(共34张PPT)
2.1 多 边 形
第1课时
【知识再现】
三角形的内角和是__________；长方形的内角和是
__________；正方形的内角和是__________.?
360°
360°
180°
【新知预习】阅读教材P34-P36，解决以下问题：
一、多边形的相关概念
1.多边形：在平面内，由一些线段_____________相接
组成的_________图形.?
2.多边形的边：组成多边形的各条_________.?
首尾顺次
封闭
线段
3.多边形的顶点：多边形_________两条边的公共
_________.?
4.多边形的对角线：连接多边形___________的两个顶
点的线段.?
5.多边形的角：多边形__________两边组成的角叫作多
边形的内角，简称多边形的角.?
相邻
端点
不相邻
相邻
6.正多边形：在平面内，边_________，角也都_______
的多边形.?
相等
相等
二、多边形的内角和定理
多边形内角和定理：n边形的内角和等于
_________________.?
(n-2)·180°
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧！
1.(2019·沁阳期末)将一个四边形截去一个角后，它
不可能是 ( )
A.六边形 B.五边形
C.四边形 D.三角形
A
2.(2019·白银靖远期末)从n边形一个顶点出发，可以
作______条对角线. ( )?
A.n B.n-1
C.n-2 D.n-3
D
知识点一 多边形的有关概念(P35探究拓展)
【典例1】探究归纳题：
(1)试验分析：
如图1，经过A点可以作______条对角线；同样，经过
B点可以作______条；经过C点可以作______条；经过D
点可以作______条对角线.?
通过以上分析和总结，图1共有______条对角线.?
1
1
1
1
2
(2)拓展延伸：
运用(1)的分析方法，可得：
图2共有______条对角线；?
图3共有______条对角线；?
5
9
(3)探索归纳：
对于n边形(n>3)，共有_______条对角线.(用含n的式
子表示)?
(4)特例验证：十边形有_______条对角线.?
35
【学霸提醒】
1.n边形的对角线的总条数为 条.
2.多边形的边数、顶点数及内角的个数相等.
【题组训练】
1.从某多边形的一个顶点引出的所有对角线把这个多
边形分成了6个三角形，则此多边形的形状是 ( )
A.六边形 B.七边形
C.八边形 D.九边形
C
★2.(2019·武汉硚口区期中)若某多边形从一个顶点
一共可引出4条对角线，则这个多边形是 ( )
A.五边形 B.六边形
C.七边形 D.八边形
C
★3.从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，
它们将六边形分成n个三角形.则m，n的值分别为
.( )
A.4，3 B.3，3 C.3，4 D.4，4
C
★★4.一个多边形的对角线的条数与它的边数相等，
这个多边形的边数是 .( )
A.7 B.6 C.5 D.4
C
知识点二 多边形的内角和(P36例1拓展)
【典例2】(2019·松原江宁区月考)我们曾利用下面的方法，探究过n边形的内角和，
方法一：在n边形A1A2A3A4A5…An内任取一点O，连接O与各个顶点.
方法二：选取n边形任意一个顶点，连接与它不相邻的所有顶点.(即作过任意一个顶点的所有对角线)
方法三：在n边形的一条边上任取一点P，连接这点与各个顶点.
请挑选其中的两种方法，充分证明过程.
已知：如图，n边形A1A2A3A4A5…An.
(1)求证：n边形A1A2A3A4A5…An的内角和等于
(n-2)·180°.
(2)粗心的小明在计算一个多边形的内角和时，误把一个外角也加进去了，得其和为1 180°.请帮他求出这个多加的外角度数及多边形的边数.
【自主解答】(1)∵从n边形的一个顶点可以作(n-3)条对角线，这(n-3)条对角线要和多边形的两边组成三角形，
∴得出所分割成的三角形个数为：n-3+1=n-2.
∵这(n-2)个三角形的内角和都等于180°，
∴n边形的内角和是(n-2)×180°.
(2)略
【学霸提醒】
多边形的内角和的两点注意
1.一个多边形的内角和取决于它的边数，随着边数的
增加而增加，并且每增加一条边，内角和就增加180°.
2.因为正多边形的每个内角都相等，所以正多边形的
每个内角的度数可以确定，它是 .
【题组训练】
1.(2019·龙岩期末)(n+1)边形的内角和比n边形的内
角和大 ( )
A.180° B.360°
C.n×180° D.n×360°
A
★2.(2019·北京门头沟区一模)如图，已知△ABC为等
边三角形，若沿图中虚线剪去∠B，则∠1+∠2等于
.( )
A.120° B.135°
C.240° D.315°
C
★3.(2019·荆门沙洋期中)一个多边形的内角和为
540°，则它的对角线共有 ( )
A.3条 B.5条
C.6条 D.12条
B
★4.(2019·济宁中考)如图，该硬币边缘镌刻的正九
边形每个内角的度数是__________.?
140°
【火眼金睛】
把一个多边形截去一个内角后，它的内角和为1 260°，求原来这个多边形的边数.
【正解】设新多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式得：(n-2)·180°=1 260°，解得n=9，
因为多边形截去一个内角后边数可能与原边数相等，也可能比原边数多1或少1，
所以n-1=8，n+1=10，
答：原来多边形的边数可能为8，9，10.
【一题多变】
小月和小东在一起探究有关“多边形内角和”的问题，两人互相出题考对方，小月给小东出了这样的一个题目：一个四边形的各个内角的度数之比为1∶2∶3∶6，求各个内角的度数.小东想了想，说：“这道题目有问题”，请你指出问题出在哪里.
