苏教版高中数学必修四教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：10正弦函数的图象与性质及三角函数的周期性(提高)

弦函数的图象和性质以及三角函数的周期性

【学习目标】
1.能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象.
2.借助图象理解正弦函数的性质.
【典型例题】
类型一：“五点法”作正弦函数的图象
例1．作出函数在[－2π，2π]上的图象．
【思路点拨】由于，因此只需作出函数y=|cos x|，x∈[－2π，2π]的图象即可．
【解析】函数y=|cos x|，x∈[－2π，2π]的图象可采用将函数y=cos x，x∈[－2π，2π]的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方的方法得到，所得图象如下图所示．

【总结升华】 作图是一项很重要的能力，而“五点法”是作三角函数图象的一种非常简便的方法．在利用“五点法”作图时，一定要弄清楚是哪五点，为什么要取这五点等．此外第（2）小题中我们使用了对称变换，并且我们还可以发现，加了绝对值后，其周期变为原来的一半了．
举一反三：
【变式】用五点法作出，函数的图象．
【思路点拨】取上五个关键的点（0，2）、（，1）、、、（2，2）．（2）取上五个关键的点．
【解析】 （1）找出五点，列表如下：
x
0
0
1
0
－1
0
y=2－u
2
1
2
3
2
描点作图（如下图）．

【总结升华】在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，即可得到函数的简图，这种近似的“五点法”是非常实用的．
类型二：利用图象的变换作正弦函数图象
例2．作函数的图象；
【思路点拨】要善于利用函数的图象来作及的图象。
【解析】将化为，其图象如下图。

【总结升华】 函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换，一般地，函数的图象与的图象关于y轴对称，与的图象关于x轴对称，和图象与的图象关于原点对称，的图象关于y轴对称。
类型三：正弦函数定义域与值域
例3．求函数的定义域
【答案】
【解析】依题意得2sin x－1＞0，即，∴（k∈Z），
∴函数的定义域为．
【总结升华】求三角函数的定义域要注意三角函数本身的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步都保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围．
例4．求下列函数的值域：
（1）y=|sin x|+sin x；
（2），；
【解析】 （1）∵，
又∵－1≤sin x≤1，∴y∈[0，2]，即函数的值域为[0，2]。
（2）∵，∴。
∴。∴，
∴0≤y≤2。∴函数的值域为[0，2]。
【总结升华】一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质．
举一反三：
【变式】求函数y=3sin2x－4sin x+1，的值域。
【答案】
【解析】，
令t=sin x，因为，所以t∈[0，1]，
，t∈[0，1]，所以。
类型四：正弦函数单调性
例5．求下列函数的单调递增区间：
（1）；（2）。
【思路点拨】（1）要将原函数化为再求之（2）这个函数是复合函数，复合函数的单调性要由“内函数”和“外函数”的单调性共同决定，即“同增异减”。
【解析】（1）.
故由2kπ-≤-≤2kπ+.
3kπ-≤x≤3kπ+(k∈Z)，为单调减区间；
由2kπ+≤-≤2kπ+.
3kπ+≤x≤3kπ+(k∈Z)，为单调增区间.
∴递减区间为［3kπ-，3kπ+］，
递增区间为［3kπ+，3kπ+］(k∈Z).
