第五章 习题课 曲线运动
1．一小船从河岸的A处出发渡河，小船保持与河岸垂直方向行驶，10 min运动到对岸下游120 m的C处，如图5－Ⅰ－8所示，若小船保持原来的速度逆水向上与河岸成α角方向行驶，经12.5 min到达正对岸B处，求河的宽度。
图5－Ⅰ－8
解析 小船过河的过程，同时参与了两种运动，一是小船相对水的运动，一是随水流的运动。船的运动为合运动，设河宽为d，水流速为v水，船速为v船，船两次运动速度合成如图所示。依题意有，第一次渡河与第二次渡河在垂直岸的方向上位移相等，则v船t1＝v船·sin α·t2，第一次渡河水流方向上位移为BC，则＝v水 t1。
由图可得船的合速度：v2＝v水 tan α，所以河的宽度为：d＝v2t2＝v水 tan α·t2，联立解得：sin α＝0.8，tan α＝，v水＝12 m/min，d＝12××12.5 m＝200 m。
答案 200 m
2.如图5－Ⅰ－9所示，A、B两物体系在跨过光滑定滑轮的一根轻绳的两端，若A物体以速度v沿水平地面向左运动，某时刻系A、B的绳分别与水平方向成α、β角，求此时B物体的速度大小和方向。
图5－Ⅰ－9
解析 A、B两物体速度分解图如图所示，由于两物体沿绳的速度分量相等，所以有v1＝vB1，即vcos α＝vBcos β，解得vB＝v，方向水平向右。
答案 v，方向水平向右。
[限时20分钟 满分40分]
一、选择题(每小题4分，共24分)
1．小船以一定的速率垂直河岸向对岸划去，当水流匀速时，它渡河的时间、发生的位移与水速的关系是
A．水速小时，位移小，时间也小
B．水速大时，位移大，时间也大
C．水速大时，位移大，但时间不变
D．位移、时间大小与水速大小无关
解析 小船渡河时参与了顺水漂流和垂直河岸横渡两个分运动，由运动的独立性和等时性知，小船的渡河时间决定于垂直河岸的分运动，等于河的宽度与垂直河岸的分速度之比，由于船以一定速度垂直河岸向对岸划去，故渡河时间一定。水速大，水流方向的分位移就大，合位移也就大，反之则合位移小。
答案 C
2．塔式起重机模型如图5－Ⅰ－10，小车P沿吊臂向末端M水平匀速运动，同时将物体Q从地面竖直向上匀加速吊起，下列选项中能大致反映Q运动轨迹的是
图5－Ⅰ－10
解析 物体Q参与两个分运动，水平方向向右做匀速直线运动，竖直方向向上做匀加速直线运动；水平分运动无加速度，竖直分运动加速度向上，故物体合运动的加速度向上，故轨迹向上弯曲，故B正确，A、C、D错误。
答案 B
3．如图5－Ⅰ－11所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车以速度v匀速向右运动到如图所示位置时，物体P的速度为
图5－Ⅰ－11
A．v B．vcos θ
C. D．vcos2 θ
解析 如图所示，绳子与水平方向的夹角为θ，将小车的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，沿绳子方向的速度等于P的速度，根据平行四边形定则得，vP= vcos θ，故B正确，A、C、D错误。
答案 B
4.如图5－Ⅰ－12所示，套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连。由于B的质量较大，故在释放B后，A将沿杆上升，当A环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，其上升速度v≠0，若这时B的速度为v2，则
图5－Ⅰ－12
A．v2＝v B．v2＞v
C．v2≠0 D．v2＝0
解析 如图所示，分解A上升的速度v，vy= v cos α，当A环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，α=90°，故v2= vy =0，即B的速度为零。
答案 D
5．下列四个选项的图中实线为河岸，河水的流速v方向如图5－Ⅰ－13中箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线，已知船在静水中速度小于水速，且船头方向为船对水的速度方向，则其中可能正确的是
图5－Ⅰ－13
解析 因为静水速度小于水流速度，根据平行四边形定则知，合速度的方向不可能垂直河岸，也不可能偏向上游。故A、B错误。静水速度垂直于河岸，合速度的方向偏向下游，故C正确。船头的指向为静水速度的方向，静水速度的方向不可能与合速度的方向一致。故D错误。
答案 C
6．一条小船在静水中的速度为5 m/s，它要渡过一条宽为50 m的河，河水流速为4 m/s，则
A．这条船过河位移不可能为50 m
