湘教版2020年八年级数学下册1.4 角平分线的性质课件(共46张PPT)

(共46张PPT)
1.4　角平分线的性质
【知识再现】
1.角的平分线：在角的内部，把角分成两个相等角的
_________叫作角的平分线.?
2.全等三角形的性质：全等三角形的对应边
_________，对应角_________.?
　射线　
　相等　
　相等　
3.三角形全等的判定方法：(1)________；
(2)________；(3)________；?
(4)AAS；(5)HL.
　SSS　
　SAS　
　ASA　
【新知预习】阅读教材P22-24，归纳结论：
1.OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点，
操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作
PD⊥OA，PE⊥OB，点D，E为垂足，测量PD，PE的长.将
三次数据填入下表：观察测量结果，猜想线段PD与PE
的大小关系，写出结论为__________.?
　PD=PE　
PD PE
第一次
第二次
第三次
2.你能用所学知识证明以上你发现的结论吗？
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，如图所示，求证：PD=PE.
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=_________，?
在△PDO和△PEO中，
∴△PDO≌△PEO(________)，?
∴PD=_______.?
　90°　
　AAS　
　PE　
3.反过来，若P为∠AOB内的一点，且点P到边OA、OB的距离相等，即PD=PE，你认为经过点P的射线OC平分∠AOB吗？为什么？
解：平分；(提示：先利用HL证明三角形全等，然后利用全等三角形的对应角相等即可证明)
4.通过以上探索和证明，我们得出了角平分线的性质是：
性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧！
1.(2019·盐城盐都区期末)如图，AO是∠BAC的平分
线，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，若ON=8 cm，则OM长
为 (　 　)
C
A.4 cm　　　　 B.5 cm
C.8 cm D.20 cm
2.(2019·滨州期末)如图，AD平分∠BAC交BC于点D，
DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.若S△ABC=12，DF=2，
AC=3，则AB的长是 (　 　)
D
A.2　　B.4　　C.7　　D.9
3.如图，点P到∠AOB两边的距离相等，若
∠POB=30°，则∠AOB=_______度.?
　60　
知识点一 角平分线的性质定理(P22探究拓展)
【典例1】如图，已知在△ABC中，BD是角平分线，∠C=90°，∠ABC=∠BAC，O是BD上一点，OM⊥BC于点M，ON⊥AC于点N，且OM=ON，过点O作OP⊥AB于点P..
(1)求∠ABD的度数.
(2)求证：AO平分∠BAC.
(3)判断BM与AN之间的数量关系，并说明理由.
【自主解答】(1)∵在△ABC中，∠C=90°，∴∠ABC=∠BAC=45°，
又∵BD是角平分线，∴∠ABD的度数为22.5°.
(2)∵OB平分∠CBA，OM⊥BC，OP⊥AB，
∴OM=OP，
∵OM=ON，∴ON=OP，
又∵ON⊥AC，OP⊥AB，∴AO平分∠BAC.
(3)BM与AN之间的数量关系：BM=AN.
理由：∵AO平分∠BAC，∴∠OAP=22.5°，
又∵∠ABD的度数为22.5°，
∴∠OAP=∠OBP，∴AO=BO，
又∵OM=ON，
∴在Rt△BOM和Rt△AON中，
∴Rt△BOM≌Rt△AON(HL)，∴AN=BM.
【学霸提醒】
应用角平分线的性质的两点注意
1.应用角平分线的性质时，角平分线、角平分线上的点到角两边的距离两个条件缺一不可，不能错用为角平分线上的点到角两边任意点距离相等.
2.由角平分线的性质不用证全等可以直接得线段相等，这是证线段相等的一个简便方法.
【题组训练】
1.(2019·临沂质检)如图，在直角坐标系中，AD是
Rt△OAB的角平分线，点D的坐标是(0，-3)，那么点
D到AB的距离是______.?
　3　
2.(2019·沁阳期末)如图，已知△ABC的周长是18，
OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且
OD=2，则△ABC的面积是_______. .?
　18　
★3.如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠ACB的平分线交AD于E，交AB于F，FG⊥BC于G，请猜测AE与FG之间有怎样的关系，并说明理由. .
解：AE=FG，AE∥FG.理由如下：
∵CF是∠ACB的平分线，∠BAC=90°，FG⊥BC，
AD⊥BC，∴FA=FG，∠AFC+∠ACF=90°，∠FCD+∠CED=90°，∠ACF=∠FCD，
∴∠AFC=∠CED，

∵∠AEF=∠CED，∴∠AEF=∠AFC，
∴AE=AF，∴AE=FG，
∵AD⊥BC，FG⊥BC，∴AE∥FG，
∴AE=FG，AE∥FG.
知识点二 角平分线的性质定理的逆定理
(P23例1、P24动脑筋拓展)
【典例2】如图，已知△ABC的∠ABC与∠ACB的外角平分线交于点D，求证：D在∠BAC的平分线上.
【自主解答】略
【学霸提醒】
证明角平分线的“两种方法”
1.定义法：应用角平分线的定义.
2.定理法：应用“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”来判定.判定角平分线时，需要满足两个条件：“垂直”和“相等”.
【题组训练】
1.如图，在△ABC中，∠B=42°，
AD⊥BC于点D，点E是BD上一点，
EF⊥AB于点F，若ED=EF，则∠AEC的度数为(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.60° B.62° C.64° D.66°
D
★2.(2019·上海浦东新区期末)已知△ABC内一点P，
如果点P到AB，AC两边的距离相等，则点P (　 　)
A.在BC边的垂直平分线上
B.在BC边的高上
C.在BC边所对角的平分线上
D.在BC边的中线上
C
★3.(2019·宜昌伍家岗区期末)在正方形网格中，
∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应
是 (　 　)
A.M点　　　B.N点　　　
C.P点　　　D.Q点
A
★★4.如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高. .
求证：(1)∠DEF=∠DFE.(2)AD垂直平分EF.
证明：(1)∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴∠DEF=∠DFE.
(2)在Rt△AED和Rt△AFD中，
∴Rt△AED≌Rt△AFD，
∴AE=AF，∠EAD=∠FAD，
∴AD垂直平分EF.
【火眼金睛】
已知：如图所示，BF与CE相交于点D，BD=CD，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E.求证：点D在∠BAC的平分线上.
【正解】∵BF⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BED=∠CFD，
在△BDE和△CDF中，
∴△BDE≌△CDF(AAS)，
∴DE=DF，
∴AD是∠BAC的平分线，即D在∠BAC的平分线上.
【一题多变】
如图，已知△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，且BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是多少？
解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，
∴DE=CD，∵BC=8，BD=5，
∴CD=BC-BD=3，∴DE=CD=3，
即点D到线段AB的距离是3.
【母题变式】
(2019·德惠期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
AD平分∠CAB，CD=1.5，BD=2.5，求AC的长.
解：如图，过D作DE⊥AB于点E，
∵∠C=90°，AD平分∠CAB，CD=1.5，
∴DE=CD=1.5，
在Rt△DEB中，由勾股定理得：
BE= =2，
∵AD=AD，CD=DE，∠C=∠AED，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴AC=AE，
设AC=AE=x，则AB=x+2，
由勾股定理得：AB2=AC2+CB2，
即(x+2)2=x2+42，
解得x=3，
∴AC=3.