(共44张PPT)
3 线段的垂直平分线
第1课时
【知识再现】
1.垂直于一条线段,并且_________这条线段的直线,叫
做这条线段的垂直平分线.?
2.线段是_______对称图形,对称轴是线段的_________
_______.?
平分
轴
垂直平
分线
【新知预习】 阅读教材P22页,回答下列问题
探究:如图,直线l垂直平分线段AB,P1,P2,P3,…是直线l
上的点.
①分别测量P1,P2,P3,…到点A和点B的距离,发现:P1A=
P1B,P2A=P2B,P3A=P3B…
②若不用测量的方法,把线段AB沿着直线l对折,发现:
P1A与P1B,P2A与P2B,P3A与P3B…都将重合.
结论:P1,P2,P3,…到点A和点B的距离都_________.?
相等
归纳:
1.线段垂直平分线的性质定理
定理:线段垂直平分线上的点到这条
线段两个端点的距离_________.?
几何语言:∵直线MN⊥AB,且AC=BC,
∴PA=_______.?
相等
PB
2.线段垂直平分线的判定定理
定理:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段
的_______________上.?
垂直平分线
几何语言:∵PA=PB,
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.如图,在四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E,下
列结论不一定成立的是 ( )
C
A.AB=AD
B.AC平分∠BCD
C.AB=BD
D.△BEC≌△DEC
2.如图,在△ABC中,AB=5,AC=6,BC=4,边AB的垂直平分
线交AC于点D,则△BDC的周长是 ( )
A.8 B.9
C.10 D.11
C
3.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,将AB
边沿AD折叠,发现B点的对应点E正好在AC的垂直平分线
上,则∠C=_________.?
30°
知识点一 线段垂直平分线的性质定理
【典例1】如图,已知在△ABC中,DE是BC的垂直平分线,
垂足为E,交AC于点D,若AB=6,AC=9,则△ABD的周长
是 .?
【规范解答】∵DE是BC的垂直平分线,
∴DB=DC, …………线段垂直平分线的性质
∴△ABD的周长=AB+AD+BD
=AB+AD+DC …………等量代换
=AB+AC=15. …………代入求值
答案:15
【学霸提醒】
根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DC,根据三角形的周长公式计算即可.掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.
【题组训练】
1.(2019·昆山一模)如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平
分线,分别交BC,AC于点D,E,连接AD,若△ABD的周长为
16 cm,AB=5 cm,则线段BC的长度等于 ( )
D
A.8 cm B.9 cm C.10 cm D.11 cm
★2.(2019·黄石模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
BC=3,AC=4,AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E,则
DE的长为 ( )
B
★3.(2019·滨州无棣一模)如图,在四边形ABCD中,E为
AB的中点,DE⊥AB于点E,∠A=66°,∠ABC=90°,BC=AD,
则∠C的大小为_________.?
.
78°
★★4.如图,C,D是AB的垂直平分线上两点,延长AC,DB
交于点E,AF∥BC交DE于点F.求证:
(1)AB是∠CAF的平分线.
(2)∠FAD=∠E.
证明:(1)∵点C是AB的垂直平分线上的点,
∴CB=CA,
∴∠CBA=∠CAB,
∵AF∥BC交DE于点F,
∴∠BAF=∠CBA,
∴∠BAF=∠CAB.
即AB是∠CAF的平分线.
(2)∵点D是AB的垂直平分线上的点,
∴DB=DA,
∴∠DBA=∠DAB,
∵∠DBA=∠E+∠CAB,
∠DAB=∠FAD+∠BAF,∠CAB=∠BAF,
∴∠E=∠FAD.
知识点二 线段垂直平分线的判定定理
【典例2】两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形.
如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BC=DC,AC与BD相交于点O,
下列判断正确的有 (填序号).?
①AC⊥BD;②AC,BD互相平分;③CA平分∠BCD.
