第四章 电磁感应
第4节 法拉第电磁感应定律
[随堂演练]
1．(法拉第电磁感应定律的理解)下列几种说法中正确的是
A．线圈中磁通量变化越大，线圈中产生的感应电动势一定越大
B．线圈中磁通量越大，线圈中产生的感应电动势一定越大
C．线圈放在磁场越强的位置，线圈中产生的感应电动势一定越大
D．线圈中磁通量变化越快，线圈中产生的感应电动势一定越大
解析 感应电动势的大小和磁通量的大小、磁通量变化量的大小以及磁场的强弱均无关，它由磁通量的变化率决定，故选D。
答案 D
2．(法拉第电磁感应定律的理解)(多选)单匝矩形线圈在匀强磁场中匀速转动，转轴垂直于磁场，若线圈所围面积里磁通量随时间变化的规律如图4－4－10所示，则0～D过程中
图4－4－10
A．线圈中0时刻感应电动势最大
B．线圈中D时刻感应电动势为零
C．线圈中D时刻感应电动势最大
D．线圈中0至D时间内平均感应电动势为0.4 V
解析 由法拉第电磁感应定律知线圈中0至D时间内的平均感应电动势E＝＝ V＝0.4 V，D项正确；由感应电动势的物理意义知，感应电动势的大小与磁通量的大小Φ和磁通量的改变量ΔΦ均无必然联系，仅由磁通量的变化率决定，而任何时刻磁通量的变化率就是Φ－t图像上该时刻切线的斜率，不难看出0时刻处切线斜率最大，D点处切线斜率最小为零，故A、B正确，C错误。
答案 ABD
3．(E＝Blv的应用)如图4－4－11所示，空间有一匀强磁场，一直金属棒与磁感应强度方向垂直，当它以速度v沿与棒和磁感应强度都垂直的方向运动时，棒两端的感应电动势大小为ε，将此棒弯成两段长度相等且相互垂直的折线，置于与磁感应强度相垂直的平面内，当它沿两段折线夹角平分线的方向以速度v运动时，棒两端的感应电动势大小为ε′。则等于
图4－4－11
A. B.
C．1 D.
解析 设折弯前导体切割磁感线的长度为l0，ε＝Bl0v；折弯后，导体切割磁感线的有效长度为l＝＝l0，故产生的感应电动势为ε′＝Blv＝B·l0v＝ε，所以＝，B正确。
答案 B
4．(公式E＝ΔΦ/Δt在电路中的应用)(2018·苏州高二检测)如图4－4－12所示，有一匝接在电容器C两端的圆形导线回路，垂直于回路平面以内存在着向里的匀强磁场B，已知圆的半径r＝5 cm，电容C＝20 μF，当磁场B以4×10－2 T/s的变化率均匀增加时，则
图4－4－12
A．电容器a板带正电，电荷量为2π×10－9 C
B．电容器a板带负电，电荷量为2π×10－9 C
C．电容器b板带正电，电荷量为4π×10－9 C
D．电容器b板带负电，电荷量为4π×10－9 C
解析 根据楞次定律可判断a板带正电，线圈中产生的感应电动势E＝πr2＝π×10－4 V，板上电荷量Q＝CE＝2π×10－9 C，选项A正确。
答案 A
[限时检测]
?题组一 公式E＝n的应用
1．穿过某线圈的磁通量随时间变化的关系，如图4－4－13所示，在下列几段时间内，线圈中感应电动势最小的是
图4－4－13
A．0～2 s B．2～4 s
C．4～5 s D．5～10 s
解析 图像斜率越小，表明磁通量的变化率越小，感应电动势也就越小。
答案 D
2．如图4－4－14 所示，面积为0.2 m2的100匝线圈处在匀强磁场中，磁场方向垂直于线圈平面，已知磁感应强度随时间变化的规律为B＝(2＋0.2t) T，定值电阻R1＝6 Ω，线圈电阻R2＝4 Ω，求a、b两点间电压Uab
