第7节 生活中的圆周运动
1．火车在拐弯时，受到向心力的作用，关于向心力的分析，正确的是
A．由于火车本身作用而产生了向心力
B．主要是由于内外轨高度差的作用，车身略有倾斜，车身所受重力的分力产生了向心力
C．火车在拐弯时的速率小于规定速率时，内轨将给火车侧压力，侧压力就是向心力
D．火车在拐弯时的速率大于规定速率时，外轨将给火车侧压力，侧压力作为火车拐弯时向心力的一部分
解析 火车正常拐弯时，重力和支持力的合力提供向心力，故A、B两项错误；若拐弯速率大于(或小于)标准速率时，外轨(或内轨)有侧压力作用，此时火车受重力、支持力、侧压力的作用，三力的合力提供向心力，故D项正确。
答案 D
2．物体做离心运动时，运动轨迹的形状为
A．一定是直线
B．一定是曲线
C．可能是直线也可能是曲线
D．可能是一个圆
解析 离心运动是指合力突然变为零或合力不足以提供物体所需向心力时物体逐渐远离圆心的运动，若合力突然为零，物体沿切线方向做直线运动，若合力比向心力小，物体做曲线运动，但逐渐远离圆心，故A、B、D错，C对。
答案 C
3．(多选)如图5－7－11所示，小物块位于放于地面的半径为R的半球的顶端，若给小物块一水平的初速度v时小物块对半球刚好无压力，则下列说法正确的是
图5－7－11
A．小物块立即离开球面做平抛运动
B．小物块落地时水平位移为R
C．小物块沿球面运动
D．小物块落地时速度的方向与地面成45°角
解析 小物块在最高点时对半球刚好无压力，表明从最高点开始小物块即离开球面做平抛运动，A对，C错；由mg＝m知，小物块在最高点的速度大小v＝，又由于R＝gt2，vy＝gt，x＝vt，故x＝R，B对；tan θ＝＝，θ>45°，D错。
答案 AB
[限时45分钟 满分60分]
一、选择题(每小题4分，共40分)
1．关于铁路转弯处内外轨道间高度差，下列说法正确的是
A．可以使列车顺利转弯，减小车轮与铁轨的侧向挤压
B．因为列车转弯时要受到离心力的作用，故一般使外轨高于内轨，以防列车翻倒
C．因为列车转弯时有向内侧倾倒的可能，故一般使内轨高于外轨，以防列车翻倒
D．以上说法都不正确
解析 铁路弯道处外轨高于内轨，目的是由支持力的水平分力提供向心力，从而减少了铁轨与车轮边缘间的侧向挤压力。
答案 A
2．一汽车通过拱形桥顶点时的速度为10 m/s，车对桥顶的压力为车重的，如果要使汽车在桥顶对桥面没有压力，车速至少为
A．15 m/s B．20 m/s
C．25 m/s D．30 m/s
解析 当FN＝G时，因为G－FN＝m，所以G＝m，当FN＝0时，G＝m，所以v′＝2v＝20 m/s。
答案 B
3．(多选)如图5－7－12所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点。则杆对球的作用力可能是
图5－7－12
A．a处为拉力，b处为拉力
B．a处为拉力，b处为推力
C．a处为推力，b处为拉力
D．a处为推力，b处为推力
解析 小球在a处为拉力，在b处，当v>时，杆提供拉力，当v<时，杆提供推力，当v＝时，杆对小球刚好作用力为0。
答案 AB
4．下列有关洗衣机中脱水筒的脱水原理的说法正确的是
A．水滴受离心力作用而背离圆心方向甩出
B．水滴受到向心力，由于惯性沿切线方向甩出
C．水滴受到的离心力大于它受到的向心力，而沿切线方向甩出
D．水滴与衣服间的附着力小于它所需要的向心力，于是水滴沿切线方向甩出
解析 根据离心运动的特点知，水滴的离心现象是由于水滴与衣服间的附着力小于水滴运动所需要的向心力，即提供的向心力不足，所以水滴沿切线方向甩出，正确选项为D。
答案 D
5．(多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带。图5－7－13为某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势。则在该弯道处
图5－7－13
A．路面外侧高内侧低
B．车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动
C．车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D．当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小
