第六章 第4节 万有引力理论的成就
1．(多选)(2018·天津)2018年2月2日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一。通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面处的重力加速度。若将卫星绕地球的运动看作是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的
A．密度 B．向心力的大小
C．离地高度 D．线速度的大小
解析 卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，则有G＝m2(R＋h)，无法计算得到卫星的质量，更无法确定其密度及向心力大小，A、B项错误；又G＝m0g，联立两式可得h＝ －R，C项正确；由v＝(R＋h)，可计算出卫星的线速度的大小，D项正确。
答案 CD
2．假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，那么
A．地球公转周期大于火星的公转周期
B．地球公转的线速度小于火星公转的线速度
C．地球公转的加速度小于火星公转的加速度
D．地球公转的角速度大于火星公转的角速度
解析 据太阳对行星的引力提供行星运动所需的向心力得＝m＝mω2r＝m()2r＝ma向，解得v＝ ，ω＝ ，T＝2π，a向＝，由题意知，r地v火，ω地>ω火，T地a火，D项正确。
答案 D
3．某行星表面没有气体，在它的表面附近做匀速圆周运动的卫星的环绕周期为T。如果宇航员在这个行星的表面上以v的初速度竖直向上抛出一石块，石块向上运动的最大高度为h。已知引力常量为G，求该行星的质量。
解析 设行星半径为R，质量为M，表面的重力加速度为g，卫星的质量为m。
对石块，由竖直上抛规律得v2＝2gh，
所以，g＝。
卫星在行星表面附近做匀速圆周运动，则卫星的轨道半径等于行星的半径R，由万有引力定律和牛顿第二定律有：G＝m2R
根据星球表面的万有引力和重力的关系有：
G＝mg
由以上各式得M＝。
答案
[限时45分钟 满分60分]
一、选择题(每小题4分，共40分)
1．关于万有引力定律应用于天文学研究的历史事实，下列说法正确的是
A．天王星、海王星都是运用万有引力定律，经过大量计算以后发现的
B．18世纪时人们发现太阳的第七颗行星的运动轨道总是同根据万有引力定律计算出来的结果有比较大的偏差，于是人们推测出在这颗行星的轨道外还有一颗行星
C．太阳的第八颗行星是牛顿运用自己发现的万有引力定律，经过大量计算而发现的
D．以上说法都正确
解析 天王星是在1781年被发现的，而卡文迪许测出万有引力常量的值是在1789年，在此之前人们还不能用万有引力定律做具有实际意义的计算，A错误，B正确；太阳的第八颗行星是在1846年被发现的，而牛顿发现的万有引力定律于1687年发表在牛顿的《自然哲学的数学原理》中，C错误。
答案 B
2．(多选)利用下列哪种数据，可以算出地球的质量(引力常量G已知)
A．已知地面的重力加速度g
B．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和周期T
C．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和线速度v
D．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T
解析 在地面附近重力近似等于万有引力，即G＝mg，故M＝，若想计算地球的质量，需要知道g、R和G，故选项A错误；卫星绕地球运动时万有引力提供向心力，即G＝m＝mv＝mr，故M＝＝＝，选项B、C正确，选项D错误。
答案 BC
3．(多选)已知引力常量G与下列的哪些数据，可以计算出地球的密度
A．地球绕太阳运动的周期及地球离太阳的距离
B．月球绕地球运行的周期及月球绕地球运转的轨道半径
C．人造地球卫星在地面附近运行的周期
D．若不考虑地球自转，已知地球半径和重力加速度
解析 由地球绕太阳运动的周期及地球离太阳的距离只能求出太阳的质量，A错误；由月球绕地球运行的周期及月球绕地球运转的轨道半径只能求出地球的质量，无法求出其密度，B错误；由地面附近的卫星周期T可求出地球密度为ρ＝，C正确；若已知地球半径R和重力加速度g，则由g＝可求出地球质量，再由V＝πR3求出地球体积，从而可求出其密度，D正确。
答案 CD
4.“神舟十号”载人飞船成功与“天宫一号”目标飞行器交会对接。如图6－4－3所示，“天宫一号”对接前从圆轨道Ⅰ变至圆轨道Ⅱ，已知地球半径为R，轨道Ⅰ距地面高度h1，轨道Ⅱ距地面高度h2，则关于“天宫一号”的判断正确的是
图6－4－3
A．调整前后线速度大小的比值为
B．调整前后周期的比值为
C．调整前后向心加速度大小的比值为
D．需加速才能从轨道Ⅰ变至轨道Ⅱ
解析 根据G＝m得，v＝ ，调整前后线速度大小的比值为 ，A错误；根据G＝mr得，T＝ ，调整前后周期的比值为 ，B正确；根据G＝ma得a＝，调整前后向心加速度大小的比值为，C错误；由高轨道到低轨道需要减速，D错误。
答案 B
5．宇航员在月球上做自由落体实验，将某物体由距月球表面高h处释放，经时间t后落到月球表面(设月球半径为R)。据上述信息推断，飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为
