(共33张PPT)
1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
第1课时
【知识再现】
1.三角形内角和是__________，?
2.若∠A=36°，则它的余角∠B=_________.?
180°
54°
【新知预习】阅读教材P1-3，归纳结论：
如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
(1)量一量斜边AB的长度.
(2)量一量斜边上的中线CD的长度.
(3)于是有CD=? ___AB.?
总结：
一、直角三角形的性质
1.直角三角形的两个锐角_________.?
2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________.?
二、直角三角形的判定
1.直角三角形：有两个角_________的三角形.?
2.三角形一条边上的中线等于这条边的_________，
这个三角形是直角三角形.?
互余
一半
互余
一半
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧！
1.(2019·绍兴期末)在一个直角三角形中，有一个锐
角等于35°，则另一个锐角的度数是 ( )
A.75° B.65° C.55° D.45°
C
2.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是
( )
A.∠A+∠B=∠C
B.∠A-∠B=∠C
D
C.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
D.∠A=∠B=3∠C
3.(2019·睢宁县期中)已知一个直角三角形的斜边长
为12，则其斜边上的中线长为______.?
6
知识点一直角三角形两锐角的关系及应用
(P2议一议拓展)
【典例1】如图，在△ABC中，
∠ACB=90°，CD是高.
(1)图中有几个直角三角形？是哪几个？
(2)∠1和∠A有什么关系？∠2和∠A呢？还有哪些
锐角相等？
【尝试解答】(1)∵CD是高，
∴∠ADC=∠BDC=_________，…………垂直定义?
又∵∠ACB=90°，∴图中有3个直角三角形，分别是
__________，__________，__________.?
……………………………………直角三角形的定义
90°
△ADC
△BDC
△ACB
(2)∵∠ADC=∠BDC=90°，∴∠1+________=90°，
____ +∠2=90°，………………直角三角形的性质?
∵∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠A，∠1=∠B.…………等角的余角相等
∠A
∠B
【学霸提醒】
在一个题目中，若垂直条件较多，可考虑两个方面
1.利用同角(或等角)的余角相等证两个角相等.
2.利用三角形的面积(即等积的思想)联系图中的线段.
【题组训练】
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=70°，则∠B的度数
为 ( )
A.20° B.30° C.40° D.70°
A
★2.直角△ABC中，∠A-∠B=20°，则∠C的度数是
_____________.?
★★3.在下列条件：①∠A+∠B=∠C，②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，③∠A=90°-∠B，
④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有
___________(填序号). .?
20°或90°
①②③
知识点二 直角三角形斜边上中线的性质
(P3探究拓展)
【典例2】
如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直
角三角形，△BCD中，∠DBC=90°，
∠BCD=60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，求∠AFB的度数. .
【自主解答】∵∠DBC=90°，E为DC的中点，
∴BE=CE= CD，
∵∠BCD=60°，∴∠CBE=60°，∴∠DBF=30°，
∵△ABD是等腰直角三角形，∴∠ABD=45°，
∴∠ABF=75°，∴∠AFB=180°-90°-75°=15°，
故∠AFB的度数为15°.
【学霸提醒】
直角三角形斜边上中线的应用
1.证明线段相等或倍分关系.
2.证明角相等.
3.其逆定理可作为证明直角三角形的理论依据.
【题组训练】
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
CD是斜边AB上的中线，那么下列结
论错误的是 ( ).
A.∠A+∠DCB=90° B.∠ADC=2∠B
C.AB=2CD D.BC=CD
D
★2.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，CE是边
AB上的中线，如果CD=BE，∠B=40°，那么∠BCE=
_______度.?
20
★★3.著名画家达芬奇不仅画意超群，同时还是一个数学家、发明家.他曾经设计过一种圆规.如图所示，有两个互相垂直的滑槽(滑槽宽度忽略不计)，一根没有弹性的木棒的两端A，B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可
以画出一个圆来，若AB=10 cm，则画出的圆半径为
______cm.?
5
【火眼金睛】
如图，△ABC为等腰直角三角形，AD为斜边BC上的高，E，F分别为AB和AC的中点，试判断DE和DF的关系.