图4－4－14
A．2.4 V B．0.024 V
C．4 V D．1.6 V
解析 由法拉第电磁感应定律，线圈中感应电动势E＝nΔΦ/Δt＝NSΔB/Δt＝100×0.2×0.2 V＝4 V，感应电流I＝E/(R1＋R2)＝4/(6＋4) A＝0.4 A，所以a、b两点间电压即路端电压Uab＝IR1＝0.4×6 V＝2.4 V。
答案 A
3．如图4－4－15所示，用同样的导线制成的两闭合线圈A、B，匝数均为20匝，半径rA＝2rB，在线圈B所围区域内有磁感应强度均匀减小的匀强磁场，则线圈A、B中产生感应电动势之比EA∶EB和两线圈中感应电流之比IA∶IB分别为
图4－4－15
A．1∶1,1∶2 B．1∶1,1∶1
C．1∶2,1∶2 D．1∶2,1∶1
解析 由法拉第电磁感应定律，线圈中感应电动势E＝nΔΦ/Δt，其中ΔΦ＝ΔBS，S为穿过磁场的有效面积均为πr，故EA＝EB。两线圈中感应电流I＝E/R，其中R＝ρL/S，故IA∶IB＝LB∶LA＝rB∶rA＝1∶2，选项A正确。
答案 A
4．穿过某单匝闭合回路的磁通量Φ随时间t变化的图像分别如图4－4－16中的①～④所示，下列说法正确的是
图4－4－16
A．图①有感应电动势，且大小恒定不变
B．图②产生的感应电动势一直在变大
C．图③在0～t1时间内的感应电动势是t1～t2时间内感应电动势的2倍
D．图④产生的感应电动势先变大再变小
解析 感应电动势E＝n，而对应Φ－t图像中图线的斜率，根据图线斜率的变化情况可得：①中无感应电动势；②中感应电动势恒定不变；③中感应电动势0～t1时间内的大小是t1～t2时间内大小的2倍；④中感应电动势先变小再变大。
答案 C
?题组二 公式E＝BLv的应用
5．一根直导线长0.1 m，在磁感应强度为0.1 T的匀强磁场中以10 m/s的速度匀速运动，则导线中产生的感应电动势的说法错误的是
A．一定为0.1 V B．可能为零
C．可能为0.01 V D．最大值为0.1 V
解析 当公式E＝Blv中B、l、v互相垂直而导体切割磁感线运动时感应电动势最大：Em＝Blv＝0.1×0.1×10 V＝0.1 V，考虑到它们三者的空间位置关系，B、C、D正确，A错。
答案 A
6．如图4－4－17所示，MN、PQ是间距为L的平行金属导轨，置于磁感应强度为B、方向垂直导轨所在平面向里的匀强磁场中，M、P间接有一阻值为R的电阻。一根与导轨接触良好、有效阻值为R的金属导线ab垂直导轨放置，并在水平外力F的作用下以速度v向右匀速运动，则(不计导轨电阻)
图4－4－17
A．通过电阻R的电流方向为P→R→M
B．a、b两点间的电压为BLv
C．a端电势比b端高
D．a端电势比b端低
解析 由右手定则可知，通过电阻R的电流方向为M→R→P，a端电势比b端高，选项A、D错误，C正确；ab产生的电动势为：E＝BLv，则a、b两点间的电压为Uab＝E＝BLv，选项B错误。故选C。
答案 C
7．如图4－4－18所示，平行导轨间距为d，其左端接一个电阻R，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直于平行金属导轨所在平面，一根金属棒与导轨成θ角放置，金属棒与导轨的电阻均不计，当金属棒沿垂直于棒的方向以恒定的速度v在导轨上滑行时，通过电阻R的电流大小是
