第5节 向心加速度
1．关于做圆周运动物体的向心加速度的方向，下列说法中正确的是
A．与线速度方向始终相同
B．与线速度方向始终相反
C．始终指向圆心
D．始终保持不变
解析 向心加速度的方向与线速度方向垂直，始终指向圆心。A、B错误，C正确；做匀速圆周运动物体的向心加速度的大小不变，而方向时刻变化，D错误。
答案 C
2．(多选)如图5－5－4所示为摩擦传动装置，B轮转动时带动A轮跟着转动，已知转动过程中轮缘间无打滑现象，下述说法中正确的是
图5－5－4
A．A、B两轮转动的方向相同
B．A与B转动方向相反
C．A、B转动的角速度之比为1∶3
D．A、B轮缘上点的向心加速度大小之比为3∶1
解析 A、B两轮属齿轮传动，A、B两轮的转动方向相反，A错，B对；A、B两轮边缘的线速度大小相等，由ω＝知，＝＝，C对。根据a＝得，＝＝，D错。
答案 BC
3．(2018·浙江选考)A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动(如图5－5－5)，在相同时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，则它们
图5－5－5
A．线速度大小之比为4∶3
B．角速度大小之比为3∶4
C．圆周运动的半径之比为2∶1
D．向心加速度大小之比为1∶2
解析 由圆周运动公式有，通过的路程s＝Rθ＝vt，转过的角度θ＝ωt，已知在相同的时间内，通过的路程之比是4∶3，转过的角度之比是3∶2，则A、B的线速度大小之比是4∶3，角速度大小之比是3∶2，则选项A正确，B错误；由R＝，得半径的比值为＝·＝×＝，由向心加速度公式a＝ω2R，得向心加速度大小的比值为＝·＝×＝2，选项CD错误。
答案 A
4．如图5－5－6所示，质量为m的小球用长为L的悬绳固定于O点，在O点的正下方处有一颗钉子，把悬绳拉直与竖直方向成一定角度，由静止释放小球，则小球从右向左摆的过程中，悬绳碰到钉子前后小球的向心加速度大小之比为多少？
图5－5－6
解析 在悬绳碰到钉子的前后瞬间，速度不变。做圆周运动的半径从L变成了，则根据加速度公式a＝有，两次a之比为半径之反比，即2∶3。
答案 2∶3
[限时45分钟 满分60分]
一、选择题(每小题4分，共40分)
1．做匀速圆周运动的两物体甲和乙，它们的向心加速度分别为a1和a2，且a1＞a2，下列判断正确的是
A．甲的线速度大于乙的线速度
B．甲的角速度比乙的角速度小
C．甲的轨道半径比乙的轨道半径小
D．甲的速度方向比乙的速度方向变化快
解析 由公式a＝＝ω2r可得，因为不知道r的大小，所以不能比较v、ω的大小，正确答案为D。
答案 D
2．关于向心加速度，下列说法正确的是
A．向心加速度是描述线速度变化的物理量
B．向心加速度既改变线速度的方向，又改变线速度的大小
C．向心加速度大小恒定，方向时刻改变
D．物体做非匀速圆周运动时，向心加速度的大小也可用an＝来计算
解析 加速度是描述速度变化快慢的物理量，向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，因此A、B错；只有匀速圆周运动的向心加速度大小才恒定，故C错，D对。
答案 D
3．(多选)一只质量为m的老鹰，以速率v在水平面内做半径为r的匀速圆周运动，则关于老鹰的向心加速度的说法正确的是
A．大小为 B．大小为g－
C．方向在水平面内 D．方向在竖直面内
解析 根据an＝可知选项A正确；由于老鹰在水平面内运动，向心加速度方向始终指向圆心，所以向心加速度的方向在水平面内，C正确。
答案 AC
4.如图5－5－7所示，A、B为咬合传动的两齿轮，RA＝2RB，则A、B两轮边缘上两点的
图5－5－7
A．角速度之比为2∶1
B．向心加速度大小之比为1∶2
C．周期之比为1∶2
D．转速之比为2∶1
解析 两咬合齿轮轮缘上的两点A、B应满足vA＝vB，又v＝ωR，则有ωA∶ωB＝RB∶RA＝1∶2，A错；向心加速度由a＝可知aA∶aB＝RB∶RA＝1∶2，B正确；周期TA∶TB＝ωB∶ωA＝2∶1，C错；转速n∝ω，则nA∶nB＝1∶2，D错。
答案 B
5．(多选)一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转动周期为2 s，则
A．角速度为0.5 rad/s B．转速为0.5 r/s
C．轨迹半径为 m D．加速度大小为4π m/s2