解析 汽车在公路转弯处做圆周运动，需要外力提供向心力，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，即没有指向公路两侧的摩擦力，此时的向心力由地面的支持力和重力的合力提供，故路面外侧高内侧低，选项A正确；当车速低于vc时，车所需向心力减小，车可能只是具有向内侧滑动的趋势，不一定能够滑动，选项B错误；同理，当车速高于vc，且不超出某一最高限度，车辆可能只是有向外侧滑动的趋势，不一定能够滑动，当超过最大静摩擦力时，才会向外侧滑动，故选项C正确；当路面结冰时，只是最大静摩擦力变小，vc值不变，D错误。
答案 AC
6．如图5－7－14所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2。则ω的最大值是
图5－7－14
A. rad/s B. rad/s
C．1.0 rad/s D．0.5 rad/s
解析 当物体转到圆盘的最低点恰好不滑动时，转盘的角速度最大，其受力如图所示(其中O为对称轴位置)
由沿盘面的合力提供向心力，有
μmgcos 30°－mgsin 30°＝mω2R
得ω＝ ＝1.0 rad/s，选项C正确。
答案 C
7．用细绳拴着质量为m的小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图5－7－15所示。则下列说法正确的是
图5－7－15
A．小球通过最高点时，绳子张力一定不为零
B．小球通过最高点时的最小速度是零
C．小球刚好通过最高点时的速度可能是
D．小球通过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受重力方向相反
解析 设小球通过最高点时的速度为v。由合外力提供向心力及牛顿第二定律得F合＝mg＋T，又F合＝m，则mg＋T＝m。当T＝0时，v＝，故A错误；当v<时，T<0，而绳子只能产生拉力，不能产生与重力方向相反的支持力，故B、D错误；当v>时，T>0，小球能沿圆弧通过最高点。可见，v≥是小球能沿圆弧通过最高点的条件。
答案 C
8．有一种大型游戏器械，它是一个圆筒型大容器，筒壁竖直，游客进入容器后靠筒壁站立，当圆筒开始转动后，转速加快到一定程度时，突然地板塌落，游客发现自己没有落下去，这是因为
A．游客受到的筒壁的作用力垂直于筒壁
B．游客处于失重状态
C．游客受到的静摩擦力等于重力
D．游客随着转速的增大有沿壁向上滑动的趋势
解析 游客做匀速圆周运动的向心力是由侧壁对人的支持力提供的，当转速达到某一数值后这个支持力FN也达到某一数值，使得人受到的摩擦力Ff＝μFN＝mg，与人的重力平衡，地板塌落后人就不会下落，故C正确。
答案 C
9．(多选)乘坐游乐园的过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内沿圆周轨道运动(如图5－7－16所示)，下列说法正确的是
图5－7－16
A．车在最高点时，人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，若没有保险带，人一定会掉下去
B．人在最高点时，对座位仍可能产生压力，但压力一定小于mg
C．人在最低点时，处于超重状态
D．人在最低点时，对座位的压力大于mg
解析 由圆周运动的临界条件知，人在最高点时，若v＝ ，则人对底座和保险带都无作用力；若v＜ ，则保险带对人有拉力作用；若v＞ ，则人对底座有压力，且当v＞ ，压力大于mg，故A、B错误；人在最低点有FN－mg＝m，FN＞mg，故C、D正确。
答案 CD
10．(多选)如图5－7－17所示为赛车场的一个水平“U”形弯道，转弯处为圆心在O点的半圆，内外半径分别为r和2r。一辆质量为m的赛车通过AB线经弯道到达A′B′线，有如图所示的①、②、③三条路线，其中路线③是以O′为圆心的半圆，OO′＝r。赛车沿圆弧路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力为Fmax。选择路线，赛车以不打滑的最大速率通过弯道(所选路线内赛车速率不变，发动机功率足够大)，则
图5－7－17
