(共23张PPT)
2.2.1 直线与平面平行的判定
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
人教A版 必修2
直线与平面平行的判定定理
文字语言 平面外一条直线与此平面内的一条直线 ,则该直线与此平面平行
图形语言
符号语言 ,b?α,且 ?a∥α
平行
a?α
a∥b
自主导学
探究:若a∥b,a∥α,则b∥α,这个推理正确吗?
答案:不正确.b可能在α内.
1.若A是直线m外一点,过A且与m平行的平面( )
(A)存在无数个 (B)不存在
(C)存在但只有一个 (D)只存在两个
A
2.在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和BC上的点,若AE∶EB=
CF∶FB=1∶2,则对角线AC和平面DEF的位置关系是( )
(A)平行 (B)相交
(C)在平面内 (D)异面
A
定理辨析
3.在正方体ABCD-A′B′C′D′中,E,F分别为平面ABCD和平面A′B′C′D′的中心,则正方体的六个面中与EF平行的平面有( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
D
解析:如图正方体四个侧面AA′B′B,BB′C′C,CC′D′D,DD′A′A都与EF平行.
故选D.
4.能保证直线a与平面α平行的条件是( )
(A)b?α,a∥b
(B)b?α,c∥α,a∥b,a∥c
(C)b?α,A,B∈a,C,D∈b,且AC∥BD
(D)a?α,b?α,a∥b
D
5.若线段AB,BC,CD不共面,M,N,P分别为其中点,则直线BD与平面MNP的位置关系是( )
(A)平行 (B)直线在平面内
(C)相交 (D)以上均有可能
解析:因为N,P分别为BC,CD的中点,
所以NP∥BD.
又因为NP?平面MNP,BD?平面MNP,
所以BD∥平面MNP.
A
6.考查①②两个命题,在“ ”处都缺少同一个条件,补上这个条件使其构成真命题(其中l,m为直线,α为平面),则此条件为 .?
解析:①由线面平行的判定定理知l?α;②易知l?α.
答案:l?α
【例1】下列说法中正确的是( )
(A)若直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α
(B)若直线a在平面α外,则a∥α
(C)若直线a∥b,b?α,则a∥α
(D)若直线a∥b,b?α,那么直线a平行于平面α内的无数条直线
典例解析
解析:选项A中,直线l?α时l与α不平行;
直线在平面外包括直线与平面平行和直线与平面相交两种情况,所以选项B不正确;
选项C中直线a可能在平面α内;
选项D正确.故选D.
训练1:有以下三种说法,其中正确的是( )
①若直线a与平面α相交,则α内不存在与a平行的直线;②若直线b∥平面α,直线a与直线b垂直,则直线a不可能与α平行;③直线a,b满足a∥α,且b?α,则a平行于经过b的任何平面.
(A)①② (B)①③
(C)②③ (D)①
解析:①正确.②错误,反例如图(1)所示.③错误,反例如图(2)所示,a,b可能在同一平面内.故选D.
训练2.现给出下列命题:
①平行于同一个平面的两条直线平行;②直线与平面平行,那么该直线与平面内每条直线都平行;③直线在平面外,这条直线一定与平面平行;④经过两条异面直线a,b之外的一点P,必有1个平面与a,b都平行.其中正确命题的个数是( )
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
解析:①错,这两条直线可平行、相交、异面.②错,直线关系应为平行或异面;③错,直线与平面平行或相交;④错误,也可能不存在这样的平面与a,b都平行.故选A.
直线与平面平行的判定
【思考】
1.证明直线与平面平行有哪些常用方法?
提示:①定义法,②判定定理法.
2.要证线面平行,需寻求什么条件?体现了什么思想?
提示:要证线面平行,需寻求线线平行;将线面平行关系(空间问题)转化为线线平行关系(平面问题),体现了转化与化归的思想方法.
【例2】 如图,M,N分别是底面为矩形的四棱锥P-ABCD的棱AB,PC的中点,求证:MN∥平面PAD.
方法技巧 利用直线和平面平行的判定定理来证明线面平行,关键是寻找平面内与已知直线平行的直线,常利用平行四边形的性质、三角形与梯形中位线性质、平行线截线段成比例定理、平行公理等.
训练3:如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,D为C1B的中点,P为AB的中点,
证明DP∥平面ACC1A1.
