(共41张PPT)
1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)
第1课时
【知识再现】
直角△ABC的主要性质是：∠C=90°(用几何语言表示)
(1)两锐角之间的关系：_________________.?
(2)若D为斜边中点，则斜边中线_____________.?
(3)若∠A=30°，则∠A的对边和斜边的关系：
_____________.?
∠A+∠B=90°
CD= AB
BC= AB
【新知预习】阅读教材P9-P11，归纳结论：
1.同学们画一个直角边为3 cm和4 cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长.
2.再画一个两直角边为5 cm和12 cm的直角△ABC，用
刻度尺量AB的长.
问题：你是否发现32+42与52，52+122和132的关系，即
32+42______52，52+122______132，?
=
=
由此我们可以得出什么结论？可猜想：
如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，
那么____________.?
a2+b2=c2
3.勾股定理的证明
已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边为a，b，c.
求证：a2+b2=c2
证明：4S△+S小正=c2；S大正=c2
根据的等量关系：a2+b2=c2
由此我们得出勾股定理的内容是：_______________
______________________________________.?
直角三角形两
直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧！
1.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼
成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地
利用面积关系证明了勾股定理.已知小正方形的面积是
1，直角三角形的两直角边分别为a，b且ab=6，则图中
大正方形的边长为 ( )
B
A.5 B.
C.4 D.3
2.(2019·揭西县期末)游泳员小明横渡一条河，由于
水流的影响，实际上岸地点C偏离欲达到点B60米，结
果他在水中实际游了100米，这条河宽为___米.
80
知识点一 勾股定理的证明及应用
(P10探究及P11例1拓展)
【典例1】如图是美国总统Garfield于1896年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请写出你的证明过程.(提示：如图三个三角形均是直角三角形)
【自主解答】∵ (a+b)(a+b)=2× ab+ c2，
∴(a+b)(a+b)=2ab+c2，
∴a2+2ab+b2=2ab+c2，
∴a2+b2=c2.
【学霸提醒】
证明勾股定理的三个步骤
1.读图：观察整个图形是由哪些图形拼接而成，图中包括几个直角三角形，几个正方形，它们的边长各是多少.
2.列式：根据整个图形的面积等于各部分图形的面积和，列出关于直角三角形三边长的等式.
3.化简：根据整式的运算化简等式，得出勾股定理.
【题组训练】
1.小明将4个全等的直角三角形拼成如图
所示的五边形，添加适当的辅助线后，
用等面积法建立等式证明勾股定理.小明
在证题中用两种方法表示五边形的面积，
分别是S1=_________，S2=____________.?
c2+ab
a2+b2+ab
★2.如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三
角形.已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的
直角边为b，斜边长为c.如图②，现将这四个全等的直
角三角形紧密拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓(实线)
的周长为24，OC=3，则该飞镖状图案的面积为 ( )
C
A.6 B.12 C.24 D.24
★3.(2019·邵阳中考)公元3世纪初，中国古代数学家
赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”.如图，
设勾a=6，弦c=10，则小正方形ABCD的面积是______.
.?
4
知识点二 勾股定理的实际应用
(P12动脑筋及例2拓展)
【典例2】(2019·临安区期末)如图，一架长5米的梯
子A1B1斜靠在墙A1O上，B1到墙底端O的距离为3米，此
时梯子的高度达不到工作要求，因此把梯子的B1端向
墙的方向移动了1.6米到B处，此时梯子的高度达到工
作要求，那么梯子的A1端向上移动了________米.
.?
0.8
【学霸提醒】
勾股定理的实际应用的一般步骤
1.读懂题意，建立数学模型.
2.分析数量关系，数形结合，正确标图，将已知条件体现到图形中，充分利用图形的功能和性质.
3.应用勾股定理进行计算或建立等量关系，构建方程求解.
4.解决实际问题.
【题组训练】
1.如图，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，
固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm
至D点，则橡皮筋被拉长了 ( )
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm
A
★2.有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两树相距
8 m.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，
问小鸟至少飞行 .( )
A.8 m B.10 m C.12 m D.14 m
B
★3.(2019·海州区期末)如图，一圆柱形容器(厚度忽
略不计)，已知底面半径为6 cm，高为16 cm，现将一
根长度为28 cm的玻璃棒一端插入容器中，则玻璃棒露
在容器外的长度的最小值是______cm.?