A．选择路线①，赛车经过的路程最短
B．选择路线②，赛车的速率最小
C．选择路线③，赛车所用时间最短
D．①、②、③三条路线的圆弧上，赛车的向心加速度大小相等
解析 由几何关系可得，路线①、②、③赛车通过的路程分别为：(πr＋2r)、(2πr＋2r)和2πr，可知路线①的路程最短，选项A正确；圆周运动时的最大速率对应着最大静摩擦力提供向心力的情形，即μmg＝m，可得最大速率v＝，则知②和③的速率相等，且大于①的速率，选项B错误；根据t＝，可得①、②、③所用的时间分别为t1＝，t2＝，t3＝，其中t3最小，可知线路③所用时间最短，选项C正确；在圆弧轨道上，由牛顿第二定律可得：μmg＝ma向，a向＝μg，可知三条路线上的向心加速度大小均为μg，选项D正确。
答案 ACD
二、非选择题(共20分)
11．(10分)一辆质量m＝2 t的轿车，驶过半径R＝90 m的一段凸形桥面，g取10 m/s2，求：
(1)轿车以10 m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面的压力是多大？
(2)在最高点对桥面的压力等于轿车重力的一半时，车的速度大小是多少？
解析 (1)轿车通过凸形桥面最高点时，受力分析如图所示：
合力F＝mg－FN，由向心力公式得mg－FN＝m
故桥面的支持力大小FN＝mg－m＝(2 000×10－2 000×)N＝1.78×104 N
根据牛顿第三定律，轿车在桥的顶点时对桥面压力的大小为1.78×104 N。
(2)对桥面的压力等于轿车重力的一半时，向心力F′＝mg－FN＝0.5 mg，而F′＝m，所以此时轿车的速度大小v′＝＝ m/s＝15 m/s。
答案 (1)1.78×104 N (2)15 m/s
12．(10分)质量为0.2 kg的小球固定在长为0.9 m的轻杆一端，杆可绕过另一端O点的水平轴在竖直平面内转动。(g＝10 m/s2)求：
(1)当小球在最高点的速度为多大时，球对杆的作用力为零？
(2)当小球在最高点的速度分别为6 m/s和1.5 m/s时，球对杆的作用力。
解析 (1)当小球在最高点对杆的作用力为零时，重力提供向心力，则mg＝m，解得v0＝3 m/s。
(2)v1>v0，由牛顿第二定律得：mg＋F1＝m，由牛顿第三定律得：F1′＝F1，解得F1′＝6 N，方向竖直向上，v2答案 (1)3 m/s (2)6 N，方向竖直向上 1.5 N，方向竖直向下
课件59张PPT。第7节 生活中的圆周运动[学习目标]
1．会分析具体圆周运动问题中向心力的来源，能解决生活中的圆周运动问题。
2．了解航天器中的失重现象及原因。
3．了解离心运动及物体做离心运动的条件，知道离心运动的应用及危害。
一、铁路的弯道
1．火车在弯道上的运动特点
火车在弯道上运动时做___________，因而具有向心加速度，由于其质量巨大，所以需要很大的________。
2．转弯处内外轨一样高的缺点
如果转弯处内外轨一样高，则由______对轮缘的弹力提供向心力，这样铁轨和车轮极易受损。
圆周运动向心力外轨3．铁路弯道的特点
(1)转弯处______略高于______。
(2)铁轨对火车的支持力不是竖直向上的，而是斜向弯道______。
(3)铁轨对火车的支持力与火车所受重力的合力指向轨道的_______，它提供了火车做圆周运动的_______。
外轨内轨内侧圆心向心力?自主思考——判一判
1．(1)车辆在水平路面上转弯时，所受重力与支持力的合力提供向心力。( )
(2)车辆在水平路面上转弯时，所受摩擦力提供向心力。( )×√(3)车辆在“内低外高”的路面上转弯时，受到的合力可能为零。( )
(4)车辆按规定车速通过“内低外高”的弯道时，向心力是由重力和支持力的合力提供的。( )×√二、拱形桥
1．向心力来源(最高点和最低点)：汽车做圆周运动， 和 的合力提供向心力。重力桥面的支持力mg－FN 小于 FN－mg 大于 ?自主思考——判一判
2．(1)汽车在水平路面上匀速行驶时，对地面的压力等于车重，加速行驶时大于车重。( )
(2)汽车在拱形桥上行驶，速度小时对桥面的压力大于车重，速度大时压力小于车重。( )
(3)汽车通过凹形桥底部时，对桥面的压力一定大于车重。( )××√mg－FN 完全失重 无压力 ?自主思考——判一判
