2020版八年级数学下册2.7正方形课件（48张ppt）（新版）湘教版

(共48张PPT)
2.7　正　方　形
【知识再现】
1.菱形的四条边都_________，矩形的四个角都为
_________.?
2.菱形的对角线互相_________，矩形的对角线
_________.?
　相等　
　直角　
　垂直　
　相等　
【新知预习】阅读教材P72-P74，归纳结论：
1.定义：有一组邻边_________且有一个角是
_________的平行四边形叫作正方形.(正方形既是矩形又是菱形).?
　相等　
　直角　
2.性质：①正方形的四条边_________，四个角都是
_________.②正方形的两条对角线相等，并且互相
_____________.每条对角线_________一组对角.
③正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形.?
　相等　
　直角　
　垂直平分　
　平分　
3.判定：①矩形+一组邻边_________=正方形；
②矩形+对角线互相_________=正方形；③菱形+
一个角为_________=正方形；④菱形+对角线
_________=正方形.
　相等　
　垂直　
　直角　
　相等　
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧！
1.(2019 ·成都简阳期末)正方形具有而菱形不一定
具有的特征有 (　 　)
C
A.对角线互相垂直平分
B.内角和为360°
C.对角线相等
D.对角线平分内角
2.(2019 ·辽阳期末)如图所示，在正方形ABCD中，E
是AC上的一点，且AB=AE，则∠EBC的度数是(　 　)
A.45度　　 B.30度
C.22.5度 D.20度
C
知识点一 正方形的性质(P73例1拓展)
【典例1】(2019·长沙中考)如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE=CF，AF与BE相交于点G.
(1)求证：BE=AF.
(2)若AB=4，DE=1，求AG的长.
【自主解答】(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE=∠ADF=90°，AB=AD=CD，
∵DE=CF，∴AE=DF，
在△BAE和△ADF中，
∴△BAE≌△ADF(SAS)，∴BE=AF.
(2)略
【学霸提醒】正方形的“边、角、对角线”
1.边：四条边都相等且每组对边平行.
2.角：四个角都是直角.
3.对角线：两条对角线相等且互相垂直平分，把正方
形分成四个全等的等腰直角三角形；每条对角线平分
一组对角，把正方形分成两个全等的等腰直角三角形.
【题组训练】
1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是 (　 　)
A.对角线相等　　　　B.对角线平分一组对角
C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直
C
★2.如图，正方形ABCD的四个顶点A，B，C，D正好
分别在四条平行线l1，l2，l3，l4上.若从上到下每
两条平行线间的距离都是2 cm，则正方形ABCD的
面积为 (　 　)
.
C
A.4 cm2 B.5 cm2
C.20 cm2 D.30 cm2
★3.(2019·聊城阳谷一模)如图，将边长为 的正
方形绕点B逆时针旋转30°，那么图中点M的坐标为
.(　 　)
A.( ，1)　　 B.(1， )
C.( ， ) D.( ， )
B
★★4.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，
点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，
那么CH的长是 (　 　)
A
知识点二 正方形的判定(P73例2拓展)
【典例2】已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形.
【思路点拨】先由BF∥CE，CF∥BE得出四边形BECF是平行四边形，又因为∠BEC=90°得出四边形BECF是矩形，又BE=CE得出邻边相等的矩形是正方形.
【自主解答】∵BF∥CE，CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形，
又∵在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，
∴∠EBC=∠ECB=45°，
∴∠BEC=90°，BE=CE，
∴四边形BECF是正方形.
【学霸提醒】 判定正方形的一般思路
【题组训练】
1.(2019 ·白银靖远期末)在四边形ABCD中，O是
对角线AC，BD的交点，能判定这个四边形为正方形
的是 (　 　)
D
A.AD∥BC，∠B=∠D
B.AC=BD，AB=CD，AD=BC
C.OA=OC，OB=OD，AB=BC
D.OA=OB=OC=OD，AC⊥BD
★2.如图，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线
MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角
平分线于点F，若点O运动到AC的中点，且∠ACB=
______时，四边形AECF是正方形. .
(　 　)?