（2）由sin x＞0，得2k＜x＜2k+（k∈Z）。
∵，∴函数的递增区间即为u=sin x的递减区间，
∴（k∈Z）。
故函数的递增区间为（k∈Z）。
【总结升华】（1）求函数的单调区间时，应由（k∈Z）或（k∈Z），求得x的范围，即为函数的单调区间，这实际上是换元法的应用。
（2）求单调区间应在定义域内求解。
举一反三：
【变式1】求函数y=-｜sin(x+)｜的单调区间：
【答案】y=-|sin(x+)|的图象的增区间为［kπ+，kπ+］，
减区间为［kπ-，kπ+］.
【变式2】三个数，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
类型五：正弦函数的奇偶性
例6．判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）。
（3）。
【解析】（1）∵x∈R，，
∴，
∴函数为偶函数。
（2）由1+sin x≠0，即sin x≠－1，∴（k∈Z），
∴原函数的定义域不关于原点对称，
∴既不是奇函数也不是偶函数。
（3）函数定义域为R。
，
∴函数为奇函数。
【总结升华】判断函数奇偶数时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间。如果是，再验证是否等于或，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数。
举一反三：
【变式】关于x的函数=sin(x+)有以下命题：
①对任意的，都是非奇非偶函数；
②不存在，使既是奇函数，又是偶函数；
③存在，使是奇函数；
④对任意的，都不是偶函数.
其中一个假命题的序号是_____.因为当=_____时，该命题的结论不成立.
【思路点拨】
当=2kπ，k∈Z时，=sinx是奇函数.
当=2(k+1)π，k∈Z时仍是奇函数.
当=2kπ+，k∈Z时，=cosx，
当=2kπ-，k∈Z时，=-cosx，都是偶函数.
所以②和③都是正确的.无论为何值都不能使恒等于零.所以不能既是奇函数又是偶函数.①和④都是假命题.
【解析】①，kπ(k∈Z)；或者①，+kπ(k∈Z)；或者④，+kπ(k∈Z)
类型六：正弦函数的对称性
例7．指出函数的对称轴与对称中心；
【解析】令，则的对称轴方程是（k∈Z），即（k∈Z），解得（k∈Z）。
∴函数的对称轴方程是（k∈Z）。
同理，对称中心的横坐标为，，即对称中心为。
举一反三：
【变式1】若的图象关于直线对称，则a=________。
【答案】
【变式2】已知函数（a，b为常数，a≠0，x∈R）的图象关于直线对称，则函数是（ ）
A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称
B．偶函数且它的图象关于点对称
C．奇函数且它的图象关于点对称
D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称
【答案】 D
【解析】 由题意知的图象关于对称，∴。
∴a=－b，。
∴。
∴为奇函数且其图象关于（π，0）对称，故选D。
类型七：正弦函数的周期
例8．求函数的周期。
【思路点拨】可直接利用公式；
【答案】（2）
【解析】∵ω=3，∴。
【总结升华】求函数周期的方法大致有三种：（1）函数（A＞0，≠0，x∈R）的周期皆用公式：求解；（2）含绝对值符号的三角函数的周期可依据其图象得到，如函数的周期为，而函数的周期为π，与函数的周期相同；（3）利用周期函数的定义求函数周期。
举一反三：
【变式1】已知函数，使f (x)的周期在内，求正整数k .
【答案】
【解析】 ，
解得，所以
所以的取值为
类型八：利用函数图象解简单的三角不等式
例9．根据正弦曲线求满足的x的范围．
【思路点拨】先在一个周期内求出x的范围，然后加上周期的整数倍．
【解析】在同一坐标系内作出函数y=sin x与的图象，如下图．