3．宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，判断下列说法的对错：
(1)在飞船内可以用天平测量物体的质量。( )
(2)在飞船内可以用水银气压计测舱内的气压。( )××(3)在飞船内可以用弹簧测力计测拉力。( )
(4)在飞船内将重物挂于弹簧测力计上，弹簧测力计示数为0，但重物仍受地球的引力。( )√√四、离心运动
1．定义：物体沿切线飞出或做逐渐 的运动。
2．原因：向心力突然消失或合外力不足以提供所需 。
3．应用：洗衣机的 ，制作 、水泥管道、水泥电线杆等。远离圆心向心力脱水筒无缝钢管?自主思考——判一判
4．(1)物体突然受到离心力的运动，将做离心运动。( )
(2)做匀速圆周运动的物体，当提供向心力的合外力突然变大时将做离心运动。( )
(3)做匀速圆周运动的物体，当提供向心力的合外力突然消失或变小时将做离心运动。( )××√1．火车车轮的特点：火车的车轮有凸出的轮缘，火车在铁轨上运行时，车轮与铁轨有水平与竖直两个接触面，这种结构特点，主要是避免火车运行时脱轨，如图5－7－3所示。
考点一 火车转弯问题图5－7－32．圆周平面的特点：弯道处外轨高于内轨，但火车在行驶过程中，重心高度不变，即火车的重心轨迹在同一水平面内，火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心。
3．向心力的来源分析：火车速度合适时，火车受重力和支持力作用，火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，合力沿水平方向，大小F＝mgtan θ。
图5－7－4(2)当火车行驶速度v与规定速度v0不相等时，火车所需向心力不再仅由重力和弹力的合力提供，此时内外轨道对火车轮缘有挤压作用，具体情况如下。
①当火车行驶速度v＞v0时，外轨道对轮缘有侧压力。
②当火车行驶速度v＜v0时，内轨道对轮缘有侧压力。
有一列重为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m。(g取10 m/s2)
(1)试计算铁轨受到的侧压力大小；
(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值。[例1] [答案] (1)105 N (2)0.11．(多选)在铁路转弯处，往往使外轨略高于内轨，这是为了
A．增加火车轮子对外轨的挤压
B．增加火车轮子对内轨的挤压
C．使火车车身倾斜，利用重力和支持力的合力提供转弯所需的向心力
D．限制火车向外脱轨◎变式训练解析 火车轨道建成外高内低，火车转弯时，轨道的支持力与火车的重力两者的合力指向弧形轨道的圆心，为火车转弯提供了(部分)向心力，减轻了轮缘与外轨的挤压，同时在一定程度上限制了火车转弯时发生离心运动，即限制火车向外脱轨，故C、D正确。
答案 CD答案 C 一、凹凸桥问题的求解
1．运动学特点：汽车过凹凸桥时的运动可看做圆周运动。
2．运动学分析
(1)向心力来源：汽车过凹凸桥的最高点或最低点时，在竖直方向受重力和支持力，其合力提供向心力。考点二 竖直平面内的圆周运动(2)汽车过凹凸桥压力的分析与讨论
若汽车质量为m，桥面圆弧半径为R，汽车在最高点或最低点速率为v，则汽车对桥面的压力大小情况讨论如下：
如图5－7－6所示，质量m＝2.0×104 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为60 m，如果桥面承受的压力不得超过3.0×105 N，则：[例2]图5－7－6(1)汽车允许的最大速率是多少？
(2)若以所求速率行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？(g取10 m/s2)
[自主解答] 汽车驶至凹形桥面的底部时，合力向上，此时车对桥面压力最大；汽车驶至凸形桥面的顶部时，合力向下，此时车对桥面的压力最小。[答案] (1)10 m/s (2)1.0×105 N [点拨提升]
1．过凹形桥最低点时，汽车的加速度方向竖直向上，处于超重状态，为使对桥压力不超出最大承受力，汽车有最大行驶速度限制。
2．应用牛顿第二定律列方程时，应取加速度方向为正方向。