证明:连接AC1,
因为P为AB的中点,D为C1B的中点,
所以DP∥AC1,
又因为AC1?平面ACC1A1,
DP?平面ACC1A1,
所以DP∥平面ACC1A1.
例3 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C上,且CM=DN.求证:MN∥平面AA1B1B.
易错辨析——证明线面、面面平行时考虑问题不全面
【例4】已知平面α∥平面β,AB,CD是夹在α,β间的两条线段,A,C在α内,
B,D在β内,点E,F分别在AB,CD上,且AE∶EB=CF∶FD=m∶n.求证:EF∥平面α.
错解:如图,连接AC,BD.
因为α∥β,所以AC∥BD.
因为AE∶EB=CF∶FD,
所以EF∥AC∥BD且EF在α外.
因为AC?α,所以EF∥平面α.
纠错:导致上述错解的原因为:考虑问题不全面,把空间问题仍当作平面问题处理.
正解:(1)当AB,CD共面时(如图①),连接AC,BD.
因为α∥β,所以AC∥BD.
因为AE∶EB=CF∶FD,
所以EF∥AC∥BD且EF在α外.
因为AC?α,
所以EF∥平面α.
Thanks!
人教A版必修2
(共24张PPT)
2.2.2 平面与平面平行的判定
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
人教A版 必修2
想一想 三角板有两条边与课桌面平行,那么两个平面有什么位置关系?课本的两条边与课桌面平行呢?
(当三角板两条边平行于课桌面时,两个平面平行,课本的两条边平行于课桌面时,两个平面位置不能确定,需要考虑是哪两条边,若是平行边则不能判定平行,相交的两边则可以)
情境导学
平面与平面平行的判定定理
知识探究
文字语言 图形语言 符号语言
一个平面内的两条 直线与另一个平面平行,则这两个平面平行 a?β,b?β, ,
a∥α,b∥α?β∥α
相交
a∩b=P
探究1:如果两个平面都与第三个平面平行,这两个平面平行吗?
答案:平行.
探究2:如果两个平面都平行于某一条直线,这两个平面平行吗?
答案:不一定平行.
自我检测
【思考】
1.平面α内有无数条直线与β平行,α与β平行吗?
平面α内任一条直线与平面β平行,α与β平行吗?
课堂探究 典例剖析·举一反三
提示:不一定,平行.
2.如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线.那么这两个平面平行吗?
提示:平行.
【例1】 已知直线l,m,平面α,β,下列命题正确的是( )
(A)l∥β,l?α?α∥β
(B)l∥β,m∥β,l?α,m?α?α∥β
(C)l∥m,l?α,m?β?α∥β
(D)l∥β,m∥β,l?α,m?α,l∩m=M?α∥β
典例解析 典例剖析·举一反三
解析:如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥CD,则AB∥平面DC1,AB?平面AC,但是平面AC与平面DC1不平行,所以选项A错误;取BB1中点E,CC1的中点F,则可证EF∥平面AC,B1C1∥平面AC.又EF?平面BC1,B1C1?平面BC1,但是平面AC与平面BC1不平行,所以选项B错误;可证AD∥B1C1,AD?平面AC, B1C1?平面BC1,又平面AC与平面BC1不平行,所以选项C错误;很明显选项D是面面平行的判定定理,所以选项D正确.故选D.
方法技巧
解决此类问题的关键有两点:(1)借助常见几何体进行分析,使得抽象问题具体化.(2)把握住面面平行的判定定理的关键“一个平面内两条相交直线均平行于另一个平面”.
训练1:给出下列三个结论:
①一个平面α内有两条不平行的直线都平行于另一个平面β,则α∥β;②过平面α外一点且与α平行的所有直线在同一平面内;③如果平面α∩γ=a,平面γ∩β=b,a∥b,则α∥β,其中不正确的结论有 个.?
解析:①,②正确;满足条件α∩γ=a,β∩γ=b,a∥b时,可能有α∥β,也可能有α与β相交,故③错误.
答案:1
训练2:已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形.点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,求证:平面MNQ∥平面PBC.
证明:因为PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,
所以MQ∥AD,NQ∥BP,
而BP?平面PBC,NQ?平面PBC,
所以NQ∥平面PBC,
又因为四边形ABCD为平行四边形,BC∥AD,
所以MQ∥BC.