【规范解答】∵AB=AD,BC=DC,
∴点A,C都在线段BD的垂直平分线上,
……………………线段垂直平分线判定
∴AC⊥BD, …………线段垂直平分线性质
故①正确;②错误.
∵BC=DC,∴△BCD为等腰三角形, …等腰三角形定义
又∵AC垂直平分BD,
∴CA平分∠BCD, …………等腰三角形性质三线合一
故③正确.
答案:①③
【题组训练】
1.如图,在△ABC中,∠B=55°,∠C=30°,分别以点A和
点C为圆心,大于 AC的长为半径画弧,两弧相交于点
M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠BAD的度数为
( )
A
A.65° B.60° C.55° D.45°
★2.如图所示,CD是线段AB的对称轴,与线段AB交于D,
则下列结论中正确的有 ( )
①AD=BD;②AC=BC;
③∠A=∠B;④∠ACD=∠BCD;
⑤∠ADC=∠BDC=90°.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
D
★3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,
(1)作边AB的垂直平分线MN.(保留作图
痕迹,不写作法)
(2)在已知的图中,若MN交AC于点D,连接BD,求∠DBC的
度数.
解:(1)如图:
(2)∵AB的垂直平分线MN交AC于点D,
∴AD=BD,
∵∠A=40°,
∴∠ABD=∠A=40°,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C= (180°-∠A)=70°,
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°.
★★4.如图,在△ABC中,BD是∠ABC的平分线,EF垂直平分BD.
求证:AB∥DF.
证明:∵EF垂直平分BD,
∴FB=FD,∴∠FBD=∠BDF,
∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠FBD,
∴∠ABD=∠BDF,∴AB∥DF.
【火眼金睛】
在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相
交所得到锐角为50°,则∠B等于 .?
正解:根据△ABC中∠A为锐角与钝角,分为两种情况:
①当∠A为锐角时,
∵AB的垂直平分线与AC所在的直线
相交所得到锐角为50°,∴∠A=40°,
∴∠B= =70°;
②当∠A为钝角时,
∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为
50°,∴∠1=40°,∴∠BAC=140°,
∴∠B=∠C= =20°.
答案:70°或20°
【一题多变】
如图,△ABC中,∠BAC=100°,DF,EG分别是AB,AC的垂直
平分线,则∠DAE等于 ( )
A.50° B.45°
C.30° D.20°
D
【母题变式】
【变式一】(变换条件)如图,△ABC中, ∠BAC =70°,
BC=12,NE=3,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直
平分线交BC边于点N.求:∠EAN的度数和△EAN的周长.
.
解:∵∠BAC=70°,
∴∠B+∠C=180°-70°=110°,
∵AB的垂直平分线交BC边于点E,AC的垂直平分线交BC边于点N,
∴EA=EB,NA=NC,
∴∠EAB=∠B,∠NAC=∠C,
∴∠BAC=∠BAE+∠NAC-∠EAN=∠B+∠C-∠EAN,
∴∠EAN=∠B+∠C-∠BAC=110°-70°=40°.
∴△EAN的周长=NA+EA+NE=NC+EB+NE=BC+NE+NE=
12+3+3=18.
【变式二】(变换条件和问法)如图,△ABC中,AB的垂直
平分线交BC于点D,AC的垂直平分线交BC于点E,若∠DAE
=28°,则∠BAC=________°.?
104
(共46张PPT)
3 线段的垂直平分线
第2课时
【知识再现】
线段垂直平分线性质定理:线段垂直平分线上的点到这
条线段两个端点的距离_________.?
线段垂直平分线判定定理:到一条线段两个端点距离相
等的点,在这条线段的_______________上.?
相等
垂直平分线
【新知预习】 阅读教材P24-25,解决以下问题
1.三角形三条边的垂直平分线的性质
探究:利用尺规分别作出锐角三角形、直角三角形、钝
角三角形三边的垂直平分线,说明交点分别在什么位置,
并测量各个交点到三角形顶点的距离.
