苏教版高中数学必修四教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：12余弦函数与正切函数的图象与性质(提高)
文档属性
| 名称 | 苏教版高中数学必修四教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：12余弦函数与正切函数的图象与性质(提高) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 738.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-03-16 10:13:06 | ||
图片预览
文档简介
余弦函数与正切函数的图象和性质
【学习目标】
1.能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象.
2.借助图象理解余弦函数的性质.
3.借助正切线画出正切函数的图象，并通过该图象理解正切函数的性质.
【典型例题】
类型一：余弦函数与正切函数的图象
例1．作出下列函数在[－2π，2π]上的图象．
（1）；（2）．
【思路点拨】（1）先利用五点法作出函数在[0，2π]上的图象，然后作出它关于y轴对称的图象即可．（2）由于，因此只需作出函数y=|cos x|，x∈[－2π，2π]的图象即可．
【解析】（1）描点、作图
x
0
1
1
其图象如下图所示．
（2）函数y=|cos x|，x∈[－2π，2π]的图象可采用将函数y=cos x，x∈[－2π，2π]的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方的方法得到，所得图象如下图所示．
【总结升华】 作图是一项很重要的能力，而“五点法”是作三角函数图象的一种非常简便的方法．在利用“五点法”作图时，一定要弄清楚是哪五点，为什么要取这五点等．此外第（2）小题中我们使用了对称变换，并且我们还可以发现，加了绝对值后，其周期变为原来的一半了．
举一反三：
【变式】用五点法作出函数，的图象．
【思路点拨】取上五个关键的点．
【解析】 找出五点，列表如下：
0
x
y=cos u
1
0
－1
0
1
描点作图（如下图）．
【总结升华】在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，即可得到函数的简图，这种近似的“五点法”是非常实用的．
例2．（1）作出函数y=tan x+2，的简图；
（2）作出下列函数的图象，并判断它们的周期性．
①y=tan |x|；②y=|tan x|
【解析】（1）本题主要考查正切函数图象，可以看出函数y=tan x+2的图象是将函数y=tan x的图象向上平移2个单位得到，，如图所示．
（2）①∵
故当x≥0时，函数y=tan |x|在y轴右侧的图象就是y=tan x的图象；
当x＜0时，函数y=tan |x|在y轴左侧的图象为y=tan x在y轴左侧的图象关于x对称的图象，如下图所示．
观察图象可知，y=tan |x|不是周期函数．
②∵，类似①可作出其图象，如下图所示．
观察图象可知，y=|tan x|是以π为周期的周期函数．
【总结升华】第（1）也可以用三点二线法作图．第（2）题的解题关键在于分析待画函数图象与已知函数图象间的关系．
如果由的图象得到及的图象，可利用图象中的对称变换法完成，即我们只需作出（x≥0）的图象，令其关于y轴对称便可以得到（x≤0）的图象；同理只要作出的图象，令图象不动下翻上便可得到的图象．
举一反三：
【变式】函数在区间内的图象大致是（ ）
【答案】D
类型二：余弦函数与正切函数的定义域与值域
例3．求下列函数的定义域；
（1）
（2）；
（3）．
【思路点拨】求函数的定义域应面面俱到，必须从各个角度来考虑，从各个角度来看，都必须有意义，通常需要考虑的方面有：分母不为0，真数大于0，偶次根式内的数大于或等于0，正切函数、余切函数自身有意义等．
【解析】（1）为使函数有意义，需满足2sin2x+cos x－1≥0，即2cos2x―cos x―1≤0，解得。
画出余弦函数的图象或单位圆，如下图所示。
∴定义域为。
（2）由题意得，将正弦函数和正切函数的图象画在同一坐标系内，如下图．
由图可得函数定义域集合为．
（3）由 得 ．
则有 ．
所以函数定义域为．
【总结升华】求三角函数定义域时，常常归纳为解三角不等式组，这时可利用基本三角函数的图象或单位圆中三角函数线直观地求得解集．
举一反三：
【变式1】已知的定义域为［0，1)，求的定义域.
【思路点拨】求函数的定义域：要使0≤cosx＜1，这里的cosx以它的值充当角.