解析 转速为n＝＝0.5 r/s，角速度为ω＝＝π rad/s，半径r＝＝ m，向心加速度an＝ωv＝4π m/s2。故A错，B、C、D对。
答案 BCD
6.如图5－5－8所示，一圆环以直径AB为轴做匀速转动，P、Q、R是环上的三点，则下列说法正确的是
图5－5－8
A．向心加速度的大小aP＝aQ＝aR
B．任意时刻P、Q、R三点向心加速度的方向不同
C．线速度vP>vQ>vR
D．任意时刻P、Q、R三点的线速度方向均不同
解析 圆环各处的角速度相等由a＝ω2r知aP>aQ>aR，故A错误；由v＝ωr知vP>vQ>vR，故C正确。由于向加速度总是指向圆心，所以P、R、Q处的向心加速度的方向都垂直于AB轴且指向AB轴，即P、Q、R三点向心加速度的方向相同，B错误；线速度方向都垂直于半径，故P、Q、R三点的线速度方向相同，D错误。
答案 C
7．(多选)如图5－5－9为一压路机的示意图，其大轮半径是小轮半径的1.5倍，A、B分别为大轮和小轮边缘上的点，在压路机前进时
图5－5－9
A．A、B两点的线速度大小之比为vA∶vB＝1∶1
B．A、B两点的线速度大小之比为vA∶vB＝3∶2
C．A、B两点的角速度之比为ωA∶ωB＝3∶2
D．A、B两点的向心加速度大小之比为aA∶aB＝2∶3
解析 由题意知vA∶vB＝1∶1，故A对、B错；又由ω＝得ωA∶ωB＝rB∶rA＝2∶3，故C错；又由a＝得：aA∶aB＝rB∶rA＝2∶3，故D对。
答案 AD
8．(多选)一小球被细绳拴着，在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，向心加速度为a，那么
A．小球运动的角速度ω＝
B．小球在时间t内通过的路程为s＝t
C．小球做匀速圆周运动的周期T＝
D．小球在时间t内可能发生的最大位移为2R
解析 由an＝ω2r可知ω＝ ，故A错误；由公式v＝ωr得v＝ωR，在t时间内通过的路程s＝vt＝ωRt＝ ·Rt＝ ·t，B正确；由于ω＝，则T＝＝＝2π，C错误；在匀速圆周运动中，小球从一点运动到直径的另一端的过程中的最大位移xmax＝2R，故D正确。
答案 BD
9．如图5－5－10所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么
图5－5－10
A．加速度为零
B．加速度恒定
C．加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心
D．加速度大小不变，方向时刻指向圆心
解析 由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D正确，A、B、C错误。
答案 D
10.(多选)小金属球质量为m，用长L的轻悬线固定于O点，在O点的正下方处钉有一颗钉子P，把悬线沿水平方向拉直，如图5－5－11所示，若无初速度释放小球，当悬线碰到钉子后的瞬间(设线没有断)
图5－5－11
A．小球的角速度突然增大
B．小球的线速度突然减小到零
C．小球的向心加速度突然增大
D．小球的线速度突然增大
解析 由题意知，当运动到悬线与钉子相碰时，不论悬线对小球的作用力大小如何变化，其方向总与小球速度方向垂直，所以悬线在碰到钉子后的瞬间小球的线速度大小不变，但半径突然变小，故ω＝突然变大，且an＝也突然变大，故B、D错误，A、C正确。
答案 AC
二、非选择题(共20分)
11．(10分)如图5－5－12所示，一轿车以30 m/s的速率沿半径为60 m的圆形跑道行驶，当轿车从A运动到B时，轿车和圆心的连线转过的角度为90°。求：
图5－5－12
(1)此过程中轿车的位移大小；
(2)此过程中轿车通过的路程；
(3)轿车运动的向心加速度大小。
解析 如图所示，v＝30 m/s，
r＝60 m，θ＝90°＝。
(1)轿车的位移为从初位置A到末位置B的有向线段的长度，
即x =r=×60 m≈85 m。
(2)路程等于弧长，即l＝rθ＝60×m＝94.2 m。
(3)向心加速度大小：an＝＝ m/s2＝15 m/s2。
答案 (1)85 m (2)94.2 m (3)15 m/s2
12．(10分)如图5－5－13所示，甲、乙两物体自同一水平线上同时开始运动，甲沿顺时针方向做匀速圆周运动，圆半径为R；乙做自由落体运动，当乙下落至A点时，甲恰好第一次运动到最高点B，求甲物体做匀速圆周运动的向心加速度。
图5－5－13
解析 设乙下落到A点的时间为t，
