(共34张PPT)
2.2.2 平行四边形的判定
第1课时
【知识再现】
平行四边形的性质有：
(1)边：平行且_________.?
(2)角：对角_________，邻角_________.?
(3)对角线：_____________.?
相等
相等
互补
互相平分
【新知预习】阅读教材P44-P46，归纳结论：
利用如下四个除颜色不同外其他完全相同的三角形纸板进行拼图，将其拼成一个平行四边形.
思考：能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法？
你发现的规律：
平行四边形的判定
1.定义：两组对边分别_________的四边形.?
2.定理：
(1)一组对边_______________的四边形是平行四边形.?
(2)两组对边分别_________的四边形是平行四边形.
平行
平行且相等
相等
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧！
1.下列选项中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的
是 ( )
C
A.AD∥BC，AB∥CD
B.AB∥CD，AB=CD
C.AD∥BC，AB=DC
D.AB=DC，AD=BC
2.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是
( )
A.一组对边平行，另一组对边相等
B.一组对边平行，一组对角相等
C.一组对边平行，一组邻角互补
D.一组对边相等，一组邻角相等
B
知识点一 从一组对边的角度判定平行四边形
(P45例5拓展)
【典例1】如图，B，E，C，F在一条直线上，
已知AB∥DE，AC∥DF，BE=CF，连接AD.
求证：四边形ABED是平行四边形.
【规范解答】∵AB∥DE，AC∥DF，
∴∠B=∠DEF，∠ACB=∠F.
……………………两直线平行，同位角相等.
∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，………………等式的性质1
∴BC=EF.………………线段的和
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(ASA)，……全等三角形的判定
∴AB=DE.…………两全等三角形的对应边相等
又∵AB∥DE，
∴四边形ABED是平行四边形.
……………………平行四边形的判定定理
【学霸提醒】
从边的角度判定平行四边形的“两点注意”
1.已知两组对边：可以通过判定这两组对边分别平行，也可以判定这两组对边分别相等来证明四边形是平行四边形.
2.已知一组对边：需要证明这一组对边平行且相等.
【题组训练】
1.根据下列条件，能作出平行四边形的是( )
A.两组对边的长分别是3和5
B.相邻两边的长分别是3和5，且一条对角线长为9
C.一边的长为7，两条对角线的长分别为6和8
D.一边的长为7，两条对角线的长分别为6和5
A
★★2.(教材变形题·P46练习T2)如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点.
求证：四边形MNCD是平行四边形..
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵M，N分别是AD，BC的中点，
∴MD=NC，MD∥NC，
∴四边形MNCD是平行四边形.
知识点二 从两组对边的角度判定平行四边形
(P46例6拓展)
【典例2】如图，在四边形ABCD中，
AD∥BC，BD⊥AD，点E，F分别是
边AB，CD的中点，且DE=BF.求证：
四边形ABCD是平行四边形.
【自主解答】∵AD∥BC，BD⊥AD，
∴∠DBC=∠BDA=90°，
∵在Rt△ADB中，E是AB的中点，
∴DE= AB，
同理：BF= DC，
∵DE=BF，
∴AB=CD，
在Rt△ADB和Rt△CBD中，
∴Rt△ADB≌Rt△CBD(HL)，
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
【学霸提醒】
从两边的角度证明平行四边形的方法
1.两组对边分别平行的四边形.
2.两组对边分别相等的四边形.
【题组训练】
1.点A，B，C，D在同一平面内，若从①AB∥CD，②
AB=CD，③BC∥AD，④BC=AD这四个条件中选两个，不
能推导出四边形ABCD是平行四边形的选项是( )
A.①② B.①④ C.②④ D.①③
B
★2.(2019·济南市中区期末)如图，AD∥BC，要使四
边形ABCD成为平行四边形还需要添加的条件是
____________________________(只需写出一个即可)?
AD=BC(或AB∥CD答案不唯一)
★3.如图，AB=CD，BF=ED，AE=CF，由这些条件能得出
图中互相平行的线段共有 ( )
.
A.1组 B.2组
C.3组 D.4组
C
★★4.如图，四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D.
.
(1)四边形ABCD的外角和为______度.?
(2)找出图中的一对平行线，并证明.
(3)若∠A与∠B的度数之比是2∶1，求∠D的度数.
解：(1)四边形ABCD的外角和为360°.
答案：360
(2)AB∥CD或AD∥BC，
证明：∵∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∴∠A+∠D=∠A+∠B=180°，
∴AB∥CD，AD∥BC.
(3)∵∠A+∠B=180°，∠A∶∠B=2∶1，
∴∠B=60°，∴∠D=60°.
【火眼金睛】
在平行四边形ABCD中，点E，
F分别为一组对边的中点，
则图中有几个平行四边形？
并写出.
【正解】有6个平行四边形，分别为：?ABFE，?EFCD，?ABCD，?AFCE，?BFDE，?MFNE.
【一题多变】
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，
BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，
垂足分别为E，F.
(1)求证：△ABE≌△CDF.
(2)若AC与BD交于点O，求证：AC与BD互相平分.
证明：(1)∵AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF，
∵BF=DE，∴BF-EF=DE-EF，即BE=DF.
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，
∴△ABE≌△CDF.
(2)∵△ABE≌△CDF，∴AB=CD，
∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO.即AC与BD互相平分.
【母题变式】
如图，在?ABCD中，E，F为对角线BD上的两点，
且∠DAE=∠BCF.
求证：四边形AECF是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，∠DAB=∠BCD.