图4－4－18
A. B.
C. D.
解析 金属棒MN垂直于磁场放置，运动速度v与棒垂直，且v⊥B，即已构成两两互相垂直关系，MN接入导轨间的有效长度为l＝，所以E＝Blv＝，I＝＝，故选项D正确。
答案 D
8．如图4－4－19所示，在光滑水平桌面上有一边长为L、电阻为R的正方形导线框；在导线框右侧有一宽度为d(d＞L)的条形匀强磁场区域，磁场的边界与导线框的一边平行，磁场方向竖直向下。导线框以某一初速度向右运动。t＝0时导线框的右边恰与磁场的左边界重合，随后导线框进入并通过磁场区域。下列v-t图像中，可能正确描述上述过程的是
图4－4－19
解析 导线框刚进入磁场时速度设为v0，此时产生的感应电动势E＝BLv0，感应电流I＝＝，线框受到的安培力F＝BLI＝。由牛顿第二定律F＝ma知，＝ma，由楞次定律知线框开始减速，随v减小，其加速度a减小，故进入磁场时做加速度减小的减速运动。当线框全部进入磁场开始做匀速运动，在出磁场的过程中，仍做加速度减小的减速运动，故只有D选项正确。
答案 D
9．粗细均匀的电阻丝围成的正方形线框置于有界匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面，其边界与正方形线框的边平行。现使线框以同样大小的速度沿四个不同方向平移出磁场，如图4－4－20所示，则在移出过程中线框的一边a、b两点间电势差绝对值最大的是
图4－4－20
解析 题目四个图中，切割边所产生的电动势大小均相等(均为E)，回路电阻均为4r(设每边电阻为r)，则电路中的电流亦相等，即I＝。只有B图中，ab为电源，故Uab＝I·3r＝E。其他情况下，Uab＝I·r＝E，故B项正确。
答案 B
?题组三 综合应用
10．如图4－4－21所示，水平放置的平行金属导轨，相距l＝0.50 m，左端接一电阻R＝0.20 Ω，磁感应强度B＝0.40 T的匀强磁场方向垂直于导轨平面，导体棒ab垂直放在导轨上，并能无摩擦地沿导轨滑动，导轨和导体棒的电阻均可忽略不计，当ab以v＝4.0 m/s的速度水平向右匀速滑动时，求：
图4－4－21
(1)ab棒中感应电动势的大小；
(2)回路中感应电流的大小；
(3)维持ab棒做匀速运动的水平外力F的大小。
解析 (1)根据法拉第电磁感应定律，ab棒中的感应电动势为E＝Blv＝0.40×0.50×4.0 V＝0.80 V。
(2)感应电流大小为I＝＝ A＝4.0 A。
(3)ab棒受安培力F安＝IlB＝4.0×0.50×0.4 N＝0.80 N，因为ab棒做匀速运动，故外力的大小F＝F安＝0.80 N。
答案 (1)0.80 V (2)4.0 A (3)0.80 N
11．如图4－4－22甲所示，平行导轨MN、PQ水平放置，电阻不计，两导轨间距d＝10 cm，导体棒ab、cd放在导轨上，并与导轨垂直，每根棒在导轨间的部分，电阻均为R＝1.0 Ω用长为l＝20 cm的绝缘丝线(丝线不可伸长)将两棒系住，整个装置处在匀强磁场中，t＝0时刻，磁场方向竖直向下，丝线刚好处于未被拉伸的自然状态。此后，磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示。不计感应电流磁场的影响，整个过程中丝线未被拉断，求：
(1)0～2.0 s时间内，电路中感应电流的大小与方向；
(2)t＝1.0 s时刻丝线的拉力大小。
图4－4－22
解析 (1)由题图乙可知＝0.1 T/s。
由法拉第电磁感应定律有
E＝＝S＝2.0×10－3 V，
则I＝＝1.0×10－3 A，
由楞次定律可知电流方向为顺时针方向。
(2)导体棒在水平方向上受丝线拉力和安培力平衡，
由图乙可知t＝1.0 s时B＝0.1 T，
则FT＝F安＝BId＝1.0×10－5 N。
答案 (1)1.0×10－3 A 顺时针 (2)1.0×10－5 N
12．如图4－4－23(a)所示，一个电阻值为R，匝数为n的圆形金属线圈与阻值为2R的电阻R1连接成闭合回路，线圈的半径为r1，在线圈中半径为r2的圆形区域内存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系图线如图4－4－23(b)所示。图线与横、纵轴的截距分别为t0和B0。导线的电阻不计，求0至t1时间内：
图4－4－23
(1)通过电阻R1上的电流大小和方向；
(2)通过电阻R1上的电量q及电阻R1上产生的热量。
解析 (1)根据法拉第电磁感应定律，电路中产生的感应电动势：E＝n＝n·S＝n·πr
通过电阻R1上的电流：
I＝＝＝
根据楞次定律，可判定流经电阻R1的电流方向从b到a。
