§1.1.2 余弦定理
1.在△ABC中，已知a2＋b2＝c2＋ab，则C等于
A.30° B.45° C.150° D.135°
解析 在△ABC中，由于已知a2＋b2＝c2＋ab，
则由余弦定理可得cos C＝＝＝，
所以C＝45°，故选B.
答案 B
2.在△ABC中，a＝4，b＝4，C＝30°，则c2等于
A.32－16 B.32＋16
C.16 D.48
解析 由余弦定理得
c2＝a2＋b2－2abcos C＝42＋42－2×4×4×＝32－16.
答案 A
3.边长为5，7，8的三角形中，最大角与最小角之和为
A.90° B.120° C.135° D.150°
解析 设边长为5，7，8的对角分别为A，B，C，
则A＜B＜C.
由题意cos B＝＝.
所以cos(A＋C)＝－cos B＝－，所以A＋C＝120°.
答案 B
4．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝
A．4 B. C. D．2
解析 因为cos＝，所以cos C＝2cos2－1＝2×－1＝－.于是，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，所以AB＝4.故选A.
答案 A
5.在△ABC中，若a＝b，c＝b，则角C＝________.
解析 由余弦定理可知
cos C＝＝＝－.
又∵C∈(0，π)，∴C＝.
答案
[限时45分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝7，则C＝
A.150° B.120° C.60° D.30°
解析 cos C＝＝＝－，
所以C＝120°.
答案 B
2.已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－ab，则此三角形的最大角为
A.60° B.90° C.120° D.150°
解析 由余弦定理得cos C＝＝＝－，
∵0°＜C＜180°，∴C＝150°，
故三角形的最大角是150°.
答案 D
3.若△ABC的内角A，B，C所对边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为
A. B.8－4 C.1 D.
解析 由(a＋b)2－c2＝4得a2＋b2－c2＝4－2ab，而a2＋b2－c2＝2abcos C，且C＝60°，
则a2＋b2－c2＝ab，所以ab＝.
答案 A
4.若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段
A.能组成直角三角形 B.能组成锐角三角形
C.能组成钝角三角形 D.不能组成三角形
解析 最长线段为7，且5＋6＞7，因此能构成三角形.∵52＋62－72＝12＞0，由余弦定理，长为7的边所对的角为锐角，即最大角为锐角，则该三角形一定为锐角三角形.
答案 B
5.在△ABC中，已知a＝2，则bcos C＋ccos B等于
A.1 B. C.2 D.4
解析 bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝＝a＝2.
答案 C
6.(能力提升)在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为
A. B. C. D.
解析 由余弦定理得cos A＝，解得AC＝3或AC＝－8(舍去).由正弦定理得＝＝.
答案 D
二、填空题(每小题5分，共15分)
7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，则c等于________.
解析 cos C＝－cos(A＋B)＝－，
所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝32＋22－2×3×2×＝17，
所以c＝.
答案
8.在△ABC中，若三个内角A，B，C满足sin2A＝sin2B＋sin Bsin C＋sin2C，则角A等于________.
解析 由条件及正弦定理得a2＝b2＋bc＋c2，
即＝－，由余弦定理得cos A＝－，
又∵A∈(0，π)，∴A＝.
答案
9.(能力提升)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________.
解析 在△ABC中，cos A＝＝＝，
由正弦定理可知＝＝＝＝1.
答案 1
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10.(11分)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a＋c＝2b，且2cos 2B－8cos B＋5＝0，求角B的大小，并判断△ABC的形状.
解析 因为2cos 2B－8cos B＋5＝0，
所以4cos2B－8cos B＋3＝0，
所以cos B＝或cos B＝(舍去).
因为B∈(0°，180°)，所以B＝60°，
所以由余弦定理得cos B＝＝，
又因为a＋c＝2b，
所以a2＋c2－＝ac，
所以4a2＋4c2－(a2＋c2＋2ac)＝4ac，
所以3a2＋3c2－6ac＝0，
所以(a－c)2＝0，
所以a＝c，所以△ABC为等边三角形.
11.(12分)在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝2A.
(1)求cos A的值；
(2)求c的值.
解析 (1)由正弦定理得＝，
所以＝，＝，
即cos A＝.
(2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
所以32＝(2)2＋c2－2×2c×，
即c2－8c＋15＝0，解得c＝5或c＝3.
当c＝3时，因为a＝3，
所以a＝c，即A＝C，
又因为B＝2A，故A＝C＝B，
又因为A＋C＋B＝π，
故2B＝π，即B＝，所以b＝＝3，这与b＝2矛盾，
故c＝3不合题意舍去.因此c＝5.
12.(12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.
(1)求的值；
(2)若cos B＝，△ABC的周长为5，求b的长.
解析 (1)由正弦定理可设＝＝＝k，
则＝＝，
所以＝，
即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B，
化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C).
又A＋B＋C＝π，所以sin C＝2sin A，
因此＝2.
(2)由＝2，得c＝2a.由余弦定理及cos B＝，
得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋4a2－4a2×＝4a2，
所以b＝2a.
又a＋b＋c＝5，所以a＝1，因此b＝2.
课件23张PPT。§1.1.2 余弦定理 [学习目标]
1.了解向量法证明余弦定理的推导过程.
2.掌握余弦定理并能用其解决一些简单的三角形度量问题.(重点)
3.能够综合利用正、余弦定理解三角形.(难点)b2＋c2－2bccos A a2＋c2－2accos B a2＋b2－2abcos C 其他两边的平方的和减 去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 [点拨] 对余弦定理的理解
(1)适用范围：对任意的三角形，三个等式都成立.
(2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”.?知识点一 余弦定理的证明
【探究】 教材P5给出用向量法证明余弦定理，试一试用坐标法证明？?知识点二 余弦定理在解三角形中的应用
【探究1】 利用余弦定理可解决哪几类三角形问题？
提示 (1)已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
(2)已知三角形的三条边就可以求出三个角.【探究2】 在△ABC中，若c2＞a2＋b2，则三角形一定是钝角三角形吗？若c2＜a2＋b2，则三角形一定是锐角三角形吗？
提示 若c2＞a2＋b2，则三角形一定是钝角三角形，因为c2＞a2＋b2时cos C＜0，所以C为钝角；若c2＜a2＋b2，则三角形不一定是锐角三角形，因为c不一定是最大的边.◆方法技巧
已知两边及一角解三角形有以下两种情况
(1)若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解.
(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理或余弦定理求解.[答案] (1)C (2)C◆方法技巧
已知三边求解三角形策略
(1)已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一.
(2)若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解.◆方法规律
利用正、余弦定理解决三角形中综合问题的常用思想方法
(1)正弦定理和余弦定理从不同的侧面反映了三角形中的边角关系，揭示了三角形中元素间的内在联系，解题时一定要注意正、余弦定理的结合，可相互渗透，相互促进，它们是解决三角形问题的主要依据.
(2)解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题.本课结束
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