苏教版高中数学必修四教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：02任意角、弧度制(提高)

任意角和弧度制

【学习目标】
1.理解任意角的概念.掌握象限角、终边相同的角、终边在坐标轴上的角及区间角的表示方法。
2.了解弧度制的意义；掌握角的不同度量方法，能对弧度制和角度制进行正确的换算.
3.掌握弧度制下扇形的弧长和面积的计算公式，并能结合具体问题进行正确地运算。
【典型例题】
类型一：终边相同的角的集合
例1．在与10030°角终边相同的角中，求满足下列条件的角。
（1）最大的负角；（2）360°～720°内的角。
【思路点拨】根据终边相同的角之间相差周角的整数倍，我们可以表示出与10030°的角终边相同的角的集合，找出满足条件的k值，即可得到答案．
【答案】（1）―50°（2）670°
【解析】 （1）与10030°角终边相同的角的一般形式为=k·360°+10030°（k∈Z），由－360°＜k·360°+10030°≤0°，得－10390°＜k·360°≤－10030°，解得k=―28，故所求的最大负角为=―50°。
（2）由360°≤k·360°+10030°＜720°，得－9670°≤k·360°＜―9310°，解得k=―26。故所求的角为=670°。
【总结升华】把任意角化为+k·360°（k∈Z且0°≤＜360°）的形式，关键是确定k。可以用观察法（的绝对值较小），也可用竖式除法。
举一反三：
【变式】已知=－1910°。
（1）把写成（k∈Z，0°≤＜360°）的形式，指出它是第几象限的角。
（2）求，使与的终边相同，且－720°≤≤0°。
【答案】（1）－6×360°+250° 第三象限的角（2）－470°
【解析】（1）∵－1910°÷360°=－6余250°，
∴－1910°=－6×360°+250°，
相应的=250°，从而=－6×360°+250°是第三象限的角。
（2）令=250°+k·360°（k∈Z），
取k=―1，―2就得到满足―720°≤≤0°的角；
250°－360°=－110°，250°－720°=－470°。
例2．已知、的终边有下列关系，分别求、间的关系式。
（1）、的终边关于原点对称；
（2）、的终边关于x轴对称；
（3）、的终边关于y轴对称。
【答案】（1）（2）+=k·360°（3）+=(2k+1)·180°
【解析】 （1）由于、的终边互为反向延长线，故、相差180°的奇数倍（如下图①），于是（k∈Z）。
（2）由于与－的终边相同（如下图②），于是=－+k·360°，即+=k·360°（k∈Z）。
（3）由于－的终边与的终边互为反向延长线（如下图③），故－(－)=(2k+1)·180°，即+=(2k+1)·180°（k∈Z）

【总结升华】 首先在0°～360°范围内找出两个角的关系，然后再根据终边相同的角的概念写出完整答案。
举一反三：
【变式1】已知是任意角，则与的终边（ ）
A．关于坐标原点对称 B．关于轴对称
C．关于轴对称 D．关于直线对称
【答案】 B
类型二：角所在象限的研究
例3．若是第二象限角，试分别确定，，的终边所在的位置。
【思路点拨】因为是第二象限的角，所以k·360°+90°＜＜k·360°+180°，把上式两边都乘以2、、，然后对进行讨论，就可得 ，，的终边所在的位置。
【答案】第三、第四象限的角或角的终边在y轴的负半轴上；第一或第三象限的角；第一或第二象限或第四象限的角
【解析】
解法一：因为是第二象限的角，所以k·360°+90°＜＜k·360°+180°（k∈Z）。
（1）因为2k·360°+180°＜＜2k·360°+360°（k∈Z），故是第三、第四象限的角或角的终边在y轴的负半轴上。
（2）因为k·180°+45°＜＜k·180°+90°（k∈Z），当k=2n（n∈Z）时，n·360°+45°＜＜n·360°+90°；当k=2n+1（n∈Z）时，n·360°+225°＜＜n·360°+270°（k∈Z），所以是第一或第三象限的角。
（3）因为k·120°+30°＜＜k·120°+60°（k∈Z）。当k=3n（n∈Z）时，n·360°+30°＜＜n·360°+60°；当k=3n+1（n∈Z）时，n·360°+150°＜＜n·360°+180°；当k=3n+2（n∈Z）时，n·360°+270°＜＜n·360°+300°，所以是第一或第二象限或第四象限的角。
解法二：以为例讲解。把各象限均分3等份，再从x轴的正向的上方起依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并依次循环一周，则原来是第Ⅱ象限的符号所表示的区域即为的终边所在的
区域.由图可知，是第一、二、四象限角.
【总结升华】已知的范围，确定的范围，一般应先将的范围用不等式表示，然后再两边同除以n，根据k的取值进行分类讨论，以确定的范围，讨论角的范围时要做到不重不漏，尤其对象限界角应引起注意。
举一反三：

