课件30张PPT。章末整合提升题型一 利用正、余弦定理解三角形
解三角形的一般方法
(1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b.
(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角.
(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况.
(4)已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C.[答案] (1)75° (2)见解析题型二 判断三角形的形状
判断三角形形状的两种途径和方法
(1)两种途径：①化边为角；②化角为边.
(2)具体方法：
①通过正弦定理实施边角转换；
②通过余弦定理实施边角转换；
③通过三角变换找出角之间的关系；
④利用b2＋c2＞a2?A为锐角；b2＋c2＝a2?A为直角；b2＋c2＜a2?A为钝角.[例2] 在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断△ABC的形状.解法二 (化边为角)
由正弦定理及已知条件得
sin Acos A＋sin Bcos B＝sin Ccos C，
即sin 2A＋sin 2B＝sin 2C，
∴2sin(A＋B)cos(A－B)＝2sin Ccos C.
又在△ABC中，
sin C＝sin(A＋B)，cos C＝－cos(A＋B).
∴sin C[cos(A＋B)＋cos(A－B)]＝0，
即sin Ccos Acos B＝0.
∵sin C>0，∴cos A＝0或cos B＝0.
∴A＝90°或B＝90°.∴△ABC为直角三角形.题型三 正、余弦定理在实际生活中的应用
解三角形应用题常见的几种情况
(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.
(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，然后从这几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.
(3)实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由已知条件解三角形需选择使用正弦定理或余弦定理去求问题的解.[例3] 如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cos θ的值.题型四 正、余弦定理与三函数的综合应用
正、余弦定理将三角形中的边和角关系进行了量化，为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据，而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合，通常可以利用正、余弦定理完成证明、求值等问题.
(1)解三角形与向量的交汇问题，可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解.
(2)解三角形与其他知识的交汇问题，可以运用三角形的基础知识、正、余弦定理、三角形面积公式与三角恒等变换，通过等价转化或构造方程及函数求解.答案 A答案 B 解析 由正弦定理知sin C＝2sin Acos B，
所以sin(A＋B)＝2sin Acos B，
所以sin Acos B＋cos Asin B＝2sin Acos B，
所以sin(A－B)＝0，所以A＝B，
所以△ABC为等腰三角形，故选B.
答案 B答案 D答案 3 600第一章
(本卷满分150分，考试用时120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.在△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，则cos B的值为
A. B. C. D.
解析 由余弦定理可知cos B＝＝＝.
答案 B
2.在△ABC中，三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若a2＋b2＝ab＋c2，则角C为
A.30° B.45° C.150° D.135°
解析 因为在△ABC中，由余弦定理a2＋b2＝c2＋2abcos C，
又a2＋b2＝ab＋c2，所以cos C＝，
所以∠C＝45°，故选B.
答案 B
3.已知锐角三角形ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为
A.75° B.60° C.45° D.30°
解析 面积S＝BC·CA·sin C?3＝×4×3×sin C?sin C＝，
又△ABC为锐角三角形，所以C＝60°.
答案 B
4.在△ABC中，A＝60°，a＝，b＝4，满足条件的三角形的个数为
A.0 B.1 C.2 D.无数多
解析 在△ABC中，A＝60°，a＝，b＝4，
由正弦定理＝，
得sin B＝＝＝＝＞1，
∴角B不存在.故选A.
答案 A
5.已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若a＝2bcos A，B＝，c＝1，则△ABC的面积等于
A. B. C. D.
解析 因为a＝2bcos A，
所以由正弦定理有sin A＝2sin Bcos A，
将B＝代入，得tan A＝.
因为A是三角形内角，所以A＝，
所以△ABC是等边三角形，
所以S＝×12＝.故选C.
答案 C
6.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是
A. B. C. D.2
解析 由题c2＝a2＋b2－2abcos
＝a2＋b2＋ab＝(a－b)2＋3ab＝(a－b)2＋6，
解得ab＝2，
所以S△ABC＝absin C＝×2×＝.故选A.
答案 A
7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则△ABC一定是
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
解析 由已知及正弦定理，有＝，
即sin Acos B＝cos Asin B且cos B≠0，
所以sin Acos B－cos Asin B＝0，所以sin(A－B)＝0，
因为A，B是三角形的内角，
所以A－B＝0，即A＝B，
所以△ABC是等腰三角形.故选A.
答案 A
8.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，asin Asin B＋bcos2A＝a，则等于
A.2 B.2 C. D.
解析 在△ABC中，因为asin Asin B＋bcos2A＝a，
利用正弦定理可得sin2Asin B＋sin Bcos2A＝sin A，
整理，得sin B(sin2A＋cos2A)＝sin B＝sin A，即＝，
则由正弦定理得＝＝，故选D.
答案 D
9.某人要利用无人机测量河流的宽度，如图，从无人机A处测得正前方河流的两岸B，C的俯角分别为 75°，30°，此时无人机的高是60米，则河流的宽度BC等于
A.240米 B.180(－1)米
C.120(－1)米 D.30(＋1)米
解析 在Rt△ABD中，
AB＝＝＝60(－).
△ABC中，∠BAC＝45°，∠C＝30°，
由正弦定理有＝，
所以BC＝120(－1).故选C.
答案 C
10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则角A等于
A.30° B.60° C.120° D.150°
解析 已知sin C＝2sin B，
由正弦定理知c＝2b，
再由余弦定理得，
cos A＝＝＝＝，
所以∠A＝30°，故选A.
