苏教版高中数学必修四教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：04任意角的三角函数(提高)
文档属性
| 名称 | 苏教版高中数学必修四教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：04任意角的三角函数(提高) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 433.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-03-16 10:07:35 | ||
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文档简介
任意角的三角函数
【学习目标】
1.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能由三角函数的定义求其定义域、函数值的符号.
2.理解单位圆、正弦线、余弦线、正切线的概念及意义.
3．会应用三角函数的定义解决相关问题。
【典型例题】
类型一：三角函数的定义
例1．（1）已知角的终边经过点P（－4a，3a）（a≠0），求sin，cos，tan，cot的值；
（2）已知角的终边在直线上，求sin，cos，tan的值。
【思路点拨】先根据点P（－4a，3a）求出OP的长；再分a＞0，a＜0两种情况结合任意角的三角函数的定义即可求出结论
【答案】（1），，，或，，，（2）或
【解析】 （1）。
若a＞0，则r=5a，角在第二象限，则
，，
，。
若a＜0，则r=－5a，角在第四象限，则
，，，。
（2）因为角的终边在直线上，
所以可设为角终边上任意一点。
则（a≠0）。
若a＞0，则为第一象限角，r=2a，所以
，
，
。
若a＜0，则为第三象限角，r=－2a，所以，，。
【总结升华】 三角函数值的大小与点P在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关。本题应注意把函数的图象看作以原点为端点的两条射线，故应有两种答案，要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题。
举一反三：
【变式1】已知角的终边上一点，且，求的值.
【解析】由题设知，，所以，得，
从而，
解得或.
当时，， ；
当时，， ；
当时，， .
【变式2】已知角的终边落在y=|2x|上，求值。
【答案】或
【解析】 y=|2x|，
取点P（1，2），
或
类型二：三角函数的符号
例2．（1）判断的符号；
（2）若sin=―2cos，确定tan的符号；
（3）已知为第二象限角，判断3sincos+2tan的符号；
（4）若sin＜0，cos＞0，则是第几象限角？
（5）若sin2＞0，且cos＜0，试确定终边所在象限？
【答案】（1）正（2）负（3）负（4）四（5）三
【解析】（1）因为，且是第三象限角，所以是第三象限角。所以。
（2）由sin=―2cos，知sin与cos异号，故是第二或第四象限角。当是第二象限角时，tan＜0；当是第四象限角时，tan＜0。综上知，tan＜0。
（3）因为为第二象限，所以sin＞0，cos＜0，tan＜0，所以3sincos+2tan＜0。
（4）因为sin＜0，所以为第三或第四象限角，
又cos＞0，所以为第一或第四象限角，
所以为第四象限角。
（5）因为sin2＞0，所以2kπ＜2＜2kπ+π（k∈Z），
所以（k∈Z）。
当k为偶数时，是第一象限；当k为奇数是，为第三象限象。所以为第一或第三象限角。
又因为cos＜0，所以为第二或第三象限角，或终边在x轴的非正半轴上。
综上知，角终边在第三象限。
【总结升华】第一象限角，函数值全为正；第二象限角，只有正弦值为正；第三象限角，正切值为正；第四象限角，只有余弦角为正。
举一反三：
【变式1】求函数的值域。
【答案】{－1，3}
【解析】 由题意知，角x的终边不在坐标轴上。
当x是第一象限角时，；
当x是第二象限角时，；
当x是第三象限角时，；
当x是第四象限角时，，
故函数的值域为{－1，3}。
【总结升华】本题主要考查三角函数值在各象限的符号，并将其与函数的值域、绝对值等有关知识结合进行综合考查。本题运用了分类讨论思想。分象限讨论各三角函数值的符号是解决这类问题的基本方法，注意讨论时要不重不漏，所有可能的情况要考虑全面。
类型三：诱导公式一的应用
例3．（1）；
（2）sin（―1740°）·cos1470°+cos（―660°）·sin750°+tan405°。
【思路点拨】首先把任意角的正弦、余弦、正切的函数分别化为0°到360°角的同一三角函数值，然后再求值。
【答案】（1）（2）2
【解析】（1）原式
。
（2）原式=sin(―10×180°+60°)·cos(8×180°+30°)+cos(―4×180°+60°)·sin(4×180°+30°)+tan(2×180°+45°)=sin60°·cos30°+cos60°·sin30°+tan45°=.
