(共28张PPT)
4 角平分线
第1课时
【知识再现】
1.角平分线的定义:一条_________把一个角分成两个
_________的角,这条射线叫这个角的平分线.?
射线
相等
2.线段的垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的
点到这条线段两个端点的距离_________.?
3.线段的垂直平分线的判定:到一条线段两个端点距离
相等的点在这条线段的_______________上.?
相等
垂直平分线
【新知预习】 阅读教材P28-29,回答以下问题.
角平分线的性质定理
文字语言:角平分线上的点到_________
_________相等.?
符号语言:∵OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,
PE⊥OB,垂足分别为D,E.∴PD=PE.
角两边
的距离
探究:角平分线的判定定理
类比线段的垂直平分线性质定理的逆命
题,尝试写出角平分线性质定理的逆命题.
在一个角的内部,到角的两边_____________的点,在这
个角的___________上.经过证明该逆命题是_____
(“真”或“假”)命题.所以可以得到:?
距离相等
平分线
真
角平分线的判定定理:在一个角的内部,到角的两边
_____________的点,在这个角的___________上.?
符号语言:∵点P为∠AOB内一点,PD⊥OA,PE⊥OB,
PD=PE,∴OP平分∠AOB.
距离相等
平分线
请自我检测一下预习的效果吧!
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的角平分
线,DC=3,则点D到AB的距离是______.?
3
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=45°,AD是∠CAB
的平分线,DE⊥AB于E,AB=a,CD=m,则AC的长为
________.?
a-m
知识点一 角平分线的性质定理
(P30习题1.9T2拓展)
【典例1】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,
交BC于点D,AB=10,S△ABD=15,则CD的长为 ( )
A
A.3 B.4 C.5 D.6
【学霸提醒】
在解决关于角平分线上的点的问题时,通常要过该点向角的两边作垂线,利用角平分线上的点到这个角两边的距离相等来解决问题.
【题组训练】
★1.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,
AE,BF分别是∠BAC,∠ABC的平分线,
∠BAC=50°,∠ABC=60°,则∠EAD+∠ACD= ( )
A.75° B.80° C.85° D.90°
A
★2.如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,△ABC的
面积是30 cm2,AB=18 cm,BC=12 cm,则DE=______cm.?
2
★★3.如图所示,D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点.DE⊥AC,DF⊥CG,垂足分别为E,F.求证:CE=CF. .
证明:∵CD是∠ACG的平分线,DE⊥AC,DF⊥CG,
∴DE=DF.在Rt△CDE和Rt△CDF中,
∵ ∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL),∴CE=CF.
知识点二 角平分线的判定定理(P29例1强化)
【典例2】已知:如图,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM
平分∠ADC.
(1)求证:AM平分∠BAD.
(2)试说明线段DM与AM有怎样的位置关系?
(3)线段CD,AB,AD间有怎样的关系?
【自主解答】略
【学霸提醒】
利用角平分线的判定定理可以证明两个角相等或者一条射线是角的平分线.
【题组训练】
★1.如图所示,在△ABC中,P为BC上一点,PR⊥AB,垂足
为R,PS⊥AC,垂足为S,AQ=PQ,PR=PS.下面三个结论:
①AS=AR;②QP∥AR;③△BRP≌△CSP.正确的是 ( )
A.①和② B.②和③
C.①和③ D.全对
A
★2.如图,△ABC的两条外角平分线AP,
CP相交于点P,PH⊥AC于H;如果∠ABC=
60°,则下列结论:①∠ABP=30°;
②∠APC=60°;③PB=2PH;④∠APH=∠BPC,其中正确的
结论个数是 .( )
A.1 B.2 C.3 D.4
D
【火眼金睛】
已知:如图所示,BF与CE相交于点D,BD=CD,BF⊥AC于点
F,CE⊥AB于点E.求证:点D在∠BAC的平分线上.
正解:∵BF⊥AC,CE⊥AB,
∴∠BED=∠CFD=90°.
在△BDE和△CDF中,
∴△BDE≌△CDF(AAS),∴DE=DF,
∴点D在∠BAC的平分线上.
【一题多变】
如图,已知OQ平分∠AOB,点P为OQ上任意一点,点N为OA
上一点,点M为OB上一点,若∠PNO+∠PMO=180°,则PM和
PN的大小关系是 ( )
A.PM>PN B.PM
C.PM=PN D.不能确定
C
【母题变式】
(变换背景)已知∠AOB=90°,OC是∠AOB的平分线,按以
下要求解答问题:
(1)将三角板的直角顶点P在射线OC上
移动,两直角边分别与OA,OB交于点
M,N,如图①.求证:PM=PN.
(2)将三角板的直角顶点P在射线OC上移动,一条直角边
与OB交于点N,另一条直角边与射线OA的反向延长线交
于点M,请在图②中作出图形,并猜想此时PM=PN是否成
立,并说明理由.
解:(1)过P作PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,
∵OC是∠AOB的平分线,
∴PE=PF,∠PEM=∠PFN=90°,
∵∠MPE+∠MPF=90°,
∠NPF+∠MPF=90°,
∴∠MPE=∠NPF,
在△PME和△PNF中,
∴△PME≌△PNF(ASA),∴PM=PN.
(2)略
(共31张PPT)
4 角平分线
第2课时
【知识再现】
1.角平分线的性质定理:角的平分线上的点到_______
___________相等.?
2.角平分线的判定定理:在一个角的内部,到角的两边
_____________的点,在这个角的_____________上.?
角两
边的距离
距离相等
角平分线
【新知预习】 阅读教材P30-31,回答以下问题.