而BC?平面PBC,MQ?平面PBC,
所以MQ∥平面PBC.
又MQ∩NQ=Q,所以平面MNQ∥平面PBC.
当堂检测 典例剖析·举一反三
Thanks!
人教A版必修2
(共21张PPT)
2.2.3 直线与平面平行的性质
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
人教A版 必修2
新知探求·素养养成
直线与平面平行的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线
. a∥α,a?β,α∩β=b? .
平行
a∥b
探究:若直线a∥平面α,直线a与平面α内的直线有怎样的位置关系?
答案:平行或异面.
自我检测
1.若直线a平行于平面α,则下列结论错误的是( )
(A)a平行于α内的所有直线
(B)α内有无数条直线与a平行
(C)直线a上的点到平面α的距离相等
(D)α内存在无数条直线与a垂直
A
2.直线a∥平面α,平面α内有n条直线交于一点,那么这n条直线中与直线a平行的( )
(A)至少有一条 (B)至多有一条
(C)有且只有一条 (D)不可能有
B
3.在三棱锥A-BCD中,E,F,M,N分别为AB,AD,BC,CD上的点,EF∥MN,则EF与BD( )
(A)平行 (B)相交
(C)异面 (D)以上皆有可能
A
4.有以下三个命题:①如果一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的无数条直线平行;②过直线外一点,有且只有一个平面和已知直线平行;③如果直线l∥平面α,那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内,其中正确命题的个数为( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
C
5.梯形ABCD中,AB∥CD,AB?平面α,CD?平面α,则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( )
(A)平行 (B)平行或异面
(C)平行或相交 (D)异面或相交
B
解析:结合线面平行的性质定理,可知①②③?④,
结合线面平行的判定定理,可知①②④?③.
答案:①②③?④或①②④?③
【例1】 已知直线m,n及平面α,β有下列关系:
①m,n?β,②n?α,③m∥α,④m∥n.
现把其中一些关系看作条件,另一些看作结论,组成一个真命题是 .
典例解析
方法技巧 解决本类问题的技巧是
(1)明确性质定理的关键条件.
(2)充分考虑各种可能的情况.
(3)特殊的情况注意举反例来说明.
训练1若直线a∥平面α,α内相交于一点的所有直线中与直线a平行的( )
(A)至少有一条 (B)至多有一条
(C)有且仅有一条 (D)没有
解析:选C.
例2:如图,在△ABC中,BC=9,BC∥平面α,且平面ABC∩α=MN,若△ABC的重心G在MN上,则MN= .?
答案:6
【例3】 证明:已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,那么另一条也平行于这个平面.
已知:a∥b,a?β,b?β,a∥β,求证:b∥β.
错解:因为a∥b,则a,b确定平面γ,设β∩γ=c,因为a∥β,
所以a∥c,又因为a∥b,
所以b∥c.
而c?β,b?β,所以b∥β.
纠错:导致上述错解的原因为:a,b确定的γ不一定和β相交,所以解答中的直线c可能是不存在的,所以上述解法是有漏洞的.
正解:在平面β内任选一点A,因为a∥β,所以A?a,
设点A和直线a确定平面γ,β∩γ=c.
因为a∥β,所以a∥c,
又因为a∥b,所以b∥c.
而c?β,b?β,
所以b∥β.
1．如图，在三棱锥S－ABC中，E、F分别是SB、SC上的点，且EF∥平面ABC，则( )
A．EF与BC相交
B．EF∥BC
C．EF与BC异面
D．以上均有可能
[答案] B
当堂检测
2．若AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，则过它们中点的平面和直线AC的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．AC在此平面内 D．平行或相交
[答案] A
[解析] 利用中位线性质定理得线线平行，进而得直线与平面平行．
3．已知平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c，若a∥b，则c与a，b的位置关系是( )
A．c与a，b都是异面
B．c与a，b都相交
C．c至少与a，b中的一条相交
D．c与a，b都平行
[答案] D
[解析] 由线面平行的判定及其性质定理易得c∥a，c∥b.