【总结升华】 在弧度制下，与角终边相同的角为，k∈Z，在角度制下终边相同的角为k·360°+，k∈Z。利用公式化简或求值时要熟记特殊角的函数值。
举一反三：
【变式1】设，其中a，b，，都是非零实数，若f（2006）=1，求f（2010）的值。
【答案】1
【解析】 由，即，得。
故。
类型四：三角函数线的应用
例4．若，求证：.
【思路点拨】利用正弦、余弦的三角函数线去证明。
【证明】
如图，设角的终边与单位圆相交于点P，单位圆与x轴正半轴的交点为A，过点A作圆的切线交OP的延长线于点T，过点P作PM⊥OA于点M，连接AP，则：
在Rt△POM中，sin=MP；
在Rt△AOT中，tan=AT。
又根据弧度制的定义，有。
易知S△POA＜S扇形POA＜S△AOT，
即，
即sin＜＜tan。
【总结升华】三角函数线是几何图形来表示数，即用几何方法表示三角函数值，是数形结合的有利工具，因此在三角证明求值等问题中，常会有意想不到的作用。
例5．在单位圆中画出满足下列条件的角的终边范围，并由此写出角的集合：
（1）；（2）。
【思路点拨】利用单位圆中的三角函数线去解。
【答案】（1）（2）
【解析】（1）作直线交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域，如下图①中阴影部分，即为角的终边的范围。
故满足条件的角的集合为。
（2）作直线交单位圆于C、D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域如上图②中阴影部分，即为角的终边的范围。
故满足条件的角的集合为。
【总结升华】 利用单位圆中三角函数线，可以非常直观方便地求出形如或的三角函数的角的范围，起到“以形助数”的作用。
举一反三：
【变式1】 求满足的的取值范围。
【答案】
【解析】作直线与单位圆交于A、B两点，连接OA、OB，阴影部分便是角的终边范围，如图所示。
终边在OA上的最小正角为，终边在OB上的最小正角为。
∴角的集合为。
类型五：三角函数定义域的求法
例6．求函数的定义域
【思路点拨】要使式子有意义，则必须使被开方数大于等于零，然后再解三角不等式。
【答案】
【解析】 ∵sin2x＞0，∴2kπ＜2x＜2kπ+π（k∈Z），
∴（k∈Z）。 ①
又9－x2≥0，∴－3≤x≤3。 ②
求①与②的交集如图所示，
得或。
故函数的定义域为。
【总结升华】求函数的定义域是一种重要题型，要注意利用数形结合的方法求解，特别注意tan本身的定义域；在求不等式的交集时，应注意利用数轴求解，有些三角不等式，我们还可以利用单位圆来求解。
举一反三：
【变式1】求函数的定义域。
【答案】
【解析】 由题意得。
由图可知：
sin x≥0时，角x的终边落在图中横线阴影部分；
tan x≤1时，角x的终边落中图中竖线阴影部分。
从终边落在双重阴影部分的角中排除使的角即为所求。
∴该函数的定义域为：
。
【变式2】求下列函数的定义域
（1）； （2）.