A. B.
C. D.
解析 物体做自由落体运动，设地球表面重力加速度为g，h＝gt2，g＝，飞船做匀速圆周运动，则mg＝m，v＝＝，所以D选项正确。
答案 D
6．(多选)据最新消息，英国曼彻斯特大学的天文学家认为，他们已经在银河系里发现一颗由曾经的庞大恒星转变而成的体积较小的行星，这颗行星完全由钻石构成。若已知万有引力常量，还需知道哪些信息可以计算该行星的质量
A．该行星表面的重力加速度及绕行星运行的卫星的轨道半径
B．该行星的自转周期与星体的半径
C．围绕该行星做圆周运动的卫星的公转周期及运行半径
D．围绕该行星做圆周运动的卫星的公转周期及公转线速度
解析 由万有引力定律和牛顿第二定律可知，卫星绕中心天体运动的向心力由中心天体对卫星的万有引力提供，利用牛顿第二定律得G＝m＝mrω2＝mr；若已知卫星的轨道半径r和卫星的运行周期T或角速度ω、线速度v，可求得中心天体的质量m＝＝＝，由于v＝，所以M＝，所以选项C、D正确。
答案 CD
7．一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上。已知引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为
A. B.
C. D.
解析 物体对天体压力为零，说明万有引力全部提供物体做圆周运动的向心力，并且天体自转周期就是物体绕天体做圆周运动的周期。根据万有引力定律有G＝m2R，又因为球的质量M＝ρ·πR3。两式联立解得T＝ 。
答案 D
8．(多选)科学家在望远镜中看到太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运行一周所用的时间为1 200年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍。假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆，仅利用以上两个数据可以求出的量有
A．恒星质量与太阳质量之比
B．恒星密度与太阳密度之比
C．行星质量与地球质量之比
D．行星运行速度与地球公转速度大小之比
解析 由G＝mR，得太阳的质量M太＝，恒星的质量M恒＝，故恒星质量与太阳质量之比＝3·2，A正确；因恒星和太阳自身的半径之比未知，所以无法确定两者的密度之比，故B错；由v＝，得行星的运行速度与地球的公转速度之比＝·，故D正确；因环绕天体质量无法由万有引力直接得出，故C错误。
答案 AD
9．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来n倍，则此时圆周运动的周期为
A.T B.T
C.T D.T
解析 设双星质量各为m1、m2，相距L，做圆周运动的半径分别为r1、r2，则
G＝m1
G＝m2
r1＋r2＝L
可得＝
T＝
所以T′＝T
故B正确，A、C、D错误。
答案 B
10．(多选)一行星绕恒星做圆周运动。由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v。引力常量为G，则
A．恒星的质量为
B．行星的质量为
C．行星运动的轨道半径为
D．行星运动的加速度为
解析 由＝＝mr得M＝＝，A对；无法计算行星的质量，B错；r＝＝＝，C对；a＝ω2r＝ωv＝v，D对。
答案 ACD
二、非选择题(共20分)
11．(10分)经过近7年时间，2亿千米在太空中穿行后，美航天局和欧航天局合作研究出的“卡西尼”号土星探测器抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫星家族，这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测。若“卡西尼”号土星探测器进入环绕土星上空的圆轨道飞行，已知土星半径为R，探测器离土星表面高度为h，环绕n周的飞行时间为t，求土星的质量M和平均密度ρ(球体体积公式V＝)
解析 土星对探测器的引力提供探测器运行的向心力：
G＝m(R＋h)
探测器运行的周期：T＝联立以上二式解得土星的质量为
M＝
由M＝Vρ和V＝联立解得土星的平均密度ρ为
ρ＝。
答案
12．(10分)假设宇航员乘坐宇宙飞船到某行星考察，当宇宙飞船在靠近该星球表面空间做匀速圆周运动时，测得环绕周期为T。当飞船降落在该星球表面时，用弹簧测力计称得质量为m的砝码受到的重力为F，G为已知量，试根据以上数据求得该行星的质量。
解析 当宇宙飞船在行星表面空间做匀速圆周运动时，它的向心力由万有引力提供，设行星质量、飞船质量分别为M、m1，则
G＝m1R①
质量为m的砝码的重力等于万有引力，即F＝G②
联立①②，解得M＝。
答案
课件41张PPT。第4节 万有引力理论的成就[学习目标]
1．了解重力等于万有引力的条件。
