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等差数列前n项和的性质与应用
班级______________ 姓名______________
一、选择题
1．已知数列{an}的前n项和为Sn＝－n2，则( )
A．an＝2n＋1 B．an＝－2n＋1
C．an＝－2n－1 D．an＝2n－1
2．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝( )
A．－12 B．－10
C．105． D．12
3．等差数列前n项的和为30，前2n项的和为100，则它的前3n项的和为( )
A．130 B．170
C．210 D．260
4．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则＝( )
A. B.
C. D.
5．若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
6．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
二、填空题
7．若等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，则该数列的公差为________．
8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sm＝－2，Sm＋1＝0，Sm＋2＝3，则m＝________.
9．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．
10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S2 017>0，S2 018<0.若对任意的正整数n，都有Sn≤Sk，则k的值为________．
三、解答题
11．已知等差数列{an}的公差d>0，前n项和为Sn，且a2a3＝45，S4＝28.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝(c为非零常数)，且数列{bn}也是等差数列，求c的值．
12．在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22.
(1)数列{an}前多少项和最大？
(2)求|a1|+|a2|+...+|a24|的值.
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等差数列前n项和的性质与应用
班级______________ 姓名______________
一、选择题
1．已知数列{an}的前n项和为Sn＝－n2，则( )
A．an＝2n＋1 B．an＝－2n＋1
C．an＝－2n－1 D．an＝2n－1
解析：选B 当n＝1时，a1＝S1＝－1；n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋(n－1)2＝－2n＋1，此时满足a1＝－1.综上可知an＝－2n＋1.
2．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝( )
A．－12 B．－10
C．105． D．12
解析：选B 设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，即3a1＋2d＝0.将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.
3．等差数列前n项的和为30，前2n项的和为100，则它的前3n项的和为( )
A．130 B．170
C．210 D．260
[解析]利用等差数列的性质：
Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列．
所以Sn＋(S3n－S2n)＝2(S2n－Sn)，
即30＋(S3n－100)＝2(100－30)，
解得S3n＝210.
4．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则＝( )
A. B.
C. D.
5．若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
6．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
二、填空题
7．若等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，则该数列的公差为________．
解析：数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝An2＋Bn－A(n－1)2－B(n－1)＝2An＋B－A，当n＝1时满足，所以d＝2A.
答案：2A
8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sm＝－2，Sm＋1＝0，Sm＋2＝3，则m＝________.
解析：因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以数列是等差数列，
所以＋＝，即＋＝0，解得m＝4.
答案：4
9．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．
解析：设等差数列{an}的项数为2n＋1，
S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1
＝
＝(n＋1)an＋1，
S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝nan＋1，
所以＝＝，解得n＝3，所以项数2n＋1＝7，
S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项．
答案：11 7
10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S2 017>0，S2 018<0.若对任意的正整数n，都有Sn≤Sk，则k的值为________．
解析：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S2 017>0，S2 018<0，∴＝2 017a1 009>0，＝1 009(a1 009＋a1 010)<0，∴a1 009>0，a1 010<0，∴在前n项和Sn中，S1 009最大，∴对任意正整数n，Sn≤S1 009，则k＝1 009.
答案：1 009
三、解答题
11．已知等差数列{an}的公差d>0，前n项和为Sn，且a2a3＝45，S4＝28.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝(c为非零常数)，且数列{bn}也是等差数列，求c的值．
解：(1)∵S4＝28，∴＝28，a1＋a4＝14，a2＋a3＝14，
又a2a3＝45，公差d>0，
∴a2
∴解得
∴an＝4n－3.
(2)由(1)，知Sn＝2n2－n，∴bn＝＝，
∴b1＝，b2＝，b3＝.
又{bn}也是等差数列，
∴b1＋b3＝2b2，
即2×＝＋，
解得c＝－(c＝0舍去)．
12．在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22.
(1)数列{an}前多少项和最大？
(2)求|a1|+|a2|+...+|a24|的值.
解：(1)由得
∴an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋53.
令an>0，得n<，
∴当n≤17，n∈N*时，an>0；
当n≥18，n∈N*时，an<0，
∴{an}的前17项和最大．
(2)当n≤17，n∈N*时，
|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋d＝－n2＋n.
当n≥18，n∈N*时，
|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a17－a18－a19－…－an
＝2(a1＋a2＋…＋a17)－(a1＋a2＋…＋an)
＝2－
＝n2－n＋884.
∴Sn＝
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