3．汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是作用力与反作用力。图5－7－72．轻杆模型
如图5－7－8所示，在细轻杆上固定的小球或在管形轨道内运动的小球，由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是在最高点的速度大于或等于零，小球的受力情况为：图5－7－8 [特别提醒]
对竖直平面内的圆周运动
1．要明确运动的模型，即绳或杆。
2．由不同模型的临界条件分析受力，找到向心力的来源。 [例3] [点拨提升]
竖直平面内圆周运动的分析方法
1．明确运动的类型，是轻绳模型还是轻杆模型。
2．明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点。
3．分析物体在最高点及最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解。 3．汽车驶向一凸形桥，为了在通过桥顶时，减小汽车对桥的压力，司机应
A．以尽可能小的速度通过桥顶
B．适当增大速度通过桥顶
C．以任何速度匀速通过桥顶
D．使通过桥顶的向心加速度尽可能小◎变式训练答案 B4．长度为0.5 m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做圆周运动，A端连着一个质量m＝2 kg的小球。求在下述的两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向。(g取10 m/s2 )
(1)杆做匀速圆周运动的转速为2.0 r/s；
(2)杆做匀速圆周运动的转速为0.5 r/s。解析 小球在最高点的受力如图所示：(1)杆的转速为2.0 r/s时，ω＝2π·n＝4π rad/s。
由牛顿第二定律得：F＋mg＝mLω2
故小球所受杆的作用力
F＝mLω2－mg＝2×(0.5×42×π2－10) N≈138 N
即杆对小球提供了138 N的拉力。
由牛顿第三定律知小球对杆的拉力大小为138 N，方向竖直向上。(2)杆的转速为0.5 r/s时，
ω′＝2π·n＝π rad/s。
同理可得小球所受杆的作用力
F＝mLω′2－mg＝2×(0.5×π2－10) N≈－10 N。
力F的负值表示它的方向与受力分析中所假设的方向相反，故小球对杆的压力大小为10 N，方向竖直向下。答案 (1)小球对杆的拉力为138 N，方向竖直向上
(2)小球对杆的压力为10 N，方向竖直向下1．离心运动的实质
离心现象的本质是物体惯性的表现。做圆周运动的物体，由于惯性，总是有沿着圆周切线飞出去的趋向，之所以没有飞出去，是因为受到向心力的作用。从某种意义上说，向心力的作用是不断地把物体从圆周运动的切向方向拉回到圆周上来。考点三 离心运动的理解图5－7－91．(多选)下列叙述中正确的是
A．离心运动是由于合力不足以提供向心力而引起的
B．离心运动的轨迹一定是直线
C．洗衣机的脱水筒是利用离心运动把湿衣服甩干的
D．汽车转弯时速度过大，会因离心运动造成交通事故[题组通关]解析 物体做离心运动的轨迹并不一定是直线。当做匀速圆周运动的物体受到的合力突然消失时，将做匀速直线运动；当物体受到的合力不为零但不足以提供向心力时，其运动轨迹是曲线，故B错误。
答案 ACD2．(多选)如图5－7－10所示，光滑水平面上，质量为m的小球在拉力F作用下做匀速圆周运动。若小球运动到P点时，拉力F发生变化，下列关于小球运动情况的说法中正确的是图5－7－10 A．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pb做离心运动
C．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc做近心运动解析 若拉力突然变大，则小球将做近心运动，不会沿轨迹Pb做离心运动，A项错误。若拉力突然变小，则小球将做离心运动，但由于力与速度有一定的夹角，故小球将做曲线运动，B项正确、D项错误。若拉力突然消失，则小球将沿着P点处的切线运动，C项正确。
答案 BC本讲结束
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