第七章 习题课 动能定理的应用
[限时40分钟 满分60分]
一、选择题(每小题5分，共35分)
1．如图7－Ⅰ－7所示，AB为圆弧轨道，BC为水平直轨道，圆弧的半径为R，BC的长度也是R。一质量为m的物体，与两个轨道间的动摩擦因数都为μ，当它由轨道顶端A从静止开始下落，恰好运动到C处停止，那么物体在AB段克服摩擦力所做的功为
图7－Ⅰ－7
A.μmgR B.mgR
C．－mgR D．(1－μ)mgR
解析 物体从A运动到B所受的弹力要发生变化，摩擦力大小也要随之变化，所以克服摩擦力所做的功，不能直接由做功的公式求得。而在BC段克服摩擦力所做的功，可直接求得。对从A到C全过程运用动能定理即可求出物体在AB段克服摩擦力所做的功。设物体在AB段克服摩擦力所做的功为WAB，物体从A到C的全过程，根据动能定理，有mgR－WAB－μmgR＝0
所以有WAB＝mgR－μmgR＝(1 －μ)mgR。
答案 D
2．在离地面高为h处竖直上抛一质量为m的物块，抛出时的速度为v0当它落到地面时速度为v，用g表示重力加速度，则在此过程中物块克服空气阻力所做的功等于
A．mgh－mv2－mv
B.mv2－mv－mgh
C．mgh＋mv－mv2
D．mgh＋mv2－mv
解析 选取物体从刚抛出到正好落地时的过程，由动能定理可得：
mgh－Wf克＝mv2－mv
解得：Wf克＝mgh＋mv－mv2。
答案 C
3．质量为m的物体以初速度v0沿水平面向左开始运动，起始点A与一轻弹簧O端相距s，如图7－Ⅰ－8所示。已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧相碰后，弹簧的最大压缩量为x，则从开始碰撞到弹簧被压缩至最短，物体克服弹簧弹力所做的功为
图7－Ⅰ－8
A.mv－μmg(s＋x) B.mv－μmgx
C．μmgs D．μmgx
解析 设物体克服弹簧弹力所做的功为W，则物体向左压缩弹簧过程中，弹簧弹力对物体做功为－W，摩擦力对物体做功为－μmg(s＋x)，根据动能定理有－W－μmg(s＋x)＝0－mv，所以W＝mv－μmg(s＋x)。
答案 A
4.一质量为m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点，小球在水平拉力F作用下，从平衡位置P点很缓慢地移动到Q点，如图7－Ⅰ－9所示，则拉力F所做的功为
图7－Ⅰ－9
A．mglcos θ B．mgl(1－cos θ)
C．Flcos θ D．Flsin θ
解析 小球缓慢移动，时时都处于平衡状态，由平衡条件可知，F＝mgtan θ，随着θ的增大，F也在增大，是一个变化的力，不能直接用功的公式求它所做的功，所以这道题要考虑用动能定理求解。由物体缓慢移动，动能保持不变，由动能定理得：－mgl(1－cos θ)＋W＝0，所以W＝mgl(1－cos θ)。
答案 B
5．(多选)在平直公路上，汽车由静止开始做匀加速直线运动，当速度达到vmax后，立即关闭发动机直至静止，v－t图像如图7－Ⅰ－10所示，设汽车的牵引力为F，受到的摩擦力为Ff，全程中牵引力做功为W1，克服摩擦力做功为W2，则
图7－Ⅰ－10
A．F∶Ff＝1∶3 B．W1∶W2＝1∶1
C．F∶Ff＝4∶1 D．W1∶W2＝1∶3
解析 对汽车运动的全过程，由动能定理得：W1－W2＝ΔEk＝0，所以W1＝W2，选项B正确、选项D错误；由图像知x1∶x2＝1∶4，由动能定理得Fx1－Ffx2＝0，所以F∶Ff＝4∶1，选项A错误、选项C正确。
答案 BC
6．(多选)质量为m的汽车在平直公路上行驶，发动机的功率P和汽车受到的阻力Ff均恒定不变，在时间t内，汽车的速度由v0增大到最大速度vm，汽车前进的距离为s，则此段时间内发动机所做的功W可表示为
A．W＝Pt
B．W＝Ffs
C．W＝mv－mv＋Ffs
D．W＝mv＋Ffs
解析 由题意知，发动机功率不变，故t时间内发动机做功W＝Pt，所以A正确；车做加速运动，故牵引力大于阻力Ff，故B错误；根据动能定理有W－Ffs＝mv－mv，所以C正确、D错误。