【解析】0≤cosx＜1，且.
∴所求函数的定义域为.
【变式2】利用正切函数的图象解不等式．
【解析】如图，利用正切函数图象知，不等式的解集为，k∈Z．
例4．求函数的值域：
【解析】∵，
当cos x=－1时，，
∴函数的值域为。
【总结升华】一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质。
类型三：余弦函数与正切函数的单调性
例5．求下列函数的单调递增区间：
（1）；（2）。
【思路点拨】（1）要将原函数化为再求.（2）这个函数是复合函数，复合函数的单调性要由“内函数”和“外函数”的单调性共同决定，即“同增异减”。
【解析】（1）.
故由2kπ-≤≤2kπ.
2kπ-≤x≤2kπ+ (k∈Z)，为单调增区间；
∴递增区间为［2kπ-，2kπ+］(k∈Z).
（2）由cosx＞0，得2k-＜x＜2k+（k∈Z）。
∵，∴函数的递增区间即为u=cos x的递减区间，
∴（k∈Z）。
故函数的递增区间为（k∈Z）。
【总结升华】（1）求函数()的单调区间时，应由（k∈Z）或（k∈Z），求得x的范围，即为函数的单调区间，这实际上是换元法的应用。
（2）求单调区间应在定义域内求解。
举一反三：
【变式】三个数，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
例6．（1）求函数的周期和单调递减区间；
（2）试比较与的大小．
【解析】 （1）因为，所以．
由（k∈Z），得（k∈Z）．
因为在（k∈Z）内单调递增，所以在（k∈Z）内单调递减．
故原函数的周期为4π，单调递减区间为（k∈Z）．
（2），
，
因为，且y=tan x在上单调递增，所以，所以．
【总结升华】（1）对于形如（，为非零常数）的函数的性质的研究，应以正切函数的性质为基础，运用整体思想求解．若＜0，一般先利用诱导公式将x的系数化为正数，再进行求解．
（2）比较正切函数值的大小，可利用诱导公式将其转化为同一单调区间的锐角的正切函数，再比较大小．
举一反三：
【变式1】求函数的单调增区间.
【答案】
【变式2】函数在区间单调递减，求实数的取值范围.
【解析】函数在区间单调递减
，且，即
，解得：
类型四：余弦函数和正切函数的对称性、周期性
例7．指出下列函数的对称轴与对称中心
（1）；（2）.
【解析】（1）令，则的对称轴方程是（k∈Z），即（k∈Z），解得（k∈Z）。
∴函数的对称轴方程是（k∈Z）。
同理，对称中心的横坐标为，，即对称中心为。
（2）令，则的对称轴方程是（k∈Z），即（k∈Z），解得（k∈Z）。
∴函数的对称轴方程是（k∈Z）。
同理，对称中心的横坐标为，，即对称中心为（k∈Z）。
举一反三：
【变式1】若的图象关于直线对称，则a=________。
【答案】
【变式2】已知函数（a，b为常数，a≠0，x∈R）的图象关于直线对称，则函数是（ ）
A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称 B．偶函数且它的图象关于点对称
C．奇函数且它的图象关于点对称 D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称
【答案】 D
【解析】由题意知的图象关于对称，∴。
∴a=－b，。
∴。
∴为奇函数且其图象关于（π，0）对称，故选D。
例8．求函数的周期。
【思路点拨】应借助函数的周期及函数图象得到周期。
【答案】
【解析】∵函数的周期为π，而函数的图象是将函数的图象在x轴下方的部分对折到x轴上方，并且保留在x轴上方图象而得到的，由此可知所求函数的周期为。
【总结升华】求函数周期的方法大致有三种：（1）（A＞0，≠0，x∈R）的周期皆用公式：求解；（2）含绝对值符号的三角函数的周期可依据其图象得到，如函数的周期为，而函数的周期为π，与函数的周期相同；（3）利用周期函数的定义求函数周期。
例9．函数在一个周期内的图象是下图中的（ ）
【答案】A
【解析】该题目借助于函数的图象考查了函数的周期、单调性、图象分布的规律等知识，可从函数的周期与坐标轴的交点两个方面确定答案．
由函数周期，排除选项B、D．将代入函数式中，．故函数图象与x轴的一个交点为．故选A．