B．这条船过河时间不可能为10 s
C．若河水流速改变，船过河的最短时间一定不变
D．若河水流速改变，船过河的最短位移一定不变
答案 C
二、非选择题(共16分)
7．(8分)如图5－Ⅰ－14所示，河宽d＝120 m，设小船在静水中的速度为v1，河水的流速为v2。小船从A点出发，在渡河时，船身保持平行移动。若出发时船头指向河对岸上游的B点，经过10 min，小船恰好到达河正对岸的C点；若出发时船头指向河正对岸的C点，经过8 min，小船到达C点下游的D点。求：
图5－Ⅰ－14
(1)小船在静水中的速度v1的大小；
(2)河水的流速v2的大小；
(3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离sCD。
解析 (1)小船从A点出发，若船头指向河正对岸的C点，则此时v1方向的位移为d，故有v1＝＝ m/s＝0.25 m/s。
(2)设AB与河岸上游成α角，由题意可知，此时恰好到达河正对岸的C点，故v1沿河岸方向的分速度大小恰好等于河水的流速v2的大小，即v2＝v1cos α，此时渡河时间为t＝，所以sin α＝＝0.8，故v2＝v1cos α＝0.15 m/s。
(3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离为sCD＝v2tmin＝72 m。
答案 (1)0.25 m/s (2)0.15 m/s (3)72 m
8．(8分)在一光滑的水平面上建立xOy平面直角坐标系，一质点在水平面上从坐标原点开始运动，沿x轴方向和y轴方向的x－t图像和vy－t图像分到如图5－Ⅰ－15甲、乙所示，求：
图5－Ⅰ－15
(1)运动后4 s内质点的最大速度；
(2)4 s末质点离坐标原点的距离。
解析 (1)由题图可知，质点沿x轴正方向做匀速直线运动，速度大小为vx＝＝2 m/s。在运动后4 s内，沿y轴方向运动的最大速度的大小为4 m/s
则运动后4 s内质点运动的最大速度
vm＝＝2 m/s。
(2)0～2 s内质点沿y轴正方向做匀加速直线运动，2～4 s内先沿y轴正方向做匀减速直线运动，再沿y轴负方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度大小a＝＝ m/s2＝3 m/s2
则质点沿y轴正方向做匀减速运动的时间
t2＝＝ s
则运动后4 s内沿y轴方向的位移
y＝×2×(2＋) m－×4× m＝0
因此4 s末质点离坐标原点的距离等于沿x轴方向的位移由图像可知，4 s末质点离坐标原点的距离 s＝x＝8 m。
答案 (1)2 m/s (2)8 m
课件23张PPT。习题课 曲线运动[学习目标]
学会用运动合成与分解的思想分析两类问题。
小船相对于河岸的运动是小船的实际运动，也是合运动，可分解为小船相对静水和随水下漂两个分运动。此类问题常常讨论以下两种情况：
题型一 小船渡河问题已知某船在静水中的速度为v1＝4 m/s，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d＝100 m，水流速度为v2＝3 m/s，方向与河岸平行，则
(1)欲使船以最短时间渡河，航向怎样？最短时间是多少？船发生的位移有多大？[例1](2)欲使船以最小位移渡河，航向又怎样？渡河所用时间是多少？
(3)若水流速度为v2＝5 m/s，船在静水中的速度为v1＝4 m/s不变，船能否垂直河岸渡河？
[自主解答] (1)由题意知，当船在垂直于河岸方向上的速度最大时，渡河所用时间最短，河水流速平行于河岸，不影响渡河时间，所以当船头垂直于河岸对岸渡河时，所用时间最短，则最短时间为 [答案] 见自主解答[名师点拨]
1．小船同时参与随水漂流和在静水中的运动，两个运动互不干扰，且这两个运动具有等时性。
2．渡河时间由垂直河岸方向船的分速度决定，与河水速度无关。1．一条河宽为L＝900 m，水的流速为v＝50 m/s，并在下游形成壮观的瀑布。一艘游艇从距离瀑布水平距离为l＝1 200 m的上游渡河，为了不被冲进瀑布，游艇应如何航行速度最小，最小值为多少？此时游艇在河中航行的时间为多少？◎变式训练答案 30 m/s 37.5 s题型二 关联物体速度分解2．规律：由于绳不可伸长，所以绳两端所连物体的速度沿着绳方向的分速度大小相同。
3．速度分解的方法：物体的实际运动就是合运动。
(1)把物体的实际速度分解为垂直于绳和平行于绳的两个分量，根据沿绳方向的分速度大小相同列方程求解。[例2][答案] D ◎变式训练答案 B本讲结束
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