【变式1】若是第三象限的角，则2，分别是第几象限的角？
【答案】一、二象限或轴的正半轴上；二、四象限
【变式2】集合，，则( )
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】( 法一) 取特殊值-1，-3，-2，-1，0，1，2，3，4
(法二)在平面直角坐标系中，数形结合
(法三)集合M变形，
集合N变形，
是的奇数倍，是的整数倍，因此.
类型三：弧度制与角度制的互化
例4．用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合，如图所示（不包括边界）。

【思路点拨】这类题只要找到两射线对应的角，然后写成即可，注意。
【答案】（1）（2）
【解析】（1）如下图①，以OB为终边的角为330°，可看成是－30°，化为弧度，即，
而rad，∴所求集合为。
（2）如上图②，以OB为终边的角225°，可看成是－135°，化成弧度，即，
而rad，∴所求集合为。
【总结升华】在表示角的集合时，一定要使用统一的单位，只能用角度制或弧度制中的一种，不能混用。
例5．设角，，，。
（1）将，用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；
（2）将，用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们有相同终边的所有角。
【答案】（1） （2） ―612°和―252°； =―420°－60°
【解析】 要确定角所在的象限，只要把表示为=2kπ+0（k∈Z，0≤＜2π）的形式，由0所在的象限即可判定出所在的象限。
（1），
。
所以在第二象限，在第一象限。
（2），
设=k·360°+（k∈Z），
因为－720°≤＜0°，
所以－720°≤k·360°+108°＜0，
解得k=―2或k=―1，
所以在―720°～0°间与有相同终边的角是―612°和―252°。
同理=―420°，在―720°～0°间与有相同终边的角是－60°。
【总结升华】 ①在进行角度与弧度的换算时，关键是抓住πrad=180°，这一关系。②用弧度作为单位时，常出现π，如果题目没有特殊的要求，应当保留π的形式，不要写成小数。③角度制与弧度制不得混用，如，k∈Z；，k∈Z都是不正确的写法。
举一反三：