【总结升华】借助于函数周期公式及特殊点进行排除、验证是做选择题的有效方法．
举一反三：
【变式】作出函数y=tan x+2，的简图；
【解析】（1）本题主要考查正切函数图象，可以看出函数y=tan x+2的图象是将函数y=tan x的图象向上平移2个单位得到，，如图所示．
类型五：余弦函数与正切函数图象的综合应用
例10．求y=lg(sinx-cosx)的定义域；
【思路点拨】本小题实际就是求使sinx>cosx的x的集合，可用图象或三角函数线解决；
【解析】要使函数有意义，必须使sinx-cosx>0
方法一：利用图象。在同一坐标系中画出[0，2π]上y=sinx和y=cosx的图象，如图所示：
在[0，2π]内，满足sinx=cosx的x 为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为
方法二：利用三角函数线，如图，MN为正弦线，OM为余弦线，要使sinx>cosx,即MN>OM，则。
∴定义域为
方法三：sinx-cosx=sin(x-)>0,将x-视为一个整体，由正弦函数y=sinx的图象和性质可知2kπ< x-<π+2kπ,解得2kπ+∴定义域为
例11．（1）求函数的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性；
（2）求函数，的值域；
（3）设函数，已知函数的图象与x轴相邻两交点的距离为，且图象关于点对称，求的解析式．
【解析】（1）由，得，
∴所求定义域为．
值域为R，周期，是非奇非偶函数．
在区间（k∈Z）上是增函数．
（2）设tan x=t．
∵，∴．
∴y=―tan2x+10tan x―1=―t2+10t―1=―(t―5)2+24．
∴当t=1，即时，ymin=8，
当，即时，．
∴函数的值域为．
（3）由题意可知，函数的最小正周期，即．
∵＞0，∴=2．从而．
∵函数的图象关于点对称，
∴（k∈Z），即（k∈Z）．
∵，∴只能取．
故．
【总结升华】第（1）题是用整体的思想，将函数作整体代换，转化为对函数y=tan x的性质的研究；
第（2）题中换元化归为给定区间上的二次函数值域问题是解决这类问题常用的方法，特别注意换元后立即明确新元的范围；
第（3）题，，（A＞0，ω＞0）的图象及性质可与y=tan x的图象和性质加以类比得到．
举一反三：
【变式】已知函数，的部分图象如下图，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【巩固练习】
1．函数的定义域（ ）.
A． B．
C． D．
2．在定义域上的单调性为（ ）.
A．在整个定义域上为增函数
B．在整个定义域上为减函数
C．在每一个开区间上为增函数
D．在每一个开区间上为增函数
3．方程|x|=cos x在（－∞，+∞）内（ ）
A．没有根 B．有且仅有一个根 C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根
4．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）.
A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位
5．当时，函数y=tan |x|的图象（ ）
A．关于原点对称 B．关于x轴对称 C．关于y轴对称 D．不是对称图形
6．已知k＜―4，则函数y=cos2x+k (cos x―1)的最小值是（ ）
7．已知函数y=tan（x+）的图象过点，则可以是（ ）
A． B． C． D．
8．下列函数中同时满足：①在上是增函数；②奇函数；③以π为最小正周期的函数的是（ ）
A．y=tan x B．y=cos x C． D．y=|sin x|
9．方程x2=cos x的实根个数有________个．
10．函数的最小正周期为，其中，则________。
11．函数的单调递增区间是 .
12. 函数 y=sinx 与 y=tanx 的图象在区间[0，2π]上交点的个数是 ．
13．作函数的图象．
14．求函数y=－2tan（3x+）的定义域、值域，并指出它的周期、奇偶性和单调性.
15．若的最小值是－6，求实数a的值。
16．设关于的函数的最小值为，试确定满足的的值，并对此时的值求的最大值.