∵∠DAE=∠BCF，
∴∠ABE=∠CDF，∠BAE=∠DCF.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(ASA).
∴AE=CF.∠AEB=∠CFD，
∴∠AEF=∠CFE，∴AE∥CF，
∵AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形.
(共36张PPT)
2.2.2 平行四边形的判定
第2课时
【知识再现】
平行四边形的对角线_____________.?
互相平分
【新知预习】阅读教材P46-P47，归纳结论：
已知，四边形ABDC中，AO=DO，BO=CO.
求证：四边形ABDC是平行四边形.
证明：在△OAB和△ODC中，
∴△OAB≌△________，∴∠ABO=∠________，?
ODC
DCO
∴AB∥CD.
同理：AC∥BD，∴四边形ABDC是平行四边形.
你发现的规律：对角线_____________的四边形是平行
四边形.?
互相平分
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧！
如图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下
列判断正确的是 ( )
D
A.若AO=OC，则四边形ABCD是平行四边形
B.若AC=BD，则四边形ABCD是平行四边形
C.若AO=BO，CO=DO，则四边形ABCD是平行四边形
D.若AO=OC，BO=OD，则四边形ABCD是平行四边形
知识点 对角线互相平分的四边形是平行四边形
(P47例7拓展)
【典例】(2019·唐山路北区月考)(1)如图1所示，在
△ABC中，D为BC的中点，求证：AB+AC>2AD.
甲说：不可能出现△ABD≌△ACD，所以此题无法解
决；
乙说：根据倍长中线法，结合我们新学的平行四边形
的性质和判定，我们可延长AD至点E，使得DE=AD，连
接BE，CE，由于BD=DC，所以可得四边形ABEC是平行四
边形，请写出此处的依据：____________________
________ (平行四边形判定的文字描述)?
所以AC=BE，△ABE中，AB+BE>AE，
即AB+AC>2AD
请根据乙提供的思路解决下列问题：
(2)如图2，在△ABC中，D为BC的中点，AB=5，AC=3，AD=2，求△ABC的面积.
(3)如图3，在△ABC中，D为BC的中点，M为AC的中点，连接BM交AD于F，若AM=MF.求证：BF=AC.
【自主解答】(1)因为AE，BC都是对角线，且AD=DE，BD=DC，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴四边形ABEC是平行四边形.
答案：对角线互相平分的四边形是平行四边形
(2)略 (3)略
【学霸提醒】
判定平行四边形的方法选择
已知条件 证明思路
一组对边相等 1.另一组对边也相等
2.相等的边也平行
一组对边平行 1.另一组对边也平行
2.平行的边也相等
对角线相交 对角线互相平分
【题组训练】
1.如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
.
A.AB∥DC，AO=CO
B.AB∥DC，∠ABC=∠ADC
D
C.AB=DC，AD=BC
D.AB=DC，∠ABC=∠ADC
★2.如图，已知：在?ABCD中，E，F分别是AD，BC边的
中点，G，H是对角线BD上的两点，且BG=DH，则下列结
论中不正确的是 ( )
A
A.GF⊥FH B.GF=EH
C.EF与AC互相平分 D.EG=FH
★★3.已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AF=CE. .
(1)线段BE与DF之间有什么关系？请证明你的结论.
(2)若去掉题设中的AF=CE，请添加一个条件使BE与DF有以上同样的性质.
【解题指南】(1)利用SAS证明△ADF≌△CBE，从而得出DF与BE平行且相等.
(2)只要添加一个条件，能使得△ADF≌△CBE即可.
解：(1)DF与BE平行且相等.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠DAF=∠BCE，
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE(SAS)，
∴DF=BE，∠AFD=∠CEB，
∴∠DFC=∠BEA，∴DF∥BE，
综上可得DF与BE平行且相等.
(2)添加∠CBE=∠ADF.(答案不唯一)
【火眼金睛】
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，
AD∥BC，E，F是对角线AC上的两点，
AF=CE.请你猜想：BE与DF有怎样的
关系？并对你的猜想加以证明.
【正解】BE∥DF，BE=DF.
连接BD，交AC于点O，连接DE，BF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=OD，AO=CO，
又∵AF=CE，∴AE=CF，∴EO=FO，∴四边形BEDF是平行四边形，∴BE∥DF，BE=DF.
【一题多变】
如图，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE=DF.求证：四边形BECF是平行四边形. .
证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠AEB=∠DFC=90°，
∵AB∥CD，∴∠A=∠D，
在△AEB与△DFC中， ，
∴△AEB≌△DFC(ASA)，∴BE=CF.
∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴BE∥CF.
∴四边形BECF是平行四边形.
【母题变式】
【变式一】如图，在?ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G，H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE，EH，HF，FG.求证：
(1)△BEG≌△DFH.
(2)四边形GEHF是平行四边形.
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥DC，∴∠ABE=∠CDF，
∵AG=CH，∴BG=DH，
在△BEG和△DFH中，
∴△BEG≌△DFH(SAS).
(2)∵△BEG≌△DFH(SAS)，
∴∠BEG=∠DFH，EG=FH，
∴∠GEF=∠HFB，∴GE∥FH，
∴四边形GEHF是平行四边形.
【变式二】已知：AC是平行四边形ABCD的对角线，且BE⊥AC，DF⊥AC，连接DE，BF.求证：四边形BFDE是平行四边形.
证明：∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴BE∥DF，∠AEB=∠DFC=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF，
在△BAE和△DCF中
∴△BAE≌△DCF(AAS)，∴BE=DF，
∵BE∥DF，∴四边形BFDE是平行四边形.