【正解】DE=DF，DE⊥DF.
理由如下：∵AD为BC上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
又∵E，F分别为AB，AC的中点，
∴DE=BE= AB，DF=CF= AC，
∵AB=AC，∴DE=DF，
∵DE=BE，DF=CF，∴∠B=∠BDE=45°，∠C=∠CDF=45°，
∴∠EDF=180°-45°-45°=90°，
即DE⊥DF.
【一题多变】
如图，BE，CF分别是△ABC的高，点M为BC的中点，EF=6，BC=9，求△EFM的周长.
解：∵BE，CF分别是△ABC的高，
∴∠BFC=∠BEC=90°，
∵M为BC的中点，∴FM= BC=4.5，EM= BC=4.5，
∴△EFM的周长=FM+EM+EF=15.
【母题变式】
(变换条件)(2019·太仓市期末)如图，
在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，
M为BC的中点，BC=10.若∠ABC=50°，
∠ACB=60°，求∠EMF的度数. .
解：∵CF⊥AB，M为BC的中点，∴BM=FM，
∵∠ABC=50°，∴∠MFB=∠MBF=50°，∴∠BMF=180°-2×50°=80°，
同理，∠CME=180°-2×60°=60°，
∴∠EMF=180°-∠BMF-∠CME=40°.
(共45张PPT)
1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
第2课时
【知识再现】
1.直角三角形的两个锐角_________.?
2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________.?
互余
一半
【新知预习】阅读教材P4-6，归纳结论：
1.按要求画图：
(1)画∠MON，使∠MON=30°，
(2)在OM上任意取点P，过P作ON的垂线PK，垂足为K，量一量PO，PK的长度，PO，PK有什么关系？
(3)在OM上再取点Q，R，分别过Q，R作ON的垂线QD，RE，垂足分别为D，E，量一量QD，OQ，它们有什么关系？量一量RE，OR，它们有什么关系？
由此你发现了什么规律？
直角三角形中，如果有一个锐角等于_________，
那么它所对的___________等于_______________.?
30°
直角边
斜边的一半
2.探究直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边为什么等于斜边的一半.
如图，Rt△ABC中，∠A=30°，
BC为什么会等于 AB？
证明：取AB的中点D，连接CD，则AD=BD，
因为CD为Rt△ABC斜边的中线，
所以_____________.?
又因为∠A=30°，所以∠B=_________，?
CD= AB
60°
所以△CDB为_________三角形，?
所以BC=_______，?
所以BC=_________.?
得出结论：___________________________________
_________________________________________.?
等边
CD
? AB
在直角三角形中，如果一个锐角等于
30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧！
1.(2019·天津河西区模拟)如图，Rt△ABC中，
∠C=90°，BC=10，∠A=30°，则AC的长度为 ( )
D
A.8 B.12
C.10 D.10
2.(2019·长沙天心区期末)如图，一棵树在一次强台
风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°
夹角，这棵树在折断前的高度为 ( )
C
A.4米 B.8米
C.12米 D.(3+3 )米
3.(2019·南通市海安县期末)在△ABC中，∠ACB=90°，
CD是斜边AB上的高，∠A=30°，以下说法错误的是
( )
A
A.AD=2CD B.AC=2CD
C.AD=3BD D.AB=2BC
知识点一 含30°角的直角三角形性质的应用
(P4动脑筋拓展)
【典例1】如图，在Rt△ABC中，
∠ACB=90°，∠B=2∠A，AB=8，
CD⊥AB于点D.求BC，AD的长.
【自主解答】∵∠ACB=90°，∠B=2∠A，
∴∠B=60°，∠A=30°，
∴BC= AB=4，
∵CD⊥AB，∠B=60°，
∴∠DCB=30°，
∴BD= BC=2，
∴AD=AB-BD=8-2=6.