【答案与解析】
1．【答案】A
【解析】要使函数有意义，须，解之得。
2．【答案】C
【解析】由图象可知C正确。
3．【答案】C
【解析】求解方程|x|=cos x在（－∞，+∞）内根的个数问题，可转化为求解函数和在（－∞，+∞）内的交点个数问题．和的图象如图所示，显然有两交点，即原方程有且仅有两个根．
4．【答案】D
5．【答案】C
【解析】 y=tan|x|为偶函数，故图象关于y轴对称。
6．【答案】A
【解析】 y=cos2x+k (cos x―1)=2cos2x+kcos x―(k+1)．令t=cos x（t∈[―1，1]），则y=2t2+kt―(k+1)，对称轴．∵k＜－4，∴，∴函数y=2t2+kt―(k+1)在[―1，1]内为单递减函数．当t=1，即cos x=1时，函数有最小值1．故选A．
7．【答案】C
【解析】 当时，，（k∈Z），（k∈Z）；k=0时，。
8．【答案】A
【解析】对于来说，题中三条均满足。
9．【答案】2
【解析】在同一坐标系中作y=x2与y=cos x的图象，观察到在y轴左右两侧各有一个交点．
10．【答案】10
【解析】由。
11．【答案】
【解析】函数递减时，.
12.【答案】3
【解析】因为，解得，结合图象知有3个交点。
13．【解析】
由对称性易知，只需作出的图象，把轴下方的图象翻折到轴上方即可，其图象如下图所示：
14．【解析】由3x+≠kπ+，得x≠（k∈Z），
∴所求的函数定义域为{x|x≠（k∈Z）}，值域为R，周期为，
它既不是奇函数，也不是偶函数.
kπ－≤3x+≤kπ+（k∈Z），
∴≤x≤（k∈Z）.
在区间［，］（k∈Z）上是单调减函数.
15．【解析】设t=tan x。
因为，所以t∈[－1，1]。
则原函数化为，
对称轴：。
①若，则当时，，所以a2=24（舍）；
②若，则a＜―2，则二次函数在[―1，1]上递增，所以，所以a=―7；
③若，即a＞2，则二次函数在[―1，1]递减，
所以ymin=1―a=―6，所以a=7。
综上所述，a=―7或a=7。
16．【解析】令，则，对称轴，
当，即时，是函数的递增区间，；
当，即时，是函数的递减区间，
得，与矛盾；
当，即时，
得或，，此时.
【学习目标】
1.能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象.
2.借助图象理解余弦函数的性质.
3.借助正切线画出正切函数的图象，并通过该图象理解正切函数的性质.
【典型例题】
类型一：余弦函数与正切函数的图象
例1．作出下列函数在[－2π，2π]上的图象．
（1）；（2）．
【思路点拨】（1）先利用五点法作出函数在[0，2π]上的图象，然后作出它关于y轴对称的图象即可．（2）由于，因此只需作出函数y=|cos x|，x∈[－2π，2π]的图象即可．
【解析】（1）描点、作图
x
0
1
1
其图象如下图所示．
（2）函数y=|cos x|，x∈[－2π，2π]的图象可采用将函数y=cos x，x∈[－2π，2π]的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方的方法得到，所得图象如下图所示．
【总结升华】 作图是一项很重要的能力，而“五点法”是作三角函数图象的一种非常简便的方法．在利用“五点法”作图时，一定要弄清楚是哪五点，为什么要取这五点等．此外第（2）小题中我们使用了对称变换，并且我们还可以发现，加了绝对值后，其周期变为原来的一半了．
举一反三：
【变式】用五点法作出函数，的图象．
【思路点拨】取上五个关键的点．
【解析】 找出五点，列表如下：
0
x
y=cos u
1
0
－1
0
1
描点作图（如下图）．
【总结升华】在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，即可得到函数的简图，这种近似的“五点法”是非常实用的．
例2．（1）作出函数y=tan x+2，的简图；
（2）作出下列函数的图象，并判断它们的周期性．
①y=tan |x|；②y=|tan x|