D
A.30°　　　B.45°　　　C.60°　　　D.90°
★3.(2019·云南模拟)如图，平行四边形ABCD的对角
线互相垂直，要使ABCD成为正方形，还需添加的一个
条件是__________________________________(只需
添加一个即可)?
　∠ABC=90°或AC=BD(答案不唯一)　
★★4.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AE⊥BD于点O，交BC于点E，AD∥BC，连接CD， .
(1)求证：AO=EO.
(2)当△ABC满足什么条件时四边形ABED是正方形？请说明理由.
解：(1)∵AD∥BC，∴∠CBD=∠ADB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，又∵AE⊥BD，∴BO=DO，又∵∠AOD=∠EOB，∴△AOD≌△EOB，∴AO=EO.
(2)当△ABC满足∠ABC=90°时，四边形ABED是正方形.理由：∵△AOD≌△EOB，∴AD=BE，
又∵AD∥BE，AE⊥BD，∴四边形ABED是菱形，∴当∠ABC=90°时，菱形ABED是正方形，即当△ABC满足∠ABC=90°时，四边形ABED是正方形.
【火眼金睛】
如图，点E，F，M，N分别是正方形ABCD四条边上的点，若AE=BF=CM=DN，则四边形EFMN是什么图形？证明你的结论.
【正解】四边形EFMN是正方形，理由：
∵AE=BF=CM=DN，
∴AN=DM=CF=BE，
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴△AEN≌△DNM≌△CMF≌△BFE.
∴EF=EN=NM=MF，∠ENA=∠DMN.
∴四边形EFMN是菱形.
∵∠ENA=∠DMN，∠DMN+∠DNM=90°，
∴∠ENA+∠DNM=90°，∴∠ENM=90°.
∴四边形EFMN是正方形.
【一题多变】
如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，∠ADE=∠CDF..
(1)求证：AE=CF.
(2)连接DB交EF于点O，延长OB至点G，使OG=OD，连接EG，FG，判断四边形DEGF是怎样的四边形，并说明理由.
解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=DC，∠A=∠C=90°，
在△DAE和△DCF中，
∴△DAE≌△DCF，∴AE=CF.
(2)四边形DEGF是菱形，∵△DAE≌△DCF，
∴DE=DF，∵AE=CF，∴BE=BF，
∴DG是EF的垂直平分线，∴GE=GF，
∵OG=OD，DG⊥EF，∴ED=EG，
∴DE=EG=GF=FD，∴四边形DEGF是菱形.
【母题变式】
【变式一】(变换条件与问法)已知：在菱形ABCD中，E，F在BD上，∠ABC=45°，BE=DF=AE，求证：四边形AECF是正方形.
证明：如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，∴AO=CO，BO=DO，AC⊥BD，AB=AD，∠ABE= ∠ABC=22.5°.
∵BE=DF，∴OE=OF，
又∵AO=CO，∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥BD，∴四边形AECF是菱形，∴AE=AF，
∵AE=BE，∴∠ABE=∠BAE=22.5°，
∴∠AEF=∠ABE+∠BAE=45°，
∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE=45°，
∴∠EAF=90°，∴菱形AECF是正方形.
【变式二】(变换条件与问法)如图，在边长为2的正方形ABCD中，AE⊥DH于E，BF⊥AE于F，CG⊥BF于G，DH⊥CG于H，且∠ABF=∠BCG=∠CDH=∠DAE=30°.
(1)求证：四边形EFGH为正方形.
(2)求正方形EFGH的面积.
解：(1)∵AE⊥DH，DH⊥CG，∴AE∥CG，
同理：BF∥DH，∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AE⊥DH，∴∠FEH=90°，
∴平行四边形EFGH是矩形，
∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，
在△ABF和△DAE中
∴△ABF≌△DAE，∴AF=DE，BF=AE，
∴FG=FE，∴矩形EFGH是正方形.
(2)在Rt△ABF中，∠ABF=30°，AB=2，
∴AF=1，BF= ，
同理：AE= ，∴EF=AE-AF= -1，
∴S正方形EFGH=EF2=( -1)2=4-2 .