苏教版高中数学必修四教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：08三角函数的诱导公式(提高)

三角函数的诱导公式

【学习目标】
1．借助单位圆中的三角函数线导出诱导公式(的正弦、余弦、正切)；
2．掌握并运用诱导公式求三角函数值，化简或证明三角函数式.
【典型例题】
类型一：利用诱导公式求值

例1．求下列各三角函数的值：
（1）；
（2）
（3）
【思路点拨】利用诱导公式把所求角化为我们熟悉的锐角去求解．
【答案】（1）0（2）（3）
【解析】（1）原式=

（2）原式=
=
=
（3）原式=
=
=
=
【总结升华】（1）对任意角求三角函数值，一般遵循“化负为正，化大为小”的化归方向，但是在具体的转化过程中如何选用诱导公式，方法并不唯一，这就需要同学们去认真体会，适当选择，找出最好的途径，完成求值．
（2）运用诱导公式求任意三角函数值的过程的本质是化任意角的三角函数为锐角三角函数的过程，而诱导公式就是这一转化的工具．
举一反三：
【变式】（1）；（2）；（3）tan（－855°）．
【答案】（1）（2）（3）1
【解析】（1）
．
（2）．
（3）tan(－855°)=tan(－3×360°+225°)=tan225°=tan(180°+45°)=tan45°=1．
例2．已知函数，其中a、b、、都是非零实数，又知f（2009）=－1，求f（2010）．
【解析】
．
∵f（2009）=－1 ∴．
∴
．
【总结升华】 求得式子，它是联系已知和未知的纽带．解决问题的实质就是由未知向已知的转化过程，在这个转化过程中一定要抓住关键之处．
举一反三：
【变式1】 已知，其中为第三象限角，求cos(105°―)+sin(―105°)的值．
【答案】
【解析】 ∵cos(105°－)=cos[180°－(75°+)]=－cos(75°+)=,
sin(―105°)=―sin[180°－(75°+)]=－sin(75°+)，
∵为第三象限角，
∴75°+为第三、四象限角或终边落在y轴负半轴上．
又cos(75°+)=＞0，∴75°+为第四象限，
∴．
∴．
【总结升华】 解答这类给值求值的问题，关键在于找到已知角与待求角之间的相互关系，从而利用诱导公式去沟通两个角之间的三角函数关系，如：75°+=180°－(105°－)或105°－=180°－(75°+)等．
【变式2】已知，，且0＜＜π，0＜＜π，求和的值．
【解析】由已知得，．
两式平方相加，消去，得，
∴，而，
∴，∴或．
当时，，又，∴；
当时，，又，∴．
故，或，．
类型二：利用诱导公式化简
例3．化简
(1)；
(2).
【思路点拨】化简时，要认真观察“角”，显然利用诱导公式，但要注意公式的合理选用.
【答案】（1）-1（2）略
【解析】(1)原式；
(2)①当时，原式.
②当时，原式.
【总结升华】(1)诱导公式应用的原则是：负化正，大化小，化到锐角就终了；
(2)关键抓住题中的整数是表示的整数倍与公式一中的整数有区别，所以必须把分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论.
举一反三：
【变式1】化简
（1）；
（2）；
（3）
（4），．
【解析】（1）原式=
=
=
（2）
（3）原式==0
（4）由(kπ+)+(kπ―)=2kπ，[(k―1)π―]+[(k+1)π+]=2kπ，
得，
．
故原式．
【总结升华】 常见的一些关于参数k的结论：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
类型三：利用诱导公式进行证明
例4．设，求证：．
【思路点拨】证明此恒等式可采取从“繁”到“简”，从左边到右边的方法．
【证明】 证法一：左边
=右边．
∴等式成立．
证法二：由，得，
∴左边
=右边，
∴等式成立．
举一反三：

【变式1】设A、B、C为的三个内角，求证：
（1）；
（2）；
（3）
【解析】（1）左边==右边，等式得证．
（2）左边===右边，等式得证．
（3）左边==右边，等式得证．
【变式2】求证：．
证明：∵左边
，
右边，
∴左边=右边，故原式得证．
类型四：诱导公式的综合应用
例5．已知．
（1）化简；
（2）若是第三象限的角，且，求的值．
（3）若，求的值．
【解析】 （1）．
（2）∵，
∴，
∴．∴．
（3）．
【总结升华】这是一个与函数相结合的问题，解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用时导致的混乱．
举一反三：
【变式1】已知、均为锐角，，若，求的值．
【解析】由得
，又、均为锐角．
则，即．
于是，．
【巩固练习】
1．sin585°的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则的值等于（ ）
A．―1 B．1 C． D．0
4．等于（ ）
A．sin2－cos2 B．cos2－sin2 C．±（sin2－cos2） D．sin2+cos2
5．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．在△ABC中，若，则△ABC必是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
7．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．计算：＝ ．
10．若，为第三象限角，则的值是 ．
11．已知，则__________.
12．（1）cos1°+cos2°+cos3°+…+cos180°的值为________；
（2）cos21°+cos22°+cos23°+…+cos289°的值为________。
13. 已知、均为锐角，。若，求的值。
14．化简：，k∈Z
15．已知tan，是关于x的方程x2―kx+k2―3=0的两实根，且。
求的值。
【答案与解析】
1．【答案】A
【解析】sin585°=sin(360°+225°)=sin225°=sin(180°+45°)=－sin45°=。
2．【答案】C
【解析】，所以
3．【答案】A
【解析】。
4．【答案】A
【解析】原式=
5．【答案】B
【解析】原式=，由。
而，∴。
原式=sincos=3cos2=。
6．【答案】C
【解析】由已知，得，所以或，故选C。
7．【答案】B
【解析】，因为，
所以。故选B。
8．【答案】A
【解析】因为，，故
9．【答案】0
【解析】原式===
10．【答案】
【解析】原式==
=
=
11．【答案】
【解析】由已知得：
12．【答案】（1）－1 （2）
【解析】（1）因为cos(180°―)=―cos，所以cos+cos(180°―)=0，故cos1°+cos2°+cos3°+…+cos180°=(cos1°+cos179°)+(cos2°+cos178°)+…+cos(89°+cos91°)+cos90°+cos180°=―1。
（2）cos21°+cos22°+cos23°+…cos289°=cos21°+cos22°+cos244°+cos245°+sin244°+…+sin22°+sin21°=(sin21°+cos21°)+(sin22°+sin22°)+…+(sin244°+cos244°)+cos245°=.
13．【解析】由，得。
又、均为锐角，则，即。
于是，。
14．【解析】（1）当k=2n，n∈Z时，
原式
。
（2）当k=2n+1，k∈Z时，
原式
。
15．【解析】∵tan，是方程x2―kx+k2―3=0的两根，
∴，即 ，
∴，∴，故k=2。
即，。
∴。
∴。