探究1:作三角形的三个内角的角平分线,你发现了什么?
发现:(1)三角形的三个内角的角平分线交于_______;
(2)这个交点到三角形_________的距离相等.?
一点
三边
探究2:尝试证明上述结论
已知:如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,
求证:P点在∠BAC的平分线上.
证明:过P点作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,其中点D,E,F是
垂足.
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,
∴PD=PE(_______________________
_____________________).?
同理:__________.∴PD=PF.?
角平分线上的点到这个
角的两边的距离相等
PE=PF
∴点P在∠BAC的平分线上(_______________________
______________________________________).?
另外易证:PD=PE=PF.
在一个角的内部,且到角
两边距离相等的点,在这个角的平分线上
归纳:三角形角平分线性质定理:三角形的三条角平分
线相交于_________,并且这一点到_______________
相等.?
一点
三条边的距离
探究3:比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理
内
外
中点
内
三个顶点
三
边
三边垂直平分线 三条角平分线
三角形 锐角三角形 交于三角形_______一点? 交于三角形
_______一点?
钝角三角形 交于三角形_______一点?
直角三角形 交于斜边的_________?
交点性质 到三角形_____________的距离相等? 到三角形_____
____的距离相等?
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.△ABC是一个任意三角形,用直尺和圆规作出∠A,
∠B的平分线相交于点O,那么下列说法不正确的是
( )
D
A.点O一定在△ABC的内部
B.∠C的平分线一定经过点O
C.点O到△ABC三边的距离一定相等
D.点O到△ABC的三个顶点的距离一定相等
2.在一块三角形的草坪上建一座凉亭,要使凉亭到草坪
三边的距离相等,凉亭的位置应选在 ( )
A.三角形的三条中线的交点处
B.三角形的三边的垂直平分线的交点处
C.三角形的三条角平分线的交点处
D.三角形的三条高所在直线的交点处
C
3.如图,点P是∠AOB的平分线上一点,过点P作PC∥OA交
OB于点C,若OC=2,P到OA的距离PD等于 ,则OP等于
_________.?
2
知识点 三角形三个角的平分线的性质
(P30例2拓展)
【典例】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,
AO,CO分别平分∠BAC和∠ACB,OD⊥AC于
D.若AB=10,BC=8,试求线段OD的长度.
【规范解答】连接OB,过O作OE⊥AB于E,OF⊥BC于F,
∵AO平分∠BAC,CO平分∠ACB,OE⊥AB,OF⊥BC,OD⊥AC,
∴OE=OD=OF, …………三角形角平分线的性质
设OE=OF=OD=R,
在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=8,
由勾股定理得:AC=6, …………勾股定理
∵S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO,
………………………………全量等于分量的和
∴ AC·BC= AB·OE+ AC·OD+ BC·OF,
……………………三角形的面积公式
∴6×8=10R+6R+8R,解得:R=2, …………解方程
∴OD的长为2.
【学霸提醒】
1.三角形三个内角平分线的交点与三角形三个顶点的连线把原三角形分割成了三个小三角形,利用三个小三角形面积之和等于原三角形的面积,即等积法即可求出交点到三边的距离.
2.已知角平分线上的点,要利用角平分线性质定理寻找线段相等关系,有时可结合全等三角形、直角三角形来求解.
【题组训练】
1.如图,O是△ABC的角平分线的交点,△ABC的面积为2,
周长为4,则点O到BC的距离为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.无法确定
A
★2.如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,
DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为40和28,则△EDF的
面积为 ( )
A.12 B.6
C.7 D.8
B
★★3.在△ABC中,D是BC边上的点(不与点B,C重合),连
接AD. .
(1)如图1,当点D是BC边上的中点时,S△ABD∶S△ACD=
.?
(2)如图2,当AD是∠BAC的平分线时,若AB=m,AC=n,求
S△ABD∶S△ACD的值(用含m,n的代数式表示).
(3)如图3,AD平分∠BAC,延长AD到E,使得AD=DE,连接BE,
如果AC=2,AB=4,S△BDE=6,那么S△ABC= .?
解:(1)过点A作AE⊥BC于点E,
∵点D是BC边上的中点,
∴BD=DC,
∴S△ABD∶S△ACD
答案:1∶1 (2)(3)略
【火眼金睛】
如图,已知D,E分别是△ABC的BC,AC边上一点,AE=AB,
DB=DE.
求证:AD是△ABC的角平分线.
正解:在△ADE与△ADB中,
AE=AB,DE=DB,AD=AD,
∴△ADE≌△ADB(SSS),
∴∠EAD=∠BAD,∴AD是△ABC的角平分线.
【一题多变】
如图,△ABC的三边AB,BC,CA长分别是20,30,40,其三条
角平分线将△ABC分为三个三角形,则S△ABO∶S△BCO
∶S△CAO等于 ( )
A.1∶1∶1 B.1∶2∶3
C.2∶3∶4 D.3∶4∶5
C
【母题变式】
【变式一】(变换条件、问法)已知,在△ABC中,
∠C=90°,点O为△ABC的三条角平分线的交点,OD⊥BC,
OE⊥AC,OF⊥AB,点D,E,F是垂足,且AB=10,BC=8,则点O
到三边AB,AC和BC的距离分别是.
( )
A
A.2,2,2 B.3,3,3
C.4,4,4 D.2,3,5
【变式二】(变换条件、问法)如图,已知△ABC的周长
是21,OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,且
OD=4,△ABC的面积是 ( )
A.25 B.84
C.42 D.21
C