4．对于直线m、n和平面α，下面叙述正确的是( )
A．如果m?α，n?α，m、n是异面直线，那么n∥α
B．如果m?α，n与α相交，那么m、n是异面直线
C．如果m?α，n∥α，m、n共面，那么m∥n
D．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n
[答案] C
5．已知异面直线l，m，且l∥平面α，m?平面α，l?平面β，α∩β＝n，则直线m，n的位置关系是________．
[答案] 相交
[解析] 由于l∥平面α，l?平面β，α∩β＝n，则l∥n.又直线l，m异面，则直线m，n相交．
6．如图所示，四边形ABCD是矩形，P?平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP于F.
求证：四边形BCFE是梯形．
[证明] ∵四边形ABCD为矩形，
∴BC∥AD，
∵AD?平面PAD，BC?平面PAD，
∴BC∥平面PAD.
∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，
∴BC∥EF.
∵AD＝BC，AD≠EF，
∴BC≠EF，
∴四边形BCFE是梯形．
Thanks!
人教A版必修2
(共20张PPT)
2.2.4 平面与平面平行的性质
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
人教A版 必修2
平面与平面平行的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线 . α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b? .
平行
a∥b
新知探求·素养养成
探究:如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线和另一个平面有什么样的位置关系?
答案:平行.
自我检测
1.设有不同的直线a,b和不同的平面α,β,γ,给出下列三个命题,其中正确的命题有( )
①若a∥α,b∥α,则a∥b ②若a∥α,a∥β,则α∥β ③若α∥β,a?
α,则a∥β
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
B
2.若a∥α,b∥β,α∥β,则a与b位置关系是( )
(A)平行 (B)异面
(C)相交 (D)平行或异面或相交
D
3.下列说法正确的是( )
(A)平行于同一条直线的两个平面平行
(B)平行于同一个平面的两个平面平行
(C)一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
(D)若三直线a,b,c两两平行,则在过直线a的平面中,有且只有一个平面与b,c均平行
B
4.已知α∥β,a?α,B∈β,则在β内过点B的所有直线中( )
(A)不一定存在与a平行的直线
(B)只有两条与a平行的直线
(C)存在无数条与a平行的直线
(D)存在唯一一条与a平行的直线
D
规范解答:因为D,E,F分别为PA,PB,PC的中点,所以DE∥AB,又DE?平面ABC,AB?平面ABC,所以DE∥平面ABC,………………………………4分
同理EF∥平面ABC,又DE∩EF=E,所以平面DEF∥平面ABC, …………8分
又平面PMC∩平面ABC=MC,平面PMC∩平面DEF=NF,由面面平行的性质定理得,NF∥MC. …………………………………………………………12分
【例1】 如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别是PA,PB,PC的中点,M是AB上一点,连接MC,N是PM与DE的交点,连接NF.求证:NF∥CM.
解析:因为平面ABFE∥平面CDHG,平面EFGH与两平面分别交于EF,GH.由面面平行的性质定理得EF∥GH,同理可得EH∥FG,所以四边形EFGH为平行四边形.
答案:平行四边形
变式探究:将本例中的三棱锥改为长方体,如图是长方体被一平面所截得到的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为 .?
方法技巧 面面平行的性质定理是由面面平行得到线线平行.证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线,所以构造三个平面:即两个平行平面,一个经过两直线的平面,有时需要添加辅助面.
训练1:已知如图所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,D1分别为AC,A1C1上的点.
若平面BC1D∥平面AB1D1,求 的值.
【例2】 (12分)如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q分别是BC,C1D1,AD1,BD的中点.
(1)求证:PQ∥平面DCC1D1;
(2)求PQ的长;
(3)求证:EF∥平面BB1D1D.
法二 取B1C1的中点E1,连接EE1,FE1,
则有FE1∥B1D1,EE1∥BB1,且FE1∩EE1=E1,
所以平面EE1F∥平面BB1D1D. ………………………………………10分
又EF?平面EE1F,
所以EF∥平面BB1D1D. ………………………………………………12分
方法技巧 直线与平面平行,平面与平面平行的判定定理、性质定理,揭示了线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系,具体转化过程如图所示.
训练2:如图所示,平面α∥平面β,△ABC,△A1B1C1分别在平面α,β内,线段AA1,BB1,CC1相交于点O,点O在α,β之间,若AB=2,AC=1,OA∶OA1=3∶
2,且BA⊥AC,则△A1B1C1的面积为 .?
Thanks!
人教A版必修2