(2)在0至t1时间内通过电阻R1的电量
q＝It1＝
电阻R1上产生的热量
Q＝I2R1t1＝。
答案 (1) b→a
(2)
课件63张PPT。第4节 法拉第电磁感应定律[学习目标]
1.理解感应电动势的概念。
2．理解和掌握确定感应电动势大小的一般规律——法拉第电磁感应定律。并能够运用法拉第电磁感应定律定量计算感应电动势的大小。
3．能够运用E＝Blv或E＝Blvsin θ计算导体切割磁感线时的感应电动势。一、电磁感应定律
1．感应电动势：在_________________现象中产生的电动势，叫作感应电动势。产生感应电动势的那部分导体相当于_______。
2．法拉第电磁感应定律
(1)内容：闭合电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的_________成正比。电磁感应电源变化率二、导线切割磁感线时的感应电动势
1．垂直切割：导体棒垂直于磁场运动，B、l、v两两垂直时，如图4－4－1甲所示，E＝________。Blv图4－4－12．不垂直切割：导线的运动方向与导线本身垂直，但与磁感线方向夹角为θ时，如图乙所示，则E＝______＝__________。
三、反电动势
1．定义：电动机转动时，由于切割磁感线，线圈中产生的_______电源电动势作用的感应电动势。
2．作用：________线圈的转动。Blv1Blvsin θ削弱阻碍判断下列说法的正误。
1．在电磁感应现象中，有感应电动势，就一定有感应电流。( )
2．线圈中磁通量越大，产生的感应电动势越大。( )
3．线圈中磁通量变化越大，产生的感应电动势越大。( )
4．线圈中磁通量变化越快，产生的感应电动势越大。( )［自主思考］×××√5．线圈中磁通量增加时感应电动势增大，线圈中磁通量减小时感应电动势减小。( )
6．电动机转动时，线圈中会产生反电动势，若断电后，线圈会由于反电动势的存在而反向转动。( )
7．当线圈减速转动时，也存在反电动势。( )
8．随着科技的进步，也会使反电动势的作用变成线圈转动的动力。( )××√×考点一 法拉第电磁感应定律的理解与应用[例 1] 如图4－4－2所示，半径为r的金属圆环，其电阻为R，绕通过某直径的轴OO′以角速度ω匀速转动，匀强磁场的磁感应强度为B。从金属圆环的平面与磁场方向平行时开始计时，求金属圆环由图示位置分别转过30°角和由30°角转到330°角的过程中，金属圆环中产生的感应电动势各是多大？ 图4－4－2 [思路引导]
解答本题应注意以下三点：
(1)确定磁感线穿过的有效面积；
(2)磁通量正负号的含义；
(3)确定不同角度转过的时间。1．一个200匝、面积为20 cm2的线圈，放在磁场中，磁场的方向与线圈平面成30°角，若磁感应强度在0.05 s内由0.1 T增加到0.5 T，在此过程中磁通量变化了多少？磁通量的平均变化率是多少？线圈中感应电动势的大小是多少？［变式训练］答案 4×10－4 Wb 8×10－3 Wb/s 1.6 V对公式E＝Blvsin θ的理解
1．该公式可看成法拉第电磁感应定律的一个推论，通常用来求导体运动速度为v时的瞬时电动势，若v为平均速度，则E为平均电动势。
2．当B⊥l时，θ表示v与B的夹角，vsin θ表示垂直于B的分速度；当B、l、v三个量方向相互垂直时，E＝Blv；当有任意两个量的方向平行时，E＝0。考点二 导体切割磁感线时的电动势3．对l的理解：式中的l应理解为导体切割磁感线时的有效长度，如果导线不和磁场垂直，l应该是导体在磁场垂直方向投影的长度，如果切割磁感线的导体是弯曲的，如图4－4－3所示，则应取与B和v垂直的等效直线长度，即ab的长度。图4－4－3[例 2] (多选)如图4－4－4所示，一导线弯成半径为a的半圆形闭合回路。虚线MN右侧有磁感应强度为B的匀强磁场。方向垂直于回路所在的平面。回路以速度v向右匀速进入磁场，直径CD始终与MN垂直。从D点到达边界开始到C点进入磁场为止，下列结论正确的是图4－4－4[解析] 逐项分析如下：［变式训练］图4－4－51．电磁感应中电路问题
(1)电源：磁通量发生变化的回路或切割磁感线的导体相当于电源。
(2)电路：内电路是磁通量变化的回路或切割磁感线的导体，外电路由电阻、电容器等电学元件组成。考点三 电磁感应中的电路问题2．解决电磁感应中电路问题的一般步骤
(1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律(右手定则)确定感应电动势的大小和方向。
(2)画等效电路图。