8
★★4.如图所示，OA⊥OB，OA=45 cm，OB=15 cm，一机器人在点B处发现有一个小球自A点出发沿着AO方向做匀速直线运动，机器人自BC方向以与小球同样的速度前进拦截小球，在点C处正好截住了小球，求机器人行走的路程BC..
解：设BC=AC=x cm，
则OC=OA-AC=45-x，
在Rt△OBC中，152+(45-x)2=x2，
解得x=25.
所以BC=25 cm，
所以机器人行走的路程BC为25 cm.
【火眼金睛】
已知直角三角形的三边长为6，8，x，则以x为边长的正方形的面积为______.?
【正解】①当x为直角三角形斜边时，由勾股定理得：62+82=x2，即x2=100，
∵正方形的边长为x，∴其面积为x2=100.
②当x为直角三角形直角边时，由勾股定理得：
62+x2=82，即x2=28，
∵正方形的边长为x，∴其面积为x2=28.
答案：100或28
【一题多变】
如图，沿AC方向开山修路.为了加快施工
进度，要在小山的另一边同时施工，从
AC上的一点B取∠ABD=120°，BD=520 m，
∠D=30°.那么另一边开挖点E离D多远正好使A，C，
E三点在一条直线上( 取1.732，结果取整数)？
解：∵∠ABD=120°，∠D=30°，
∴∠AED=120°-30°=90°，
在Rt△BDE中，BD=520 m，∠D=30°，∴BE=260 m，
∴DE= =260 ≈450(m).
答：另一边开挖点E离D 450 m，正好使A，C，E三点
在一条直线上.
【母题变式】
如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏
东60°的方向上，轮船从B处继续向正东方向航行
100海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方
向上，AD⊥BC于点D，求AD的长. .
解：由题意知，∠ABD=30°，∠ACD=60°.
∴∠CAB=∠ABD，
∴BC=AC=100海里.
在Rt△ACD中，设CD=x海里，
则AC=2x海里，
∵AC=100海里，
∴CD=x=50海里.
∴AD= = =50 (海里).
(共36张PPT)
1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)
第2课时
【知识再现】
1.如果一个三角形两边的平方和_________第三边的平
方，那么这个三角形就是_________三角形.?
2.如果三角形的三边长a，b，c，满足____________，
那么这个三角形是_________三角形.?
等于
直角
a2+b2=c2
直角
【新知预习】阅读教材P14-15，归纳结论：
1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c
满足关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是___________
_____.?
2.勾股数：满足a2+b2=c2的三个___________.?
直角三角
形
正整数
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧！
1.(2019·滨海县期末)下列各组数中，是勾股数的是
( )
A.1、2、3 B.3、4、5
C.12、15、18 D.1、 、3
B
2.如果a，b，c是一个直角三角形的三边，则a∶b∶c
可以等于 ( )
A.1∶2∶4 B.2∶3∶4
C.3∶4∶7 D.5∶12∶13
D
知识点一 勾股数及其应用(P15例3拓展)
【典例1】以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为(3，4，5)，类似地，还可得到下列勾股数组：(8，6，10)，(15，8，17)，(24，10，26)等.
(1)根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数.
(2)用含n(n≥2且n为整数)的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明.
【自主解答】(1)四组勾股数的规律是：32+42=52，62+82=102，82+152=172，102+242=262，
即(n2-1)2+(2n)2=(n2+1)2，
所以第六组勾股数为48，14， 50.
(2)勾股数为n2-1，2n，n2+1，证明如下：
(n2-1)2+(2n)2=n4+2n2+1=(n2+1)2.
【学霸提醒】
判断三个数是否是一组勾股数的“三步法”
1.判断：这三个数是不是正整数，不是正整数则不是勾股数.
2.计算：计算最大数的平方与其他两个数的平方和.
3.比较：若最大数的平方等于另外两个数的平方和，则是勾股数，否则不是.
【题组训练】
1.下列几组数：①6，8，10；②7，24，25；③9，
12，15；④n2-1，2n，n2+1(n是大于1的整数)，其中是
勾股数的有 ( )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
D
★2.给出下列命题
①如果a，b，c为一组勾股数，那么4a，4b，4c仍是一组勾股数；
②如果直角三角形的三边中两边长为3和4，那么另一边长的平方必是25；
③如果一个三角形的三边长是12，25，21，那么三角
形必是直角三角形；
④一个等腰直角三角形的三边长分别为a，b，c，其中
a是斜边长，那么a2∶b2∶c2=2∶1∶1.