【解析】（1）本题主要考查正切函数图象，可以看出函数y=tan x+2的图象是将函数y=tan x的图象向上平移2个单位得到，，如图所示．
（2）①∵
故当x≥0时，函数y=tan |x|在y轴右侧的图象就是y=tan x的图象；
当x＜0时，函数y=tan |x|在y轴左侧的图象为y=tan x在y轴左侧的图象关于x对称的图象，如下图所示．
观察图象可知，y=tan |x|不是周期函数．
②∵，类似①可作出其图象，如下图所示．
观察图象可知，y=|tan x|是以π为周期的周期函数．
【总结升华】第（1）也可以用三点二线法作图．第（2）题的解题关键在于分析待画函数图象与已知函数图象间的关系．
如果由的图象得到及的图象，可利用图象中的对称变换法完成，即我们只需作出（x≥0）的图象，令其关于y轴对称便可以得到（x≤0）的图象；同理只要作出的图象，令图象不动下翻上便可得到的图象．
举一反三：
【变式】函数在区间内的图象大致是（ ）
【答案】D
类型二：余弦函数与正切函数的定义域与值域
例3．求下列函数的定义域；
（1）
（2）；
（3）．
【思路点拨】求函数的定义域应面面俱到，必须从各个角度来考虑，从各个角度来看，都必须有意义，通常需要考虑的方面有：分母不为0，真数大于0，偶次根式内的数大于或等于0，正切函数、余切函数自身有意义等．
【解析】（1）为使函数有意义，需满足2sin2x+cos x－1≥0，即2cos2x―cos x―1≤0，解得。
画出余弦函数的图象或单位圆，如下图所示。
∴定义域为。
（2）由题意得，将正弦函数和正切函数的图象画在同一坐标系内，如下图．
由图可得函数定义域集合为．
（3）由 得 ．
则有 ．
所以函数定义域为．
【总结升华】求三角函数定义域时，常常归纳为解三角不等式组，这时可利用基本三角函数的图象或单位圆中三角函数线直观地求得解集．
举一反三：
【变式1】已知的定义域为［0，1)，求的定义域.
【思路点拨】求函数的定义域：要使0≤cosx＜1，这里的cosx以它的值充当角.
【解析】0≤cosx＜1，且.
∴所求函数的定义域为.
【变式2】利用正切函数的图象解不等式．
【解析】如图，利用正切函数图象知，不等式的解集为，k∈Z．
例4．求函数的值域：
【解析】∵，
当cos x=－1时，，
∴函数的值域为。
【总结升华】一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质。
类型三：余弦函数与正切函数的单调性
例5．求下列函数的单调递增区间：
（1）；（2）。
【思路点拨】（1）要将原函数化为再求.（2）这个函数是复合函数，复合函数的单调性要由“内函数”和“外函数”的单调性共同决定，即“同增异减”。
【解析】（1）.
故由2kπ-≤≤2kπ.
2kπ-≤x≤2kπ+ (k∈Z)，为单调增区间；
∴递增区间为［2kπ-，2kπ+］(k∈Z).
（2）由cosx＞0，得2k-＜x＜2k+（k∈Z）。
∵，∴函数的递增区间即为u=cos x的递减区间，
∴（k∈Z）。
故函数的递增区间为（k∈Z）。
【总结升华】（1）求函数()的单调区间时，应由（k∈Z）或（k∈Z），求得x的范围，即为函数的单调区间，这实际上是换元法的应用。
（2）求单调区间应在定义域内求解。
举一反三：
【变式】三个数，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
例6．（1）求函数的周期和单调递减区间；
（2）试比较与的大小．
【解析】 （1）因为，所以．
由（k∈Z），得（k∈Z）．
因为在（k∈Z）内单调递增，所以在（k∈Z）内单调递减．
故原函数的周期为4π，单调递减区间为（k∈Z）．
（2），
，
因为，且y=tan x在上单调递增，所以，所以．
【总结升华】（1）对于形如（，为非零常数）的函数的性质的研究，应以正切函数的性质为基础，运用整体思想求解．若＜0，一般先利用诱导公式将x的系数化为正数，再进行求解．
（2）比较正切函数值的大小，可利用诱导公式将其转化为同一单调区间的锐角的正切函数，再比较大小．
举一反三：
【变式1】求函数的单调增区间.
【答案】
【变式2】函数在区间单调递减，求实数的取值范围.