【答案】（1）（2）
【解析】
（1），
（2），
【巩固练习】
1．若P（3，y）是角终边上的一点，且满足y＜0，，则tan=（ ）
A． B． C． D．
2．下列三角函数值结果为正的是（ ）
A．cos100° B．sin700° C． D．
3．化简的值是（ ）
A． B． C． D．
4．若角的终边落在直线上，则的值等于（ ）．
A． B． C．或 D．
5．若sin＜0且tan＞0，则（ ）
A． B． C． D．以上均不对
6．设角A是第三象限角，且，则在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．已知，那么下列命题成立的是（ ）
A.若是第一象限角，则
B.若是第二象限角，则
C.若是第三象限角，则
D.若是第四象限角，则
8．已知点P（sin－cos，tan）在第一象限，则在[0，2π）内的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．若角终边上有一点，则的值为 ．
10．已知角的终边经过点P（）,且则的取值范围为 ．
11．若（k∈Z），则cos2=________；若，则=________．
12．方程在上有两个实数解，则实数的取值范围为 ．
13．已知角的终边过点P（－3cos，4cos），其中，求sin，cos，tan的值．
14．已知，
（1）比较、、的大小；（2）求证：．
15．求下列三角函数的定义域：
（1）；（2）．
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】 由知r=5，∴，∴．
2．【答案】C
【解析】 由于，在第三象限，∴．
3. 【答案】A
【解析】
4. 【答案】D
【解析】 ，
当是第二象限角时，；
当是第四象限角时，
5．【答案】D
【解析】 ∵sin＜0且tan＞0，∴是第三象限角，∴是第二、四象限角，∴与正负不确定，故A、B不对；而，C不对，故选D．
6．【答案】D
【解析】 ∵角A是第三象限角，则可能是第二或第四象限角，又，故，∴是第四象限，故选D．
7. 【答案】D
【解析】画出三角函数线即可．
8．【答案】B
【解析】 由题意，得，∴，
∴或，k∈Z，
而∈（0，2π），．
9．【答案】
【解析】
10．【答案】
【解析】因为cosa≤0,sina>0，所以π/2≤a＜π，所以P在第二象限或在y轴的正半轴上，所以3a-9≤0，且a+2＞0，解得-2＜a≤3．
11．【答案】 （k∈Z）
【解析】 当（k∈Z）时，；
当时，有或（k∈Z），
∴（k∈Z）．
12．【答案】
【解析】在单位圆中画出正弦线，若要使方程有两个实根，即一个函数值，能得到两个与之对应，只能是，解之得：．
13．【解析】因为，所以cos＜0，所以．
于是，，．
14．【解析】（1）设单位圆半径是1，sina=圆内小三角形面积S1×2，a=圆弧所围面积S2×2
tana=圆外大三角形面积S2×2，S3>S2>S2
所以：sina＜a＜tana
（2）在上图中，有三角形两边之和大于第三边，证得。
15．【解析】（1）如图（1），∵2cos x－1≥0，∴，
∴（k∈Z）．
（2）如图（2），∵3－4sin2x＞0，∴．
∴．
∴（k∈Z），
即（k∈Z）．
【学习目标】
1.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能由三角函数的定义求其定义域、函数值的符号.
2.理解单位圆、正弦线、余弦线、正切线的概念及意义.
3．会应用三角函数的定义解决相关问题。
【典型例题】
类型一：三角函数的定义
例1．（1）已知角的终边经过点P（－4a，3a）（a≠0），求sin，cos，tan，cot的值；
（2）已知角的终边在直线上，求sin，cos，tan的值。
【思路点拨】先根据点P（－4a，3a）求出OP的长；再分a＞0，a＜0两种情况结合任意角的三角函数的定义即可求出结论
【答案】（1），，，或，，，（2）或
【解析】 （1）。
若a＞0，则r=5a，角在第二象限，则
，，
，。
若a＜0，则r=－5a，角在第四象限，则
，，，。
（2）因为角的终边在直线上，
所以可设为角终边上任意一点。
则（a≠0）。
若a＞0，则为第一象限角，r=2a，所以
，
，
。
若a＜0，则为第三象限角，r=－2a，所以，，。
【总结升华】 三角函数值的大小与点P在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关。本题应注意把函数的图象看作以原点为端点的两条射线，故应有两种答案，要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题。
举一反三：
【变式1】已知角的终边上一点，且，求的值.
【解析】由题设知，，所以，得，
从而，
解得或.
当时，， ；
当时，， ；
当时，， .