【变式1】分别使用角度制与弧度制表示下列角的集合：
(1) 与终边相同的角
(2) 终边在y轴正半轴上的角的集合
(3) 终边在y轴负半轴上的角的集合
(4) 终边在y轴上的角的集合
【答案】
（1），
（2），
（3），
（4），
类型四：扇形的弧长、面积与圆心角问题
例6．已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
【思路点拨】用弧长公式和扇形面积公式去求解
【答案】10 、2，100
【解析】设扇形的圆心角为，半径为r，弧长为，面积为S，则+2r=40，∴=40－2r，
∴。
∴当半径r=10 cm时，扇形的面积最大，最大面积为100 cm2，这时。
【总结升华】有关扇形的弧长，圆心角，面积S的题目，一般是知二求一的题目，解此类题目的关键在于灵活运用=||·R，两组公式，采用消元思想或二次函数思想加以解决。
举一反三：
【变式1】如图，扇形AOB的面积是4 cm2，它的周长是10 cm，求扇形的圆心角的弧度数及弦AB的长。
【答案】，
【解析】 设长为cm，扇形半径为R cm，则由题意，
得，解得 或 （不合题意，舍去）。
∴（rad）。
∴弦（cm）。
例7．将一条绳索绕在半径为40 cm的轮圈上，绳索的下端B处悬挂着物体W，如果轮子按逆时针方向每分钟旋转6圈，现想将物体W的位置向上提升100 cm，需要多长时间才能完成这一工作？
【思路点拨】关键是求弧长是100 cm时，弧长所对的圆心角是多少，进一步求出上升所用时间。
【答案】4
【解析】 如图，当BB＇=100 cm时，的长是100 cm，所对的圆心角。∵轮子每分钟匀速旋转6圆，∴每秒匀速转过，即，于是t秒转过rad，∴，解得。
【总结升华】 轮子按逆时针方向旋转，点A转过的弧长的长等于B点上升到B＇时的距离，这是本题中隐藏的等量关系。
举一反三：
【变式1】一个视力正常的人，欲看清一定距离的文字，其视角不得小于5′，试问：
（1）离人10 m处能阅读的方形文字的大小如何？
（2）欲看清长、宽约0.4 m的方形方字，人离开字牌的最大距离为多少？
【答案】（1）0.01454（2）275
【解析】（1）设文字的长、宽均为，则=10，这里=5′=0.001454，
所以=10×0.001454=0.01454（m）。
（2）设人离开字牌x m，则（m）。
【巩固练习】
1．下列命题中正确的是（ ）
A. 第一象限角必是锐角 B.终边相同的角必相等
C. 相等的角终边位置必定相同 D.不相等的角终边位置必定不相同
2．已知为第三象限角，则所在的象限是（ ）
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
3．角与角终边互为反向延长线，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，则所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第一或第二象限 D．第三或第四象限
5．将分针拨快20分钟，则分针转过的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
6．半径为1 cm，中心角为150°的角所对的弧长为（ ）
A．cm B．cm C．cm D．cm
7．设集合，，则集合A与B之间的关系为（ ）
A．A(B B．A(B C．A=B D．
8．扇形圆心角为，半径为a，则扇形内切圆的面积与扇形的面积之比为（ ）
A．1∶3 B．2∶3 C．4∶3 D．4∶9
9．与终边相同的最大负角是_______________．
10．一个半径为的扇形中，弦长为的扇形的圆心角的弧度数是 ．
11．若角，钝角与的终边关于轴对称，则= ；若任意角的终边关于轴对称，则的关系是 ．
12．圆心在原点，半径为2008的圆上的两个动点M、N同时从点P（2008，0）出发，沿圆周运动，M点按逆时针方向旋转，速度为弧度／秒，N点按顺时针方向旋转，速度为弧度／秒，则它们出发________秒后第三次相遇；相遇时M点走过的弧度数为________．
13．已知扇形OAB的中心角为4，其面积为2 cm2，求扇形的周长和弦AB的长．
14．已知，如图所示．
（1）分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．
15．如图，一长为dm，宽为1 dm的长方形木块在桌面上做无滑动翻滚，翻滚到第三面时，被一小木块挡住，使木块底面与桌面所成角为，试求点A走过的路程及走过的弧所在扇形的总面积．
【答案与解析】
1．【答案】C
【解析】由角的定义知C正确．
2．【答案】D
【解析】如图所示，所在的象限是第二或第四象限，故选D．
3．【答案】D
【解析】由、终边互为反向延长线知，=180°++k·360°，k∈Z．
4．【答案】C
【解析】∵，
∴设（n∈Z）．当n=2m（m∈Z）时，在第一象限；当m=2m+1（m∈Z）时，在第二象限；∴角在第一或第二象限．故选C．
5．【答案】A
【解析】把分针拨快，即分针顺时针旋转，所以这个角度是负角，又，故选A．
6．【答案】D
【解析】150°=，（cm）．
7．【答案】C
【解析】对于集合A，当时，；此时表示终边在轴正半轴上的任意角．
当时，，
此时仍表示终边在轴正半轴上的任意角，综合，A=B．
8．【答案】B
【解析】 由右图可知，内切圆半径r与扇形半径a的关系为a=3r．
∴
9．【答案】
【解析】
10．【答案】
11．【答案】，
【解析】由已知，作出角终边，依终边对称性可得，所以；由上述分析，换一个角度，可以得出一般性结论：与终边相同，所以，即．
12．【答案】12 2π
【解析】设从点P（2008，0）出发t秒后M、N第三次相遇，则它们走过的弧度之和为6π（三个圆周）．
于是有，解得t=12（秒），此时M点走了（弧度）．
13．【解析】设的长为，半径OA=r．
则，所以． ①
设扇形的中心角的弧度数为，
则，所以=4r．　　②
由①②解得r=1，=4．
所以扇形的周长为+2r=6（cm）．
如右图所示，作OH⊥AB于H，则（cm）．
14．【解析】（1）终边落在OA位置上的角的集合为{|=90°+45°+k·360°，k∈Z}={|=135°+k·360°，k∈Z}；
终边落在OB位置上的角的集合为{|=－30°+k·360°，k∈Z}．
（2）由题图可知，在―180°～180°范围内，终边落在阴影部分的角满足―30°≤≤135°，因此所求角的集合是所有与之终边相同的角的组成的集合，故该区域可表示为
{|―30°+k·360°≤≤135°+k·360°，k∈Z}．
15．【解析】在扇形ABA1中，圆心角恰为，弧长，面积．
在扇形A1CA2中，圆心角亦为，弧长，面积．
在扇形A2DA3中，圆心角为，弧长，
面积．
∴点A走过路程的长，
点A走过的弧所在扇形的总面积．