观察在一个周期的闭区间内的情形，满足的．
因为正弦函数的周期是2π，所以满足的x的范围是．
【总结升华】（1）一般地，对于y=sin x，观察其一个周期常常是[0，2π]或；对于y=cos x，观察其一个周期常常是[0，2π]或[－π，π]．
（2）数形结合是重要的数学思想，它能把抽象的问题形象化、直观化，平时解题时要注意运用．
（3）正、余弦函数的图象有很多重要的应用，其中利用正弦函数的图象求角的范围（即解三角不等式）是基本的应用之一，要注意结合函数的图象特点和正、余弦函数的周期性等进行求解．
举一反三：
【变式1】已知，解不等式．
【解析】画出函数y=sin x，的图象，画出函数的图象，如下图，两函数的图象交于A、B两点，其中，，故满足的x的取值范围是．

类型九：三角函数图象的综合应用
例10．（1）方程的解的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
（2）若函数，x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．
（3）当k为何值时，方程sin x+2|sin x|=k有一解、两解、三解、四解？
【答案】 （1）D （2）1＜k＜3（3）k=3时，方程有一解；1＜k＜3时，方程有两解；k=1或k=0时，方程有三解；0＜k＜1时，方程有四解．
【解析】 （1）作出与的图象，当时，，，当时，，与再无交点．如图所示，由图知有三个交点，∴方程有三个解．
（2）．
图象如图，由图象可知1＜k＜3．
（3）由图象易知k=3时，方程有一解；1＜k＜3时，方程有两解；k=1或k=0时，方程有三解；0＜k＜1时，方程有四解．
【总结升华】利用函数图象讨论不等式的解集和方程的实数根的个数，既直观又简捷，这就是我们常说的“数形结合”思想在解题中的应用，请认真体会．
举一反三：
【变式1】画出图象，判断在[0，2π]内使sin x＞cos x成立的x的取值范围．
【解析】用“五点法”作出y=sin x，y=cos x（0≤x≤2π）的简图如图．
由图象可知（1）当或时，sin x=cos x．
（2）当时，sin x＞cos x．
（3）当或时，sin x＜cos x．
故x∈[0，2π]时要使sin x＞cos x，则x的取值范围为．
例11．已知是定义在实数集上的函数，且对任意x都有。
（1）求证：是周期函数；
（2）若，试求的值。
【思路点拨】证明函数的周期性，一般都是用定义证明，即，就是周期。
【答案】（1）略（2）
【解析】 （1）证明：由已知，∴。
∴。
∴，即。
∴是以8为周期的函数。
（2）∵。
由，
∴。
【总结升华】（1）证明函数是周期函数：一可利用定义（x为定义域内任意值都成立），则常数T（T≠0）为的周期；二可利用函数的图象判断出函数的周期。
（2）周期函数的函数值是当自变量满足x1=nT+x2（n∈Z，T为周期），则。
【巩固练习】
1．函数y=1－sin x，x∈[0，2π]的大致图象是下列图象中的（ ）

2．函数y=2+sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y=2的交点个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
3.函数的图象的一条对称轴方程是( )
A. B. C. D.
4．方程的解的个数是( )
A. B. C. D.
5．定义在R上的函数既是偶函数，又是周期函数，若的最小正周期为π，且当时，则（ ）
A． B． C． D．
6． 的值域是( )
A. B. C. D.
7．已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（ ）.
A. 关于点对称 B. 关于直线对称
C. 关于点对称 D. 关于直线对称
8．设函数，x∈R，对于以下三个结论：
①函数的值域是[－1，1] ②当且仅当（k∈Z）时，取得最大值1 ③当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+（k∈Z）时，．根据函数的图象判断其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．函数的定义域是_________．
10．已知，且，则=________．
11．方程的根的个数为________．
12.设，若函数在上单调递增，则的取值范围是________.
13．函数的图象为C，以下结论中正确的是________．（写出所有正确结论的编号）
①图象C关于直线对称；
②图象C关于点对称；
③函数在区间内是增函数；
④由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C．
14．设定义在R上的函数满足，若f（1）=2，则f（2011）=________ ．
15．作函数的图象．
16．已知函数．
（1）求的定义域、值域；
（2）判断的奇偶性．
【答案与解析】
1．【答案】B
【解析】先由y=sin x，x∈[0，2π]的图象，作出y=－sin x，x∈[0，2π]的图象，再画出y=1－sin x，x∈[0，π2]的图象．
2．【答案】A
【解析】在同一坐标系中作y=2+sin x与y=2的图象，再观察交点个数．
3. 【答案】C
【解析】(法一：数形结合；法二：特殊值代入检验).
4．【答案】C
【解析】在同一坐标系中分别作出函数的图象，左边三个交点，右边三个交点，再加上原点，共计个.
5．【答案】D
【解析】．
6．【答案】D
【解析】.
7．【答案】A
8．【答案】C
【解析】作出正弦函数y=sin x，x∈R的图象（如下图），从图中可以看出①②正确，③错误．

9．【答案】（0，3]
【解析】由不等式求出．
10．【答案】
【解析】由，可得，∴．
11．【答案】7
【解析】转化为求函数图象与y=sin x图象的交点个数，借助图形的直观性求解．如答图8，当x≥4π时，，当0＜x＜4π时，，从而x＞0时有3个交点．由对称性知x＜0时，有3个交点，加上x=0，一共有7个交点．

12.【答案】
【解析】令则是函数的关于原点对称的递增区间中范围最大的，即，
则
13．【答案】①②③
【解析】 ④y=3sin2x的图象向右平移个单位得的图象，非图象C．向右平移个单位长度可得图象C．
14．【答案】
【解析】由，∴是以4为周期的周期函数，．
15．【解析】
由对称性易知，只需作出的图象，把轴下方的图象翻折到轴上方即可，其图象如下图所示：
16．【解析】（1）由已知，又有－1≤sin x≤1，故－1＜sin x＜1．
故的定义域为．
又，因为－1＜sin x＜1，所以，，，．故的值域为（－∞，+∞）．
（2）函数的定义域关于原点对称，且sin(―x)=―sin x．
故，故是奇函数．