【变式2】已知角的终边落在y=|2x|上，求值。
【答案】或
【解析】 y=|2x|，
取点P（1，2），
或
类型二：三角函数的符号
例2．（1）判断的符号；
（2）若sin=―2cos，确定tan的符号；
（3）已知为第二象限角，判断3sincos+2tan的符号；
（4）若sin＜0，cos＞0，则是第几象限角？
（5）若sin2＞0，且cos＜0，试确定终边所在象限？
【答案】（1）正（2）负（3）负（4）四（5）三
【解析】（1）因为，且是第三象限角，所以是第三象限角。所以。
（2）由sin=―2cos，知sin与cos异号，故是第二或第四象限角。当是第二象限角时，tan＜0；当是第四象限角时，tan＜0。综上知，tan＜0。
（3）因为为第二象限，所以sin＞0，cos＜0，tan＜0，所以3sincos+2tan＜0。
（4）因为sin＜0，所以为第三或第四象限角，
又cos＞0，所以为第一或第四象限角，
所以为第四象限角。
（5）因为sin2＞0，所以2kπ＜2＜2kπ+π（k∈Z），
所以（k∈Z）。
当k为偶数时，是第一象限；当k为奇数是，为第三象限象。所以为第一或第三象限角。
又因为cos＜0，所以为第二或第三象限角，或终边在x轴的非正半轴上。
综上知，角终边在第三象限。
【总结升华】第一象限角，函数值全为正；第二象限角，只有正弦值为正；第三象限角，正切值为正；第四象限角，只有余弦角为正。
举一反三：
【变式1】求函数的值域。
【答案】{－1，3}
【解析】 由题意知，角x的终边不在坐标轴上。
当x是第一象限角时，；
当x是第二象限角时，；
当x是第三象限角时，；
当x是第四象限角时，，
故函数的值域为{－1，3}。
【总结升华】本题主要考查三角函数值在各象限的符号，并将其与函数的值域、绝对值等有关知识结合进行综合考查。本题运用了分类讨论思想。分象限讨论各三角函数值的符号是解决这类问题的基本方法，注意讨论时要不重不漏，所有可能的情况要考虑全面。
类型三：诱导公式一的应用
例3．（1）；
（2）sin（―1740°）·cos1470°+cos（―660°）·sin750°+tan405°。
【思路点拨】首先把任意角的正弦、余弦、正切的函数分别化为0°到360°角的同一三角函数值，然后再求值。
【答案】（1）（2）2
【解析】（1）原式
。
（2）原式=sin(―10×180°+60°)·cos(8×180°+30°)+cos(―4×180°+60°)·sin(4×180°+30°)+tan(2×180°+45°)=sin60°·cos30°+cos60°·sin30°+tan45°=.
【总结升华】 在弧度制下，与角终边相同的角为，k∈Z，在角度制下终边相同的角为k·360°+，k∈Z。利用公式化简或求值时要熟记特殊角的函数值。
举一反三：
【变式1】设，其中a，b，，都是非零实数，若f（2006）=1，求f（2010）的值。
【答案】1
【解析】 由，即，得。
故。
类型四：三角函数线的应用
例4．若，求证：.
【思路点拨】利用正弦、余弦的三角函数线去证明。
【证明】
如图，设角的终边与单位圆相交于点P，单位圆与x轴正半轴的交点为A，过点A作圆的切线交OP的延长线于点T，过点P作PM⊥OA于点M，连接AP，则：
在Rt△POM中，sin=MP；
在Rt△AOT中，tan=AT。
又根据弧度制的定义，有。
易知S△POA＜S扇形POA＜S△AOT，
即，
即sin＜＜tan。
【总结升华】三角函数线是几何图形来表示数，即用几何方法表示三角函数值，是数形结合的有利工具，因此在三角证明求值等问题中，常会有意想不到的作用。
例5．在单位圆中画出满足下列条件的角的终边范围，并由此写出角的集合：
（1）；（2）。
【思路点拨】利用单位圆中的三角函数线去解。
【答案】（1）（2）
【解析】（1）作直线交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域，如下图①中阴影部分，即为角的终边的范围。
故满足条件的角的集合为。
（2）作直线交单位圆于C、D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域如上图②中阴影部分，即为角的终边的范围。
故满足条件的角的集合为。
【总结升华】 利用单位圆中三角函数线，可以非常直观方便地求出形如或的三角函数的角的范围，起到“以形助数”的作用。
举一反三：
【变式1】 求满足的的取值范围。
【答案】
【解析】作直线与单位圆交于A、B两点，连接OA、OB，阴影部分便是角的终边范围，如图所示。
终边在OA上的最小正角为，终边在OB上的最小正角为。
∴角的集合为。
类型五：三角函数定义域的求法
例6．求函数的定义域
【思路点拨】要使式子有意义，则必须使被开方数大于等于零，然后再解三角不等式。
【答案】
【解析】 ∵sin2x＞0，∴2kπ＜2x＜2kπ+π（k∈Z），
∴（k∈Z）。 ①
又9－x2≥0，∴－3≤x≤3。 ②
求①与②的交集如图所示，
得或。
故函数的定义域为。
【总结升华】求函数的定义域是一种重要题型，要注意利用数形结合的方法求解，特别注意tan本身的定义域；在求不等式的交集时，应注意利用数轴求解，有些三角不等式，我们还可以利用单位圆来求解。
举一反三：
【变式1】求函数的定义域。
【答案】
【解析】 由题意得。
由图可知：
sin x≥0时，角x的终边落在图中横线阴影部分；
tan x≤1时，角x的终边落中图中竖线阴影部分。
从终边落在双重阴影部分的角中排除使的角即为所求。
∴该函数的定义域为：
。
【变式2】求下列函数的定义域
（1）； （2）.