结论:①锐角三角形三边的垂直平分线交点在_______
_______;直角三角形三边的垂直平分线交点在_______
_____;钝角三角形三边的垂直平分线交点在_________
_____.②三角形三边的垂直平分线交点到三个顶点的
距离_________.?
三角
形内
斜边
上
三角形
外
相等
你发现的规律:三角形三条边的垂直平分线交于_____
_____,且这一点到三角形三个顶点的距离_________.?
一
点
相等
2.利用三角形三条边的垂直平分线的性质尺规作图
已知底边及底边上的高,能用尺规作出等腰三角形;能用尺规过一点作已知直线的垂线.
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.如果三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的
外部,那么这个三角形是 ( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
C
2.如图,已知点O是等腰三角形三边垂直平分线的交
点,AB=AC,且∠A=50°,则∠BOC的度数是__________.?
100°
知识点一 三角形三条边的垂直平分线的性质
【典例1】已知:如图,在△ABC中,边AB,BC的垂直平分
线交于点P.则下列结论一定成立的个数为( )
B
①PA=PB=PC.
②点P在AC的垂直平分线上.
③∠BPC=90°+ ∠BAC.
④∠BAP=∠CAP.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【学霸提醒】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质,掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.
【典例2】如图,点P为△ABC三边垂直平分线的交点,若∠PAC=20°,∠PCB=30°,求∠PAB的度数.
【规范解答】∵P为△ABC三边垂直平分线的交点,
∴PA=PC=PB,
……………………三角形三条边的垂直平分线的性质
∴∠PAC=∠PCA=20°, …………等边对等角
∠PBC=∠PCB=30°, …………等边对等角
∵∠PAB=∠PBA,
∴∠PAB= (180°-2×20°-2×30°)
……………………三角形内角和等于180°
=40°.
【学霸提醒】
利用线段垂直平分线的性质得到PA=PB=PC是解题的关
键.再由等腰三角形的性质证得∠PAC=∠PCA=20°,
∠PBC=∠PCB=30°,由∠PAB=∠PBA,根据三角形的内
角和即可推出结论.
【题组训练】
1.(2019·菏泽牡丹区期中)如图,有A,B,C三个居民小
区,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市
到三个小区的距离相等,则超市应建在 ( )
B
A.AC,BC两边高线的交点处
B.AC,BC两边垂直平分线的交点处
C.AC,BC两边中线的交点处
D.∠A,∠B两内角平分线的交点处
★2.如图,在△ABC中,点D是边AB,BC的垂直平分线交点,
连接AD并延长交BC于点E,若∠AEC=3∠BAE=3α,则
∠CAE=_____________(用含α的式子表示).?
90°-2α
★★3.如图,在△ABC中,边AB,AC的垂直平分线相交于
点D,垂足分别为E,F.已知∠BAC=100°,∠EDF等于
80°,∠ACB=30°,求∠ABD的度数. .
解:连接AD,
∵边AB,AC的垂直平分线相交于点D,
∴BD=AD,AD=CD,
∴∠DBA=∠DAB,
∠DCA=∠DAC,BD=CD,
∴∠DBC=∠DCB,
设∠DBC=∠DCB=x°,
∵∠BAC=100°,∠ACB=30°,
∴∠ABC=50°,∴x+50+30+x=100,
解得:x=10,即∠DBC=10°,
∴∠ABD=10°+50°=60°.
知识点二 利用三角形三条边的垂直平分线的性质尺规
作图
【典例3】如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大
于 AB的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,
交BC于点D,连接AD.若△ADC的周长为10,AB=7,则△ABC
的周长为 ( )
C
A.7 B.14 C.17 D.20
【学霸提醒】
此题考查了线段垂直平分线的性质与作法.解题时要注意数形结合思想的应用.
【题组训练】
1.如图,已知线段a,h,作等腰△ABC,使AB=AC,且BC=a,
BC边上的高AD=h.张红的作法是:①作线段BC=a;②作线
段BC的垂直平分线MN,MN与BC相交于点D;③在直线MN上
截取线段h;④连接AB,AC,则△ABC为所求的等腰三角形.