其中正确的是 .( )
A.①② B.①③ C.①④ D.②④
C
★★3.观察下列各式：32+42=52；82+62=102；152+82=172；242+102=262；…；你有没有发现其中的规律？请用你发现的规律写出下一个式子. .
解：观察等式的规律，可分别观察等式的左边：第一个底数分别为：3=22-1，8=32-1，15=42-1，24=52-1，第n个式子的第一个底数为(n+1)2-1，第二个底数是4，6，8，…连续的偶数.右边的底数是比左边的第一个底数大2的数，根据规律即可写出下一个式子是：352+122=372.
知识点二 勾股定理的逆定理的应用(P15例4拓展)
【典例2】为了丰富少年儿童的业余生
活，某社区要在如图中的AB所在的直线
上建一图书室，本社区有两所学校所在
的位置在点C和点D处，CA⊥AB于点A，DB⊥AB
于点B.已知AB=2.5 km，CA=1.5 km，DB=1.0 km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等？
【自主解答】由题意可得：设AE=x km，
则EB=(2.5-x)km，
∵AC2+AE2=EC2，BE2+DB2=ED2，EC=DE，
∴AC2+AE2=BE2+DB2，
∴1.52+x2=(2.5-x)2+12，
解得：x=1.
答：图书室E应该建在距点A 1 km处，才能使它到两所学校的距离相等.
【学霸提醒】
勾股定理的逆定理判定直角三角形的“三步法”
【题组训练】
1.小亮在某公园里测得一个三角形花坛的三边长分别
是12 m，5 m，13 m，则该花坛的面积是 ( )
A.65 m2 B.78 m2 C.60 m2 D.30 m2
D
★2.(2019·抚宁区期末)已知△ABC的三个角是∠A，
∠B，∠C，它们所对的边分别是a，b，c.①c2-a2=b2；
②∠A= ∠B= ∠C；③c= a= b；④a=2，
b=2 ，c= .上述四个条件中，能判定△ABC为直角
三角形的有 .( )
C
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
★3.已知a，b，c是△ABC的三边长且c=5，a，b满足关
系式 +(b-3)2=0，则△ABC的形状为_________三角
形.?
直角
★★4.已知等腰三角形ABC的底边BC=20 cm，D是腰AB上一点，且CD=16 cm，BD=12 cm. .
(1)求证：CD⊥AB.
(2)求该三角形的腰的长度.
解：(1)∵BC=20 cm，CD=16 cm，BD=12 cm，
∴满足BD2+CD2=BC2，∴根据勾股定理逆定理可知，∠BDC=90°，即CD⊥AB.
(2)设腰长为x，则AD=x-12，由(1)可知
AD2+CD2=AC2，即(x-12)2+162=x2，
解得x= ，
∴腰长为 cm.
【火眼金睛】
已知：a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判断△ABC的形状.
【正解】∵a2c2-b2c2=a4-b4，
∴c2(a2-b2)=(a2-b2)(a2+b2)
①当a2-b2≠0时，c2=a2+b2，
∴△ABC为直角三角形；
②当a2-b2=0时，a=b，∴△ABC为等腰三角形；
综上可得△ABC为等腰三角形或直角三角形.
【一题多变】
(2019·南山区期末)如图，在四边形ABDC中，∠A=90°，AB=9，AC=12，BD=8，CD=17.
(1)连接BC，求BC的长.
(2)求△BCD的面积.
解：(1)∵∠A=90°，AB=9，AC=12，
∴BC= =15.
(2)∵BC=15，BD=8，CD=17，
∴BC2+BD2=CD2，∴△BCD是直角三角形，
∴S△BCD= ×15×8=60.
【母题变式】
【变式一】(变换条件)在△ABC中，CD是AB边上的高，AC=4，BC=3，DB=1.8. .
(1)求CD的长.(2)求AB的长.
解：(1)∵CD是AB边上的高，∴△BDC是直角三角形，
∴CD= =2.4.
(2)同(1)可知△ADC也是直角三角形，
∴AD= =3.2，
∴AB=AD+BD=3.2+1.8=5.
【变式二】(变换条件和问法)在△ABC中，CD是AB边上的高，AC=4，BC=3，DB=1.8.
△ABC是直角三角形吗？请说明理由.
解：△ABC是直角三角形，理由如下：
由变式一得CD=2.4，AD=3.2，AB=5，
∵AC=4，BC=3，AB=5，∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形.
