1.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是
( )
A.3,4,5 B.2,3,4
C.4,6,7 D.5,11,12
A
★2.若一个三角形的三边长分别为6,8,10,则这个三角
形最长边上的中线长为 ( )
A.3.6 B.4
C.4.8 D.5
D
★3.三角形的三边长a,b,c满足2ab=(a+b)2-c2,则此三
角形的形状是_________三角形. .?
直角
★★4.如图,正方形网格中有△ABC,若小方格边长为1,
请你根据所学的知识,判断△ABC是什么形状?并说明理
由.
解:△ABC是直角三角形.理由如下:
AB2=32+22=13;AC2=82+12=65;
BC2=62+42=52;∴AB2+BC2=AC2,
∴△ABC是直角三角形.
知识点三 互逆命题以及互逆定理
【典例3】下列命题中,与“同旁内角互补,两直线平行”
成为互逆定理的是 ( )
A.同旁内角不互补,两直线平行
B.同旁内角不互补,两直线不平行
C
C.两直线平行,同旁内角互补
D.两直线不平行,同旁内角不互补
【题组训练】
1.“直角都相等”与“相等的角是直角”是 ( )
A.互为逆命题 B.互逆定理
C.公理 D.假命题
A
★2.指出下列命题的逆命题能否成为逆定理:
(1)如果a=b,那么a2=b2.
(2)如果三角形有一个内角是钝角,那么它的另外两个
内角一定是锐角.
(3)如果一个三角形有两个角相等,那么它们所对的边
也相等.
解:(1)逆命题是:如果a2=b2,那么a=b是假命题,故不能成为逆定理.
(2)逆命题是:如果一个三角形的两个内角是锐角,那么三角形另一个角是钝角,是假命题,故不能成为逆定理.
(3)逆命题是:如果一个三角形有两条边相等,那么这两条边所对的两个角相等,是真命题,能成为逆定理.
【火眼金睛】
在Rt△ABC中,BC=3,AB=4,求AC的长.
正解:∵Rt△ABC中,BC=3,AB=4,
∴当AC为斜边时:AC= =5,
当AB为斜边时:AC= ,
故AC的长为5或 .
【一题多变】
如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=BC=2,AD=1,CD=3.
求四边形ABCD的面积.
解:连接AC,
∵∠B=90°,AB=BC=2,∴AC=2 ,
∵AD=1,CD=3,
∴AD2+AC2=12+(2 )2=9,CD2=9,
∴AD2+AC2=CD2,
∴△ADC是直角三角形,∴∠DAC=90°,
在Rt△ABC中,S△ABC= BC·AB= ×2×2=2,
在Rt△ADC中,S△ADC= AD·AC= ×1×2 = ,
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=2+ .
【母题变式】
如图,网格中每个小正方形的边长都是1,且A,B,C,D都在格点上.
(1)求四边形ABCD的面积.
(2)求∠ABC的度数.
略
(共47张PPT)
2 直角三角形
第2课时
【知识再现】
三角形全等的判定方法:SSS,__________,ASA,
________.?
SAS
AAS
【新知预习】 阅读教材P18-19,回答下列问题
探究:“HL”定理.
已知:如图,在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′
=90°,AB=A′B′,BC=B′C′.
求证:Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.
证明:在Rt△ABC中,∵∠C=90°,∴AC2=AB2-BC2(_____
_________).?
同理,A′C′2=A′B′2-B′C′2(_____________).?
∵AB=A′B′,BC=B′C′,∴AC=A′C′.∴Rt△ABC≌
Rt△A′B′C′(________).?
勾
股定理
勾股定理
SSS
归纳:(1)斜边、直角边定理(HL):_________________
_____分别相等的两个直角三角形全等.?
(2)符号语言:如图,在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,
∠C=∠C′=90°,
斜边和一条直角
边
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)
(3)判断两个三角形全等的方法:①________________、
②边角边(SAS)、③______________、④角边角(ASA)、
⑤_____________________.?
边边边(SSS)
角角边(AAS)
斜边、直角边(HL)
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.下列可使两个直角三角形全等的条件是 ( )
A.一条边对应相等 B.两条直角边对应相等
C.一个锐角对应相等 D.两个锐角对应相等
B
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=4,则下
列各图中的直角三角形与Rt△ABC全等的是
( )
A
3.如图,MN∥PQ,AB⊥PQ,点A,D,B,C分别在直线MN和PQ
上,点E在AB上,AD+BC=7,AD=EB,DE=EC,则AB=______.?
7
知识点一 斜边、直角边定理(HL)
【典例1】如图,在△ABC和△DCB中,∠A=∠D=90°,
AC=BD,AC与BD相交于点O.
(1)求证:△ABC≌△DCB.
(2)△OBC是何种三角形?证明你的结论.
【规范解答】(1)在Rt△ABC和
Rt△DCB中,
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL).
……………………直角三角形全等的判定
(2)△OBC是等腰三角形.
理由是:
∵Rt△ABC≌Rt△DCB,∴∠ACB=∠DBC,
………………………………全等三角形对应角相等
∴OB=OC, …………等角对等边
∴△OBC是等腰三角形.
【学霸提醒】
直角三角形全等应用的思路
1.由题目已知中的垂直或直角找出两个直角三角形.
2.分析条件,证明两个直角三角形全等.
3.由全等三角形的性质得角或线段的相等关系.