【学霸提醒】
含30°角的直角三角形性质的“两种应用”
1.证明：用来证明三角形中线段的倍分问题.
2.求解：知道30°角所对的直角边的长，求斜边的长，或知道斜边的长，求30°角所对的直角边的长.
【题组训练】
1.(2019·河池期末)如图，在△ABC中，
∠B=∠C=60°，点D为AB边的中点，
DE⊥BC于E，若BE=1，
则AC的长为 ( )
C
A.2 B. C.4 D.2
★2.(2019·长春南关区期末)如图，在△ABC中，
∠C=90°，∠B=30°，AC=3.若点P是BC边上任意一
点，则AP的长不可能是 ( )
A.7 B.5.3
C.4.8 D.3.5
A
★3.(2019·北京东城区期末)如图，在△ABC中，
∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平
分线，且交AD于P，如果AP=2，则AC的长为 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
C
★★4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，DE垂直平分线段AC. .
(1)求证：△BCE是等边三角形.
(2)若BC=3，求DE的长.
解：(1)在△ABC中，
∠B=180°-∠ACB-∠A=180°-90°-30°=60°.
∵DE垂直平分AC，
∴EC=EA，∴∠ECA=∠A=30°，
∴∠BEC=60°，
∴△BCE是等边三角形.
(2)由(1)得，EC=BC=3，
在Rt△ECD中，∵∠ECD=30°，
∴DE= EC= ×3= .
知识点二 直角三角形性质的综合应用
(P5例3拓展)
【典例2】如图，在△ABC中，AB=AC，
点D是BC上一点，DE⊥AB于E，FD⊥BC于D，
G是FC的中点，连接GD.求证：GD⊥DE.
【自主解答】∵AB=AC，∴∠B=∠C，
∵DE⊥AB，FD⊥BC，
∴∠BED=∠FDC=90°，
∴∠1+∠B=90°，∠3+∠C=90°，
∴∠1=∠3，
∵G是直角三角形FDC的斜边中点，
∴GD=GF，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，
∵∠FDC=∠2+∠4=90°，
∴∠1+∠4=90°，
∴∠2+∠FDE=90°，
∴GD⊥DE.
【学霸提醒】
直角三角形性质的应用及注意事项
1.性质应用：
30°角的直角三角形的性质是直角三角形中含有特殊度数的角(30°或60°)的特殊定理，反映了直角三角形中边角之间的关系，主要作用是解决直角三角形中的有关计算或证明问题.
2.两点注意：
(1)必须在直角三角形中，非直角三角形不具备该性质.
(2)只有30°的角所对的直角边等于斜边的一半，其他度数的角所对的直角边和斜边不满足该关系.
【题组训练】
1.(2019·哈尔滨香坊区期末)如图，
在等边△ABC中，AD=BD，过点D作
DF⊥AC于点F，过点F作FE⊥BC于点E，
若AF=6，则线段BE的长为_______. .?
15
★2.(2019·合肥瑶海区期末)如图，在△ABC中，
AB=AC=2，∠B=75°，则点B到边AC的距离为______.?
1
★★3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是直角边AC上的点，且AD=BD=2a，∠A=15°，求BC边的长..
解：由AD=BD可推出∠2=∠A=15°，
所以∠1=∠2+∠A=15°+15°=30°.
在Rt△BCD中，∠1=30°，
可推出BC= BD= ×2a=a.
【火眼金睛】
如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，
∠C=60°，CD=4 cm，求BC的长.
【正解】∵AD∥BC，∴∠A+∠ABC=180°，
又∵∠A=120°，∴∠ABC=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD=30°，
∵∠C=60°，∴∠BDC=90°，
∴BC=2CD=2×4=8(cm).
【一题多变】
如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.求证：DF=2DC.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°-∠EDC=30°，
∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，
∴△EDC是等边三角形.
∴ED=DC，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=2CD.
【母题变式】
(变换问法)如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求∠F的度数.
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°-∠EDC=30°.