(3)运用闭合电路的欧姆定律、串并联电路的性质、电功率等公式求解。[例 3] 如图4－4－6所示，在一磁感应强度B＝0.5 T的匀强磁场中，垂直于磁场方向水平放置着两根相距h＝0.1 m的平行金属导轨MN与PQ，导轨的电阻忽略不计，在两根导轨的端点N、Q之间连接一阻值R＝0.3 Ω的电阻。导轨上跨放着一根长为L＝0.2 m，每米长电阻r＝2.0Ω的金属棒ab。金属棒与导轨正交放置，交点为c、d。当金属棒以速度v＝4.0 m/s向左匀速运动时，试求： 图4－4－6 (1)电阻R中的电流大小；
(2)使金属棒做匀速运动的外力；
(3)金属棒a、b两端点间的电势差。
[思路引导] 金属棒向左匀速运动时，等效电路如图所示。在闭合回路中，金属棒的cd部分相当于闭合电路的电源，ac、db部分同样产生电动势，但对电路中的电流没有影响。(2)使金属棒做匀速运动的外力与安培力是一对平衡力，方向向左，大小为F＝F安＝IhB＝0.4×0.1×0.5 N＝0.02 N。
(3)金属棒a、b两端点间的电势差为Uac＋Ucd＋Udb，由于Ucd＝IR＝Ecd－Ircd，因此也可以写成：Uab＝Eab－Ircd＝BLv－Ircd＝0.32 V。
[答案] (1)0.4 A (2)0.02 N (2)0.32 V 规律总结
1．电磁感应现象中电路问题的分析方法
在电磁感应现象中，切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势。若回路闭合，则产生感应电流，感应电流引起热效应等，所以电磁感应问题常与电路知识综合考查。解决与电路相联系的电磁感应问题的基本方法是：(1)明确哪部分导体或电路产生感应电动势，该导体或电路就是电源，其他部分是外电路。
(2)用法拉第电磁感应定律确定感应电动势的大小，用楞次定律确定感应电动势的方向。
(3)画等效电路图。分清内外电路，画出等效电路图是解决此类问题的关键。
(4)运用闭合电路欧姆定律、串并联电路特点、电功率、电热等公式联立求解。注意 (1)求解电路问题首先要找出电源，确定内电路和外电路，解题时不能忽略内阻。
(2)求解电路中通过的电荷量，一定要用平均电动势和平均电流计算。3．(2018·聊城三中高三第三次质量检测)把总电阻为R＝4 Ω的均匀电阻丝焊接成一半径为a＝0.5 m的圆环，水平固定在竖直向下的磁感应强度为B＝1 T的匀强磁场中，如图4－4－7所示，一长度为L＝1.0 m，电阻等于r＝2 Ω，粗细均匀的金属棒MN放在圆环上，它与圆环始终保持良好的接触，当金属棒在外力的作用下以恒定速度v＝6 m/s向右移动经过环心O时，求：［变式训练］图4－4－7(1)金属棒上电流的大小及金属棒两端的电压UMN；
(2)圆环消耗的热功率；
(3)外力做功的功率。解析 (1)导体棒运动产生电流，它相当于电源，内阻为r，电动势为E＝BLv＝6 V，画出等效电路图如图所示，根据右手定则，金属棒中电流从N流向M，所以M相当于电源的正极，N相当于电源的负极。1．常见图像问题考点四 电磁感应中图像问题的解决方法2.解决图像问题的一般步骤
(1)明确图像的种类，即是B－t图像还是Φ－t图像，或者E－t图像、I－t图像等。
(2)分析电磁感应的具体过程。
(3)用右手定则或楞次定律确定方向对应的关系。
(4)结合法拉第电磁感应定律、欧姆定律等写出函数关系式。3．对图像的认识，应注意以下几个方面
(1)明确图像所描述的物理意义。
(2)必须明确各种“＋”“－”的含义。
(3)必须明确斜率的含义。图4－4－8[答案] D4．(2019·全国卷Ⅲ)(多选)如图4－4－9所示，两条光滑平行金属导轨固定，所在平面与水平面夹角为θ，导轨电阻忽略不计。虚线ab、cd均与导轨垂直，在ab与cd之间的区域存在垂直于导轨所在平面的匀强磁场。将两根相同的导体棒PQ、MN先后自导轨上同一位置由静止释放，两者始终与导轨垂直且接触良好。已知PQ进入磁场时加速度恰好为零。从PQ进入磁场开始计时，到MN离开磁场区域为止，流过PQ的电流随时间变化的图像可能正确的是［变式训练］图4－4－9解析 由于PQ进入磁场时加速度为零，
AB.若PQ出磁场时MN仍然没有进入磁场，则PQ出磁场后至MN进入磁场的这段时间，由于磁通量φ不变，无感应电流。由于PQ、MN同一位置释放，故MN进入磁场时与PQ进入磁场时的速度相同，所以电流大小也应该相同，A正确B错误；
CD.若PQ出磁场前MN已经进入磁场，由于磁通量φ不变，PQ、MN均加速运动，PQ出磁场后，MN由于加速故电流比PQ进入磁场时电流大，故C正确D错误。
答案 AD［课堂回顾 知识小结］本节结束
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