【解析】函数在区间单调递减
，且，即
，解得：
类型四：余弦函数和正切函数的对称性、周期性
例7．指出下列函数的对称轴与对称中心
（1）；（2）.
【解析】（1）令，则的对称轴方程是（k∈Z），即（k∈Z），解得（k∈Z）。
∴函数的对称轴方程是（k∈Z）。
同理，对称中心的横坐标为，，即对称中心为。
（2）令，则的对称轴方程是（k∈Z），即（k∈Z），解得（k∈Z）。
∴函数的对称轴方程是（k∈Z）。
同理，对称中心的横坐标为，，即对称中心为（k∈Z）。
举一反三：
【变式1】若的图象关于直线对称，则a=________。
【答案】
【变式2】已知函数（a，b为常数，a≠0，x∈R）的图象关于直线对称，则函数是（ ）
A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称 B．偶函数且它的图象关于点对称
C．奇函数且它的图象关于点对称 D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称
【答案】 D
【解析】由题意知的图象关于对称，∴。
∴a=－b，。
∴。
∴为奇函数且其图象关于（π，0）对称，故选D。
例8．求函数的周期。
【思路点拨】应借助函数的周期及函数图象得到周期。
【答案】
【解析】∵函数的周期为π，而函数的图象是将函数的图象在x轴下方的部分对折到x轴上方，并且保留在x轴上方图象而得到的，由此可知所求函数的周期为。
【总结升华】求函数周期的方法大致有三种：（1）（A＞0，≠0，x∈R）的周期皆用公式：求解；（2）含绝对值符号的三角函数的周期可依据其图象得到，如函数的周期为，而函数的周期为π，与函数的周期相同；（3）利用周期函数的定义求函数周期。
例9．函数在一个周期内的图象是下图中的（ ）
【答案】A
【解析】该题目借助于函数的图象考查了函数的周期、单调性、图象分布的规律等知识，可从函数的周期与坐标轴的交点两个方面确定答案．
由函数周期，排除选项B、D．将代入函数式中，．故函数图象与x轴的一个交点为．故选A．
【总结升华】借助于函数周期公式及特殊点进行排除、验证是做选择题的有效方法．
举一反三：
【变式】作出函数y=tan x+2，的简图；
【解析】（1）本题主要考查正切函数图象，可以看出函数y=tan x+2的图象是将函数y=tan x的图象向上平移2个单位得到，，如图所示．
类型五：余弦函数与正切函数图象的综合应用
例10．求y=lg(sinx-cosx)的定义域；
【思路点拨】本小题实际就是求使sinx>cosx的x的集合，可用图象或三角函数线解决；
【解析】要使函数有意义，必须使sinx-cosx>0
方法一：利用图象。在同一坐标系中画出[0，2π]上y=sinx和y=cosx的图象，如图所示：
在[0，2π]内，满足sinx=cosx的x 为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为
方法二：利用三角函数线，如图，MN为正弦线，OM为余弦线，要使sinx>cosx,即MN>OM，则。
∴定义域为
方法三：sinx-cosx=sin(x-)>0,将x-视为一个整体，由正弦函数y=sinx的图象和性质可知2kπ< x-<π+2kπ,解得2kπ+
例11．（1）求函数的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性；
（2）求函数，的值域；
（3）设函数，已知函数的图象与x轴相邻两交点的距离为，且图象关于点对称，求的解析式．
【解析】（1）由，得，
∴所求定义域为．
值域为R，周期，是非奇非偶函数．
在区间（k∈Z）上是增函数．
（2）设tan x=t．
∵，∴．
∴y=―tan2x+10tan x―1=―t2+10t―1=―(t―5)2+24．
∴当t=1，即时，ymin=8，
当，即时，．
∴函数的值域为．
（3）由题意可知，函数的最小正周期，即．
∵＞0，∴=2．从而．
∵函数的图象关于点对称，
∴（k∈Z），即（k∈Z）．
∵，∴只能取．
故．
【总结升华】第（1）题是用整体的思想，将函数作整体代换，转化为对函数y=tan x的性质的研究；
第（2）题中换元化归为给定区间上的二次函数值域问题是解决这类问题常用的方法，特别注意换元后立即明确新元的范围；
第（3）题，，（A＞0，ω＞0）的图象及性质可与y=tan x的图象和性质加以类比得到．
举一反三：
【变式】已知函数，的部分图象如下图，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【巩固练习】
1．函数的定义域（ ）.