则对乙满足R＝gt2，得t＝，
这段时间内甲运动了T，即
T＝ ①
又由于an＝ω2R＝R②
由①②得a＝π2g。
答案 π2g
课件25张PPT。第5节 向心加速度[学习目标]
1．理解向心加速度的产生及向心加速度是描述线速度方向改变快慢的物理量，知道其方向总是指向圆心且时刻改变。
2．知道决定向心加速度的有关因素，并能利用向心加速度公式进行有关计算。一、感受圆周运动的加速度
1．两个匀速圆周运动的实例
(1)地球绕太阳做近似的匀速圆周运动，地球受到太阳的引力，方向由地球球心指向太阳中心。
(2)光滑桌面上一个小球由于细线的牵引，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动，小球受到的力有重力、桌面的支持力、细线的拉力，其中重力和支持力在竖直方向上平衡，拉力总是指向圆心。
2．结论
(1)圆周运动必有加速度：圆周运动是_________运动，所以必有加速度。
(2)做匀速圆周运动的物体受到的合力指向_____，所以其加速度方向一定指向 。变速曲线圆心圆心?自主思考——判一判
1．(1)匀速圆周运动是加速度不变的曲线运动。( )
(2)匀速圆周运动的向心加速度的方向始终与速度方向垂直。( )
(3)物体做匀速圆周运动时，速度变化量为零。
( )×√×二、向心加速度
1．定义：做匀速圆周运动的物体指向 的加速度。
2．大小：an＝ ＝ 。
3．方向：沿半径方向指向 ，与线速度方向 。 圆心ω2r圆心垂直√ × × × 1．物理意义：描述线速度改变的快慢，只表示速度方向变化的快慢，不表示速度大小变化的快慢。
2．方向：不论向心加速度an的大小是否变化，an的方向始终指向圆心，是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动是一种变加速曲线运动。
考点一 向心加速度的理解3．无论是匀速圆周运动，还是变速圆周运动都有向心加速度，且方向都指向圆心。
4．变速圆周运动的向心加速度
做变速圆周运动的物体，加速度并不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度。向心加速度表示速度方向变化的快慢，切向加速度表示速度大小变化的快慢。所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心。
1．(多选)关于向心加速度，以下说法正确的是
A．向心加速度的方向始终与速度方向垂直
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
[题组通关]解析 向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向则沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与速度方向垂直，只改变线速度的方向，选项A、B正确。物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心，选项D正确。物体做变速圆周运动时，物体的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向不指向圆心，选项C错误。
答案 ABD
2．下列关于匀速圆周运动中向心加速度的说法正确的是
A．向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢
B．向心加速度表示角速度变化的快慢
C．向心加速度描述线速度方向变化的快慢
D．匀速圆周运动的向心加速度不变
解析 匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只改变速度的方向，显然A项错误；匀速圆周运动的角速度是不变的，所以B项错误；匀速圆周运动中速度的变化只表现为速度方向的变化，加速度作为反映速度变化快慢的物理量，向心加速度只描述速度方向变化的快慢，所以C项正确；向心加速度的方向是变化的，所以D项错误。
答案 C
考点二 向心加速度公式的理解与计算2．向心加速度与半径的关系
[例题] [审题指导] [答案] 4 cm/s2 24 cm/s2◎变式训练答案 A答案 (1)2g (2)g本讲结束
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