解：设此四边形的四个内角度数为x°，2x°，3x°，6x°，
则x+2x+3x+6x=360，解得：x=30，
所以最大的内角度数为6x°=180°，
则此多边形不是四边形.
【母题变式】
(变换条件和问法)母题中，他们经过研究后，改变题目中的一个数，使这道题没有问题，请你也尝试一下，换一个合适的数，使这道题目没有问题，并进行解答.
解：将四边形的各个内角的度数之比为1∶2∶3∶6改为1∶2∶3∶4，
设此四边形的四个内角度数为x°，2x°，3x°，4x°，
则x+2x+3x+4x=360，解得：x=36，所以四边形的四个内角度数分别为36°，72°，108°，144°.
(共32张PPT)
2.1 多 边 形
第2课时
【知识再现】
多边形内角和定理：n边形的内角和等于
_________________.(n≥3).?
(n-2)·180°
【新知预习】阅读教材P36-P38，解决以下问题：
一、多边形的外角
1.定义：多边形的内角的一边与另一边的___________
_____所组成的角.?
2.多边形的外角和：在多边形的每个顶点处取一个外
角，它们的和叫作这个多边形的外角和.
反向延长
线
二、多边形的外角和的度数
任意多边形的外角和等于__________.?
360°
三、稳定性
木工师傅将新的门框上斜着钉上一根木条，可以使得
门框变得牢固.
你发现的规律：
1.三角形具有___________.?
2.四边形具有_____________.?
稳定性
不稳定性
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧！
1.(2019·北京中考)正十边形的外角和为 ( )
A.180° B.360°
C.720° D.1 440°
B
2.若一个三角形的外角和为a，一个五边形的内角和为
b，则a，b的关系是 ( )
A.a=b B.b-a=90°
C.b=2a D.b-a=180°
D
3.一个多边形的内角和比它的外角和多180度，则这个
多边形的边数是______.?
5
知识点 多边形外角和的应用(P37例2拓展)
【典例】【问题情景】
我们知道，多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫作多边形的外角.
如图1所示，∠CBD、∠BAF、∠ACE是△ABC的三个外角，下面我们来探究∠CBD、∠BAF、∠ACE和△ABC三内角之间的数量关系.
【方法感悟】
解：因为在△ABC中，
∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，
所以∠BAC+∠ACB=180°-∠ABC.
因为∠ABC+∠CBD=180°，
所以∠CBD=180°-∠ABC.
所以∠CBD=∠BAC+∠ACB.
同理可得：∠BAF=∠ABC+∠ACB，∠ACE=∠BAC+∠ABC.
因此，我们得到一个重要的结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
【解决问题】
(1)已知：如图2，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，请直接利用上述结论，试探究∠FDC+∠ECD与∠A的数量关系.
(2)已知：如图3，在△ADC中，DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系.
(3)已知：如图4，在四边形ABCD中，DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论直接写出∠P与∠A+∠B的数量关系._______ .?
【自主解答】(1)∵∠FDC=∠A+∠ACD，
∠ECD=∠A+∠ADC，
∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC=180°+∠A.
(2)∵DP平分∠ADC，
∴∠PDC= ∠ADC.
同理，∠PCD= ∠ACD.
∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD
=180°- (180°-∠A)=90°+ ∠A.
(3)略
【学霸提醒】
多边形内角和与外角和的“三点注意”
1.多边形的内角和是指所有内角的度数之和，而它的外角和是各个顶点处只取一个外角的和.
2.n边形的内角和是(n-2)·180°，外角和是360°.
3.由多边形的边数可以求得其内角和，反之亦可.
【题组训练】
1.下面设计的原理不是利用三角形稳定性的是( )
A.三角形的房架
B.自行车的三角形车架
C.斜钉一根木条的长方形窗框
D.由四边形组成的伸缩门
D
★2.(2019·遵义月考)若一个多边形的每个内角都相
等，且内角和是其外角和的4倍，则从此多边形的一个
顶点出发的对角线的条数是 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
C
★3.由图中所表示的已知角的度数，可知∠α的度数
为_________.?
50°
★★4.一个多边形的内角和是外角和的3倍，这个多边
形是_______边形，若这个多边形的每个内角都相等，
那么每个内角的度数是__________..?
八
135°
【火眼金睛】
在各内角都相等，各边都相等的多边形中，一个外角
等于一个内角的 ，求多边形的边数.
【正解】设这个多边形的一个内角为x°，
则一个外角等于 x°，
则x+ x=180，
解得x= .
所以多边形的边数为360÷ =7.
答：此多边形的边数为7.
【一题多变】
已知一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，求这个多边形的边数及对角线的条数.
解：设这个多边形的边数为n，
根据题意，得：(n-2)×180°=360°×2+180°，
解得 n=7，
则这个多边形的边数是7，七边形的对角线条数为
×7×(7-3)=14(条)，
所以多边形的边数为7，这个多边形的对角线的条数为14条.
【母题变式】
【变式一】(变换条件和问法)一个正多边形的一个内角等于它的一个外角的2倍，这个正多边形是几边形？这个正多边形的内角和是多少？
解：设这个正多边形的外角为x°，
由题意得：x+2x=180，
解得x=60，360°÷60°=6.
所以这个正多边形为六边形，内角和为
(6-2)×180°=720°.
【变式二】(变换条件和问法)若多边形的外角和与内角和之比是2∶9，求这个多边形的边数及内角和.
解：∵多边形的外角和与内角和之比是2∶9，
∴多边形的内角和为：360°× =1 620°，
由(n-2)·180°=1 620°，
得出：n=11，故这个多边形的边数为11，内角和为
1 620°.