A． B．
C． D．
2．在定义域上的单调性为（ ）.
A．在整个定义域上为增函数
B．在整个定义域上为减函数
C．在每一个开区间上为增函数
D．在每一个开区间上为增函数
3．方程|x|=cos x在（－∞，+∞）内（ ）
A．没有根 B．有且仅有一个根 C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根
4．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）.
A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位
5．当时，函数y=tan |x|的图象（ ）
A．关于原点对称 B．关于x轴对称 C．关于y轴对称 D．不是对称图形
6．已知k＜―4，则函数y=cos2x+k (cos x―1)的最小值是（ ）
7．已知函数y=tan（x+）的图象过点，则可以是（ ）
A． B． C． D．
8．下列函数中同时满足：①在上是增函数；②奇函数；③以π为最小正周期的函数的是（ ）
A．y=tan x B．y=cos x C． D．y=|sin x|
9．方程x2=cos x的实根个数有________个．
10．函数的最小正周期为，其中，则________。
11．函数的单调递增区间是 .
12. 函数 y=sinx 与 y=tanx 的图象在区间[0，2π]上交点的个数是 ．
13．作函数的图象．
14．求函数y=－2tan（3x+）的定义域、值域，并指出它的周期、奇偶性和单调性.
15．若的最小值是－6，求实数a的值。
16．设关于的函数的最小值为，试确定满足的的值，并对此时的值求的最大值.
【答案与解析】
1．【答案】A
【解析】要使函数有意义，须，解之得。
2．【答案】C
【解析】由图象可知C正确。
3．【答案】C
【解析】求解方程|x|=cos x在（－∞，+∞）内根的个数问题，可转化为求解函数和在（－∞，+∞）内的交点个数问题．和的图象如图所示，显然有两交点，即原方程有且仅有两个根．
4．【答案】D
5．【答案】C
【解析】 y=tan|x|为偶函数，故图象关于y轴对称。
6．【答案】A
【解析】 y=cos2x+k (cos x―1)=2cos2x+kcos x―(k+1)．令t=cos x（t∈[―1，1]），则y=2t2+kt―(k+1)，对称轴．∵k＜－4，∴，∴函数y=2t2+kt―(k+1)在[―1，1]内为单递减函数．当t=1，即cos x=1时，函数有最小值1．故选A．
7．【答案】C
【解析】 当时，，（k∈Z），（k∈Z）；k=0时，。
8．【答案】A
【解析】对于来说，题中三条均满足。
9．【答案】2
【解析】在同一坐标系中作y=x2与y=cos x的图象，观察到在y轴左右两侧各有一个交点．
10．【答案】10
【解析】由。
11．【答案】
【解析】函数递减时，.
12.【答案】3
【解析】因为，解得，结合图象知有3个交点。
13．【解析】
由对称性易知，只需作出的图象，把轴下方的图象翻折到轴上方即可，其图象如下图所示：
14．【解析】由3x+≠kπ+，得x≠（k∈Z），
∴所求的函数定义域为{x|x≠（k∈Z）}，值域为R，周期为，
它既不是奇函数，也不是偶函数.
kπ－≤3x+≤kπ+（k∈Z），
∴≤x≤（k∈Z）.
在区间［，］（k∈Z）上是单调减函数.
15．【解析】设t=tan x。
因为，所以t∈[－1，1]。
则原函数化为，
对称轴：。
①若，则当时，，所以a2=24（舍）；
②若，则a＜―2，则二次函数在[―1，1]上递增，所以，所以a=―7；
③若，即a＞2，则二次函数在[―1，1]递减，
所以ymin=1―a=―6，所以a=7。
综上所述，a=―7或a=7。
16．【解析】令，则，对称轴，
当，即时，是函数的递增区间，；
当，即时，是函数的递减区间，
得，与矛盾；
当，即时，
得或，，此时.