【题组训练】
1.如图,AB⊥BC于点B,AD⊥DC于点D,若CB=CD,且∠1=
30°,则∠BAD的度数是 ( )
A.90° B.60° C.30° D.15°
B
★2.如图,BE=CF,AE⊥BC,DF⊥BC,要根据“HL”证明
Rt△ABE≌Rt△DCF,则还需要添加一个条件是( )
A.AE=DF B.∠A=∠D
C.∠B=∠C D.AB=DC
D
★★3.如图,已知△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,
且EC⊥AC于点C,AE=BF.试判断AE和BF的位置关系,并说
明理由. .
解:AE⊥BF,理由如下:
∵AE=BF,AB=AC,
∴Rt△ABF≌Rt△CAE(HL),∴∠CAE=∠ABF,
∵∠ABF+∠AFB=90°,
∴∠CAE+∠AFB=90°,
∴∠ADF=90°,即AE⊥BF.
知识点二 直角三角形全等的判定方法
【典例2】如图,AB=12,CA⊥AB于点A,
DB⊥AB于点B,且AC=4 m,P点从B向A运
动,每分钟走1 m,Q点从B向D运动,每分钟走2 m,P,Q两
点同时出发,运动 分钟后△CAP与△PQB全等.?
【规范解答】∵CA⊥AB于点A,DB⊥AB于点B,
∴∠A=∠B=90°, ………… 垂直定义
设运动x分钟后△CAP与△PQB全等;
则BP=x m,BQ=2x m,则AP=(12-x) m,
………………………………未知量设法
分两种情况: ………………………………分类思想
①若BP=AC,则x=4,
AP=12-4=8,BQ=8,AP=BQ, …………线段和差运算
∴△CAP≌△PBQ; …………全等三角形判定
②若BP=AP,则12-x=x,解得:x=6,BQ=12≠AC,此时
△CAP与△PQB不全等;
综上所述:运动4分钟后△CAP与△PQB全等.
答案:4
【题组训练】
1.(2019·广州海珠区模拟)下列判断一定正确的是
( )
A.有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全
等
B.有一个角和一边对应相等的两个直角三角形全等
A
C.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
D.有两边对应相等,且有一个角为30°的两个等腰三角形全等
★2.如图,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点
E,BD和CE交于点O,AO的延长线交BC于点F,则图中全等
的直角三角形有.( )
A.4对 B.5对
C.6对 D.7对
C
★3.如图,已知AB⊥CD,垂足为B,DE⊥AC,若想判定
△ABC≌△DBE,则需要添加的一个条件是___________
________________. .?
DB=AB(或
DE=AC或BE=BC)
★★4.如图:AB=AD,∠ABC=∠ADC=90°,EF过点C,
BE⊥EF于E,DF⊥EF于F,BE=DF.求证:Rt△BCE≌Rt△DCF.
.
证明:连接BD,
∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB,
∵∠ABC=∠ADC=90°,
∴∠CBD=∠CDB,∴BC=DC,
∵BE⊥EF,DF⊥EF,∴∠E=∠F=90°,
在Rt△BCE和Rt△DCF中,
∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL).
【火眼金睛】
已知,如图,在△ABC中,DE⊥AB,DF⊥AC,且DE=DF,求
证:AD平分∠BAC.
正解:∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠AED=∠AFD=90°,
在Rt△AED与Rt△AFD中,
AD=AD,DE=DF,
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL),
∴∠DAE=∠DAF,
∴AD平分∠BAC.
【一题多变】
如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线MN经过点A,
过点B作BD⊥MN于点D,过点C作CE⊥MN于点E.
(1)求证:△ABD≌△CAE.
(2)若BD=12 cm,DE=20 cm,
求CE的长度.
解:(1)∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠CAD=90°,
又∵BD⊥MN,CE⊥MN,
∴∠BDA=∠AEC=90°,∠CAD+∠ACE=90°,
∴∠BAD=∠ACE,又AB=AC,
在△ABD和△CAE中,
∴△ABD≌△CAE(AAS).
(2)∵△ABD≌△CAE,
∴BD=AE,AD=CE,
∵BD=12 cm,DE=20 cm,
∴AE=12 cm,AD=AE+DE=12 cm+20 cm
=32 cm,∴CE=32 cm.
【母题变式】
【变式一】如图(1),在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,
DE是过A的一条直线,且点B,C在DE的同侧,BD⊥DE于D
点,CE⊥DE于E点,
(1)求证:AD=CE. .
(2)求证:DE=CE+BD.
(3)若直线DE绕A点旋转到图(2)位置时,其余条件不变,
问BD,DE,CE之间的数量关系如何?请说明理由.
略
【变式二】在△ABC中,AB=AC,DE是过点A的直线,BD⊥
DE于点D,CE⊥DE于点E.
(1)若B,C在DE的同侧(如图1所示)且AD=CE.
求证:AB⊥AC.
(2)若B,C在DE的两侧(如图2所示),其他条件不变,AB与
AC仍垂直吗?若是请给出证明;若不是,请说明理由.
解:(1)∵BD⊥DE,CE⊥DE,∴∠ADB=∠AEC=90°,
在Rt△ABD和Rt△ACE中,
∵AB=AC,AD=CE,
∴Rt△ABD≌Rt△CAE.∴∠DAB=∠ECA,
∵∠DAB+∠DBA=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°.
∠BAC=180°-(∠BAD+∠CAE)=90°.
∴AB⊥AC.
(2)AB⊥AC.证明如下:
同(1)一样可证得Rt△ABD≌Rt△CAE.
∴∠DAB=∠ECA,
∵∠CAE+∠ECA=90°,
∴∠CAE+∠BAD=90°,即∠BAC=90°,
∴AB⊥AC.