上述作法的四个步骤中,你认为有错误的一步是
( )
A.① B.② C.③ D.④
C
★2.如图所示,A,B是直线l外两点,在l上求作一点P,使
PA+PB最小,其作法是 ( )
A.连接BA并延长与l的交点为P
B.连接AB,并作线段AB的垂直平分线与l的交点为P
D
C.过点B作l的垂线,垂线与l的交点为P
D.过点A作l的垂线段AO,O是垂足,延长AO到A′,使
A′O=AO,再连接A′B,则A′B与l的交点为P
★3.如图,在已知的△ABC中,按以下步骤作图:①分别
以B,C为圆心,以大于 BC的长为半径作弧,两弧相交
于两点M,N;
②作直线MN交AB于点D,连接CD.若CD=AC,∠A=50°,则
∠ACB的度数为 .( )
A.90° B.95° C.100° D.105°
D
★★4.如图所示,A,B是公路l(l为东西走向)两旁的两个
村庄,A村到公路l的距离AC=1 km,B村到公路l的距离
BD=2 km,B村在A村的南偏东45°方向上.
(1)求A,B两村之间的距离.
(2)为方便村民出行,计划在公路边新建一个公共汽车站P,要求该站到两村的距离相等,请用尺规在图中作出点P的位置.(保留作图痕迹,并简要写明作法)
解:(1)根据题意可得∠A=∠B=45°,
∴△ACO和△BDO都是等腰直角三角形.
∴AO= ,BO=2 .
∴A,B两村的距离为AB=AO+BO
= +2 =3 (km).
(2)作法:①分别以点A,B为圆心,以大于 AB的长为半
径作弧,两弧交于两点M,N,作直线MN;
②直线MN交l于点P,点P即为所求.
【火眼金睛】
在△ABC中,点D为BC上一点,连接AD,点E在线段AD上,并
且∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AD垂直平分BC.
正解:∵∠1=∠2,∠3=∠4,
∴EB=EC,且∠1+∠3=∠2+∠4,
即∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,
∴A与E都在线段BC的垂直平分线上,
则AD垂直平分BC.
【一题多变】
如图,在△ABC中,AC边的垂直平分线DM交AC于点D,BC边
的垂直平分线EN交BC于点E,DM与EN相交于点F.
(1)若△CMN的周长为20 cm,求AB的长.
(2)若∠MFN=70°,求∠MCN的度数.
解:(1)∵DM是AC边的垂直平分线,∴MA=MC,
∵EN是BC边的垂直平分线,∴NB=NC,
AB=AM+MN+NB=MC+MN+NC=△CMN的周长=20 cm.
(2)∵MD⊥AC,NE⊥BC,
∴∠ACB=180°-∠MFN=110°,
∴∠A+∠B=70°,
∵MA=MC,NB=NC,
∴∠MCA=∠A,∠NCB=∠B,
∴∠MCN=40°.
【母题变式】
【变式一】(变换条件) 如图,在△ABC中,AB边的垂直
平分线l1交BC于点D,AC边的垂直平分线l2交BC于点E,l1
与l2相交于点O,连接OB,OC,若△ADE的周长为6 cm,
△OBC的周长为16 cm.
(1)求线段BC的长.
(2)连接OA,求线段OA的长.
(3)若∠BAC=120°,求∠DAE的度数.
解:(1)∵l1是AB边的垂直平分线,
∴DA=DB,
∵l2是AC边的垂直平分线,
∴EA=EC,
BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=6 cm.
(2)(3)略
【变式二】(变换问法)如图,在△ABC中,边AB的垂直平
分线交BC,AB于点E,M,边AC的垂直平分线交BC,AC于点
F,N,△AEF的周长是10.
若∠B+∠C=45°,EF= ,求△AEF的面积.
略