【答案】（1）（2）
【解析】
（1），
（2），
【巩固练习】
1．若P（3，y）是角终边上的一点，且满足y＜0，，则tan=（ ）
A． B． C． D．
2．下列三角函数值结果为正的是（ ）
A．cos100° B．sin700° C． D．
3．化简的值是（ ）
A． B． C． D．
4．若角的终边落在直线上，则的值等于（ ）．
A． B． C．或 D．
5．若sin＜0且tan＞0，则（ ）
A． B． C． D．以上均不对
6．设角A是第三象限角，且，则在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．已知，那么下列命题成立的是（ ）
A.若是第一象限角，则
B.若是第二象限角，则
C.若是第三象限角，则
D.若是第四象限角，则
8．已知点P（sin－cos，tan）在第一象限，则在[0，2π）内的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．若角终边上有一点，则的值为 ．
10．已知角的终边经过点P（）,且则的取值范围为 ．
11．若（k∈Z），则cos2=________；若，则=________．
12．方程在上有两个实数解，则实数的取值范围为 ．
13．已知角的终边过点P（－3cos，4cos），其中，求sin，cos，tan的值．
14．已知，
（1）比较、、的大小；（2）求证：．
15．求下列三角函数的定义域：
（1）；（2）．
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】 由知r=5，∴，∴．
2．【答案】C
【解析】 由于，在第三象限，∴．
3. 【答案】A
【解析】
4. 【答案】D
【解析】 ，
当是第二象限角时，；
当是第四象限角时，
5．【答案】D
【解析】 ∵sin＜0且tan＞0，∴是第三象限角，∴是第二、四象限角，∴与正负不确定，故A、B不对；而，C不对，故选D．
6．【答案】D
【解析】 ∵角A是第三象限角，则可能是第二或第四象限角，又，故，∴是第四象限，故选D．
7. 【答案】D
【解析】画出三角函数线即可．
8．【答案】B
【解析】 由题意，得，∴，
∴或，k∈Z，
而∈（0，2π），．
9．【答案】
【解析】
10．【答案】
【解析】因为cosa≤0,sina>0，所以π/2≤a＜π，所以P在第二象限或在y轴的正半轴上，所以3a-9≤0，且a+2＞0，解得-2＜a≤3．
11．【答案】 （k∈Z）
【解析】 当（k∈Z）时，；
当时，有或（k∈Z），
∴（k∈Z）．
12．【答案】
【解析】在单位圆中画出正弦线，若要使方程有两个实根，即一个函数值，能得到两个与之对应，只能是，解之得：．
13．【解析】因为，所以cos＜0，所以．
于是，，．
14．【解析】（1）设单位圆半径是1，sina=圆内小三角形面积S1×2，a=圆弧所围面积S2×2
tana=圆外大三角形面积S2×2，S3>S2>S2
所以：sina＜a＜tana
（2）在上图中，有三角形两边之和大于第三边，证得。
15．【解析】（1）如图（1），∵2cos x－1≥0，∴，
∴（k∈Z）．
（2）如图（2），∵3－4sin2x＞0，∴．
∴．
∴（k∈Z），
即（k∈Z）．