答案 AC
7．(多选)如图7－Ⅰ－11所示，半径为R的光滑圆弧槽固定在小车上，有一小球静止在圆弧槽的最低点。小车和小球一起以速度v向右匀速运动。当小车遇到障碍物突然停止后，小球上升的高度可能是
图7－Ⅰ－11
A．等于 B．大于
C．小于 D．与小车的速度v有关
解析 小球冲上圆弧槽，则有两种可能，一是速度较小，滑到某处小球速度为0。根据动能定理有mv2＝mgh，解得h＝；另一可能是速度较大，小球滑出弧面做斜抛运动，到最高点还有水平速度，则此时小球所能达到的最大高度要小于，故A、C、D正确，B错误。
答案 ACD
二、非选择题(共25分)
8．(7分)如图7－Ⅰ－12所示，一个质量为m＝0.6 kg的小球以初速度v0＝2 m/s从P点水平抛出，从粗糙圆弧ABC的A点沿切线方向进入(不计空气阻力，进入圆弧时无动能损失)且恰好沿圆弧通过最高点C，已知圆弧的圆心为O，半径R＝0.3 m，θ＝60°，g＝10 m/s2，求：
图7－Ⅰ－12
(1)小球到达A点的速度vA的大小；
(2)P点到A点的竖直高度H；
(3)小球从圆弧A点运动到最高点C的过程中克服摩擦力所做的功W。
解析 (1)在A点由速度的合成得vA＝
解得vA＝4 m/s
(2)P点到A点小球做平抛运动，竖直分速度
vy＝v0tan θ
由运动学规律有v＝2gH
由以上两式解得H＝0.6 m
(3)恰好过C点满足mg＝
由A点到C点由动能定理得
－mgR(1＋cos θ)－W＝mv－mv
代入数据解得W＝1.2 J。
答案 (1)4 m/s (2)0.6 m (3)1.2 J
9.(8分)如图7－Ⅰ－13所示，绷紧的传送带在电动机带动下，始终保持v0＝2 m/s的速度匀速运行，传送带与水平地面的夹角θ＝30°，现把一质量m＝10 kg的工件轻轻地放在传送带底端，由传送带传送至h＝2 m的高处。已知工件与传送带间的动摩擦因数μ＝，g取10 m/s2。
图7－Ⅰ－13
(1)通过计算分析工件在传送带上做怎样的运动？
(2)工件从传送带底端运动至h＝2 m高处的过程中摩擦力对工件做了多少功？
解析 (1)工件刚放上传送带时受滑动摩擦力：
Ff＝μmgcos θ，
工件开始做匀加速直线运动，由牛顿运动定律：
Ff－mgsin θ＝ma，可得：
a＝－gsin θ
＝g(μcos θ－sin θ)
＝10× m/s2
＝2.5 m/s2。
设工件经过位移x与传送带达到共同速度，由匀变速直线运动规律可得：x＝＝ m＝0.8 m＜＝4 m
故工件先以2.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动，运动0.8 m与传送带达到共同速度2 m/s后做匀速直线运动。
(2)在工件从传送带底端运动至h＝2 m高处的过程中，设摩擦力对工件做功Wf，由动能定理得Wf－mgh＝mv，
可得：Wf＝mgh＋mv＝10×10×2 J＋×10×22 J＝220 J。
答案 (1)工件以2.5 m/s2的加速度先做匀加速直线运动，运动0.8 m与传送带达到共同速度2 m/s后做匀速直线运动 (2)220 J
10．(10分)如图7－Ⅰ－14所示，光滑斜面AB的倾角θ＝53°，BC为水平面，BC长度lBC＝1.1 m，CD为光滑的圆弧，半径R＝0.6 m。一个质量m＝2 kg的物体，从斜面上A点由静止开始下滑，物体与水平面BC间动摩擦因数μ＝0.2轨道在B、C两点光滑连接。当物体到达D点时，继续竖直向上运动，最高点距离D点的高度h＝0.2 m。sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6。g取10 m/s2。求：
图7－Ⅰ－14
(1)物体运动到C点时速度大小vC；
(2)A点距离水平面的高度H；
(3)物体最终停止的位置到C点的距离s。
解析 (1)物体由C点到最高点，根据动能定理得：
－mg(h＋R)＝0－mv
代入数据解得：vC＝4 m/s
(2)物体由A点到C点，根据动能定理得：