2．会用万有引力定律求中心天体的质量。
3．了解万有引力定律在天文学上的重要应用。
一、地球质量的计算
1思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力，即mg＝ 。
2．结论：M＝ ，只要知道g、R的值，就可计算出地球的质量。?自主思考——判一判
1．已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，重力加速度g取9.8 m/s2，地球半径R＝6.4×106 m，则可知地球质量的数量级是
A．1018 kg B．1020 kg
C．1022 kg D．1024 kg答案 D二、计算天体的质量
1．太阳质量的计算
(1)思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力，即
=_____________。
(2)结论：M＝ ，只要知道行星绕太阳运动的周期T和半径r就可以计算出太阳的质量。2．行星质量的计算：同理，若已知卫星绕行星运动的周期T和卫星与行星之间的距离r，可计算行星的质量M，公式是M＝ 。?自主思考——判一判
2．(多选)已知引力常量G，利用下列数据，可以计算出地球质量的是
A．已知地球的半径R和地面的重力加速度g
B．已知地球绕太阳做匀速圆周运动的半径r和周期T
C．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和线速度v
D．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T答案 ACD三、发现未知天体
1．“笔尖下发现的行星”是指 。
2．海王星的发现和 的“按时回归”确立了万有引力定律的地位。 海王星哈雷彗星?自主思考——判一判
3．(1)天王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的。( )
(2)海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的。( )
(3)哈雷彗星的“按时回归”证明了万有引力定律的正确性。( )
(4)牛顿被称作第一个称出地球质量的人。( )×√√×考点一 天体质量和密度的计算(2)环绕法
借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下： 为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量M。已知地球半径R＝6.4×106m，地球质量m＝6×1024kg，日地中心的距离r＝1.5×1011m，地球表面处的重力加速度g＝10m/s2，1年约为3.2×107s，试估算目前太阳的质量M(保留一位有效数字，引力常量未知)。命题角度1 天体质量的计算[例1][答案] 2×1030kg(2018·全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3[例2]命题角度2 天体密度的计算[答案] C◎变式训练图6－4－1答案 B2．“嫦娥三号”探月卫星在西昌卫星发射中心发射，实现了“落月”的新阶段。若已知引力常量为G，月球绕地球做圆周运动的半径为r1、周期为T1，“嫦娥三号”探月卫星做圆周运动的环月轨道半径为r2、周期为T2，不计其他天体的影响，根据题目条件可以答案 B考点二 天体运动的分析与计算有的天文学家倾向于把太阳系外较小的天体叫做“矮行星”，而另外一些人把它们叫做“小行星”，谷神星就是小行星之一。现有两个这样的天体，它们的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半径分别是r1和r2，求：
(1)它们与太阳间的万有引力之比。
(2)它们的公转周期之比。[例3][规律总结]
天体运动的加速度、线速度、角速度和周期与轨道半径的关系◎变式训练答案 A 考点三 宇宙双星问题宇宙中两颗相距较近的天体称为双星，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因相互之间的引力作用吸引到一起。设两者相距为L，质量分别为m1和m2。
(1)试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量的反比；
(2)试写出它们角速度的表达式。[例4][答案] 见自主解答4．(多选)(2018·全国卷Ⅰ)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星
A．质量之积 B．质量之和
C．速率之和 D．各自的自转角速度◎变式训练答案 BC本讲结束
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