答案 A
11.(2017·新课标Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，则C＝
A. B. C. D.
解析 由sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，
得sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C＝0，
化简得sin C(sin A＋cos A)＝0，
即sin A＋cos A＝0，
即sin＝0，
又0＜A＜π，故A＝，
由正弦定理得＝，
即＝，
故sin C＝，则C＝或.
又C＜A，故C＝.
答案 B
12.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为
A. B. C. D.
解析 设AB＝a，则AD＝a，BD＝a，BC＝a，在△ABD中，由余弦定理可得cos A＝＝，故sin A＝，在△ABC中，由正弦定理可得sin C＝＝＝.
答案 D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.在△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，c＝2，C＝，则b＝________.
解析 由正弦定理＝得sin A＝，因为a
答案 4
14.(2017·新课标Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos B＝acos C＋ccos A，则B＝________.
解析 ∵2bcos B＝acos C＋ccos A，
∴由正弦定理得，
2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin Ccos A.
又sin Acos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sin B，
∴2sin Bcos B＝sin B，
又sin B≠0，∴2cos B＝1，
∴cos B＝，则B＝.
答案
15.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边.若cos B＝，a＝10，△ABC的面积为42，则b＋的值为________.
解析 由cos B＝，得sin B＝，
∴S△ABC＝acsin B＝×10×c×＝42，∴c＝14，∴b2＝c2＋a2－2accos B＝142＋102－2×10×14×＝196＋100－224＝72，∴b＝6，
∴b＋＝6＋＝6＋＝16.
答案 16
16.甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a海里，乙船向正北方向行驶.若甲船的速度是乙船速度的倍，则甲船应沿________方向前进才能尽快追上乙船，追上时乙船已行驶了________海里.
解析 如图所示，设两船在C处相遇，并设∠CAB＝θ，由题意及正弦定理，得
sin θ＝＝，
∴θ＝30°.
从而BC＝＝＝a.
即甲船应沿北偏东30°方向前进才能尽快追上乙船，追上时乙船已行驶了a海里.
答案 北偏东30° a
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，cos A＝，b＝，
(1)求sin C的值；
(2)求△ABC的面积.
解析 (1)∵cos A＝，∴sin A＝，
∴sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos ＋cos Asin ＝.
(2)由正弦定理得a＝＝＝，
∴S△ABC＝absin C＝.
18.(12分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，a＝，b＝，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高.
解析 由1＋2cos(B＋C)＝0和B＋C＝π－A，得
1－2cos A＝0，
所以cos A＝，sin A＝.
再由正弦定理，得sin B＝＝.
由b＜a，知B＜A，所以B不是最大角，B＜，从而cos B＝.
由上述结果，知sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝.
设边BC上的高为h，则h＝bsin C＝.
19.(12分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cos B＝，且·＝21.
(1)求ac的值及△ABC的面积；
(2)若a＝7，求角C的大小.
解析 (1)因为·＝21，
所以accos B＝21，所以ac＝35.
又cos B＝，所以sin B＝.
所以S△ABC＝acsin B＝×35×＝14.
即△ABC的面积为14.
(2)因为a＝7，且ac＝35，所以c＝5.
又cos B＝，由b2＝a2＋c2－2accos B＝32，
解得b＝4，
所以cos C＝＝.
因为0＜C＜π，所以C＝.
20．(12分)(2018·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acos.
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．
解析 (1)在△ABC中，由正弦定理＝，可得bsin A＝asin B，又由bsin A＝acos，得asin B＝acos，即sin B＝cos，可得tan B＝.又因为B∈(0，π)，可得B＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，有b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝.
由bsin A＝acos，可得sin A＝.
因为a＜c，故cos A＝ .
因此sin 2A＝2sin Acos A＝，
cos 2A＝2cos2A－1＝.
所以，sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B
＝×－×＝.
21.(12分)某人在塔的正东C处沿着南偏西60°的方向前进40 m到D处以后，望见塔在东北方向.若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔的高度.
解析 在△BDC中，CD＝40 m，∠BCD＝90°－60°＝30°，
∠DBC＝45°＋90°＝135°.
由正弦定理，得＝，
所以BD＝＝＝20(m).
在Rt△ABE中，tan∠AEB＝，AB为定值，
故要使∠AEB最大，需要BE最小，
即BE⊥CD，这时∠AEB＝30°.
在Rt△BED中，∠BDE＝180°－135°－30°＝15°，
所以BE＝BD·sin∠BDE＝20sin 15°＝10(－1)(m).
在Rt△ABE中，
AB＝BEtan∠AEB＝10(－1)tan 30°＝(3－)(m).
即塔的高度为(3－)m.
22.(12分)在锐角△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边，且a＝2csin A.
(1)确定∠C的大小；
(2)若c＝，求△ABC周长的取值范围.
解析 (1)已知a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边，由a＝2csin A，得sin A＝2sin Csin A，
又sin A≠0，则sin C＝，∴∠C＝60°或∠C＝120°，∵△ABC为锐角三角形，∴∠C＝120°舍去，
∴∠C＝60°.
(2)∵c＝，sin C＝，
∴由正弦定理得：＝＝＝＝2，
即a＝2sin A，b＝2sin B，
又A＋B＝π－C＝，即B＝－A，
∴a＋b＋c＝2(sin A＋sin B)＋＝2＋
＝2＋＝3sin A＋cos A＋
＝2＋＝2sin＋，
∵△ABC是锐角三角形，∴则△ABC周长的取值范围是(3＋，3].