mv－0＝mgH－μmglBC
代入数据解得：H＝1.02 m
(3)从物体开始下滑到停下，根据动能定理得：
mgH－μmgs＝0
代入数据，解得：s＝5.1 m
由于s＝4lBC＋0.7 m
所以，物体最终停止的位置到C点的距离为：
Δx＝0.4 m。
答案 (1)4 m/s (2)1.02 m (3)0.4 m
课件31张PPT。习题课 动能定理的应用[学习目标]
1．会用动能定理解决变力做功、曲线运动以及多过程问题。
2．感悟动能定理解题的优越性。
题型一 利用动能定理求变力做功[规律总结]
利用动能定理求变力的功是最常用的方法
1．如果在研究的过程中，只有所要求的变力做功，则这个变力做的功就等于物体动能的增量，即W＝ΔEk。
2．如果物体同时受到几个力的作用，但是其中只有一个力F是变力，其他力都是恒力，则可以先用恒力做功的公式求出几个恒力所做的功，然后再用动能定理来间接求变力做的功：WF＋W其他＝ΔEk。
1．如图7－Ⅰ－2所示，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高；质量为m的质点自轨道端点P由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的正压力为2mg，重力加速度大小为g。质点自P滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为
◎变式训练答案 C[例2] 如图7－Ⅰ－3所示，ABCD为一位于竖直平面内的轨道，其中BC水平，A点比BC高出10 m，BC长1 m，AB和CD轨道光滑且与BC平滑连接。一质量为1 kg的物体，从A点以4 m/s的速度开始运动，经过BC后滑到高出C点10.3 m的D点速度为零。g取10 m/s2，求：
题型二 利用动能定理分析多过程问题[规律总结]
利用动能定理处理多过程问题的思路
对于包含多个运动阶段的复杂运动过程，可以选择分段或全程应用动能定理。
1．分段应用动能定理时，将复杂的过程分割成一个个子过程，对每个子过程的做功情况和初、末动能进行分析，然后针对每个子过程应用动能定理列式，然后联立求解。
2．全程应用动能定理时，分析整个过程中出现过的各力的做功情况，分析每个力做的功，确定整个过程中合外力做的总功，然后确定整个过程的初、末动能，针对整个过程利用动能定理列式求解。
当题目不涉及中间量时，选择全程应用动能定理更简单，更方便。
2．如图7－Ⅰ－4所示，AB与CD为两个对称斜面，其上部足够长，下部分别与一个光滑的圆弧面的两端相切，圆弧圆心角为120°，半径R为2.0 m，一个物体在离弧底E高度为h＝3.0 m处，以初速度4.0 m/s沿斜面运动。若物体与两斜面的动摩擦因数为0.02，则物体在两斜面上(不包括圆弧部分)一共能走多长路程？(g取10 m/s2)
◎变式训练图7－Ⅰ－4答案 280 m动能定理常与平抛运动、圆周运动相结合，解决这类问题要特别注意：
1．与平抛运动相结合时，要注意应用运动的合成与分解的方法，如分解位移或分解速度求平抛运动的有关物理量。
2．与竖直平面内的圆周运动相结合时，应特别注意隐藏的临界条件：
题型三 动能定理和动力学方法的综合应用[例3] 如图7－Ⅰ－5所示，质量m＝0.1 kg的金属小球从距水平面h＝2.0 m的光滑斜面上由静止开始释放，运动到A点时无能量损耗，水平面AB是长2.0 m的粗糙平面，与半径为R＝0.4 m的光滑的半圆形轨道BCD相切于B点，其中圆轨道在竖直平面内，D为轨道的最高点，小球恰能通过最高点D，求：(g＝10 m/s2)
◎变式训练(1)求小物块到达C点时对圆轨道压力的大小；
(2)求小物块从A到B运动过程中摩擦力所做的功；
(3)为了使小物块不离开轨道，并从轨道DE滑出，求竖直圆弧轨道的半径应满足什么条件？
图7－Ⅰ－6答案 (1)90 N (2)－16.5 J (3)R≤0.32 m本讲结束
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